Vật lý - Chương VI: Trường tĩnh điện

CHƯƠNG VI TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN I. Điện tích • Thực nghiệm đã các nhận trong tự nhiên chỉ có hai loại điện tích dương và âm. Các điện tích cùng dấu thì đẩy nhau, trái dấu thì hút nhau.Điện tích nguyên tố là điện tích nhỏ nhất đã được biết trong tự nhiên, có độ lớn e = 1,6.10-19C. Proton mang điện tích nguyên tố dương, còn electron mang điện tích nguyên tố âm. • Vật mang điện tích dương hay âm là do vật đó đã mất đi hay nhận thêm electron so với lúc vật không mang điện. Điện tích mang bởi một vật có cấu tạo gián đoạn nó luôn là số nguyên lần điện tích nguyên tố. 1.Sự phân bố điện tích: Trong phần lớn các hiện tượng vĩ mô, các điện tích được coi như phân bố liên tục trong không gian mà không để ý đến tính gián đoạn của chúng. a) Mật độ điện tích dài: b) Mật độ điện tích mặt: c) Mật độ điện tích khối: 2. Định luật bảo toàn điện tích: Tổng đại số các điện tích trong một hệ cô lập là không đổi. dl dQ  dS dQ    d dQ  II. Định luật Coulomb: là định luật về tương tác giữa hai điện tích điểm đứng yên. 2 ĐT trái dấu 2 ĐT cùng dấu Độ lớn 1 2 12 122 1 2 21 212 q qF k e r q qF k e r         2 2 9 0 .10.9 4 1 C mNk   )/(, . 10.86,8 2 2 12 0 mFhaymN C 2 21 2112 r qq kFF   q2 F21 F12 F12 F21 M N 12e  21e  II. Điện trường 1.Khái niệm về ĐT: bất kỳ một vật mang điện nào đứng yên cũng tạo ra trong khoảng không gian xung quanh nó một dạng vật chất gọi là trường tĩnh điện hay gọi tắt là điện trường. Một tính chất cơ bản của điện trường là mọi điện tích đặt trong điện trường đều bị điện trường đó tác dụng lực. 2. Vectơ cường độ điện trường a) ĐN: Vectơ CĐĐT tại điểm M trong ĐT là lực tác dụng lên điện tích thử q0 đặt tại M Vectơ CĐĐT là đại lượng đặc trưng cho ĐT về mặt tác dụng lực, đơn vị là V/m hoặc N/C 0q FE  F b) Vectơ CĐĐT gây bởi một điện tích điểm Xác định vectơ CĐĐT do điện tích điểm q gây ra tại điểm M cách nó r. Ta tưởng tượng đặt tại M một điện tích thử q0. Lực tác dụng của điện tích q lên điện tích q0 là: là vectơ đơn vị hướng từ điện tích q đến M Cường độ ĐT: 0 2 2 0 ,r r kqq F kqF e E e r q r         2r qk E   q M q > 0 q < 0 M M E E re  re  c) Vectơ CĐĐT gây bởi hệ điện tích điểm q1 , q2 ,..,qi , .  i iEE d) Trường hợp hệ điện tích phân bố liên tục (vật mang điện) Chia vật mang điện thành các phần tử VCB mang điện tích dq coi như điện tích điểm. Gọi là vectơ CĐĐT gây bởi điện tích dq tại điểm xét là bán kính vectơ hướng từ dq đến điểm xét Vectơ CDĐT do toàn bộ vật gây ra tại điểm xét d E  r r r kdqEd 2  r   VMĐ EdE 4. Ứng dụng NgLýCCĐT a) Điện trường của một Lưỡng cực điện LCĐ là một hệ hai điện tích điểm có độ lớn bằng nhau nhưng trái dấu +q và –q, cách nhau một đoạn l rất nhỏ so với khoảng cách từ LCĐ tới những điểm đang xét của trường. Vectơ mômen lưỡng cực điện được định nghĩa: là vectơ hướng từ -q đến +q và có độ dài bằng l. Tính vectơ cường độ điện trường tại điểm A nằm trên trục LCĐ và điểm B