Ứng dụng biến đổi z phân tích hệ xử lý số

hệ xử lý số TTBBNQ có hàm hệ thống : Giải : Để sử dụng tiêu chuẩn Jury, xét phương trình đặc trưng theo dạng [2.4-18] , với a0 = 1 : Vì D(z) có bậc N = 4 là số chẵn, nên bảng Jury có ba hàng với các phần tử là ai , ci , di , trong đó các phần tử ai là hệ số của D(z) : ; ; ; ; Tính các phần tử của hàng thứ hai c0 , c1 , c2 , c3 : Tính các phần tử của hàng thứ ba d0 , d1 , d2 : Xét các điều kiện của tiêu chuẩn ổn định Jury : 1. ; thỏa mãn. 2. ; thỏa mãn. 3.; thỏa mãn. ; thỏa mãn. ; thoả mãn. Hệ xử lý số TTBBNQ đã cho thỏa mãn tiêu chuẩn Jury nên ổn định. Để xét tính ổn định của hệ xử lý số, ngoài tiêu chuẩn ổn định , còn có các tiêu chuẩn khác nữa, ví dụ như tiêu chuẩn Schur - Cohn (xem tài liệu tham khảo 6). 2.5. giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z Để tìm phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ, giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z sẽ dễ hơn giải trực tiếp. Các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2), .... của phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng chính là giá trị khởi tạo của hệ xử lý số TTBBNQ. Khi tác động vào hệ xử lý số TTBBNQ là dãy nhân quả x(n), thì phản ứng y(n) cũng là dãy nhân quả. Tuy nhiên, nếu hệ xử lý số TTBBNQ có các giá trị khởi tạo y(-1), y(-2), .... khác không, thì trên thực tế phản ứng y(n) là dãy không nhân quả. Vì thế, để giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z , phải dùng biến đổi Z một phía. Để giản tiện, khi giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng qua biến đổi Z , có thể dùng ký hiệu của biến đổi Z hai phía, nhưng phải sử dụng tính chất trễ của biến đổi Z một phía. Xét hệ xử lý số TTBBNQ được mô tả bằng phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng dạng tổng quát bậc N : [2.5-1] Với tác động x(n) là dãy không nhân quả, và các điều kiện ban đầu y(-1), y(-2), .... , y(-N) khác không. Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình sai phân [2.5-1] , theo các tính chất tuyến tính và trễ của biến đổi Z một phía nhận được : [2.5-2] Vậy : [2.5-3] Phản ứng của hệ xử lý số TTBBNQ : Trên thực tế thường gặp trường hợp hệ xử lý số TTBBNQ có điều kiện khởi tạo bằng không y(-1) = y(-2) = .... = y(-N) = 0 , và tác động x(n) là dãy nhân quả, x(-i) = 0 với mọi i > 0 , khi đó biểu thức [2.5-2] có dạng : [2.5-4] Vậy : [2.5-5] Phản ứng y(n) của hệ xử lý số TTBBNQ là tổng của hai thành phần dao động tự do y0(n) và dao động cưỡng bức yp(n) : Trong đó, dao động cưỡng bức yp(n) phụ thuộc vào các cực của hàm tác động X(z), tức là phụ thuộc vào dạng của tác động x(n). Dao động tự do y0(n) phụ thuộc vào các cực của hàm hệ thống H(z), chính là phụ thuộc vào các hệ số ar ở vế trái của phương trình sai phân [2.5-1]. Như vậy, dao động tự do y0(n) phụ thuộc vào cấu trúc của hệ xử lý số TTBBNQ. Theo dạng của dao động tự do y0(n), có thể xác định được tính ổn định của hệ xử lý số TTBBNQ. Ví dụ 2.27 : Giải phương trình sai phân , với tác động và các điều kiện ban đầu . Hãy cho biết tính ổn định của hệ xử lý số trên. Giải : Đây là hệ xử lý số TTBBNQ có điều kiện khởi tạo bằng không và tác động x(n) là dãy nhân quả, nên có thể sử dụng biểu thức [2.5-4] : Vì có: Nên : Hay : Trong đó các cực zp1 = 1 và zp2 = 2 là của hàm hệ thống H(z) vì chúng là nghiệm của phương trình , còn cực zp3 = 3 là của tác động X(z). Để tìm phản ứng y(n), phân tích hàm : Trong đó : Vậy Suy ra : Với , theo bảng 2.3 nhận được phản ứng y(n) : Dao động tự do y0(n) phụ thuộc vào các cực zp1 = 1 và zp2 = 2 của H(z) : Dao động cưỡng bức yp(n) phụ thuộc vào cực zp3 = 3 của tác động X(z) : Thành phần yp(n) có dạng giống tác động x(n). Vì hàm hệ thống H(z) có các cực với |zpk|³ 1 nên dao động tự do y0(n) ® ¥ khi n ® ¥ , hệ xử lý số đã cho không thỏa mãn điều kiện ổn định. Ví dụ 2.28 : Tìm phản ứng của hệ xử lý số có phương trình sai phân : Với tác động x(n) = d(n + 2) và các điều kiện ban đầu y(-1) = 1 , y(-2) = 0. Giải : Chuyển các thành phần của phản ứng sang vế trái phương trình : [2.5-6] Đây là hệ xử lý số TTBBNQ có điều kiện khởi tạo khác không và tác động x(n) không nhân quả, nên phải sử dụng biểu thức [2.5-2] : [2.5-7] Có : và Thay X(z) và các giá trị ban đầu vào phương trình [2.5-7], nhận được : Vì bậc của đa thức tử lớn hơn bậc của đa thức mẫu, phải chia đa thức : Vậy : Dao động cưỡng bức . Dao động tự do , vì hàm Y0(z) có các cực là cực của hàm hệ thống H(z) và là nghiệm của phương trình , đó là cặp nghiệm phức liên hợp : và Vậy : và Để tìm dao động tự do , phân tích hàm : Trong đó : và Theo công thức [2.3-27] có : Hay : Phản ứng của hệ xử lý số : Hệ đã cho không ổn định vì hàm hệ thống H(z) có các cực phức với làm cho dao động tự do khi . 2.6. phân tích hệ xử lý số theo sơ đồ cấu trúc và sơ đồ khối trong miền Z Tương tự như trong miền thời gian, có thể xây dựng sơ đồ khối và sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số trong miền Z. 2.6.1 Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số trong miền Z 2.6.1a Phần tử cộng + + X1(z) Y(z)) X2(z) Xi(z) Y(z)) X2(z) XM(z) X1(z) Phần tử cộng trong miền Z được sử dụng để cộng hai hay nhiều hàm ảnh Xi(z) và được ký hiệu như trên hình 2.5 a. Y(z) = X1(z) + X2(z) b. Hình 2.5 : Ký hiệu phần tử cộng trong miền Z. 2.6.1b Phần tử trễ đơn vị Theo tính chất trễ của biến đổi Z thì : do đó phần tử trễ đơn vị trong miền z có hàm hệ thống và nó được ký hiệu như trên hình 2.6. X(z) Y(z) Hình 2.6 : Ký hiệu phần tử trễ đơn vị trong miền z : . 2.6.1c Phần tử nhân với hằng số Phần tử nhân với hằng số dùng để nhân hàm ảnh X(z) với hằng số a, nó được ký hiệu như trên hình 2.7. X(z) Y(z) a Hình 2.7 : Ký hiệu phần tử nhân với hằng số trong miền z : . Ví dụ 2.29 : Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ sử lý số có quan hệ vào ra : Giải : Lấy biến đổi Z cả hai vế của phương trình trên nhận được : Từ đó xây dựng được sơ đồ cấu trúc trong miền Z của hệ trên hình 2.8. X(z) Y(z) 3 2 - 0,5 + Hình 2.8 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số ở ví dụ 2.29 . 2.6.2 Tìm hàm hệ thống H(z) theo sơ đồ cấu trúc và sơ đồ khối Một hệ xử lý số phức tạp có thể được mô tả bằng sơ đồ cấu trúc hoặc sơ đồ khối gồm nhiều khối liên kết với nhau, trong đó mỗi khối được đặc trưng bằng hàm hệ thống Hi(z). Khi đã biết sơ đồ cấu trúc hoặc sơ đồ khối và các hàm hệ thống Hi(z) thành phần, có thể xác định được hàm hệ thống H(z) của cả hệ. 2.6.2a Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp Xét hệ xử lý số gồm m khối liên kết nối tiếp trên hình 2.9. Khi đó phản ứng của hệ sẽ được xác định theo biểu