Trần Sĩ Tùng - Tích phân 12

Trần Sĩ Tùng Tích phân x tdt f/ =6−2x(1+−21x)2 ∫ 22 31−t.1+−1t 2 ĐS: a/ x==e57;xe;− b/ x= 2; c/ x = ln2; 1 d/ x = 1; e/ x = 1; x = 2; f/ x.= 2 x Bài 40. Tìm m để phương trình: x32+∫[3t+4(6m−1)t−3(2m−=1)]dt1 1 có 3 nghiệm phân biệt có tổng bình phương bằng 27. ĐS: m = 1. Bài 41. Giải các phương trình sau: x 3 x a/ ∫(4sin4 t−=)dt0; b/ ∫cos(t−=x2 )dtsinx; 0 2 0 x dt c/ =∈tgxvớix[0;1). ∫23 0 (1−t) π ĐS: a/ x=∈K,KZ; 2 xK=π  b/ x=±l2π=l0,1,2,... c/ x = 0.  1±1+πm8 x==,m0,1,2... 2 Trang 121 Tích phân Trần Sĩ Tùng Vấn đề 12: THIẾT LẬP CÔNG THỨC TRUY HỒI 1. Nhận xét: Trong những trường hợp hàm dưới dấu tích phân phụ thuộc vào tham số n (n ∈ N), khi đó người ta thường ký hiệu In để chỉ tích phân phải tính. 1. Hoặc là đòi hỏi thiết lập một công thức truy hồi, tức là công thức biểu diễn In theo các In+K, ở đây 1 ≤ K ≤ n. 2. Hoặc là chứng minh một công thức truy hồi cho trước. 3. Hoặc sau khi có công thức truy hồi đòi hỏi tính một giá trị I cụ thể nào n0 đó. 2. Một số dạng thường gặp: π/2 n Dạng 1: In =∈∫sinx.dx(nN) 0 • Đặt: u=sinn−−1x⇒du=−(n1)).sinn2x.dx dv=sinx.dx⇒v=−cosx. n−π1/2 ⇒In=−sinx.cosx]0+(n−−1).(I1−2nI) π/2 n Dạng 2: In =∈∫cosx.dx(nN) 0 • Đặt: u=cosn−−1x⇒du=−−(n1).cosn2x.dx dv=cosx.dx⇒=vsinx. n−π1/2 ⇒In=cosx.sinx]0+(n−−1).(In−2nI) π/4 n Dạng 3: In = ∫ tgx.dx. 0 n+2n2n1 n2 • Phân tích: tgx=tgx.tgx=tgx.−1=tgx(1+−tgx1) cosx2 1 Suy ra: II+= (không dùng tích phân từng phần) n+2nn1+ ππ/2/2 nn Dạng 4: Inn==∫∫x.cosx.dxvàJx.sinx.dx. 00 • Đặt: u=xn⇒=dun.xn1− .dx. dv=cosx.dx⇒=vsinx 2 π ⇒I=−−nJ1(1) nn2 • Tương tự: Jn=+0nIn1− (2) n π • Từ (1) và (2) ⇒I+n(n−=1)I. nn2− 2 Trang 122 Trần Sĩ Tùng Tích phân 1 nx Dạng 5: In= ∫ x.e.dx 0 • Đặt: u=xn⇒=dunxn1− .dx dv=exx.dx⇒=ve. nx1 In=−[x.e]0nIn1− 11xn Dạng 6: I==dxhayIxnx.e− .dx nn∫∫x 00e • Đặt: u=xn⇒=dunxn1− .dx dv=e−−xx.dx⇒v=−e. x−x1 ⇒In=[−+x.e]0nIn1− e n* Dạng 7: In =∈∫lnx.dx(nZ) 1 1 • Đặt: u=lnnx⇒=dun.lnn1− x,dx x dv=dx⇒=vx. ne ⇒In=[x.lnx]1−n.In−−1⇔In=−enI.n1 BÀI TẬP Bài 42. Cho I= sinn x.dx và J= cosn x.dx , với n∈≥N,n2. n ∫ n ∫ Chứng minh các công thức truy hồi sau: 1n1− 1n1− I=−+sinn1−x.cosxI. J=+sinx.cosn1−xJ. nnnn2− nnnn2− Áp dụng ta tính I3 và J4. 12 ĐS: • I=−sin2 x.cosx−+cosxC. 3 33 133 • J=sinx.cos3 x+x++sin2xC. 4 4816 Bài 43. Cho I= xn .sinx.dx và J= xn .cosx.dx , với n∈≥N,n2. n ∫ n ∫ Chứng minh rằng: nn1− In=−x.cosx=nx.sinx−−n(n1).In−2. nn1− Jn=x.sinx+n.x.cosx−−n(n1).J.n2− Áp dụng ta tính I2 và J2. 2 ĐS: • I2 =−x−cosx+2x.sinx++2cosxC. 2 • J4 =xsinx+2xcosx−+2sinxC. Trang 123 Tích phân Trần Sĩ Tùng Bài 44. Cho I=xnx.e.dx,n∈≥N,n1. n ∫ nx Chứng minh rằng: In=−x.en.I.n1− Áp dụng tính I5. x5432 ĐS: I5=e(x−5x+−20x60x+120x−+120)C. π/2 Bài 45. Cho I=∈sinn x.dx,(nN) n ∫ 0 a/ Thiết lập công thức liên hệ giữa In và In+2. b/ Tính In. c/ Chứng minh rằng hàm số f: NR→ với f(n)=+(n1)In.I.n1+ π/4 d/ Suy ra J= cosn x.dx. n ∫ 0 (n−1)(n−3)(n−π5)...1 .,nchẵn n(n−−2)(n4)...22 ĐS: b/ I(n) = (n−1)(n−−3)(n5)...2  ,n lẻ n(n−−2)(n4)...3 π c/ f(n)=f(0)==I.I. d/ J=I. 01 2 nn π/4 Bài 46. Đặt; I=∈tgnx.dx,(nN) n ∫ 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In+2. 1 ĐS: I+=I. nn2+ n1+ 1 xn Bài 47. Cho I=∈dx,(nN)* n ∫ 01x− Chứng minh rằng: (2n+1)In+=2n.In1− 22. 1 e−nx Bài 48. Cho I=∈dx,(nN)* n ∫−x 01e− a/ Tính I1. b/ Tìm hệ thức giữa In và In–1. 2e 1 ĐS: a/ I=ln; b/ I=−(e1−n) 1) 1 1e+ nI+n1− 1n− Trang 124 Trần Sĩ Tùng Tích phân Vấn đề 13: BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN • Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a ; b] b Dạng 1: Nếu f(x)≥0,∀∈x[a;b] thì : ∫ f(x)0≥ a dấu “=” xảy ra khi f(x)=0,∀∈x[a;b] bb Dạng 2: Để chứng minh: ∫∫f(x).dx≤ g(x).dx . aa § ta cần chứng minh: f(x)≤g(x),∀∈x[a;b] § dấu “=” xảy ra khi f(x)=g(x),∀∈x[a;b] § rồi lấy tích phân 2 vế. b Dạng 3: Để chứng minh: ∫ f(x).dxB≤ (B là hằng số). a f(x)≤g(x),∀∈x[a;b]  § ta tìm một hàm số g(x) thỏa các điều kiện: b ∫g(x).dxB= a b Dạng 4: Để chứng minh: A≤≤∫ f(x).dxB. a § ta tìm 2 hàm số h(x) và g(x) thỏa điều kiện: h(x)≤f(x)≤g(x),∀∈x[a;b]  bb ∫∫h(x).dx==A,g(x).dxB aa § Hoặc ta chứng minh: m≤≤f(x)M, với m==minf(x),Mmaxf(x) bb sao cho: ∫∫m.dx=m(b−a)=A,M.dx=M(b−=a)B. aa bb Dạng 5: ∫∫f(x).dx≤ |f(x)|dx . aa dấu “=” xảy ra khi f(x)≥0,∀∈x[a;b] § BĐT (5) được suy ra từ BĐT dạng 2 với nhận xét sau: ∀∈x[a;b], ta luôn có: −|f(x)|≤≤f(x)|f(x)| bbb ⇔−∫|f(x)|dx≤≤∫∫f(x).d(x)|f(x)|dx (lấy tích phân 2 vế) aaa bb ⇔≤∫∫f(x).dx|f(x)|.dx. aa Ghi chú: Trang 125 Tích phân Trần Sĩ Tùng 1. Thực chất chứng minh bất đẳng thức tích phân chính là chứng minh: f(x)≤g(x),∀∈x[a;b]. Nếu dấu “=” xảy ra trong bất đẳng thức f(x)≤g(x) chỉ tại một số hữu hạn điểm x∈[a;b] thì ta có thể bỏ dấu “=” trong bất đẳng thức tích phân. 2. Do BĐT là một dạng toán phức tạp, nên mỗi dạng trên có nhiều kỹ thuật giải, vì vậy trong phần bài tập này, không đi theo từng dạng trên mà đi theo từng kỹ thuật giải. Kỹ thuật 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương hoặc chặn trên, chặn dưới BÀI TẬP Bài 49. Chứng minh các bất đẳng thức: 11 x19 .dx1 ππ1 dx2 a/ << b/ <<. 3 ∫3 6 ∫ 23 202 0 1x+20 6804−−xx 11/2 dx1 200πcosx.dx1 c/ <<. d/ < ∫2 2 ∫ 500(3+2cosx) 2(3+3) 100π x200π Bài 50. Chứng minh các bất đẳng thức: π/2 1 ππ2 e. 1 2 a/ <<∫esinx.dx b/ 1−≤≤∫e−x .dx1. 220 e 0 3 e−x .sinx π c/ 0<<dx ∫2 1 x+112e t 4 2 tgx π π (tg3t+3tgt) Bài 51. Cho I(t)= ∫ dx,với 0)e3 0 cos2x 4 4 2 t lnx Bài 52. Đặt: J(t)=∫dx, với t > 1. 