nằm trên đường trung trực của LCĐ cách LC một đoạn r >> l ep ql   l Giải: O +q-q r2r1 r Aα α B   EEE   EEEA Theo NLCCĐT: Tại điểm A, ta có Gọi r là khoảng cách từ A đến tâm O của LC                               22 22 lr q lr qkEA  Vì r >> l/2 nên:                                          22 22 22 22 lrlr lrlr kq  33 22 r kp r qlkE eA   Tại điểm B, ta có r1 = r2 nên: Theo qui tắc tổng hợp vectơ ta thấy song song và ngược chiều với nên: E = E+cosα + E-cosα Trong đó: Vì r >> l nên: Do đó: Vì nên có thể viết: 2 1r kqEE    3 112 cos r kqlE r l    rlrr  4 2 2 1 33 r kp r kqlE e   lE  3r pk E e   E  l  b) Điện trường gây bởi một sợi dây thẳng tích điện đều mật độ điện dài λ > 0 tại điểm cách sợi dây một đoạn là a. Trên sợi dây ta lấy một phần tử chiều dài dy VCB cách chân của đường thẳng góc MH một khoảng bằng y, mang điện tích dq = λdy a H r y M x ( ( 22 r dyk r kdqdE       yx EdEdEdE         sin. cos. dEdEEEdE dEdEEEdE yyyy xxxx α        d a kdEdady atgyar   2cos ; cos 2 1 2 1 1 2 1 2 cos (sin sin ) sin (cos cos ) x y k kE d a a k kE d a a                               * Trường hợp H nằm ngoài đoạn dây: * Trường hợp hai đầu dây dài ra vô cùng: )cos(cossin )sin(sincos 21 12 2 1 2 1                     a kd a kE a kd a kE y x H M 0 2   y x E a kE   c) Điện trường gây bởi một sợi dây thẳng tích điện đều mật độ điện dài λ > 0 tại điểm nằm trên đường kéo dài của sợi dây và cách đầu gần nhất của sợi dây một đoạn là a. Chọn gốc tại M, ta lấy một phần tửVCB dx có tọa độ x bất kỳ mang điện tích dq = λdx xem như điện tích điểm, vectơ CĐĐT do phần tử này gây ra tại M có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn 22 x dxk x kdqdE     x MaL 2 1 1 a L a k dxE d E E dE x kE a a L                    d) Một đoạn dây thẳng tích điện đều với mật độ điên dài λ được uốn thành một cung tròn AB tâm O bán kính R với góc mở .Xác định vectơ CĐĐT tại tâm O của cung 0 Ta lấy một phần tử VCB ds trên cung tròn AB, mang điện tích dq = λds xem như điện tích điểm. Vectơ CĐĐT do phần tử này gây ra tại O có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn Do điện tích phân bố đối xứng qua trục y nên R dk R Rdk R dsk r kdqdE         222   yx EdEdEdE 0 xEd x A α dα R B ds yO Do đó: 0 0 2 2 0 .cos cos 2 sin 2 yy yE E d E E dE kdE d R k R                         e) Một vòng dây tròn bán kính R, mang điện tích Q phân bố đều. Xác định vecto CĐĐT tại điểm M nằm trên trục của vòng dây và cách tâm O một khoảng h. Chọn một phần tử VCB mang điện tích dq trên vòng dây. Vecto CĐĐT do nó gây ra tại điểm M có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn Do điện tích phân bố đối xứng nên nằm trên trục của vòng dây do đó: O R M 2 2( ) kdqdE R h   E d E    E  nE dE  2 2 2 2 .cos ( )n kdq hdE dE R h R h       3 3 2 2 2 22 2( ) ( ) kh khQE dq R h R h        f) Một đĩa mỏng hình tròn tâm O bk R được tích điện đều với mật độ điện mặt σ. Xác định vectơ CĐĐT tại điểm M nằm trên trục đĩa và cách tâm