thức : Từ đó suy ra : [2.6-1] Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết nối tiếp bằng tích các hàm hệ thống Hi(z) thành phần X(z) Y(z) H1(z) H2(z) Hm(z) Hình 2.9 : Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết nối tiếp. 2.6.2b Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song Xét hệ xử lý số gồm m khối liên kết song song trên hình 2.10. X(z) Y(z) H1(z) + H2(z) + Hm(z) Hình 2.10 : Sơ đồ các khối Hi(z) liên kết song song. Khi đó phản ứng của hệ sẽ được xác định theo biểu thức : Hay : Từ đó suy ra : [2.6-2] Hàm hệ thống H(z) của các khối liên kết song song bằng tổng các hàm hệ thống Hi(z) thành phần. 2.6.2c Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi Xét hệ xử lý số có vòng phản hồi trên hình 2.11, theo sơ đồ khối có : và : Từ đó suy ra : [2.6-3] X(z) Y(z) H2(z) X2(z) X1(z) + H1(z) Hình 2.11 : Sơ đồ khối của vòng phản hồi. Hàm hệ thống H(z) của vòng phản hồi trên hình 2.11 được tính theo biểu thức [2.6-3]. 2.6.2d Chuyển khâu cộng từ phía trước ra phía sau một khối Xét hệ xử lý số có khâu cộng ở phía trước một khối trên hình 2.12, theo sơ đồ khối có : Y(z) H(z) X2(z) + X1(z) Hình 2.12: Sơ đồ khối có khâu cộng ở phía trước khối. Từ đó có thể chuyển sơ đồ khối trên hình 2.12 về dạng trên hình 2.13 Y(z) H(z) X2(z) + X1(z) H(z) Hình 2.13 : Sơ đồ khối chuyển khâu cộng ra sau khối. 2.6.2e Chuyển khâu cộng từ phía sau ra phía trước một khối Xét hệ xử lý số trên hình 2.14, theo sơ đồ khối có : Từ đó có thể chuyển sơ đồ khối hình 2.14 về dạng trên hình 2.15. Y(z) H(z) X2(z) X1(z) + Hình 2.14 : Sơ đồ khối có khâu cộng ở phía sau khối. Y(z) H(z) X2(z) + X1(z) [H(z)]-1 Hình 2.15 : Sơ đồ khối chuyển khâu cộng ra trước khối. Ví dụ 2.30 : Tìm hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số TTBBNQ có sơ đồ cấu trúc trên hình 2.16. X(z) 2 + + + Y(z) -3 5 Hình 2.16 : Sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số của ví dụ 2.30. Giải : Để tìm hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số đã cho, có thể thực hiện theo thứ tự : Đầu tiên tìm hàm hệ thống của các khối liên kết nối tiếp, song song và hàm hệ thống của các vòng phản hồi chỉ bao một khối, từ đó rút gọn dần sơ đồ khối của hệ về còn một khối, hàm hệ thống của khối đó chính là hàm hệ thống H(z) cần tìm. Tuy nhiên, có thể tìm được hàm hệ thống H(z) của hệ đã cho nhanh hơn bằng cách chuyển tất cả các vòng phản hồi về chung một nút cộng như trên hình 2.17, sau đó mới thực hiện các bước rút gọn. Sau khi xác định hàm hệ thống của các khối liên kết nối tiếp và song song trong sơ đồ khối hình 2.17, rút gọn sơ đồ về dạng hình 2.18, với H2(z) là hàm hệ thống của các khối phản hồi liên kết song song : Y(z) X(z) + Hình 2.17 : Sau khi đưa các vòng phản hồi về một khâu cộng. X(z) + Y(z) H2(z) Hình 2.18 : Sau khi tính hàm hệ thống các khối nối tiếp và song song. Tìm tiếp hàm hệ thống của vòng phản hồi trên sơ đồ hình 2.18 : Rút gọn được sơ đồ khối về dạng như trên hình 2.19. Tính hàm hệ thống của hai khối liên kết nối tiếp, nhận được hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số đã cho : X(z) Y(z) H3(z) X(z) Y(z) H(z) Hình 2.19 : Sau khi tính hàm hệ thống khâu phản hồi và hai khối liên kết nối tiếp, nhận được H(z). Sau khi tìm được hàm hệ thống H(z) của hệ xử lý số, có thể xác định tính ổn định của