Xác suất thống kê - Chương 3: Ước lượng tham số thống kê

NỘI DUNG:I. LÝ THUYẾT MẪUII. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNGIII. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂIV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ CỦA TỔNG THỂV. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI TỔNG THỂCHƯƠNG 3: ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊI. LÝ THUYẾT MẪU1. Tổng thể và mẫu Tổng thể: ký hiệu X là đặc tính cần nghiên cứu. Tập hợp M gồm tất cả những phần tử mang đặc tính X của một vấn đề quan tâm nghiên cứu gọi là tổng thể. Ta gọi N là số phần tử của tổng thể.Ví dụ - Số cử tri trong một cuộc bầu cử. - Thu nhập của các hộ gia đình ở một địa phương - Điểm trung bình các tất cả sinh viên trong một trường đại học. - Trọng lượng một loại cá dưới hồ. - ...Thông thường, N rất lớn nên ta không thể lấy hết những phần tử của M để thực hiện thí nghiệm vì những lý do sau:N quá lớn.Thời gian và kinh phí không cho phép.Có thể làm hư hại hết các phần tử của M.I. LÝ THUYẾT MẪU1. Tổng thể và mẫu Vì vậy người ta thường lấy một số phần tử của M để nghiên cứu, các phần tử này gọi là mẫu lấy từ M. Số phần tử của mẫu gọi là cỡ mẫu, ký hiệu là n.Ví dụThăm dò 2000 cử tri.Khảo sát 300 gia đình.Cân trọng lượng 500 con cá.I. LÝ THUYẾT MẪU1. Tổng thể và mẫu Ký hiệu Xi là giá trị quan sát X trên phần tử thứ i của mẫu. Khi đó ta có một bộ n biến ngẫu nhiên (X1, ..., Xn) gọi là mẫu lý thuyết lấy từ M.Tính chất mẫu:Các Xi có cùng phân phối như X.Các Xi độc lập với nhau.Khi đã lấy mẫu cụ thể xong ta có các số liệu (x1, .., xn) gọi là mẫu thực nghiệm lấy từ X.I. LÝ THUYẾT MẪU2. Mẫu ngẫu nhiên và mẫu cụ thểI. LÝ THUYẾT MẪU3. Phương pháp chọn mẫuTheo xác suất (Probability sampling)Ngẫu nhiên đơn giản (simple random sampling)Hệ thống (systematic sampling)Phân tầng (theo tỷ lệ, không theo tỷ lệ) (stratified sampling)Theo nhóm (một bước, hai bước) (cluster sampling)Phi xác suất(Non-probability sampling)Thuận tiện (convenience sampling)Phán đoán (judgment sampling)Phát triển mầm (snowball sampling)Định mức/Hạn ngạch (quota sampling)Bảng thống kê đơn giảnhoặc: x1 x2 x3 ... xn-1 xnVí dụ. Đo chiều cao của 10 sinh viên trong lớp (cm)Kết quả: 160 155 147 155 168 181 150 163 168 155Thứ tự (i) 1 2 3 ... n-1 nGiá trị của X x1 x2 x3 ... xn-1 xnThứ tự 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Chiều cao(cm)160 155 147 155 168 181 150 163 168 155 I. LÝ THUYẾT MẪUTrình bày số liệu mẫu thực nghiệmBảng tần sốVới n1 + n2 + ... + nk = nVí dụ. Khảo sát điểm của 50 bài thi môn toán. X x1 x2 x3 ... xk-1 xkni n1 n2 n3 ... nk-1 nkđiểm của bài thi 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Số bài 14 12 8 6 4 4 2I. LÝ THUYẾT MẪUTrình bày số liệu mẫu thực nghiệmBảng tần số chia khoảngVới n1 + n2 + ... + nk = nChú ý: khi tính các tham số thống kê các khoảng giá trị của X được lấy bằng giá trị trung tâm của khoảng: xi = (ai + bi)/2, thu được bảng sau:X (a1,b1] (a2,b2] ... (ak,bk]ni n1 n2 ... nkX x1 x2 x3 ... xk-1 xkni n1 n2 n3 ... nk-1 nkI. LÝ THUYẾT MẪUTrình bày số liệu mẫu thực nghiệmTrung bìnhPhương sai – Độ lệch chuẩnTrung vịModeI. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫuXét mẫu cỡ n: (X1, ..., Xn) Trung bình mẫu:I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫuPhương sai mẫu:Với I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫuPhương sai mẫu hiệu chỉnhĐộ lệch chuẩn: I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫuXét mẫu cỡ n: (X1, ..., Xn) được biểu diễn theo bảng tần sốTrung bình mẫu:X X1 X2 X3 ... Xk-1 Xkni n1 n2 n3 ... nk-1 nkI. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫuPhương sai mẫu:Với I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫuPhương sai mẫu hiệu chỉnhĐộ lệch chuẩn: I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫuVí dụ 1. Khảo sát chiều cao của 15 sv trong một lớp học: 160,165,155,162,167,145,158,170,165,155 158,160,170,175,169 Tính các tham số mẫu.Ví dụ 2. Thời gian tự học của 100 sinh viên cho bởi bảng sau Tính các tham số mẫuThời gian tự học12345Số sinh viên1020402010I. LÝ THUYẾT MẪU4. Các tham số đặc trưng của mẫuII. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 1. Ước lượng điểmBài toán ước lượng điểm: Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là f(x,);  là tham số chưa biết của hàm mật độ, ta cần đi tìm . Xét mẫu ngẫu nhiên cỡ n: (X1, X2, ..., Xn) được lấy từ X. Một thống kê gọi là một ước lượng điểm của . Bài toán đi tìm gọi là bài toán ước lượng điểm. Và giá trị là một ước lượng điểm cụ thể cho .Ví dụ:Xét X là bnn có phân phối chuẩn X ~ N(μ, 2).Thì hai tham số cần tìm ở đây là Hai ước lượng cho a và 2 là: II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 1. Ước lượng điểmGiả sử  là tham số chưa biết của biến ngẫu nhiên X. Dựa vào mẫu (X1, X2, ..., Xn) cần tìm hai đại lượng 1(X1,..., Xn) và 2(X1,..., Xn) sao cho Với  đủ lớn cho trước, thường =95% hoặc 99%. Xác suất  gọi là Độ tin cậy (ĐTC) của ước lượng. Khoảng [1, 2] gọi là khoảng tin cậy của ước lượng.(*)II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 2. Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)Ý nghĩa của (*): Có 100% số lần lấy cỡ mẫu n thì  [1, 2]. Có (1-)100% số lần lấy cỡ mẫu n thì  [1, 2].II. PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG 2. Ước lượng khoảng tin cậy (KTC)Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Với  cho trước, cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – ). Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn). Đặt Khi đó Z ~ N(0,1). III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNHTH biết trước phương saiIII. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TH biết trước phương saiKhoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) : với : phân vị của phân phối chuẩn, tra bảng phụ lục 3 ε gọi là sai số, độ chính xác, bán kính ước lượng.Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – ). Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn). Đặt Khi đó Z ~ N(0,1). Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) : vớiIII. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNHTH chưa biết phương sai, n ≥ 30III. ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNHTH chưa biết phương sai, n < 30Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng cho trung bình  với ĐTC (1 – ). Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn). ĐặtKhi đó Z ~ (phân phối student, tra bảng phụ lục 4) Khoảng ước lượng của trung bình với ĐTC (1 – ) : vớiIII. ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG Ví dụ Biết lương của công nhân trong nhà máy là bnn X ~ N((, 2) (triệu đồng/năm). Khảo sát 96 công nhâna. Biết  = 8, lập khoảng ước lượng cho  với ĐTC 96% b.  không biết, tìm khoảng ước lượng cho  với ĐTC 99%. c. Để có sai số ε 0,8 triệu đồng thì cỡ mẫu ta chọn bé nhất là bao nhiêu. Lương 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54Số công nhân 8 20 26 24 12 6 Giả sử p là tỷ lệ phần tử của tổng thể (có đặc điểm đang xem xét tỷ lệ). Cần tìm khoảng ước lượng cho p với ĐTC (1 - ).Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn).ĐặtZ có phân phối chuẩn hóa, Z ~ N(0,1).Khoảng ước lượng của tỷ lệ p với ĐTC (1 – ) : vớiIV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ IV. ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ Ví dụ. Biết lương của công nhân trong nhà máy là bnn X ~ N((, 2) (triệu đồng/năm). Khảo sát 96 công nhân Công nhân gọi là thu nhập thấp nếu lương dưới 24 triệu đồng/năm.a. Tìm KTC 95% cho tỷ lệ công nhân có thu nhập thấp.b. Để có sai số bằng 0,04 và ĐTC là 95% thì cỡ mẫu cần lấy là bao nhiêu?Lương 18-24 24-30 30-36 36-42 42-48 48-54Số công nhân 8 20 26 24 12 6 V. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAITH đã biết trung bìnhXét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Giả sử đã biết μ, cần tìm khoảng ước lượng cho phương sai 2 với ĐTC (1 – ). Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn). ĐặtKhi đó có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục 5 Khoảng ước lượng của 2 với ĐTC (1 – ) : vớiV. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAITH chưa biết trung bình Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(μ, 2). Cần tìm khoảng ước lượng cho phương sai 2 với ĐTC (1 – ). Lấy mẫu (X1, X2, ..., Xn). ĐặtKhi đó có phân phối chi bình phương, tra bảng phụ lục 5 Khoảng ước lượng của 2 với ĐTC (1 – ) : vớiV. ƯỚC LƯỢNG PHƯƠNG SAI Ví dụ. Biết lương của một loại sản phẩm là bnn X ~ N((, 2) (gram). Khảo sát 25 sản phẩm, có số liệu:Cho biết trọng lượng trung bình μ = 200g. Hãy ước lượng phương sai trọng lượng của sản phẩm với độ tin cậy 90%.Trung bình μ chưa biết, hãy ước lượng phương sai trọng lượng của sản phẩm với độ tin cậy 95% Trọng lượng 195 200 205Số sản phẩm 5 18 2