đĩa một đoạn h. Ta tưởng tượng chia đĩa thành những diện tích VCB trong hệ tọa độ cực dS = r drdφ, mang điện tích dq = σdS xem như điện tích điểm. Vectơ CĐĐT do phần tử này gây ra tại M có phương chiều như hình vẽ và có độ lớn Vì điện tích phân bố đối xứng qua trục nên các thành phần thẳng góc với trục sẽ triệt tiêu nhau. Vì vậy vectơ CĐĐT do cả đĩa gây ra tại một điểm nằm trên trục sẽ có phương nằm trên trục. Do đó độ lớn của vectơ CĐĐT tại M : M h dr r O )( 22 rh dSkdE      EdE Ed   2 2 2 2 2 3 2 20 02 2 2 2 2 0 co s ( ) 2 1 1 1 1 2 R k d S hE d E h r h r k h rd r d h r k hE h h R h h h R                                      Nếu đĩa tròn mang điện đều trở thành mặt phẳng vô hạn đều, lúc đó : Vậy vectơ CĐĐT do mặt phẳng vô hạn mang điện đều gây ra tại điểm M trong điện trường có phương thẳng góc với mặt phẳng, chiều phụ thuộc dấu của điện tích và độ lớn không phụ thuộc vị trí của điểm M. Lưu ý: Vì điện tích có thể có giá trị dương hay âm, nên trong trường hợp tổng quát khi tính cường độ điện trường E thì điện tích được lấy trị tuyệt đối. R   02 E III.Định lý Gauss về tĩnh điện (ĐL Ô-G) 1.Đường sức điện truờng: là đường cong mà tiếp tuyến tại mỗi điểm của nó trùng với phương của vectơ CĐĐT tại điểm đó; chiều của đường sức là chiều của vectơ CĐĐT. Người ta qui ước vẽ số đường sức ĐT qua một đơn vị diện tích đặt vuông góc với đường sức bằng CĐĐT E tại nơi đặt diện tích. Tập hợp các đường sức ĐT gọi là phổ đường sức ĐT hay điện phổ. 2.Vectơ cảm ứng điện: Trong môi trường đồng chất và đẳng hướng , vectơ cảm ứng điện được ĐN: Vì CĐĐT tỉ lệ nghịch với hằng số điện môi ε , nên khi đi qua mặt phân cách của hai môi trường, phổ các đường sức ĐT bị gián đoạn ở mặt phân cách của hai môi trường. Còn D không phụ thuộc môi trường nên khi đi qua mặt phân cách của hai môi trường, phổ của đường cảm ứng điện là liên tục. ED  0 3. Thông lượng của vectơ CĐĐT: Thông lượng của vectơ CĐĐT gửi qua diện tích dS vô cùng bé sao cho coi như không đổi trên dS được định nghĩa: là vectơ diện tích hướng theo pháp tuyến của dS và có độ lớn bằng chính diện tích dS. Thông lượng điện trường gửi qua diện tích S: E  SdEd . d S    )()()( cos... SSS dSESdEd  Tương tự thông lượng vectơ điện cảm gửi qua diện tích S: Đối với mặt kín vectơ pháp tuyến đơn vị luôn qui ước hướng ra phía ngoài của mặt.   )()()( cos... SSS dSDSdDd  (S) (dS) E  n  Một mặt diện tích A được đặt trong điện trường đều , tính thông lượng điện đi qua mặt này nếu nó nằm trong: a) Mặt yz b) Mặt xz c) Mặt xy E ai b j     a) b) c) ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) . A A A A EdS EdSi ai bj dSi adS aA               ( ) ( ) ( ) . ( ) . 