Tuyển tập các bài toán giải tích

ể cho : x < a " x ¹ 0 Bài 17:(Huế_2003-V2(A)) FCho n Î N* tìm ¦(x) : Q®Q sao cho ¦(x +¦(y)) = y + (¦(x)) Bài 18:(Huế_2005-V2) FVới mỗi số nguyên dương n, hãy tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn các hệ số của P(x) khác nhau đôi 1 và đều thuộc {0,1,2….,n} P(x) có n nghiệm thực phân biệt Bài 19:(Huế_2006-V2) FCho dãy số {u } xác định như sau: u= 2, u = 3, và với n³3: u= n.u- (n-2)u-2n+4 tìm n để có giá trị nhỏ nhất Tìm số du khi u chia cho 2006 Bài 20:(Huế_2006-V2) FXét phương trình hàm ¦(xy)-¦(x).¦(y) = 3[¦(x+y) - 2xy -1] với mọi x,y Î R Tìm hàm số chẵn thỏa mãn phương trình trên Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn phương trình trên Bài 21:(Khánh hòa_2008) FCho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : M = 2cosA + 3 cosB + 3cosC. Bài 22:(Lê Hồng Phong _DT_ 2008) FCho f(x) = x2 + ax + b. Biết phương trình f(f(x)) = 0 có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 và x1 + x2 = -1. Chứng minh rằng b £ -1/4. Bài 23:(VTMO_Đồng Tháp_2008) FCho hàm số ¦ : N*®N* thoả hai điều kiện:¦(ab) = ¦(a)¦(b) với ab Î N và (a,b) = 1; f(p)+f(q)=f(p+q) với nguyên tố.Chứng minh ¦(2008)=2008. Bài 24:(VTMO_Nghệ an) FCho dãy số thực xác định như sau: với mọi nÎ N Ta xác định dãy y bởi công thức y = x2 tìm công thức của y Bài 25:(11_30-4-2009) FXét dãy số {x } n Î N xác định như sau: với mọi n³ 1 Tìm lim x Bài 26:(Bạc Liêu) FCho dãy số nguyên dương thỏa mãn điều kiện Tính . Bài 27:(30-4_Cao Lãnh) FTìm giới hạn của dãy với Bài 28:(30-4_Cao Lãnh) FChứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n cho trước phương trình : có đúng một nghiệm số thực. Gọi nghiệm số thực ấy là xn. Hãy tìm . Bài 29:(VMO_1962) FHãy xác định đạo hàm bậc nhất tương ứng với giá trị x = 1 của hàm số ¦(x) = (1+x). . Bài 30:(VMO_1963) FHãy xác định các giá trị giới hạn sau đây: & Bài 31:(VMO_1963) F1.Hãy xác định giá trị của m để phương trình x + (2m+6)x + 4m +12 =0 có 2 nghiệm và lớn hơn -1 2.Tính đạo hàm của hàm số ¦(u) = + Bài 32:(VMO_1967) FKhảo sát sự biến thiên của hàm số y= |x -x -2x| - | x+1| Bài 33:(VMO_1970) FVới mỗi điểm (x,y) trong mặt phẳng tọa độ người ta cho ứng với 1 số thực ¦(x,y).Giả sử rằng ¦(x,0) = ax với a là 1 hằng số khác không b nếu (x ,y ) và (x, y) là 2 điểm phân biệt trong mặt phẳng tọa độ mà ¦(x,y)=¦(x, y) thì ¦(x, y) là có giá trị không đổi tại mọi điểm (x,y) của đường thẳng đi qua 2 điểm đó Chứng minh rằng: với mọi số thực a tập hợp tất cả các điểm (x,y) tại đó ¦(x,y) = a là 1 đường thẳng D và tất cả các đường thẳng D đó đều song song với nhau. với mọi x,y ta có ¦(x,y) = ax+by trong đó b là 1 hằng số. Bài 34:(VMO_1972) FGọi a là góc biến thiên tùy ý và x= cos a , y = cosna a.Chứng minh rằng : ứng với 1 giá trị của x trong khoảng -1 £ x £ 1 ta có 1 và chỉ 1giá trị xác định của y. Coi y như là 1 hàm số của x kí hiệu y=T . hãy tính T và T và chứng minh công thức : T(x) º 2x.T(x) - T(x) từ đó suy ra rằng T(x) là 1 đa thức bậc n. b.Chứng minh rằng : đa thức T(x) có n nghiệm phân