Ứng dụng matlab giải mạch điện tuyến tính ở chế độ xác lập

øng dông matlab gi¶i m¹ch ®iÖn tuyÕn tÝnh ë chÕ ®é x¸c lËp Application of Matlab in solving linear electric circuit in the defining mode NguyÔn ThÞ Hiªn1, Ng« ThÞ TuyÕn1 SUMMARY The application of Matlab (Matrix - Laboratory) helps students as well as electric technical staff solve electric problems quickly, accurately; especially for electric circuit which has a large number of nodes and branches. The use of matrix to illustrate basic system of equations: Branch currents, round currents, potential nots... are important basis for analysing Matlab - used electric circuit by computers. Based on research into theory of algebraic matrix, circuit structure and application of Matlab software, we have established algorithm and programming software to solve electric circuit problems, using basic methods: branch current, round current, potential node. The program try run successfully and produced results similar to those of manual calculation, while saved a lot of time. We hope this article will help many people, especially Electric Engineering students to solve electric problems quickly and effectively. Key words: Branch circuits, round circuits, potential nodes, matrix. 1. §ÆT VÊN §Ò1 Lý thuyÕt m¹ch ®iÖn lµ mét m«n häc rÊt quan träng, lµ c¬ së ®Ó nghiªn cøu c¸c m«n c¬ së kh¸c vµ c¸c m«n chuyªn m«n cña ngµnh Kü thuËt ®iÖn. Víi sè l−îng bµi tËp lín, khèi l−îng tÝnh to¸n nhiÒu, vµ nhÊt lµ ph©n tÝch m¹ch ®iÖn phøc t¹p cã nhiÒu nót, nh¸nh, nªn khi gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ vµ kiÓm tra kÕt qu¶ tÝnh, sinh viªn sÏ ph¶i tèn nhiÒu c«ng søc vµ dÔ nhÇm lÉn. Tr−íc kia, sinh viªn ngµnh Kü thuËt ®iÖn th−êng dïng c¸c c«ng cô hç trî thñ c«ng: th−íc tÝnh Logarit, sau n÷a lµ m¸y tÝnh bá tói. Ngµy nay, tin häc vµ m¸y tÝnh ®iÖn tö ®· trë thµnh c«ng cô ®¾c lùc gióp sinh viªn gi¶i quyÕt nhanh vµ thuËn lîi c¸c bµi to¸n kü thuËt. Tuy nhiªn, víi c¸c ng«n ng÷ lËp tr×nh: 1 Khoa C¬ §iÖn, §¹i häc N«ng nghiÖp I. Pascal, C, ..., viÖc ph©n tÝch m¹ch th−êng chØ dõng l¹i ë c¸c bµi to¸n m¹ch ®iÖn tuyÕn tÝnh cã th«ng sè thùc, ®iÒu nµy lµm mÊt ®i tÝnh tæng qu¸t cña bµi to¸n. H¬n n÷a, ®ßi hái ng−êi sö dông b¾t buéc ph¶i cã kiÕn thøc vÒ lËp tr×nh. Sù ra ®êi cña phÇn mÒm øng dông Matlab ®· më ra nhiÒu triÓn väng trong viÖc gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n kü thuËt. Víi cÊu tróc ng¾n gän, gÇn víi t− duy to¸n häc vµ ®Æc biÖt xö lý dÔ dµng ®èi víi sè phøc, phÇn mÒm nµy lµ c«ng cô m¹nh ®Ó gi¶i quyÕt nhanh vµ chÝnh x¸c c¸c bµi