Ứng dụng phương pháp tính ngược từ cuối để giải toán vui và toán cổ ở tiểu học

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGƯỢC TỪ CUỐI ĐỂ GIẢI TOÁN VUI VÀ TOÁN CỔ Ở TIỂU HỌC Phương pháp tính ngược từ cuối được dùng để giải nhiều bài toán vui và toán cổ ở tiểu học. Sử dụng phương pháp tính ngược từ cuối giúp ta trình bày lời giải một cách ngắn gọn, chặt chẽ và tường minh. Dưới đây ta xét một số ví dụ minh họa. Ví dụ: Một viên quan mang lễ vật đến dâng vua và được vua ban thưởng cho một quả cam trong vườn thượng uyển, nhưng phải tự vào vườn hái. Đường vào vườn thượng uyển phải qua ba cổng có lính canh. Viên quan đến cổng thứ nhất, người lính canh giao hẹn: “Ta cho ông vào nhưng lúc ra ông phải biếu ta một nửa số cam, thêm nửa quả”. Qua cổng thứ hai rồi thứ ba lính canh cũng đều giao hẹn như vậy. Hỏi để có một quả cam mang về thì viên quan đó phải hái bao nhiêu cam trong vườn? Giải: Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ hai (cổng giữa) là: Số cam viên quan còn lại sau khi cho lính gác cổng thứ ba (cổng trong cùng) là: Số cam viên quan phải hái trong vườn là: Vậy để có được một quả cam mang về thì viên quan phải hái 15 quả trong vườn. Đáp số: 15 quả cam Ví dụ 2: Có một giống bèo cứ mỗi ngày lại nở tăng gấp đôi. Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ một cây bèo thì 10 ngày sau bèo lan phủ kín mặt hồ. Vậy nếu ban đầu cho vào 16 cây bèo thì mấy ngày sau bèo phủ kín mặt hồ? Giải: Ta có bảng sau biểu diễn số cây bèo trên mặt hồ: Nhìn vào bảng trên ta thấy: Nếu ngày đầu cho vào mặt hồ 16 cây bèo thì 6 ngày sau bèo sẽ lan phủ kín mặt hồ. Các bạn thử giải bài toán sau bằng phương pháp tính ngược từ cuối. Một người qua đường hỏi ông lão chăn vịt: “Đàn vịt của ông có bao nhiêu con?”. Ông lão trả lời: - Một nửa số vịt của tôi thêm một nửa con nữa đang tắm mát ở dưới sông. - Ba phần tư số vịt còn lại thêm một phần tư con nữa đang kiếm ăn ở dưới hồ. - Bốn phần năm số vịt còn lại thêm một phần năm con nữa đang nằm nghỉ ở trên bờ. - Cuối cùng còn hai đôi vịt què tôi đang nhốt ở trong lồng kia! Hỏi đàn vịt của ông lão có bao nhiêu con? PHÁT TRIỂN TỪ MỘT BÀI TOÁN CƠ BẢN Trong chương trình toán lớp 4 các em đã được học về dạng toán trung bình cộng, một dạng toán rất điển hình và cũng rất lí thú nếu chúng ta biết khai thác sâu hơn. Sau đây là một hướng khai thác từ một bài toán cơ bản nhất : Bài toán 1 : Lớp 4A trồng được 21 cây ; lớp 4B trồng được 22 cây ; lớp 4C trồng được 29 cây. Lớp 4D trồng được số cây bằng trung bình cộng số cây trồng được của ba lớp kia. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây ? Giải : Lớp 4D trồng được số cây là : (21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cây) Đáp số : 24 cây Bài toán 2 : Lớp 4A trồng được 21 cây ; lớp 4B trồng được 22 cây ; lớp 4C trồng được 29 cây ;lớp 4D trồng được số cây bằng trung bình cộng số cây của cả 4 lớp. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây ? Phân tích : Bài toán này cho số cây của lớp 4D không phải bằng trung bình cộng số cây của ba lớp kia như ở bài toán 1 mà số cây của lớp 4D bằng trung bình cộng số cây của cả bốn lớp. Ta dễ thấy tổng số cây của cả 4 lớp chia làm 4 phần bằng nhau thì số cây của lớp 4D là một phần và tổng số cây của cả ba lớp kia là 3 phần. Như thế trung bình cộng số cây của cả 4 lớp chính bằng trung bình cộng số cây của 3 lớp còn lại. Bài toán giải giống như bài toán 1. Giải : Theo bài ra ta có sơ đồ sau : Nhìn vào sơ đồ ta có : Lớp 4D trồng được số cây là : (21 + 22 + 29) : 3 = 24 (cây) Đáp số : 24 cây Nhận xét : Một trong các số đã cho lại bằng trung bình cộng của các số còn lại thì số đó chính bằng trung bình cộng của tất cả các số đã cho. Bài toán 3 : Lớp 4A trồng được 21 cây ; lớp 4B trồng được 22 cây ; lớp 4C trồng được 29 cây ; lớp 4D trồng được số cây hơn trung bình cộng số cây của cả 4 lớp là 3 cây. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây ? Phân tích : Bài toán này cho số cây của lớp 4D không những bằng trung bình cộng số cây của c 4 lớp mà còn hơn trung bình cộng số cây của bốn lớp là 3 cây. Dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng ta có : Tổng số cây của 3 lớp 4A ; 4B ; 4C và thêm 3 cây nữa sẽ là 3 lần trung bình cộng số cây của cả 4 lớp. Từ đó ta tìm được số cây của lớp 4D. Giải : Theo bài ra ta có sơ đồ: Nhìn vào sơ đồ ta có trung bình cộng số cây của cả 4 lớp là : (21 + 22 + 29 + 3) : 3 = 25 (cây) Số cây của lớp 4D trồng được là : 25 + 3 = 28 (cây) Nhận xét : Nếu có 3 số a ; b ; c và số chưa biết x mà x lớn hơn trung bình cộng của cả 4 số a ; b ; c ; x là n đơn vị thì trung bình cộng của cả bốn số là: (a + b + c + n) : 3 hay (a + b + c + x) : 4 = (a + b + c + n) : 3 Với cách khai thác ấy các em hãy giải bài toán sau và rút ra nhận xét xem nhé : Lớp 4A trồng được 21 cây ; lớp 4B trồng được 22 cây ; lớp 4C trồng được 29 cây. Lớp 4D trồng được số cây kém trung bình cộng số cây của cả 4 lớp là 3 cây. Hỏi lớp 4D trồng được bao nhiêu cây ?