1 x Tính J(t) theo t, từ đó suy ra: J(t) t1. Kỹ thuật 2: Dùng bất đẳng thức Côsi hay Bu Nhia Cốp Ski BÀI TẬP Bài 53. Chứng minh các bất đẳng thức: π/2 27π a/ ∫sinx(2+3sinx)(7−<4sinx)dx 0 2 π/3 2π b/ ∫cosx(5+7cosx−<6cosx)dx. π/4 3 e c/ ∫ lnx(9−3lnx−2lnx)dx≤−8(e1) 1 Bài 54. Chứng minh các bất đẳng thức: π/3 a/ ∫(8cos2x+sin2x+8sin22x+cosx)dx2≤π 0 Trang 126 Trần Sĩ Tùng Tích phân e b/ ∫(3+2ln22x+5−2lnx)dx≤−4(e1) 1 Bài 55. Sử dụng bất đẳng thức dạng 5 chứng minh: 1 sinxx.dx π3cosx−π4sinx5 a/ <; b/ ≤. ∫2 ∫2 0 1+x4 x+14 Kỹ thuật 3: Sử dụng GTLN – GTNN của hàm số trên miền lấy tích phân bằng bảng biến thiên. BÀI TẬP Bài 56. Chứng minh các bất đẳng thức: 22 x.dx1 1 4 a/ <<; b/ 0<x(1−<x)2 .dx; ∫2 ∫ 521 x1+ 0 27 11 c/ 542≤∫(x+7+11−≤x).dx108; −7 2 π 2 ππ3dx23 d/ 2.e−−1/4≤≤exx2.dx2e; e/ <<. ∫ ∫2 0 330 cosx++cosx1 Kỹ thuật 4: Sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số bằng cách tính đạo hàm BÀI TẬP Bài 57. Chứng minh các bất đẳng thức: 3π/3 sinx.dx1 a/ <<∫ ; 4π/4 x2 2π b/ 2π7≤∫(2+sinx)(6−sinx).dx≤π215. 0 1 1 2 π+4 c/ ex >1+x,∀x≠>0.Suyra:∫e1x+dx 0 4 200 2 d/ exx≥x,∀≤x.Suyra:∫e−.dx0,01. 100 x4 dx e/ 1e.Suyra:0,92<<1. ∫3 e 3 lnx Kỹ thuật 5: Sử dụng bất đẳng thức Bu Nhia Cốp Ski trong tích phân bài tập 9.16 BÀI TẬP Bài 58. Chứng minh rằng nếu f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên [a ; b] thì ta có: Trang 127 Tích phân Trần Sĩ Tùng b2 bb 22 ∫f(x).g(x).dx≤∫∫f(x).dx.g(x).dx. aaa (BĐT trên gọi là BĐT Bua Nhia Côp Ski trong tích phân) Bài 59. Chứng minh rằng: 2 111 ∫f(x).g(x).dx≤∫∫f(x).dx.g(x).dx 000 Bài 60. Cho f(x) là hàm số xác định liên tục trên [0 ; 1] và f(x)≤1,∀∈x[0;1]. Chứng minh rằng: 112 2 ∫∫1−f(x).dx≤−1f(x).dx. 00 1 dx2 Bài 61. Biết ln2=>∫.Chứngminh:Ln2. 0 x+13 Trang 128 Trần Sĩ Tùng Tích phân Vấn đề 14: TÍNH GIỚI HẠN CỦA TÍCH PHÂN • Trong bài toán tìm giới hạn của tích phân thường có 2 dạng sau: t Dạng 1: Tìm limf(x).dx,(t> a) t→∞ ∫ a t Ta tính tích phân ∫ f(x).dx phụ thuộc vào t, sau đó dùng định lý về giới hạn để tìm a kết quả. b Dạng 2: Tìm limf(x,n).dx,(n∈ N) n→∞ ∫ a b Ÿ Dùng BĐT tích phân đem tích phân về dạng: A≤≤∫ f(x,n).d(x)B a b ⇒limA≤≤limf(x,n).dxlimB n→∞nn→∞∫→∞ a b Ÿ Sau đó, nếu: limA=limB==lthìlimf(x,n).dxl n→∞nn→∞→∞ ∫ a * Nhắc lại định lý hàm kẹp: “Cho ba dãy số an,bnn,c cùng thoả mãn các điều kiện sau:  * ∀n∈N,an≤≤bCnn  . Khi đó: limbln = ” limann==limCl n→∞ nn→∞→∞ BÀI TẬP x dt Bài 62. a/ Tính I(x)=>,(x1) b/ Tìm limI(x) ∫ x→+∞ 1 t(t+1) 2x ĐS: a/ ln; b/ ln2. x1+ ln10 ex .dx Bài 63. a/ Tính I(b);= b/ Tìm limI(b) ∫ 3x b→ln2 b e2− 31 ĐS: a/ 6−−(eb2)2/3 b/ 6. 