to¸n ph©n tÝch m¹ch ®iÖn. 2. PH¦¥NG PH¸P NGHI£N CøU Tõ nh÷ng nghiªn cøu lý thuyÕt vÒ ®¹i sè ma trËn, cÊu tróc graph øng dông trong lý thuyÕt m¹ch ®iÖn kÕt hîp víi khai th¸c c¸c tiÖn Ých cña phÇn mÒm Matlab, chóng t«i x©y T¹p chÝ KHKT N«ng nghiÖp 2007: TËp V, Sè 2: 80-86 §¹i häc N«ng nghiÖp I dùng thuËt to¸n vµ lËp tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n m¹ch ®iÖn b»ng c¸c ph−¬ng ph¸p c¬ b¶n: Ph−¬ng ph¸p dßng nh¸nh, Ph−¬ng ph¸p dßng vßng vµ ®iÖn thÕ ®iÓm nót. 3. KÕT QU¶ NGHI£N CøU Bµi to¸n ®Æt ra: biÕt s¬ ®å cÊu tróc cña m¹ch (gåm m nh¸nh, n nót), biÕt th«ng sè c¸c phÇn tö, yªu cÇu x¸c ®Þnh dßng ®iÖn (®iÖn ¸p) sinh ra trong c¸c nh¸nh, tõ ®ã cã thÓ kiÓm tra c©n b»ng c«ng suÊt. 3.1. ThiÕt lËp c¸c ma trËn m« t¶ cÊu tróc m¹ch ®iÖn a) Ma trËn nh¸nh - nót Ma trËn nh¸nh - nót A cã sè hµng lµ sè nh¸nh, sè cét lµ sè nót ®éc lËp cña m¹ch ®iÖn Aij = 1 khi j lµ nót ®Çu cña nh¸nh i; Aij = -1 khi j lµ nót cuèi cña nh¸nh i; Aij = 0 trong c¸c tr−êng hîp kh¸c. b) Ma trËn nh¸nh -vßng] Ma trËn nh¸nh - vßng C cã sè hµng lµ sè nh¸nh, sè cét lµ sè vßng ®éc lËp cña m¹ch ®iÖn. Cij = 1 khi nh¸nh i cïng chiÒu vßng j Cij = -1 khi nh¸nh i ng−îc chiÒu vßng j Cij = 0 trong tr−êng hîp nh¸nh i kh«ng thuéc vßng j VÝ dô: Cho graph gåm 6 nh¸nh, 4 nót nh− h×nh 1: 1 2 3 4 5 6 I II III 3 2 1 0 H×nh 1. VÝ dô vÒ mét graph Ta cã thÓ x©y dùng ®−îc c¸c ma trËn cÊu tróc cña m¹ch ®iÖn trªn nh− sau: Nót Vßng A=                     − − − − − − 101 110 011 100 010 001 Nh¸nh; C =                     −− − −− 100 110 101 010 011 001 Nh¸nh Ma trËn A, C cho biÕt cÊu tróc cña graph: C¸c phÇn tö trªn mét hµng cña A cho biÕt nh¸nh ®ã nèi gi÷a c¸c ®iÓm nµo víi nhau, vÝ dô, hµng 2: nh¸nh 2 nèi nót c¬ së víi nót 2, trong m¹ch ®iÖn nã chØ râ chiÒu d−¬ng cña dßng ®iÖn trªn nh¸nh Êy ®ång thêi còng cho biÕt ®iÖn ¸p trªn nh¸nh b»ng hiÖu sè thÕ cña cÆp nót nµo (vÝ dô u2 = -ϕ2). C¸c phÇn tö trªn mét cét cña mét nót chØ râ t¹i nót ®ã cã nh÷ng nh¸nh nµo ®i ra khái øng dông Matlab gi¶i m¹ch ®iÖn tuyÕn tÝnh ë chÕ ®é x¸c lËp nót (gi¸ trÞ 1) vµ nh¸nh nµo ®i vµo nót (gi¸ trÞ -1). §èi víi ma trËn C, c¸c phÇn tö trªn mçi hµng chØ râ nh¸nh ®ã cã tham gia vµo vßng kh«ng, thuËn chiÒu hay ng−îc chiÒu vßng. Cßn c¸c phÇn tö trªn mét cét chØ râ vßng ®ã gåm nh÷ng nh¸nh nµo, cïng chiÒu hay ng−îc chiÒu vßng. 3.2. BiÓu diÔn c¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh c¬ b¶n b»ng ma trËn 3.2.1. Ph−¬ng ph¸p dßng nh¸nh HÖ ph−¬ng tr×nh dßng nh¸nh lµ hÖ ph−¬ng tr×nh viÕt theo ®Þnh luËt Kiªch«p I vµ II ( NguyÔn B×nh Thµnh & cs, 1972):     = = ∑ ∑ ∑ kkk k EIZ 0I && & (3-1a) kI& , Zk, kE& - Dßng ®iÖn, tæng trë, søc ®iÖn ®éng trªn c¸c nh¸nh. NÕu gäi nhI& - ma trËn cét, biÓu diÔn dßng ®iÖn trªn c¸c nh¸nh; nhU& - ma trËn cét, biÓu diÔn ®iÖn ¸p trªn c¸c nh¸nh; Znh - ma trËn vu«ng kÝch th−íc m x m, c¸c phÇn tö trªn ®−êng chÐo chÝnh lµ tæng trë riªng c¸c nh¸nh, Zij lµ tæng trë t−¬ng hç gi÷a nh¸nh i vµ nh¸nh j; nutJ& - ma trËn cét, biÓu diÔn nguån dßng (phô t¶i) ë c¸c nót (®éc lËp), lÊy dÊu (+) khi ®i vµo nót, nguîc l¹i lÊy dÊu (-); nhE& - ma trËn cét c¸c søc ®iÖn ®éng trªn c¸c nh¸nh, lÊy dÊu (+) khi cïng chiÒu c¸c dßng nh¸nh, nguîc l¹i lÊy dÊu (-) Th× cã thÓ viÕt hÖ (3-1a) d−íi d¹ng ma trËn:     = = nhE.TCnhI.nh.ZTC nutJnhITA && && (3-1b) Trong ®ã: AT, CT - C¸c ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A, C. §Æt: D =         nh.ZTC TA (3-1c) G =         nhE.TC nutJ & & (3-1d) Khi ®ã: D. nhI& = G (3-1e) Hay: nhI& = D-1.G (3-2) D-1 - Ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn D. 3.2.2. Ph−¬ng ph¸p dßng vßng HÖ ph−¬ng tr×nh dßng vßng tæng qu¸t, [2]:          =+++ =+++ =+++ ∑ ∑ ∑ p kVppp2V2p1V1p 2 kVpp22V221V21 1 kVpp12V121V11 EI.Z....I.ZI.Z ......... EI.Z....I.ZI.Z EI.Z....I.ZI.Z &&&& &&&& &&&& (3-3a) D¹ng ma trËn:               =                             Vp 2V 1V Vp 2V 1V pp2p1p p22221 p11211 E ... E E I ... I I . Z...ZZ ...... Z...ZZ Z...ZZ & & & & & & (3-3b) Hay viÕt gän l¹i: ZV. VI& = VE& (3-3c) Trong ®ã: NguyÔn ThÞ Hiªn, Ng« ThÞ TuyÕn ZV =               pp2p1p p22221 p11211 Z...ZZ ...... Z...ZZ Z...ZZ - ma trËn tæng trë vßng, [2], cã thÓ tÝnh theo ma trËn tæng trë nh¸nh: Zv = CT.Znh.C VI& - ma trËn cét dßng ®iÖn vßng VE& - ma trËn søc ®iÖn ®éng vßng, VE& = CT nhE& Tr−êng hîp cã nguån dßng nhJ& trong c¸c nh¸nh: VE& = CT. ( nhE& - Znh. nhJ& ) (3-3d) Khi ®ã: VI& = ZV-1. VE& (3-4) Dßng ®iÖn nh¸nh: nhI& = C. VI& + nhJ& (3-5) §iÖn ¸p nh¸nh: nhU& = Znh. nhI& - nhE& (3-6) 3.2.3. Ph−¬ng ph¸p thÕ nót HÖ ph−¬ng tr×nh thÕ nót tæng qu¸t, [2]:          +=+−−− +=−−+− +=−−− ∑∑ ∑∑ ∑∑ − −−−−− −− −− p kk 1n k1n1n,1n222n111n 2 kk 2 k1n1n2222121 1 kk 1 k1n1n1212111 YEJ.Y.....Y.Y ......... YEJ.Y.....Y.Y YEJ.Y....Y.Y &&&&& &&&&& &&&&& ϕϕϕ ϕϕϕ ϕϕϕ (3-7a) Dïng ma trËn:             =                           −− −− −− − −−−− − − 1n 2n 1n 3 2 1 1n,1n12n11n 1n22221 1n11211 J ... J J ... . Y...YY ...... Y...ZY Y...YY ϕ ϕ ϕ & & & (3-7b) Hay: Ynut. ϕ& = dnutJ& (3-7c) Trong ®ã: Ynãt - ma trËn tæng dÉn nót, cã thÓ x¸c ®Þnh theo ma trËn tæng trë nh¸nh Ynãt= AT.Znh -1.A= AT.Ynh.A dnutJ& - Ma trËn nguån dßng t¹i c¸c nót dnutJ& = nutJ& - AT.Ynh. nhE& (3-7d) Tõ (3-7c), suy ra: ϕ& = Ynut-1. dnutJ& (3-8) Ma trËn dßng ®iÖn nh¸nh: nhI& = Ynh. ( nhU& + nhE& ) (3-9) Ma trËn ®iÖn ¸p nh¸nh: nhU& = A. ϕ& (3-10) øng dông Matlab gi¶i m¹ch ®iÖn tuyÕn tÝnh ë chÕ ®é x¸c lËp Tõ ®iÖn ¸p vµ dßng ®iÖn nh¸nh, tÝnh ®−îc c«ng suÊt nh¸nh (tõ ®ã cã thÓ kiÓm tra ®iÒu kiÖn c©n b»ng c«ng suÊt): Snh = Unh.conj (Inh) (3-11) Víi: conj (Inh) lµ ma trËn liªn hîp phøc cña ma trËn dßng nh¸nh. 3.3. LËp tr×nh gi¶i m¹ch ®iÖn b»ng Matlab Matlab - ch÷ viÕt t¾t cña Matrix Laboratory - th− viÖn ma trËn, lµ mét phÇn mÒm øng dông, dïng cho c¸c tÝnh to¸n dùa trªn c¬ së d÷ liÖu vÒ ma trËn (NguyÔn Hoµi S¬n & cs, 2000). Víi hµng lo¹t c¸c hµm to¸n häc ®· ®−îc x¸c ®Þnh tr−íc, Matlab cho phÐp lËp ch−¬ng tr×nh b»ng c¸c lÖnh ®¬n gi¶n, ng¾n gän, cÊu tróc gÇn víi t− duy to¸n häc. Ch−¬ng tr×nh cã thÓ lËp tr×nh trªn cöa sæ Command Window hoÆc l−u d−íi d¹ng c¸c file trong cöa sæ so¹n th¶o (m-file) cho c¸c lÇn sö dông sau. a) S¬ ®å thuËt to¸n S¬ ®å khèi m« t¶ thuËt to¸n ®−îc cho ë H×nh 2. Ph−¬ng ph¸p thÕ nót Ph−¬ng ph¸p dßng vßng Ph−¬ng ph¸p dßng nh¸nh BEGIN NhËp sè liÖu bµi to¸n NhËp c¸c ma trËn cÊu tróc D=[A’;C’*Znh] G=[Jnut;C’*Enh] Inh=D\G Unh=Znh*Inh-Enh Snh=Unh.*conj (Inh) END Jdnut=Jnut-A'*Ynh*Enh Ynh=inv (Znh) Vnut=Ynut\Jdnut Unh=A*Vnut Inh=Ynh* (Unh+Enh) Ynut=A’*Ynh*A; Zv=C’*Znh*C; Ev=C’* (Enh-Znh*Jnh) Iv = Zv\Ev Inh=C*Iv + Jnh NguyÔn ThÞ Hiªn, Ng« ThÞ TuyÕn H×nh 2. S¬ ®å khèi m« t¶ thuËt to¸n cña bµi to¸n ph©n tÝch m¹ch ®iÖn b) ¸p dông Cho s¬ ®å nh− h×nh 3, biÕt: R1 = 10 Ω; X1 = 10 Ω; R2 = 5 Ω ; X2 = 5 Ω; R3 = 30 Ω ; X3 = 40 Ω; hç c¶m gi÷a c¸c nh¸nh X13 = 20Ω; X23 = 10Ω, søc ®iÖn ®éng 1E&= 100 V; 2E& = 100∠pi/6 V; J&= 2∠pi/3 A. H·y tÝnh dßng ®iÖn trong c¸c nh¸nh b»ng c¸c ph−¬ng ph¸p dßng nh¸nh, dßng vßng, thÕ nót. Sè liÖu ®Çu vµo cña bµi to¸n lµ tæng trë, nguån søc ®iÖn ®éng c¸c nh¸nh, nguån dßng b¬m vµo c¸c nót (nÕu cã), trªn c¬ së ®ã cã thÓ lËp c¸c ma trËn tæng trë nh¸nh, søc ®iÖn ®éng nh¸nh, c¸c ma trËn cÊu tróc... Bµi to¸n cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p dßng nh¸nh, ph−¬ng ph¸p dßng vßng hoÆc ph−¬ng ph¸p ®iÖn thÕ nót. §Ó gi¶i bµi to¸n, ta viÕt c¸c lÖnh sau trªn MATLAB command window hoÆc trong cöa sæ so¹n th¶o (m-file): 1 0 R 2 R3 R1 J E2 jX1 jX 2 jX3 * * * jX13 jX23 E 1 H×nh 3. S¬ ®å m¹ch ®iÖn Clc %Nhap so liªu bai toan Z1=10 + j*10; Z2=5 + j*5; Z3=30 + j*40; E1= 100; E2= 100*exp (j*pi/6); J= 2*exp (j*pi/3); %Lap cac ma tran Enh=[E1;E2;0]; Jnut=[J]; Znh (1,1)=Z1; Znh (2,2)=Z2; Znh (3,3)=Z3; Znh (1,2)=0; Znh (2,1)=Znh (1,2); Znh (1,3)=-j*20; Znh (3,1)=Znh (1,3); Znh (2,3)=-j*10; Znh (3,2)=Znh (2,3); A = [-1;-1;1]; C=[1 0;0 1;1 1]; +%Giai bai toan bang phuong phap dong nhanh disp ('1.Phuong phap dong nhanh'); D=[A';C'*Znh]; G=[Jnut;C'*Enh]; Inh=D\G Unh=Znh*Inh-Enh Snh=Unh.