biệt Î Bài 35:(VMO_1975) FCho cấp số cộng -1, 18, 37 … tìm số hạng của cấp số mà khi viết toàn dùng chữ số 5. Bài 36:(VMO_1975) FChứng minh rằng: tổng các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y = là 1 số hữu tỉ thuộc (0, ) Bài 37:(VMO_1977) FTìm điều kiện cần và đủ để hàm số ¦(t) = mt + nt + pt + q có giá trị nguyên với mọi giá trị t. Bài 38:(VMO_1979) FChứng minh rằng: với mọi x> 1 tồn tại 1 tam giác mà số đo các cạnh là những số P (x) = x+x +2x+x+1 và P (x)= 2x + x + 2x + 1 , P (x) = x -1. Chứng minh rằng: trong tất cả các tam giác đó góc lớn nhất đều bằng nhau và hãy xác định nó. Bài 39:(VMO_1979) FCho phương trình x + ax + bx + c=0 có 3 nghiệm thực là t,u,v . Với những giá trị nào của a,b,c thì các số t ,u ,v nghiệm đúng phương trình x + ax+ bx + c = 0? Bài 40:(VMO_1979) FChứng minh rằng: với mọi số nguyên dương n thì 2cosna là 1 đa thức bậc n của 2cosa Bài 41:(VMO_1979) FTìm tất cả số a sao cho phương trình x -2x[x] + x-a = 0 có 2 nghiệm số không âm. Bài 42:(VMO_1984) FCho dãy số {u } xác định như sau: u =1, u = 2, u = 3u -u dãy số {v } xác định như sau: v = arccotg u Xác định v Bài 43:(VMO_1984) FCho a,b là các số thực với a¹ 0.Hãy xác định đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện: xP(x-a) = (z-b)P(x) Bài 44:(VMO_1985) FGọi M tập hợp tất cả các hàm số ¦ xác định với mọi số nguyên nhận những giá trị tực thỏa mãn các tính chất sau: với mọi số nguyên x,y thì ¦(x).¦(y)=¦(x+y) + ¦(x-y) ¦(0) ¹ 0 Tìm tất cả các hàm số ¦ Î M sao cho ¦(1) = Bài 45:(VMO_1986) FCho M(y) là 1 đa thức bậc n sao cho M(y) = 2 với y= 1,2,...,n+1 Hãy xác định M(n+2) Bài 46:(VMO_1987) FCho 2 dãy số {x } và {y } theo quy luật sau đây: x = 365, x = x(x+1) với n ³ 0 và y = y(y+1) - 1952 với n³ 0 Chứng minh rằng: | x - y | > 0 với mọi n,k số tự nhiên Bài 47:(VMO_1987) FHàm số ¦(x) xác định và có đạo hàm trên [0, +∞). Biết rằng với mọi x³ 0 luôn có |¦(x)| £ 5 ¦(x).¦’(x) ³ sinx Tồn tại hay không ¦(x). Bài 48:(VMO_1988) FCho đa thức P(x) = ax + ax+ ... + ax + a với n³ 3. Biết rằng đa thức có n nghiệm thực và a =1, a =-n, a = . Hãy xác định các hệ số a với i³3. Bài 49:(VMO_1988) FDãy số {x } bị chặn mà thỏa mãn điều kiện: x + x ³ 2x với mọi n³1 có nhất thiết hội tụ hay không? Bài 50:(VMO_1989) FXét dãy số Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,... Đặt ¦(n) = 1985n+ 1956n + 1960 Chứng minh rằng: tồn tại vô hạn số F thuộc dãy sao cho ¦(F) chia hết cho 1989 tồn tại hay không 1 số G của dãy sao cho ¦(G) + 2 chia hết cho 1989? ÄGợi ý : xét g(n) = 4n + 33n + 29 thì có ngay với mọi số nguyên n ¦(n) º g(n) (mod 1989) Bài 51:(VMO_1989) FCho dãy đa thức {P(x)} xác định như sau: P (x) º 0 và p(x) º P(x) + với mọi n³ 0. Chứng minh rằng: với mọi xÎ và với mọi n nguyên không âm, ta có 0 £ - P(x) £ Bài 52:(VMO_1990) FCho dãy số {x } thỏa mãn |x| < 1, được xác định như sau: x = Hỏi rằng có cần điều kiện gì đối với x để dãy số trên toàn bộ là số dương Dãy số có tuần hoàn không? Bài 53:(VMO_1990) FGiả sử ¦(x) là 1 đa thức với hệ số thực khác hằng số thỏa mãn điều kiện: ¦(x).