Xử lý tín hiệu số - Chương 3: Biểu diễn tín hiệu và hệ thống trong miền tần số liên tục

Chương 3:BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤCBài 1 BIẾN ĐỔI FOURIER Bài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIERBài 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI Z & FBài 4 BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TRONG MIỀN TẦN SỐBài 5 LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HIỆUKý hiệu: x(n) X() hay X() = F{x(n)} X() x(n) hay x(n) = F-1{X()} BÀI 1 BIẾN ĐỔI FOURIER1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI FOURIER:Trong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc,  =  Ts  - tần số của tín hiệu liên tục Ts - chu kỳ lấy mẫu Biến đổi Fourier của x(n):X() biểu diễn dưới dạng modun & argument:Nhận thấy X() tuần hoàn với chu kỳ 2, thật vậy:Trong đó:- phổ biên độ của x(n)- phổ pha của x(n)Áp dụng kết quả:Biểu thức biến đổi F ngược:Ví dụ 1: Tìm biến đổi F của các dãy:Giải:2. ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI BIẾN ĐỔI FOURIERVậy, để X() hội tụ thì điều kiện cần là:Các tín hiệu thỏa điều kiện hội tụ là tín hiệu năng lượng, thật vậy:Nếu:Ví dụ 2: Xét sự tồn tại biến đổi F của các dãy:Giải:X2() không tồn tạiX3() không tồn tạiBÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI FOURIERa) Tuyến tínhNếu:Thì:b) Dịch theo thời gianNếu:Thì:Ví dụ 1: Tìm biến đổi F của dãy:Giải:c) Liên hiệp phứcNếu:Thì:Áp dụng tính chất dịch theo thời gian:d) Đảo biến sốGiải: Nếu: Thì:Ví dụ 2: Tìm biến đổi F của dãy:Theo ví dụ 1 Bài 1, có kết quả:suy ra:e) Vi phân trong miền tần sốGiải: Theo ví dụ 1 Bài 1:Nếu:Ví dụ 3: Tìm biến đổi F của:Suy ra:Thì:f) Dịch theo tần sốGiải: Theo ví dụ 1 Bài 1:Nếu:Ví dụ 4: Tìm biến đổi F của:Thì:g) Tích 2 dãyThì:Nếu:g) Tổng chập 2 dãyThì:Nếu:Ví dụ 5: Tìm y(n)=x(n)*h(n), biết: x(n)=h(n)=(n+2)+(n-2)Giải:Theo ví dụ 1, có kết quả:- gọi là phổ mật độ năng lượngg) Quan hệ ParsevalThì:Nếu:(*)Biểu thức (*) còn gọi là quan hệ ParsevalNhận xét:Nếu:Theo quan hệ Parseval, ta có: Với:TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Fx(n)X()a1x1(n)+a2x2(n)a1X1()+a2X2()x(n-n0)e-jn0 X()ej0n x(n)X(- 0)nx(n)jdX()/dx(-n)X(- )x*(n)X*(- )x1(n)x2(n)x1(n)*x2(n)X1()X2()BÀI 3 QUAN HỆ GIỮA BIẾN ĐỔI FOURIER & ZHay biến đổi Fourier chính là biến đổi Z được lấy trên vòng tròn đơn vị theo biến số /z/=1Re(z)ROC X(z)Im(z)/z/=1 Nếu ROC[X(z)] có chứa /z/=1X()=X(z) với z=ej Nếu ROC[X(z)] không chứa /z/=1X() không hội tụVí dụ 1: Tìm biến đổi Z & F của các dãy:Giải:Do ROC[X1(z)] có chứa /z/=1, nên:Do ROC[X2(z)] không chứa /z/=1, nên X2() không tồn tạiBÀI 4. BIỂU DIỄN HỆ THỐNG TTBB RỜI RẠC TRONG MIỀN TẦN SỐ1. Định nghĩa đáp ứng tần sốh(n)x(n)y(n)=x(n)*h(n)Miền