*conj (Inh) %Giai bai toan bang phuong phap dong vong disp ('2.Phuong phap dong vong'); Jnh=[0;0;J]; Zv=C'*Znh*C; Ev=C'* (Enh-Znh*Jnh); Iv = Zv\Ev Inh=C*Iv + Jnh Unh=Znh*Inh-Enh Snh=Unh.*conj (Inh) % Giai bai toan bang phuong phap the nut disp ('3.Phuong phap the nut'); Ynh=inv (Znh); Ynut=A'*Ynh*A; Jdnut=Jnut-A'*Ynh*Enh; øng dông Matlab gi¶i m¹ch ®iÖn tuyÕn tÝnh ë chÕ ®é x¸c lËp Vnut=Ynut\Jdnut Unh=A*Vnut Inh=Ynh* (Unh+Enh) Snh=Unh.*conj (Inh) Trªn mµn h×nh MATLAB command window sÏ xuÊt hiÖn lÇn luît: 1. Phuong phap dong nhanh Inh = 0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Unh = -85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Snh = 1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i 2.Phuong phap dong vong Iv = 0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i Inh = 0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Unh = -85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Snh = 1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i 3.Phuong phap the nut Vnut = 85.0321 +78.4440i Unh = -85.0321 -78.4440i -85.0321 -78.4440i 85.0321 +78.4440i Inh = 0.9309 - 2.0788i 1.4173 - 0.4097i 3.3482 - 0.7565i Snh = 1.0e+002 * 0.8392 - 2.4979i -0.8838 - 1.4602i 2.2537 + 3.2697i 4. KÕT LUËN CÊu tróc cña m¹ch ®iÖn bÊt kú cã m nh¸nh, n nót ®Òu cã thÓ ®−îc m« t¶ bëi ma trËn nót - nh¸nh A vµ ma trËn nh¸nh - vßng C, nh− vËy ta cã thÓ gi¶i bµi to¸n Lý thuyÕt m¹ch mét c¸ch ®¬n gi¶n vµ dÔ dµng b»ng c¸ch gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh c¸c ma trËn. LËp tr×nh b»ng Matlab cã cÊu tróc ®¬n gi¶n, ng¾n gän, thuËn tiÖn cho ng−êi sö dông. Bµi to¸n cho kÕt qu¶ nhanh, chÝnh x¸c, cã thÓ tÝnh víi sè phøc mét c¸ch dÔ dµng, ®©y lµ −u ®iÓm næi bËt cña Matlab so víi c¸c ng«n ng÷ lËp tr×nh kh¸c. Ch−¬ng tr×nh viÕt kh«ng thiªn vÒ lËp tr×nh tin häc, gÇn gòi víi lý thuyÕt cña m«n häc, gióp sinh viªn cñng cè kiÕn thøc m«n häc ®ång thêi cã ®iÒu kiÖn kiÓm tra kü n¨ng tÝnh to¸n cña b¶n th©n. Tµi liÖu tham kh¶o NguyÔn Hoµi S¬n vµ céng sù (2000), øng dông Matlab trong tÝnh to¸n kü thuËt. NXB §¹i häc quèc gia TP Hå ChÝ Minh. NguyÔn B×nh Thµnh vµ céng sù (1972), C¬ së lý thuyÕt m¹ch, quyÓn 1. NXB §¹i häc NguyÔn ThÞ Hiªn, Ng« ThÞ TuyÕn vµ Trung häc chuyªn nghiÖp, Hµ Néi, tr 25- 30, 99-108. øng dông Matlab gi¶i m¹ch ®iÖn tuyÕn tÝnh ë chÕ ®é x¸c lËp