0 A A A E d S EdSk ai b j dS k             ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) . A A A A E d S EdS j ai b j dS j bdS bA               5. Định lý Gauss trong chân không: là tổng đại số các điện tích chứa trong mặt kín Định lý Gauss trong môi trường: 0( ) 1. i iS E d S q       i i q ( ) . i iS D d S q    Nếu điện tích phân bố liên tục trong mặt kín S với mật độ điện tích khối ρ thì: ; τ là thể tích giới hạn bởi mặt kín S Khi đó ĐL Gauss có thể viết: Các phương trình này gọi là ĐL Gauss trong chân không và môi trường dưới dạng tích phân ( ) i i q Q d      ( ) ( ) 1. o oS QE d S d            ( ) ( ) . S D d S Q d         Theo giải tích vectơ thì: Do đó ta được ĐL Gauss dưới dạng vi phân: Trong hệ tọa độ Descartes: ( ) ( ) ( ) ( ) . . S S E d S divEd D d S divDd                   . . o o divE hay E divD hay D                 yx zEE EdivE x y z          • Chứng minh định lý Gauss 1. Góc khối:góc khối từ O nhìn diện tích dS là đại lượng: r = OM, M là một điểm trên dS, α là góc hợp bởi OM và vectơ đơn vị pháp tuyến của dS là hình chiếu của dS lên mặt phẳng vuông góc với OM . Vậy: 2 cosdSd r    O r α dS dSncos ndS dS  2 ndSd r   Nếu vẽ mặt cầu tâm O bán kính r = 1 và gọi d∑ là phần diện tích mặt cầu nằm trong hình nón đỉnh O tựa trên chu vi của dS thì : Nếu chọn chiều pháp tuyến dương hướng ra ngoài O thì dΩ > 0 : dΩ = + d∑ Nếu chọn chiều pháp tuyến dương hướng vào trong O thì dΩ < 0 : dΩ = - d∑ Đơn vị góc khối là steradian (sr) 2 21 ndSd d d r       Góc khối từ O nhìn diện tích S bất kỳ Giá trị tuyệt đối của Ω chính là phần diện tích mặt cầu tâm O bán kính 1 nằm trong mặt nón đỉnh O tựa trên chu vi của S. Đặc biệt nếu S là mặt kín bao quanh O thì góc khối Ω nhìn từ O có giá trị tuyệt đối là Nếu chọn chiều dương pháp tuyến S hướng ra ngoài mặt S thì Ω = +4π, trong trường hợp ngược lại thì Ω = -4π 2 cos S S dSd r       24 1 4    2. Thông lượng do điện tích q đặt tai O gửi qua diện tích dS Khi q > 0 thì dФ cùng dấu với dΩ, q < 0 thì dФ trái dấu với dΩ nên E  2 0 0 . . .cos .cos 4 4 d E d S E dS q qdS d r             04 qd d    a) Trường hợp mặt kín S bao quanh điện tích q b) Trường hợp q nằm ngoài mặt kín S Dựng mặt nón đỉnh O tiếp xúc với mặt kín S, đường tiếp xúc của mặt nón với S chia S thành hai phần S1 và S2 khi đó: 0 0 0 4 4 4S S q q qd d            1 2 0 0 S S S d d d          Vậy điện thông do một điện tích q gây ra qua mặt kín S có giá trị bằng q nếu q ở trong mặt kín S và bằng 0 nếu q ở ngoài mặt kín S. Trong trường hợp nếu có nhiều điện tích q1 , q2, q3 . theo nguyên lý chồng chất điện trường ta suy ra: điện thông qua mặt kín S bằng tổng điện thông do từng điện tích gây ra qua mặt kín S O S1 S2 6.Ứng dụng ĐL Gauus: ĐL Gauss về tĩnh điện được áp dụng để tính vectơ CĐĐT khi sự phân bố điện tích có tính chất đối xứng và sự đối xứng này đảm bảo cho vectơ CĐĐT có độ lớn không đổi hoặc vuông góc dọc theo những mặt nào đó vẽ tưởng tượng trong ĐT. VD 1: Xác định vectơ CĐĐT do một mặt phẳng vô hạn tích điện đều với mật độ điện mặt σ gây ra. Ta chọn mặt kín S là mặt trụ thẳng tưởng tượng có hai đáy So song song và đối xứng nhau qua mặt phẳng và một trong hai đáy đi qua điểm ta xét. Vì trên mặt xung quanh, hai vectơ và luôn vuông góc với nhau