22 1 e−nx .dx Bài 64. Cho I=∈(nN)* n ∫−x 0 1e+ Trang 129 Tích phân Trần Sĩ Tùng Tính In+ In−1n,từđótìmlimI. x→+∞ t12 + ĐS: a/ ln4+ ln b/ ln4. (t+ 2)2 x Bài 65. a/ Tính I(x)=+(t2t2t).e.dt.TìmlimI(x) ∫ x→−∞ 0 x 2t.lnt.dt b/ Tính I(x)=>,(x1).TìmlimI(x). ∫22 x→+∞ 1(1+t) ĐS: a/ 0; b/ ln2. em Bài 66. a/ Tính theo m và x > 0 tích phân: Im (x)=−∫t.(mlnt).dt. x b/ Tìm limIm (x). Tìm m để giới hạn này bằng 1. x0→ − 1 2m22 1 2m ĐS: a/ e+2xlnx−+(2m1)x b/ e;m= ln2. 4 4 Trang 130 Trần Sĩ Tùng Tích phân ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN §Bài 1: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Vấn đề 1: DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG 1. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi 4 đường: (c):y=f(x)  b y=0(trụchoànhOx)  được tính bởi công thức: S=∫f(x)dx (1) xa= a x=<b(ab) 2. Phương pháp giải toán: * Ta cần phải tìm đầy đủ 4 đường như trên  * và vì cần phải bỏ dấu giá trị tuyệt đối nên ta có 2 cách giải sau: Cách 1. Phương pháp đồ thị: * Vẽ đồ thị (C) : y = f(x) với x ∈ [a ; b] y a/ Trường hợp 1: (C): y = f(x) Nếu đồ thị (C) nằm hoàn toàn S trên trục hoành Ox (hình a) thì: 0 a b x b (Hình a) (1)⇔=S∫f(x).dx a y b/ Trường hợp 2: a b Nếu đồ thị (C) nằm hoàn toàn 0 S x dưới trục hoành Ox (hình b) thì: b (Hình a) (1)⇔S=−∫f(x).dx a y (C): y = f(x) c/ Trường hợp 3: Nếu đồ thị (C) cắt trục hoành Ox tại một điểm S a có hoành độ x = x0 (như hình c) thì: 0 xSb a x0 b (1)⇔S=f(x).dx+−f(x).dx ∫∫ S = S1 + S2 (Hình c) aa * Ghi chú: Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a ; b] thì ta dùng công thức sau: b S=∫f(x)dx a Trang 131 Tích phân Trần Sĩ Tùng Cách 2. Phương pháp đại số: Ÿ Giải phương trình hoành độ giao điểm : f(x) = 0 (*) Ÿ Giải (*) để tìm nghiệm x trên đoạn [a ; b]. Ÿ Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét dấu f(x) trên đoạn [a ; b] để bỏ dấu giá trị tuyệt đối hoặc ta sử dụng trực tiếp công thức sau: b S= ∫ f(x)dx a Ÿ Nếu (*) có nghiệm x = x0 và f(x) có bảng xét dấu như hình bên thì: x a x0 b x0 b f(x) + 0 – S=−∫∫f(x)dxf(x)dx. ax0 Ghi chú: (1) Diện tích S luôn là một giá trị dương (không có giá trị S ≤ 0). (2) Với câu hỏi: “Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục hoành” thì ta phải tìm thêm hai đường x = a, x = b để làm cận tích phân, hai đường này chính là giao điểm của (C) và trục Ox, là 2 nghiệm của phương trình f(x) = 0 (theo phương pháp đại số). Với câu hỏi đơn giản hơn như: “Tính diện tích giới hạn bởi đường (C) : y = f(x) thì ta phải hiểu đó là sự giới hạn bởi (C) và trục hoành. (3) Một số hàm có tính đối xứng như: parabol, đường tròn, elip, hàm giá trị tuyệt đối, một số hàm căn thức; lợi dụng tính đối xứng ta tính một phần S rồi đem nhân hai, nhân ba, ... (cũng có thể sử dụng