¦(2x) = ¦(2x + x) với mọi xÎR. Chứng minh rằng: đa thức ¦ không có nghiệm số thực. Ä Gợi ý: Xét ¦(x) = ax Bài 54:(VMO_1991) FHãy xác định tất cả hàm số ¦ : R®R sao cho bất đẳng thức đúng với x,y,zÎR .¦(xy) + .¦(xz) - ¦(x).¦(yz) ³ Bài 55:(VMO_1992) FCho các số dương a,b,c.Xác định dãy số {a}, {b } và thỏa mãn a = a, b = b, c = c đồng thời a= a + , b = , c = c + với mọi n Î N* Chứng minh rằng: a tiến đến vô hạn khi n ®∞. Bài 56:(VMO_1992) FCho đa thức P(x) với hằng số dẫn đầu bằng 1 vuông tại mọi hệ số là bằng 0 hoặc 1. Chứng minh rằng: P(x) không có nghiệm thực nào lớn hơn Bài 57:(VMO_1993) FCho ¦ : [ , ∞) ® R được xác định bởi ¦(x) = x(1993+ ). Hãy xác định các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đó. Bài 58:(VMO_1993) FHãy xác định hàm số ¦(n) trên tập các số nguyên dương với các giá trị nguyên dương thỏa mãn ¦(¦(n)) = 1993n với mọi n là số nguyên dương. Bài 59:(VMO_1993) FNgười ta xác định dãy số a và b thỏa mãn a = 2, b =1, a = . b = . Hãy xác định hai dãy số trên hội tụ có cùng giới hạn và xác định giới hạn của chúng Bài 60:(VMO_1994) FXác định dãy x (i Î N) thỏa mãn x =a ở đó 0< a < 1 và x = ( arccosx + )arcsin x Chứng minh rằng: dãy hôi tụ và xác định giới hạn đó. Bài 61:(VMO_1994) FCó tồn tại hay không đa thức P(x), Q(x) và R(x) với các hệ số là các số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: P(x) = (x -3x+3) và Q(x) = ( - + ). R(x) ? Bài 62:(VMO_1995) FCho dãy số nguyên {a } được xác định như sau: a = 1, a = 3, a=a + 9a với n là số chẵn và 9a+5a lẻ Chứng minh rằng: a + a + a +a +a + a chia hết cho 20 và rằng không có số hạng a là số chính phương. Bài 63:(VMO_1995) FHãy xác định tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn P(x) =a có hơn 1995 nghiệm thực, tất cả lớn hơn 1995, với mọi a > 1995 ( nếu nghiệm nào có bội thì nó cũng được tính thành các nghiệm với số bội đó) Bài 64:(VMO_1996) FHãy xác định tất cả các hàm số ¦(n) xác định trên tập các số nguyên dương với các giá trị nguyên dương thỏa mãn ¦(n) +¦(n+1)= f(n+2).f(n+3) -1996 với mọi n nguyên dương. Bài 65:(VMO_1997) FCó bao nhiêu hàm số ¦(n) xác định trên tập các số nguyên dương với các giá trị nguyên dương thỏa mãn ¦(1) = 1, và ¦(n).¦(n+2) = ¦(n+1) + 1997 với mọi n là nguyên dương. Bài 66:(VMO_1997) FCho k= , hãy tìm đa thức P(x) với các hệ số hữu tỉ và cấp càng nhỏ càng tốt thỏa mãn P(k + k ) = 3+k? Bài 67:(98) FXác định dãy số {x } xác định như sau: x = a ³1, x =1 + lớn nhất Chứng minh rằng: dãy số đã cho hội tụ và xác định giới hạn đó. Bài 68:(VMO_1998) FTồn tại hay không dãy số thực vô hạn {x } thỏa mãn |x | £ 0.666 và |x -x | ³ với mọi m,n nguyên dương phân biệt Bài 69:(VMO_1998) FHãy xác định tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn P(x + ) = x + Bài 70:(VMO_1999) FXác định tất cả hàm số ¦(n) xác định trên tập các số nguyên không âm với các giá trị trong {0,1,2, … , 2000} thỏa mãn điều kiện: ¦(n) = n với 0£ n £ 2000 ¦(¦(m)+¦(n)) = ¦(m+n) với mọi m,n nguyên dương Bài 71:(VMO_2000) FXác định 1 dãy