Xác suất thống kê - Chương 5: Tính gần đúng đạo hàm và tích phân

Chöông 5 TÍNH GAÀN ÑUÙNG ÑAÏO HAØM VAØ TÍCH PHAÂN I. TÍNH GAÀN ÑUÙNG ÑAÏO HAØM : Cho haøm y = f(x) vaø baûng soá x xo x1 x2 . . . xn y yo y1 y2 . . . yn Ñeå tính gaàn ñuùng ñaïo haøm, ta xaáp xæ haøm baèng ña thöùc noäi suy Lagrange Ln(x) Ta coù / / / / / / ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x L x f x L x   1. TH baûng chæ coù 2 ñieåm nuùt : x x0 x1 y y0 y1 h = x1- x0 y0 = f(x0) y1 = f(x1) = f(x0+h) Ña thöùc noäi suy Lagrange 01 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n x xx x L x y y x x x x x x x x y y h h          Do ñoù vôùi moïi x  [x0, x1] ta coù 1 0 0 0 ( ) ( ) '( ) y y f x h f x f x h h       Coâng thöùc sai phaân tieán : 0 0 0 ( ) ( ) '( ) f x h f x f x h     Coâng thöùc sai phaân luøi : 1 0 1 '( ) y y f x h   Thay x1 baèng x0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) f x f x h f x h     Coâng thöùc sai soá : 0 1 2 2 [ , ] max | "( ) | 2 x x x M h vôùi M f x      Ví duï : Cho haøm f(x) = ln x. Tính Xaáp xæ f’(1.8) vaø sai soá vôùi h = 0.1, 0.01, 0.001 Ta coù (1.8 ) (1.8)'(1.8) f h ff h    Sai soá 2 1 "( )f x x   2 2 1 max | "( ) | 1.8 M f x   22(1.8) h   giaûi h f’(1.8)  0.1 0.540672212 0.016 0.01 0.554018037 0.16x10-2 0.001 0.555401292 0.16x10-3 2. TH baûng coù 3 ñieåm nuùt caùch ñeàu : x x0 x1 x2 y y0 y1 y2 h = x2 - x1 = x1 - x0 y0 = f(x0) y1 = f(x1) = f(x0+h) y2 = f(x2) = f(x0+2h) Ña thöùc noäi suy Lagrange 0 2 0 11 2 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1 0 1 0 2 1 2 2 1 02 2 2 ( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 n x x x x x x x xx x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y h h h                        Do ñoù vôùi moïi x  [x0, x2] ta coù 0 1 2 2 1 2 0 0 12 2 2 ( ) ( ) ( ) '( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) 2 2 2 x x x x x x f x y y y y y y h h h          2 1 0 2 ( 2 ) "( ) y y y f x h    Suy ra ñaïo haøm caáp 1 0 1 2 0 2 0 1 0 1 2 2 ( 3 4 ) '( ) 2 ( ) '( ) 2 ( 4 3 ) '( ) 2 y y y f x h y y f x h y y y f x h          Coâng thöùc thöù 1 goïi laø coâng thöùc sai phaân tieán 0 0 0 0 3 ( ) 4 ( ) ( 2 ) '( ) 2 f x f x h f x h f x h       Coâng thöùc thöù 2 goïi laø coâng thöùc sai phaân höôùng taâm thöôøng vieát döôùi daïng (thay x1 = x0) 0 0 0 ( ) ( ) '( ) 2 f x h f x h f x h     Coâng thöùc thöù 3 goïi laø coâng thöùc sai phaân luøi thöôøng vieát döôùi daïng (thay x2 = x0) 0 0 0 0 ( 2 ) 4 ( ) 3 ( ) '( ) 2 f x h f x h f x f x h       Coâng thöùc sai soá : 0 2 2 3 3 [ , ] max | "'( ) | 6 x x x M h vôùi M f x     ñaïo haøm caáp 2 2 1 0 1 2 ( 2 ) ''( ) y y y f x h    Thay x1 = x0 ta ñöôïc 0 0 0 0 2 ( ) 2 ( ) ( ) ''( ) f x h f x f x h f x h       Coâng thöùc sai soá : 0 2 2 (4)4 4 [ , ] max | ( ) | 12 x x x M h vôùi M f x      