n:Miền :H()X()Y()=X()H()Fh(n) F H()=Y()/X(): gọi là đáp ứng tần số hệ thốngNếu H() biểu diễn dạng môdun và pha:- Đáp ứng biên độ - Đáp ứng phaVí dụ: 1: Tìm H(), vẽ đáp ứng biên độ & pha, biết:Giải:Biến đổi Fourier của h(n):h(n)=rect3(n)Với - -2/3 0 2/3  /2argH()-/2- -2/3 0 2/3  1/H()/2. Đáp ứng tấn số của các hệ thống ghép nốia. Ghép nối tiếp Miền  :h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h(n)=h1(n)*h2(n) Miền n:H2()X()Y()H1()X()Y()H()=H1()H2()Theo tính chất tổng chập: h1(n)*h2(n) F H1()H2()b. Ghép song song Miền :h2(n)x(n)y(n)h1(n)+x(n)y(n)h1(n)+h2(n) Miền n:H2()X()Y()H1()+X()Y()H1()+H2()3. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm mũ phứcVí dụ: 2: Tìm y(n) biết:Xét tín hiệu vào có dạng mũ phức: x(n)=Aejn4. Đáp ứng ra hệ thống với tín hiệu vào hàm cos,sinXét tín hiệu vào có dạng hàm cos:Biểu diễn đáp ứng tần số dưới dạng môđun & pha:Tương tự với tín hiệu vào có dạng hàm sin:Ta cũng được kết quả:BÀI 5. LẤY MẪU & KHÔI PHỤC TÍN HiỆU1. Khái niệm lấy mẫu tín hiệuMã hóaxd(n)Rời rạc hóaxa(t)x(n)Lượng tử hóaxq(n)Chuyển xung -> mẫuxa(nTs)= x(n)xa(t)Xsa(t)xs(t)Quá trình lấy mẫu tín hiệuTín hiệu tương tựxa(t)t0xa(nTs)n0 Ts 2Ts Tín hiệu rời rạcTín hiệu được lấy mẫuxs(t)n0 Ts 2Ts t0Chuỗi xung lấy mẫuTs 2Ts Tốc độ lấy mẫu càng lớn -> khôi phục tín hiệu càng chính xác2. Quan hệ giữa tần số tín hiệu rời rạc và tương tựLấy mẫut = nTsTrong đó:  - tần số của tín hiệu rời rạc  - tần số của tín hiệu tương tự Ts - chu kỳ lấy mẫu 3. Quan hệ giữa phổ tín hiệu rời rạc và phổ tín hiệu tương tựVí dụ: 1: Hãy vẽ phổ biên độ tín hiệu rời rạc, biết phổ biên độ tín hiệu tương tự cho như hình vẽ, với các tốc độ lấy mẫu: a)Fs>2FM b) Fs=2FM c) Fs<2FMTrong đó: X(f) – phổ của tín hiệu rời rạc Xa(F) – phổ của tín hiệu tương tự /Xa(F)/F0-FMFM1/X(F/Fs)/F0-FMFM-FsFsFsa)F0-FMFM-FsFs/X(F/Fs)/Fsb)F0-FMFM-FsFs/X(F/Fs)/Fs2Fs-2Fsc)4. Định lý lấy mẫu“Tín hiệu tương tự xa(t) có dải phổ hữu hạn (-FM ,FM) chỉ có thể khôi phục 1 cách chính xác từ các mẫu xa(nTs) nếu tốc độ lấy mẫu thỏa Fs ≥ 2FM”Ví dụ 2: Xác định tốc độ Nyquist của tín hiệu tương tự: Fs =2FM=FN: Tốc độ (tần số) NyquistGiải:Tín hiệu có các tần số: F1=1 kHz, F2=3 kHz, F3=6 kHzFM=max{F1, F2, F3}=6 kHz  FN =2FM = 12 kHz5. Khôi phục lại tín hiệu tương tự Để khôi phục lại tín hiệu tương tự xa(t) thì phổ của tín hiệu được khôi phục phải giống với phổ ban đầu của xa(t). Vì phổ của tín hiệu lấy mẫu là sự lặp lại vô hạn của phổ tín hiệu tương tự, nên cần phải giới hạn lại bằng cách người ta cho các mẫu xa(nTs) đi qua mạch lọc thông thấp lý tưởng trong điều kiện thỏa định lý lấy mẫu có đáp ứng tần số: Low pass Filterhlp(t)xa(nTs)xa(t)=xa(nTs)*hlp(t)Công thức nội suy, cho phép khôi phục xa(t) từ xa(nTs)