số các số thực dương x, x, x .... bởi x =b, x = Hãy xác định tất cả các giá trị của c thỏa mãn đối với mọi b trong khoảng (0,c) sao cho dãy là tồn tại và hội tụ đến 1 giới hạn khi n tiến tới vô cùng. Bài 72:(VMO_2000) FCho đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn P(x -1) = P(x).P(-x). Hãy xác định số lớn nhất các nghiệm thực của P(x) có thể có. Bài 73:(VMO_2001) FVới số thực a,b xác định dãy x như sau: x = a, x = x + bsinx. Nếu b=1 chứng minh rằng: dãy hội tụ , nếu b > 2 chứng minh rằng: dãy phân kì. "a ÎR Bài 74:(VMO_2001) FHãy xác định tất cả các hàm số giá trị thực xác định trên thỏa mãn (1-x )¦ = (1+x)¦(x) với mọi x. Bài 75:(VMO_2001) FCho a là 1 hoán vị của {1,2,...2n} sao cho |a -a | ¹ |a -a | với mọi i ¹ j. Chứng minh rằng: a = a + n khi và chỉ khi 1£ a £ n Bài 76:(VMO_2002) FCho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: phương trình + + ... + = có nghiệm duy nhất x > 1. Chứng minh rằng: khi n ®∞ thì x ®4 Bài 77:(VMO_2003) FCho hàm số ¦: R®R thỏa mãn ¦(cotgx) = cos2x + sin2x với mọi 0 < x < π. Xác định hàm số g(x) = ¦(x).¦(1-x) với -1 £ x £1 Hãy xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của g(x) trên [-1, 1] Bài 78:(VMO_2003) FCho S là các số hoán vị của {a , a .... a } của {1,2,...,n} thỏa mãn 1£ |a -k| £ 2 với mọi k. Chứng minh rằng: S 6. Bài 79:(VMO_2003) FXác định đa thức P(x) = 4x - 2x -15x +9 và Q(x) = 12x + 6x -7x +1 Chứng minh rằng: với mỗi đa thức có ít nhất 3 nghiệm thực phân biệt.Cho A là nghiệm số lớn nhất của P(x) và B là nghiệm số lớn nhất của Q(x) Chứng minh rằng: A +3B = 4. Bài 80:(VMO_2003) FCho hàm số ¦ :R ® R thỏa mãn ¦(3x) ³ ¦(¦(2x)) +x với mọi x. Hãy xác định giá trị lớn nhất của a sao cho ¦(x) ³ a.x Bài 81:(VMO_2004) FXét dãy số xác định như sau: x =1 và x = với mọi nÎ N, a là tham số. Hãy xác định a sao cho dãy: y = có giới hạn hữu hạn Bài 82:(VMO_2005) FXác định tất cả hàm số ¦: R®Rthỏa mãn điều kiện: ¦(¦(x-y)) = ¦(x).¦(y) -¦(x)+¦(y) - xy với mọi x,y ÎR Bài 83:(VMO_2005) FLấy {x} là dãy số thực xác định như sau: x= a , x = 3x - 7x +5x n Î N hãy xác định tất cả các số thực a thỏa mãn để dãy có giới hạn hữu hạn khi n®∞ và xác định giới hạn đó. Bài 84:(VMO_2007) FCho b là số thực dương.Hãy xác định tất cả hàm số ¦ : R®R ¦(x+y) = ¦(x).3 + b(3 - b ) Bài 85:(VMO_2007) FCho số thực a> 2. Đặt ¦(x) = ax + x+ .... + x +1 Chứng minh rằng: với mỗi n phương trình ¦(x) = a có đúng 1 nghiệm x Î . Chứng minh rằng: dãy số có giới hạn hữu hạn. Bài 86:(VMO_2008) FCho dãy số thực xác định như sau: x = 0, x = 2, và x = 2 + với mọi n ÎN Chứng minh rằng: dãy số (x ) có giới hạn hữu hạn. tìm nó. Bài 87:(VNTST_1990) FCho 4 số thực dương a,b, A, B xét dãy số thực x , x , x ..... xác định như sau: x = a, x = b x= A + B Chứng minh rằng: tồn tại giới hạn x. Tính nó. Bài 88:(VNTST_1990) FChứng minh rằng: không tồn tại hàm số f(x) xác định với mọi số thực x và thỏa mãn f(f(x)) =x -2 với mọi x. Bài 89:(VNTST_1991) FCho dãy số thực dương , a¹ a là dãy không giảm hoặc không tăng và cho các số thực x,y thỏa