Toán học - Xác suất

1Nhắc lại TOÁN Xác suất 2Dàn bài
Xác suất là gì?
Biến ngẫu nhiên
Các hàm thể hiện phân phối xác suất
Kỳ vọng, phương sai
Biến ngẫu nhiên kết hợp
Độc lập xác suất, xác suất có điều kiện
Biến vector ngẫu nhiên 3Xác suất là gì?
Một ‘th
c nghim’ là một tiến trình với các kt qu ngu nhiên
Một s
kin là tập của những kết quả ngẫu nhiên đó
Gọi S là tập tất cả các kết quả có được, được gọi là s
kin chc chn 4Xác suất là gì (tt)
Ví dụ: gieo một con xúc sắc thì ◦ Tập các kết quả ngẫu nhiên có được là S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ◦ Tập sự kiện ‘chẵn’ là A = {2, 4, 6}
Ví dụ: chiều cao của con người??? 5Xác suất là gì (tt)
Xác suất của một sự kiện được cho bởi một số thỏa mãn 3 tiên đ ◦ Không âm: P{A} ≥ 0 với mọi A ◦ Bằng 1 cho sự kiện chắc chắn P{S} = 1 ◦ Tính cộng của các sự kiện không giao nhau A ∩ B = Ø
P{A∪B} = P{A} + P{B}
Ví dụ: xúc sắc với 2 sự kiện chẵn, lẻ. 6Dàn bài
Xác suất là gì?
Biến ngẫu nhiên
Các hàm thể hiện phân phối xác suất
Kỳ vọng, phương sai
Biến ngẫu nhiên kết hợp
Độc lập xác suất, xác suất có điều kiện
Biến vector ngẫu nhiên 7Biến ngẫu nhiên (random variable)
Một biến ngẫu nhiên số là một hàm số nhận một giá trị số tương ứng với mỗi kết quả của một ‘thực nghiệm’ ngẫu nhiên
Giá trị của mà biến ngẫu nhiên nhận được là ‘thể hiện’ của biến ngẫu nhiên đó.
Có 2 loại biến ngẫu nhiên được quan tâm ◦ Rời rạc ◦ Liên tục 8Biến ngẫu nhiên (tt)
Ví dụ: gọi biến ngẫu nhiên X là số điểm có được khi gieo một con xúc sắc ◦ X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 ◦ Trong 1 lần gieo xúc sắc ta nhận được mặt 4 nút, khi đó X có ‘thể hiện’ là 4 ◦ P{1 < X < 5} = ?
Ví dụ: chiều cao của con người??? 9Dàn bài
Xác suất là gì?
Biến ngẫu nhiên
Các hàm thể hiện phân phối xác suất
Kỳ vọng, phương sai
Biến ngẫu nhiên kết hợp
Độc lập xác suất, xác suất có điều kiện
Biến vector ngẫu nhiên 10 Hàm mật độ xác suất (probability density function - pdf)
Hàm mật độ xác suất (pdf) của một biến ngẫu nhiên liên t c được định nghĩa bởi
Như vậy 0 { }( ) lim 0x d P d xp dξ ξ ξ ξξ ξ→ − < < = ≥ { }= ( )xP x p x dx ξ η η ξ< ≤ ∫ 11 Hàm phân bố tích lũy (cumulative probability distribution function – cdf)
Hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên t c được định nghĩa bởi
Vì (x<∞) là sự kiện chắc chắn nên ( ) {- }= ( )x xP P x p x dx ξ ξ ξ −∞ = ∞ < ≤ ∫ {- }= ( ) 1xP x p x dx ∞ −∞ ∞ < < ∞ =∫ 12 Hàm phân bố tích lũy (tt) 13 Phân phối đồng nhất (uniform)
Một biến ngẫu nhiên x có phân phối đồng nhất trong [a,b] được ký hiệu là x ~ U(a,b) 14 Phân phối đồng nhất (tt) 1 if [ , ]( ) ( ; , ) 0 elsewhere x a b p x U x a b b a  ∈ = = −  15 Phân phối đồng nhất (tt) 0 ( ) 1 x a x aP x a x b b a x b <  − = ≤ ≤ − > 16 Phân phối Gauss
Biến ngẫu nhiên x có phân phối Gauss được ký hiệu là x ~ N(µ,σ2) 17 Phân phối Gauss (tt) 2 2 ( ) 2 21( ) ( ; , ) 2 x p x N x e µ σµ σ piσ − − = = 18 Phân phối Gauss (tt) 19 Hàm xác suất khối (probability mass function – pmf)
Hàm xác suất khối của một biến ngẫu nhiên ri rc x nhận giá trị trong tập {ξi, i=1..n} được định nghĩ bởi
Tương tự như hàm mật độ xác suất ( ) { }x i i iP xµ ξ ξ µ= = = 1.. 1i i n µ = =∑ 20 Hàm phân bố tích lũy khối (cumulative probability mass function – cpmf)
Hàm phân bố tích lũy khối được định nghĩ bởi 1 { } 1( ) n i i i P x ξ µ ξ ξ = ≤ = −∑ 21 Phân phối đồng nhất 22 Phân phối đồng nhất (tt) 23 Dàn bài
Xác suất là gì?
Biến ngẫu nhiên
Các hàm thể hiện phân phối xác suất
Kỳ vọng, phương sai
Biến ngẫu nhiên kết hợp
Độc lập xác suất, xác suất có điều kiện
Biến vector ngẫu nhiên 24 Kỳ vọng
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên x được cho bởi
Kỳ vọng của một hàm đối với biến ngẫu nhiên x được định nghĩa bởi [ ] ( )E x xp x dx x ∞ −∞ = ∫
[ ]( ) ( ) ( )E f x f x p x dx ∞ −∞ = ∫ 25 Phương sai
Phương sai được định nghĩa bởi
Bài tập: tìm kỳ vọng và phương sai của ◦ X ~ U(a,b) ◦ X ~ N(0,1) 2 2 2 2 2ar( ) [( ) ] ( ) ( ) [ ] ( ) xv x E x x x x p x dx E x x σ ∞ −∞ − = − = −∫