nên: E Sd 0 0( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 12 2 xqS S S S o o o o EdS EdS EdS EdS S ES S E                           VD 2: Xác định vectơ CĐĐT do quả cầu bk R mang điện tích Q phân bố đều gây ra tại một điểm nằm bên ngoài và bên trong quả cầu trong trường hợp: a) điện tích phân bố trên bề mặt. b) điện tích phân bố trong toàn bộ thể tích của quả cầu với mật độ điện tích khối  Do tính chất đối xứng của bài toán, nên vectơ CĐĐT có phương xuyên tâm. Măt khác những điểm cách đếu tâm quả cầu đều hoàn toàn tương đương nhau nên độ lớn của vectơ CĐĐT tại những điểm đó phải bằng nhau. Ta chọn mặt kín S là mặt cầu tưởng tượng tâm O bk r. R 0 0( ) ( ) 2 2 0 0 .4 4 in in S S in in Q QEd S EdS Q QE r E r                   a) Trường hợp: Trường hợp: 2 0 : 4 : 0 0 in in Qr R Q Q E r r R Q E          R b) *Trường hợp r > R *Trường hợp r < R Dưới dạng vecto: 3 2 4 3 4in o QQ Q R E r        R 3 0 4 3 3 inQ r rE        03 rE     • Bên trong một quả cầu đặc, tích điện đều với mật độ điện tích khối ρ có một lỗ rỗng hình cầu. Tâm của lỗ rỗng cách tâm quả cầu một khoảng a. Xác định vectơ cường độ điện trường bên trong lỗ rỗng. • Điện trường tại điểm M trong hốc là điện trường do quả cầu tâm O và tâm O’ gây ra tại M Áp dụng kết quả tính điện trường bên trong quả cầu ở trên ta được Vậy điện trường bên trong hốc là điện trường đều O 1ME E E     1,E E   ' ' 3 3 3 M o o o OM O M OOE             O’ • Xác định điện trường bên trong và bên ngoài hình trụ đặc dài vô hạn bán kính R tích điện đều với mật độ điện tích khối ρ • Do phân bố điện tích đối xứng trụ nên điện trường có phương thẳng góc với trục của trụ. Chọn mặt kín S là mặt trụ bán kính r chiều cao h R r E n n E n R R r E n n E n R Áp dụng định lý Gauss S0 là diện tích đáy, Sxq là diện tích xung quanh của mặt trụ kín S. a) Khi r > R 00 0( ) 2 0 0 .2 2 xq in in S S S in in Q QEd S Ed S Ed S Q QE rh E rh                        2 2 02 in RQ R h E r       b) Khi r < R Hay dưới dạng vecto 2 02 in rQ r h E      02 rE     Bên trong hình trụ đặc dài vô hạn, tích điện đều với mật độ điện tích khối có một lỗ rỗng hình trụ dài vô hạn. Trục của hình trụ và trục của lỗ rỗng song song nhau và cách nhau một khoảng a. Xác định vectơ cường độ điện trường bên trong lỗ rỗng  Điện trường tại điểm M trong hốc. Áp dụng nguyên lý chồng chất ĐT: Vậy điện trường bên trong lỗ rỗng là một điện trường đều 2 11 2 1 ' ' 2 2 2 2 ' o o o o E E E E E E OM O M OO aE a OO                               IV.Điện thế 1.Công của lực tỉnh điện Giả sử ta dịch chuyển một điện tích điểm qo trong điện trường của điện tích điểm q. Công của lực tỉnh điện trong chuyển dời vô cùng nhỏ bằng: 2 1 0 0 0 3 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 0 2 . . . . 