mãn ³ Chứng minh rằng: + ... + + ... + ³ Bài 90:(VNTST_1991) FCho dãy số thực dương x, x, x ... xác định như sau: x=1, x =9, x= 9 , x= 1 và x= Chứng minh rằng: dãy có giới hạn. Tìm giới hạn đó. Bài 91:(VNTST_1992) FCho đa thức ¦(x) với hệ số thực và bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: với mỗi số c > 0, tồn tại số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện : nếu đa thức P(x) với hệ số thực có bậc lớn hơn hoặc bằng n và có hệ số bậc cao nhất bằng 1 thì các số nguyên x mà |¦(P(x))| £ c không vượt quá bậc của P(x). Bài 92:(VNTST_1993) FCho số nguyên k > 1. với mỗi số nguyên n >1 đặt ¦(n) = kn(1- )(1- ).....(1- ) Trong đó p, p,p là tất cả các ước số nguyên tố phân biệt của n. Tìm tất cả các giá trị k để dãy {x } xác định như sau: x = a và x=¦(x), (mÎN) là dãy bị chặn với mọi số nguyên a >1. Bài 93:(VNTST_1995) FCho hàm số thực ¦(x) = Chứng minh rằng: tồn tại hàm số g(x) liên tục trên R và có đồng thời các tính chất sau:: ¦(g(x)) = x, "xÎR g(x) > x. Chứng minh rằng: tồn tại số thực a> 1 để dãy xác định như sau: a =a, a = ¦(a ) " n ÎN là dãy tuần hoàn với chu kì dương nhỏ nhất bằng 1995. Bài 94:(VNTST_1996) FHãy tìm tất cả các số thực a sao cho dãy số xác định bởi x = , x = Có giới hạn hữu hạn. Bài 95:(VNTST_1997) FCho hàm số ¦: N®Z thỏa mãn điều kiện: ¦(0) =2, ¦(1)= 503 và ¦(n+2)= 503¦(n+1)-1996¦(n) với mọi n ÎN với mỗi k ÎN* lấy số nguyên s,s,...s sao cho s ³ k với mọi iÎN*. với mỗi số s lấy 1 ước nguyên tố p(s) nào đó của ¦(2 ). Chứng minh rằng: với số nguyên dương t³ k ta có: p(s) chia hết cho 2 khi và chỉ khi k chia hết cho 2 Bài 96:(VNTST_1998) FCho hàm số ¦(x) xác định trên R sao cho với mọi số thực dương c tồn tại đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn |¦(x) - P(x)| £ cx với mọi x ÎR Chứng minh rằng: ¦(x) là 1 đa thức với hệ số thực. Bài 97:(VNTST_1998) FTìm tất cả các đa thức P(x) hệ số nguyên với hệ số bậc cao nhất bằng 1, có tính chất : tồn tại vô số các số vô tỉ a để P(a) đều là số nguyên dương. Bài 98:(VNTST_2001) FCho dãy thỏa mãn điều kiện với mọi n nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại vô số cặp số nguyên dương thỏa mãn và là một ước nguyên dương của . Bài 99:(VNTST_2002) FHãy tìm tất cả các đa thức với hệ số nguyên sao cho đa thức sau là bình phương của một đa thức với hệ số nguyên Bài 00:(VNTST_2003) FCho hàm số thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: i) f (0,0) = 5 , ƒ(0,n) = 0 với mọi n là nguyên khác 0. ii) f(m,n) = f(m-1, n) - 2 + + với mọi số tự nhiên m và mọi số nguyên n. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương N sao cho f(m,n ) = f(n,m) , "m,n≥ N với nÎ N Bài 1:(VNTST_2004) FHãy xác định tất cả các số thực α mà ứng với mỗi α, có một và chỉ một hàm số f xác định trên tập hợp , lấy giá trị trong và thoả mãn hệ thức f(x+ y+ f(y)) = f(x) + ay với mọi x, y thuộc . Bài 2:(VNTST_2004) FCho dãy số ( x), n= 1,2,3… xác định bởi x = 603, x = 102, x = x+ x+ với mọi . Chứng minh rằng 1) Tất cả các số hạng của dãy số đã cho đều là các số nguyên dương. 2) Tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho biểu diễn thập phân của có bốn chữ số tận cùng là 2003. 3) Không tồn tại số nguyên dương n mà biểu diễn thập phân của có bốn chữ số tận cùng là 2004 Bài 3:(VNTST_2005) FTìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện: Bài 4:(VNTST_2006) FCho dãy số thực được xác định bởi: a= 1, a= ( a+ )với mọi n = 1, 2, 3, … Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số A= là một số chính phương và nó có ít nhất n ước nguyên tố phân biệt. Bài 5:(VNTST_2007) FTìm tất cả các hàm số liên tục thỏa mãn: với mọi . Bài 6:(VNTST_2008) FHãy xác định tất cả các số nguyên dương m sao cho tồn tại các đa thức với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: Với mọi số thực a, b mà , ta luôn có và . Bài 7:(VNTST_2009) FCho đa thức trong đó là các số thực và . Xét dãy số xác định như sau: Chứng minh rằng: nếu đa thức có một nghiệm thực duy nhất và không có nghiệm bội thì dãy số có vô số số âm. Bài 8:(VNTST_20011) FCho dãy số nguyên dương (a) xác định bởi a = 1, a = 3 và a = 1+ với mọi n ≥ 0. Chứng minh rằng a.a - a = 2 với mọi số tự nhiên n. ([x] kí hiệu phần nguyên của số thực x). Bài 9:(Sưu tầm _Olympic) FCho dãy {x} xác định bởi = e Chứng minh rằng: dãy có giới hạn hữu hạn và tìm nó. Bài 10:(Sưu tầm _Olympic) FCó tồn tại hay không 1 hàm số ¦ N®N sao cho ¦(¦(n-1)) = ¦(n+1) - ¦(n) với mọi n ³2 Bài 11:(Sưu tầm _Olympic) Fa) Chứng minh rằng {n } > với tất cả số nguyên dương n, trong đó{x} đươc hiểu là phân số của x. b) Có tồ tại bất biến c > 1 để mà {n }cho mỗi n nguyên dương? Bài 12:(Đề thi thử_VMO_lần:4) FVới số nguyên dương n nào thì tồn tại đa thức P (x) = x +ax + … + ax + a với hệ số thực sao cho với mọi x thuộc R P(x) > -3 đồng thời: P(-2) = P (0) = P (2) = 0 Bài 13:(Đề thi thử_VMO_lần:4) FCho hàm số ¦(x) = 2x -sinx . Chứng minh rằng: ¦ khả nghịch đồng thời ¦ có thể viết được dưới dạng tổng của 1 hàm số tuyến tính với 1 hàm tuần hàm. Bài 14:(Đề thi thử_VMO_lần:1) FDãy số {u } xác định như sau: x = 3, x = Chứng minh rằng: dãy số có giới hạn và tìm nó. Bài 15:(Đề thi thử_VMO_lần:2) FTìm tất cả các hàm số ¦ : R®R thỏa mãn điều kiện: |{ | x Î R*}| < +¥ ¦(x-1-¦(x)) = ¦(x) -x -1 " xÎ R. Bài 16:(Đề thi thử_VMO_lần:6) FCho các hàm số ¦ (x) = x + , ¦ (x) = x , ¦ (x) = (x -1) Trong mỗi lần biến đổi, Cho phép cộng trừ, nhân 2 hàm số với nhau và làm như thế với các số thực và áp dụng cho cả kết quả. từ các hàm số trên thu được ¦(x) = và Chứng minh rằng: nếu bỏ đi 1 hàm số trên thì không thu được hàm số ¦(x). Bài 17:(Đề thi thử_VMO_lần:7) FTìm tất cả hàm số liên tục trên R thỏa mãn điều kiện: ¦(xy) = [¦(x)].[¦(y)] ( với x,y Î R) Bài 18:(Đề thi thử_VMO_lần:3) FĐa thức P(x) bậc n với hệ số thực có n nghiệm thực phân biệt. Hỏi P(x) có thể có nhiều nhất bao nhiêu hệ số bằng 0? Bài 19:(Đề thi thử_VMO_lần:5) FVới mỗi số thực p, xét phương trình 4x -3x -p =0. Ta xét hàm số ¦(p) xác định như sau: nếu phương trình có 3 nghiệm thực thì ¦(p) bằng tích nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất nếu phương trình có 1 nghiệm thì ¦(p) bằng bình phương của nghiệm này. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của ¦(p) Bài 20:(Đề thi thử_VMO_lần:8) FTìm tất cả các hàm số ¦ : R ®R thỏa mãn điều kiện: ¦(x).¦(y) = ¦(xy) + ¦ với mọi x,y thuộc R. Bài 21:(Thi Thử VMO_2009_lần:1) FTìm tất cả các đa thức ¦(x) với hệ số nguyên sao cho với mọi n số nguyên dương ta có ¦(n) là ước của 2 -1. Bài 22:(Thi Thử VMO_2009_lần:2) FCho dãy số {a } xác định như sau: a = 1, a = 2. và a= 2a -a+2 với mọi n³1. Chứng minh rằng: a.a cũng là 1 số hạng của dãy số. Bài 23:(Thi Thử VMO_2009_lần:2) FChứng minh rằng: đa thức P(x) = x + 29x + 2009 với n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2 không thể phân tích thành tích của 2 đa thức với hệ số nguyên có bậc ³ 1. Bài 24:(Thi Thử VMO_2009_lần:3) FHàm số ¦(x) thỏa mãn điều kiện: ¦(cotgx) = sin2x + cos2x với mọi xÎ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g: ®R g(x) = ¦(x).¦(1-x). Bài 25:(Thi Thử VMO_2009_lần:3) FTìm tất cả đa thức thỏa mãn điều kiện: P(x) - P(x) = 2x Bài 26:(Thi Thử VMO_2009_lần:4) FCho dãy số thực xác định bởi x= 1, x = 2+ - 2 với mọi nÎN. Ta xác định dãy {y } thỏa mãn y = x.2, Tìm công thức tổng quát của y Bài 27:(Thi Thử VMO_2009_lần:4) FTìm tất cả các hàm số ¦(x) R®R thỏa mãn điều kiện: ¦(¦(x)+y) = ¦(¦(x)-y) + 4¦(x).y với mọi x,y ÎR. Bài 28:(Thi Thử VMO_2009_lần:5) FCho số thực a và dãy số thực xác định như sau: x = a, và x = ln(3+cosx +sinx) - 2008 với mọi nÎN Chứng minh rằng: dãy số có giới hạn hữu hạn. Bài 29:(Thi Thử VMO_2009_lần:6) FCho dãy số xác định như sau: a = , a = Chứng minh rằng: a + a + … + a < 1 với mọi số nguyên dương n. Bài 30:(Thi Thử VMO_2009_lần:6) FTìm tất cả đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện P(x)=P(x)-2P(x) Bài 31:(Thi Thử VMO_2009_lần:7) FTìm tất cả ¦(x) R®R thỏa mãn điều kiện: ¦(x-¦(y)) = ¦(¦(y) +x¦(y) + ¦(x) -1 Bài 32:(Thi Thử VMO_2009_lần:7) FTìm tất cả các đa thức hai biến P(x,y) sao cho P(a,b).P(c,d)=P(ac+bd,ad+bc) Bài 33:(Olympic-Petecbua) Fphương trình bậc hai đa thức lồi, tất cả có cùng biệt số. Tổng của hai đa thức bất ky có nghiệm thực riêng biệt. Chỉ ra rằng tổng số của tất cả các đa thức cung đều có nghịêm thực riêng biệt. Bài 34:(Olympic-Tây Ban Nha) FTính tổng bình phương của 100 số hạng đầu tiên của một cấp số cộng, với giả thiết tổng 100 số hạng bằng −1 và tổng các số hạng thứ hai, thứ tự, ..., thứ một tram bằng 1 Bài 35:(Olympic-Thái Bình Dương_1989) FHãy xác định tất cả các hàm số ¦:R®R thỏa mãn ¦(x) là hàm số tăng ngặt ¦(x) + g(x) = 2x với mọi xÎR ở đó g(x) là hàm ngược của ¦(x) nghĩa là hàm số g(x) R®R thỏa mãn ¦(g(x)) = x và g(¦(x)) = x với mọi xÎR. Bài 36:(Olympic-Thái Bình Dương_1993) FHãy xác định tất cả giá trị nguyên khác nhau của hàm số ¦(x) = [x] + [2x] + + [3x] + [4x] khi mà biến thực x chạy trong đoạn thẳng [0, 100] Bài 37:(Olympic-Thái Bình Dương_1993) FCho hai đa thức hệ số thực khác 0 có dạng: ¦(x) = ax + ax + .... + a g(x) = cx + cx +... + c và thỏa mãn g(x) º (x+r)¦(x) với