hệ đã cho bằng tiêu chuẩn ổn định Jury, và nếu biết tác động x(n), có thể tìm được phản ứng y(n) của hệ. các bảng tóm tắt của chương hai Bảng 2.1 : Miền hội tụ của biến đổi Z Loại dãy Dãy hữu hạn Dãy vô hạn x(n)N RC[X(z)] x(n) RC[X(z)] Nhân quả nÎ[n1, n2] , n1³ 0 |z|> 0 nÎ[n1, ¥] , n1³ 0 |z|> Rx- Phản nhân quả nÎ[n1, n2] , n2£ 0 |z|< ¥ nÎ[-¥, n2] , n2£ 0 |z|< Rx+ Không nhân quả nÎ[n1, n2] , n1£0 , n2³ 0 0<|z|<¥ nÎ[-¥, ¥] Rx- <|z|< Rx+ nÎ[n1, ¥] , n1< 0 Rx- <|z|< ¥ nÎ[-¥, n2] , n2> 0 0 <|z|< Rx+ Bảng 2.2 : Tóm tắt các tính chất của biến đổi Z hai phía Hàm gốc Hàm ảnh Miền hội tụ (RC) Bảng 2.3 : Biến đổi Z của các dãy nhân quả thường gặp Dãy hàm gốc Hàm ảnh Z Miền hội tụ 1 Toàn bộ mặt phẳng z (với k > 0) với Khi có cặp cực phức liên hợp và . Thì ứng với cặp cực phức liên hợp có thành phần biến đổi Z ngược : Trong đó : ; Và : Bảng 2.4 : Biến đổi Z của một số dãy phản nhân quả. Dãy hàm gốc Hàm ảnh Z Miền hội tụ (với k > 0) Bài tập Chương hai BT 2.1. Sử dụng công thức định nghĩa để tìm và : 1. 4. 2. 5. 3. 6. BT 2.2 Sử dụng các tính chất của biến đổi Z để tìm và : 1. 4. 2. 5. 3. 6. BT 2.3 Hãy tìm biến đổi Z thuận và miền hội tụ của các dãy sau : 1. 4. 2. 5. 3. 6. BT 2.4 Hãy tìm các hàm gốc nhân quả sau bằng phương pháp thặng dư : 1. 2. BT 2.5 Hãy tìm các hàm gốc nhân quả và phản nhân quả của các hàm ảnh Z sau bằng phương pháp khai triển thành chuỗi luỹ thừa : 1. 2. BT 2.6 Hãy tìm các hàm gốc nhân quả của các hàm ảnh Z sau : 1. 3. 2. 4. BT 2.7 Hãy tìm các hàm gốc phản nhân quả của các hàm ảnh Z sau : 1. 2. BT 2.8 Hãy tìm các hàm gốc nhân quả của các hàm ảnh Z sau : 1. 3. 2. 4. BT 2.9 Xác định phản ứng y(n) và tính ổn định của hệ xử lý số có đặc tính xung và tác động . BT 2.10 Cho hệ xử lý số có phương trình sai phân 1. Tìm hàm hệ thống H(z) và xác định tính ổn định của hệ. 2. Tìm đặc tính xung h(n) của hệ. 3. Với tác động , hãy tìm phản ứng y(n) của hệ. BT 2.11 Cho hệ xử lý số có đặc tính xung . Hãy tìm tác động x(n) để hệ làm việc ổn định. BT 2.12 Hãy xác định tính ổn định của các hệ xử lý số TTBBNQ sau : 1. 2. BT 2.13 Hãy xác định tính ổn định của các hệ xử lý số TTBBNQ sau : 1. 2. BT 2.14 Tìm phản ứng y(n) và xét tính ổn định của hệ xử lý số có phương trình sai phân , với tác động , và điều kiện đầu , . BT 2.15 Hãy giải phương trình sai phân với tác động và điều kiện ban đầu bằng không. Xác định dao động tự do y0(n) và dao động cưỡng bức yp(n) . BT 2.16 Hãy giải phương trình sai phân với tác động và điều kiện ban đầu bằng không. Xác định dao động tự do y0(n) và dao động cưỡng bức yp(n). BT 2.17 Tìm đặc tính xung h(n) của hệ xử lý số TTBBNQ có sơ đồ cấu trúc trên hình 2.20, và xét tính ổn định của hệ. 0,5 X(z) Y(z) + 3 + 2 Hình 2.20 : Sơ đồ cấu trúc hệ xử lý số của BT 2.17. BT 2.18 Hãy xây dựng sơ đồ cấu trúc của hệ xử lý số có hàm hệ thống là : BT 2.19 Cho hệ xử lý số TTBBNQ có sơ đồ cấu trúc trên hình 2.21, tìm phản ứng y(n) của hệ khi tác động X(z) Y(z) + + -2 0,5 Hình 2.21 : Sơ đồ cấu trúc hệ xử lý số của BT 2.19. BT 2.20 Tìm hàm hệ thống H(z) và xét tính ổn định của hệ xử lý số có sơ đồ khối trên hình 2.22. X(z) Y(z) + + Hình 2.22 : Sơ đồ khối của hệ xử lý số ở BT 2.20. BT 2.21 Tìm hàm tương quan của dãyvới các dãy : 1. 3. 2. 4. BT 2.22 Hãy xác định hàm tự tương quan của các dãy sau : 1. 3. 2. 4.