4 4 4 4 4 r r dA F dr q E dr q qqq r dr dr r r q q q q q qA dA dr r r r                          • Chứng tỏ công của lực tỉnh điện trong sự dịch chuyển điện tích qo trong điện trường của điện tích điểm q không phụ thuộc vào dạng của đường cong dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của chuyển dời. • Nếu ta dịch chuyển điện tích qo trong điện trường của hệ điện tích điểm thì: 1 1 0 0 1 10 0 . . . (1) 4 4 N N Nn n M N i i i iM M M n n i i i iiM iN A F d r F d r F d r q q q q r r                           • Trong trường hợp tổng quát, nếu ta dịch chuyển điện tích qo trong một trường tỉnh điện bất kỳ thì ta có thể coi trường tĩnh điện này như gây ra bởi một hệ vô số điện tích điểm. Vậy: • Công của lực tỉnh điện trong sự dịch chuyển điện tích qo trong một điện trườngbất kỳ không phụ thuộc vào dạng của đường cong dịch chuyển mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của chuyển dời. 2.Tính chất thế của trường tỉnh điện Theo kết quả trên, nếu ta dịch chuyển qo theo một đường cong kín bất kỳ thì công của lực tĩnh điện trong dịch chuyển đó sẽ bằng không. Vậy trường tỉnh điện là một trường thế. Vậy : “Lưu số của vectơ CĐĐT(tỉnh)dọc theo một đường cong kín bằng không” . 0 . 0oA q E ds E ds           Theo định lý Stockes thì: Trong đó S là mặt giới hạn bởi đường cong kín nên Phương trình này biểu diễn tính chất thế của TTĐ nhưng dưới dạng vi phân.   )( .. S SdErotdsE 0 0 rotE E      2.Thế năng của một điện tích trong điện trường Vì trường tĩnh điện là trường thế, nên công của lực tỉnh điện trong sự dịch chuyển một điện tích qo trong điện trường bằng độ giảm thế năng W của điện tích đó trong điện trường AMN = WM - WN WM - WN là độ giảm thế năng của điện tích điểm qo trong sự dịch chuyển điện tích đó từ M đến N trong điện trường. So sánh biểu thức trên với biểu thức (1) ta suy ra biểu thức thế năng của điện tích điểm q0 đặt trong điện trường của điện tích điểm q và cách điện tích này một đoạn r là: C là một hằng số tùy ý, W còn được gọi là thế năng tương tác của hệ điện tích qo , q. Nếu qui ước thế năng của điện tích qo khi nó cách xa q vô cùng bằng 0 thì C = 0 khi đó: C r qqW   0 0 4 r qqW  0 0 4  Tương tự : • Thế năng của điện tích qo trong điện trường của hệ điện tích điểm là: • Thế năng của điện tích qo trong điện trường bất kỳ là:    n i i i r qq W 1 0 0 4  0 .M M M W A q E ds       4.Điện thế a) ĐN : Điện thế tại một điểm đang xét trong điện trường được định nghĩa: W là thế năng của điện tích qo tại điểm đang xét b) Từ định nghĩa của điện thế ta suy ra: * Điện thế của điện trường gây bởi một điện tích điểm q tại điểm cách nó một khoảng r là: Nếu qui ước oq WV  04 qV C r    0 0 kqV khi r C V r       * Điện thế của điện trường gây bởi một hệ điện tích điểm q1, q2,.qn tại một điểm nào đó trong điện trường là: ri là khoảng cách từ điểm xét đến qi * Điện thế gây bởi hệ điện tích phân bố liên tục ( vật mang điện) r là khoảng cách từ phần tử điện tích vô cùng nhỏ dq đến điểm xét 1 104 . n n i i i ii qV V r        VMĐVMĐ r kdqdVV  * Điện thế tại điểm M trong điện trường bất kỳ là: Ta có thể tính công qua hiệu điện thế AMN = WM - WN = qo (VM – VN)    M M dsEV . 