r là hằng số thực. Kí hiệu a= max{|a|,....,|a|} và c= max{|c|, ... , |c|}. Chứng minh rằng: a £ c(n+1) Bài 38:(Olympic-Thái Bình Dương_1994) Fhãy xác định tất cả các hàm số ¦: R®R thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây: ¦(x) + ¦(y) + 1 ³ ¦(x+y) ³ ¦(x) +¦(y) với mọi x,y Î R ¦(0) ³ ¦(x) với mọi xÎ [0,1) ¦(1) = 1 và ¦(-1) = -1. Bài 39:(Olympic-Thái Bình Dương_1995) FXác định tất cả các dãy số thực a, a, a, ... , a thỏa mãn điều kiện: 2 ³ a - n+1 với n = 1®1995 ở đó coi a = a. Bài 40:(Olympic-Thái Bình Dương_1995) FTìm số nguyên dương k nhỏ nhất thỏa mãn tồn tại 1 hàm số ¦ đi từ Z tập tất cả các số nguyên đến tập hợp {1,2,...,k} với tính chất ¦(x)¹¦(y) với mọi |x-y|Î{5,7,12} Bài 41:(Olympic-Thái Bình Dương_1999) FCho dãy số thực {a} thỏa mãn a £ a + a với mọi i,j = 1,2, ... , Chứng minh rằng: a + + + ... + ³ a. với số nguyên dương n. Bài 42:(Olympic-Thái Bình Dương_2002) FTìm tất cả hàm số ¦ thỏa mãn có hữu hạn số thực sÎR thỏa mãn ¦(s) = 0 ¦(x+ y) = x¦(x) +¦(¦(y)) với mọi x,y, ÎR. Bài 43:(Olympic-Thái Bình Dương_2003) FCho các số thực a,b,c,d,e,f thỏa mãn đa thức p(x) = x -4x +7x +ax +bx +cx +dx +ex + ¦ phân tích thành tích của 8 nhân tử tuyến tính x-x, xác định ¦ Bài 44:(Diễn Đàn Toán Học) FCmr với mọi số nguyên dương n, phương trình (C)2.xn+(C)2.xn−1+....+(C)2=0 Có n nghiệm thực phân biệt và tất cả các nghiệm đó đều âm MỘT SỐ BÀI TOÁN DÃY SỐ 30/4 Bài 45:(30/4/1999) FCho dãy số được xác định như sau: x = + + + ... + Tính Bài 46:(30/4) FCho dãy số thỏa mãn bất đẳng thức: a ³ a + a + ... + a Bài 47:(30/4) FCho dãy số xác định như sau: a = 1999 và a = " n ³ 0 Tìm phần nguyên của a (với 0 £ n £ 1999) Bài 48:(30/4) FCho dãy số và thỏa mãn: Chứng minh rằng: an và bn là hai số nguyên tố sánh đôi. Tìm các công thức cho an và bn Bài 49:(30/4) FCó bao nhiêu dãy số nguyên dương thỏa mãn : a =1, a = 2, | a.an- a |=1 Bài 50: F Cho dãy số với Sn = Chứng minh rằng: tồn tại Sn và tính giới hạn đó. Bài 51: FBiết rằng bất đẳng thức : x + x + x + ...+ x ³ (x + x + … + x)x Thỏa mãn với mọi số thực x,x, …. , x (n ³1) thì n bằng bao nhiêu. Bài 52 FXác định số hạng tổng quát của dãy biết: u= 2, u= 9u + 3un ( với n= 1,2,3…,n) Bài 53: FCho dãy số xác định như sau: " n ³ 1. Chứng minh rằng: dãy có vô hạn các số chẵn, và các số lẻ. Bài 54: F Cho n số thực dương thỏa mãn: a > 0 và ∑a =1 (n³ 2) Chứng minh rằng: ³ (n-1). Bài 55: FCho dãy số với xn =a ¹ 2 và : x = Xét tính hội tụ của dãy và tính giới hạn của dãy theo a. Bài 56: F Cho dãy số un xác định như sau: u = 1, và u = un + . Tìm Bài 57: FCho q là một số ngyên tố. Chứng minh rằng: : là số nguyên. Bài 58: FCho dãy số dương thỏa mãn: u= u = 1, un = 2 ( n = ) Chứng minh rằng: 1 £ un < 4 "n = u = u , u = u, ... , u = u . u < u < ... < u Bài 59:(SV-Moskva_1982) FCho dãy số xác định như sau: x = 1982, x = Tìm xn. Bài 60:(Sưu Tầm) FTìm tất cả các giá trị của a để dãy số xác định bởi x = a, x = 2- x có giới hạn hữu hạn. Bài 61:(Sưu tầm) FCho dãy số xác định như sau: x = 1 x = sin . Chứng minh rằng: xn = . Bài