tổng hoặc hiệu diện tích). (4) Phần lớn dạng toán loại này ta nên dùng phương pháp đồ thị hiệu quả hơn; một số ít phải dùng phương pháp đại số như hàm lượng giác vì vẽ đồ thị khó. Trang 132 Trần Sĩ Tùng Tích phân Vấn đề 2: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG (C1), (C2) 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (C1), (C2) (C1):y=f(x)  b (C2):y=g(x)  được tính bởi công thức: S=−∫f(x)g(x)dx xa= a x=<b(ab) 2. Phương pháp giải toán: Cách 1. Phương pháp đồ thị: * Trên cùng mặt phẳng toạ độ ta vẽ 2 đồ thị: (C12):y==f(x)và(C):yg(x). a/ Trường hợp 1: (C1) không cắt (C2) y § Xác định vị trí: Trên đoạn [a ; b] thì (C1) nằm trên (C ) hay (C ) nằm trên (C ) bằng cách vẽ một M 2 2 1 (C1) đường thẳng song song với trục tung Oy cắt hai S (C ) đồ thị tại M và N. N 2 Khi đó nếu M ở trên N thì đồ thị chứa M sẽ nằm trên đồ thị 0 a b x chứa N. (hình 2a) b § Nếu (C1) nằm trên (C2) thì: S=−∫[f(x)g(x)]dx. (h.2a) a y b § Nếu (C ) nằm trên (C ) thì: S=−[g(x)f(x)]dx. (h.2b) M 2 1 ∫ (C2) a S (C ) § Trong trường hợp 1, ta có thể dùng trực tiếp công thức sau: N 1 0a b x b S=−∫[f(x)g(x)]dx. (hình 2b) a b/ Trường hợp 2: (C1) cắt (C2) tại điểm I có hoành độ x0. x0 b S=∫∫g(x)−f(x)dx+−f(x)g(x)dx y ax0 (C1): y = f(x) Hoặc dùng công thức sau: I S1 S2 (C2): y = g(x) x0 b S=∫∫[f(x)−g(x)]dx+−[f(x)g(x)]dx 0 a x0 b x ax0 Cách 2. Phương pháp đại số: § Lập phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*) § Nếu (*) vô nghiệm trên khoảng (a ; b) thì ta xét hiệu f(x) – g(x) để bỏ dấu “| |”. § Nếu (*) có một nghiệm x0 thuộc khoảng (a ; b) thì: Trang 133 Tích phân Trần Sĩ Tùng x0 b S=∫∫f(x)−g(x)dx+−f(x)g(x)dx aa rồi xét lại từ đầu trên các đoạn [a;x00]và[x;b]. Ghi chú: (1) Trong thực hành ta nên dùng phương pháp đồ thị. (2) Khi giao điểm của (C1) và (C2) không chắc chắn như số hữu tỉ hoặc số vô tỉ, ta nên thực hiện thêm việc giải phương trình hoành độ f(x) = g(x) cho chính xác. (3) Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là các cận của tích phân. (4) Trên đây khi tính diện tích ta đã coi x là biến, y là hàm. Tuy nhiên trong một số trường hợp ta coi y là biến của hàm x (nghĩa là x = f(y)), khi đó việc tính diện tích sẽ đơn giản hơn. Trang 134 Trần Sĩ Tùng Tích phân Vấn đề 3: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI NHIỀU ĐƯỜNG § Xét đại diện 4 đường (C1),(C234),(C),(C). y (C1) (C2) § Ta dùng phương pháp đồ thị (duy nhất) (C4) C § Vẽ 4 đường trên cùng một mặt phẳng B S (C3) 3 và xác định hoành độ giao điểm giữa chúng S2 S1 (x1, x2, x3, x4) A D § Diện tích hình phẳng S cần tìm: S=S1++SS23 0 x1 x2 x3 x4 x xx14x3 ⇔S=∫[(C1)−(C3)]dx+∫∫[(C4)−(C3)]dx+−[(C42)(C)]dx. x1xx23 Trang 135