5) Năng lượng của LCĐ trong điện trường ngoài: Giả sử LCĐ được đặt trong điện trường ngoài đều. Khi đó các điện tích của LCĐ bị điện trường ngoài tác dụng các lực cùng phương ngược chiều và có độ lớn bằng qE tạo thành một ngẫu lực. Nếu momen của LCĐ hợp với một góc α thì momen của ngẫu lực tác dụng lên LCĐ có độ bằng : µ = qlEsinα + _ α 1F 2F lqp  E Công của lực điện trường khi quay LCĐ góc dα dA = -µdα = - qlEsinαdα = -pEsinαdα Công của lực ĐT khi quay LCĐ từ góc α đến α = 0 Mà theo phương trình ĐN hiệu thế năng: A = W(α) – W(0) Vậy thế năng của LCĐ trong điện trường ngoài là: )0cos(coscos0cos sin 0 pEpEpEpE dpEdAA        EppEW .cos)(   V. Mặt đẳng thế 1.ĐN: Mặt đẳng thế là quỹ tích những điểm có cùng điện thế. 2.Tính chất: a) Công của lực tĩnh điện trong sự dịch chuyển một điện tích qo trên một mặt đẳng thế bằng không. b) Vectơ CĐĐT tại một điểm trên mặt đẳng thế vuông góc với mặt đẳng thế tại điểm đó VI. Liên hệ giữa vectơ CĐĐT và điện thế 1. Hệ thức giữa vectơ CĐĐT và điện thế Theo phương trình ĐNHTN: . . . .cos MN M N o o o s s A W W dA dW F d s q dV q E d s q dV E ds dV dVE ds dV E ds                         Từ biểu thức trên ta suy ra hình chiếu Ex, Ey, Ez của vectơ CĐĐT trên ba trục tọa độ Descartes là: Do đó: Hay: z VE y VE x VE zyx          ;; x y z V V VE iE jE kE i j k dx dy dz                     VgradE  Theo trên ta có: nên max khi cùng phương với mà thẳng góc với mặt đẳng thế nên : Lân cận một điểm trong điện trường, điện thế biến thiên nhiều nhất theo phương pháp tuyến với mặt đẳng thế. * Theo trên Nếu cosEdsdV  dV EdsE . . . B A V B B A B V A A dV E d s dV E d s V V E d s                .A BE const V V E AB       1) Một đoạn dây thẳng dài L, tích điện đều mật độ điện dài . Tính điện thế tại điểm M nằm trên đường kéo dài của đoạn dây và cách đầu gần nhất một đoạn a.  x dx ln a L a k dx k a LV x a         2) Một cung tròn AB bán kính R mang điện tích Q phân bố đều, AÔB = α0 . Tính điện thế tại tâm O của cung. 0 0k R kkdq kQV R R R           3) Một vòng dây tròn bán kính R mang điện tích Q phân bố đều. Tính điện thế tại điểm M nằm trên trục vòng dây và cách tâm của nó một đoạn h 2 2 kdq kQV r R h      4) Tính điện thế bên trong và bên ngoài quả cầu tâm O, bán kính R mang điện tích Q phân bố đều trong trường hợp : a) Điện tích chỉ phân bố trên bề mặt. b) Điện tích phân bố trong toàn bộ thể tích của quả cầu với mật độ điện tích khối . a) r < R Điện trường bên trong quả cầu bằng không nên điện thế tại mọi điểm bên trong quả cầu đều bằng nhau do đó: r > R o kdq kQV V R R    2 0 2 r V r dV kQE E dV Edr dr dr r dr kQdV kQ V r r                b) r > R r < R 2 0 2 r V r dV kQE E dV Edr dr dr r dr kQdV kQ V r r                2 2 0 0 3 6 6 R r V R R r oV r r R r dV rE E dV Edr dr dr r RV V                      Mà: 3 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 4 4 3 3 3 6 6 6 2 R o o r o r kQ R RV R R R r RV r RV                         