Ví duï : Cho haøm f(x) = ln x – 2/x3. a. Duøng coâng thöùc sai phaân höôùng taâm, tính xaáp xæ f’(3) vôùi h = 0.1, 0.01, 0.001 b. Tính xaáp xæ f”(3) vôùi h = 0.1, 0.01, 0.001 giaûi (3 ) (3 ) '(3) 2 f h f h f h     h f’(3) 0.1 0.407805936 0.01 0.407411385 0.001 0.407407442 2(3 ) 2 (3) (3 ) ''(3) f h f f h f h      h f’’(3) 0.1 -0.210213236 0.01 -0.20987991 0.001 -0.2098756 II. TÍNH GAÀN ÑUÙNG TÍCH PHAÂN : Cho haøm f(x) xaùc ñònh vaø khaû tích treân [a,b]. Ta caàn tính gaàn ñuùng tích phaân : ( ) b a I f x dx  Ta phaân hoaïch ñoaïn [a,b] thaønh n ñoaïn baèng nhau vôùi böôùc h = (b-a)/n xo= a, x1 = x0 +h, ... , xk = x0 + kh, ... , xn = b Xaáp xæ f(x) baèng ña thöùc noäi suy Lagrange Ña thöùc Lagrange trong TH caùc ñieåm caùch ñeàu 0 ( 1) ( ) ( 1)...( ) !( )!( ) n kn n k k L x q q q n y k n k q k x a vôùi q h            0 0 0 ( 1) ( 1)...( ) ( ) !( )!( ) ( 1) ( 1)...( ) ( ) !( )!( ) b b n kn n k ka a n n kn k k q q q n I L x dx y dx k n k q k q q q n b a dq y k n k q k n                      Coâng thöùc treân goïi laø coâng thöùc Newton-cotes, caùc heä soá Hk goïi laø caùc heä soá cotes. Heä soá cotes coù caùc tính chaát sau : 0 1 0, n k k n k k H H H k n       0 * ( ) n k k k I I b a H y      0 ( 1) ( 1)...( ) !( )! ( ) nn k k q q q n vôùi H dq n k n k q k        Coâng thöùc sai soá : 2 1 0 3 22 0 ( 1) ( 2) 1 2[ , ] [ , ] | ( 1)...( ) | ( 1)! | *| | ( 1)...( ) | ( 2)! max | ( ) | max | ( ) | n n n n n n n n n nx a b x a b M h q q q n dq vôùi n leû n I I M h q q q n dq vôùi n chaün n M f x vaø M f x                         1. Coâng thöùc hình thang : Xeùt n = 1, ta coù h= b-a I  (b-a)(Hoyo + H1y1) 1 0 0 1 ( 1) 2 H q dq    1 0 1 2 H H   Vaäy 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 2 2 b a b a I y y f a f b        Coâng thöùc sai soá : 3 31 2 2 0 | ( 1) | 2! 12 M h M h q q dq     Coâng thöùc hình thang môû roäng : Ta phaân hoaïch ñoaïn [a,b] thaønh n ñoaïn baèng nhau [x0, x1], [x1, x2], ... , [xn-1, xn]. Ta coù 1 2 0 1 1 ( ) ( ) ... ( ) n n xx x x x x I f x dx f x dx f x dx        1 0 12 1 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ... ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ... ( ) 2 2 2 n n n n n n x x x xx x y y y y y y h h h y y y y y y                    Vaäy 0 1 1 ( 2 ... 2 ) 2 n n h I y y y y        Coâng thöùc sai soá : 3 2 2 2( ) 12 12 M h M h n b a    2. Coâng thöùc Simpson : Xeùt n = 2, ta coù h = (b-a)/2 I  (b-a)(Hoyo + H1y1+H2y2) 1 0 0 1 1 ( 1)( 2) 4 6 H q q dq    2 0 1 6 H H  0 1 2 1 2 1 3 H H H H     Vaäy 0 1 2 ( ) ( 4 ) 6 b a I y y y      Coâng thöùc sai soá : 4 51 24 4 0 | ( 1)( 2) | 4! 90 M h M h q q q dq      Coâng thöùc Simpson môû roäng : Ta phaân hoaïch ñoaïn [a,b] thaønh n ñoaïn baèng nhau [x0, x1], [x1, x2], ... , [xn-1, xn]. Ñieàu kieän n phaûi chaün