Xử lý tín hiệu số - Biểu diễn Fourier của tín hiệu

Bài giảng môn họcXử Lý Tín Hiệu SốGiảng viên: Lã Thế VinhEmail: vinhlt@soict.hut.edu.vnChú ý: bài giảng có sử dụng các học liệu được cung cấp bởi Giáo sư Tae-Song Kim, Trường Đại học Kyung Hee, Hàn Quốc.Biểu diễn Fourier của tín hiệuCơ sở FourierTính trực giao  except whenk=l  Ví dụXấp xỉ tín hiệu xung vuông bằng chuỗi FourierXấp xỉ tín hiệu răng cưaBiểu diễn Fourier của 4 loại tín hiệuCác tín hiệu được biểu diễn bằng hàm của biến tần sốTrọng số của các tín hiệu cơ sở cho biết “mức đóng góp” của tín hiệu đó trong tín hiệu gốc4 loại tín hiệuThời gian liên tục, tuần hoàn → Chuỗi FourierThời gian liên tục, không tuần hoàn → Biến đổi FourierThời gian rời rạc, tuần hoàn → Chuỗi Fourier rời rạcThời gian rời rạc, không tuần hoàn → Biến đổi Fourier rời rạcTín hiệu thời gian liên tục và tuần hoàn: Chuỗi FourierTín hiệu được biểu diễn bằng tổ hợp tuyến tính của các tín hiệu cơ sở điều hòa (sinusoidal)Mọi tín hiệu thời gian liên tục và tuần hoàn đều có thể biểu diễn bằng chuỗi FourierChuỗi Fourier lượng giácCho tín hiệu thựcCác hệ số Fourier được tính như sau:Tính chẵn lẻ của hàm x(t)Mọi hàm x(t) có thể phân tích thànhx(t) = xe(t)+xo(t)xe(t) = 1/2[x(t)+x(-t)]=xe(-t)xo(t) = 1/2[x(t)-x(-t)]=-xo(-t)Nếu x(t) chẵn, x(t)cos(kωt) => B[k], chẵnNếu x(t) lẻ, x(t)cos(kωt) => B[k], lẻ => B[k]=0Nếu x(t) chẵn, x(t)sin(kωt) => A[k], lẻ => A[k]=0Nếu f(t) lẻ, x(t) sin(kωt) => A[k], chẵnVì thếx(t) chẵn => A[k]=0x(t) lẻ => B[k]=0Đạo hàm- Phép đạo hàm tăng cường thành phần tần số cao bằng phép nhân thêm hệ số- Nhiễu có thể tăng do phép đạo hàmVí dụ về đạo hàmTích phân- Phép tích phân làm suy giảm thành phần tần số cao bằng phép chia cho hệ số Ví dụ phép tích phânTổ hợp tuyến tínhChuỗi Fourier giản lượcGiản lược hàm lượng giác Trong đó  Ta có  Phổ Fourier Ví dụTìm và vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn biết rằng 1 chu kỳ [0,PI] của tín hiệu là e-t/2Tìm và vẽ phổ biên độ và phổ pha của tín hiệu tuần hoàn biết rằng 1 chu kỳ [-PI,PI] của tín hiệu là:f(t)=1 với –PI/2 <= t <= PI/2f(t) = 0 với t khácĐiều kiện DirichletĐiều kiện yếuĐể chuỗi Fourier tồn tại, tín hiệu f(t) phải khả tích trong một chu kỳĐiều kiện mạnhf(t) có hữu hạn cực trị trong 1 chu kỳf(t) có hữu hạn điểm không liên tục trong một chu kỳ Các điểm quan trọng của chuỗi FourierBiểu diễn trên miền tần số cung cấp thêm thông tin về tín hiệuMỗi hệ số của chuỗi Fourier đi liền với một thành phần sin với tần số riêngChuỗi Fourier thường dùng khi phân tích đáp ứng của hệ thống với các tín hiệu tuần hoànChuỗi Fourier phứcCơ sở phức: Tín hiệu thời gian liên tục không tuần hoàn: Phép biến đổi Fourier Phép biến đổi Fourier (FT) được dung để phân tích tín hiệu thời gian liên tục không tuần hoàn thành tổ hợp tuyến tính của các hàm điều hòa phứcFT PairFTInverse FT X(jω) là hàm của biến tần số ωX(ω) là biểu diễn trên miền tần số của x(t)Tín hiệu rời rạc tuần hoàn:Chuỗi Fourier rời rạcTín hiệu rời rạc tuần hoàn x[n] có chu kỳ cơ bản N và tần số cơ bản có thể biểu diễn bằng trong đó: là các hệ số và là hàm của biến tần số.Biên độ và phac=a+jbBiên độ |c|=sqrt(a2+b2)Pha Arg{c}=arctan(b/a)c=a+jbDạng cực c=|c|ejarg{c}Với X[k]|X[k]|=Phổ biên độ của X[k]Arg{X[k]}=Phổ pha của X[k]Tín hiệu rời rạc không tuần hoàn: Phép biến đổi Fourier rời rạcDTFT PairDTFTInverse FTX là hàm của biến tần số (liên tục)X tuần hoàn với chu kỳ 2πVí dụ:Ví dụ:Ví dụ: x[n] = ()nu[n]Magnitude spectrum for  = 0.5. (b) Phase spectrum for  = 0.5. (c) Magnitude spectrum for  = 0.9. (d) Phase spectrum for  = 0.9. Ví dụ:Phép biến đổi Fourier nhanh (FFT)How to compute FT efficiently?MATLABĐọc và hiện sóng âm thanhCộng và giãn sóng âmBiến đổi Fourier (DCT)FFTBiến đổi Fourier ngượcTổng hợp tín hiệuLọc sử dụng FT