26 Dàn bài
Xác suất là gì?
Biến ngẫu nhiên
Các hàm thể hiện phân phối xác suất
Kỳ vọng, phương sai
Biến ngẫu nhiên kết hợp
Độc lập xác suất, xác suất có điều kiện
Biến vector ngẫu nhiên 27 Hàm mật độ kết hợp (joint pdf)
Hàm mật độ kết hợp của một sự kiện với một biến ngẫu nhiên liên tục được cho bởi , 0 { , }[ , ] limA x d P A d xP A dξ ξ ξ ξξ ξ→ − < ≤ = 28 Hàm mật độ kết hợp (tt)
Của 2 biến ngẫu nhiên liên tục
Tính chất biên , 0, 0 {{ } { }}( , ) limx y d d P d x d yp d dξ η ξ ξ ξ η η ηξ η ξ η→ → − < ≤ ∩ − < ≤
, ( , ) ( )x y xp d pξ η η ξ ∞ −∞ =∫ 29 Hàm phân bố tích lũy kết hợp (joint cdf)
Của 2 biến ngẫu nhiên được cho bởi , , ( , ) { , } ( , )x y x y x y P P x y p x y dxdy ξ η ξ η ξ η =−∞ =−∞ = ≤ ≤ = ∫ ∫ 30 Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên
Hiệp phương sai của 2 biến ngẫu nhiên được cho bởi
Hệ số tương quan của 2 biến ngẫu nhiên này được cho bởi 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 , 1 2 1 2 cov( , ) [( )( )] ( )( ) ( , )x x x x x x E x x x x x x x x p x x dx dx σ ∞ ∞ −∞ −∞ − − = − −∫ ∫

1 2 1 2 2 12 x x x x σ ρ σ σ
31 Hệ số tương quan (tt) 32 Dàn bài
Xác suất là gì?
Biến ngẫu nhiên
Các hàm thể hiện phân phối xác suất
Kỳ vọng, phương sai
Biến ngẫu nhiên kết hợp
Độc lập xác suất, xác suất có điều kiện
Biến vector ngẫu nhiên 33 Độc lập xác suất
2 sự kiện A và B được gọi là độc lập xác suất nếu và chỉ nếu P{A∩B} = P{A}P{B}
Mở rộng cho một tập sự kiện đôi một độc lập nhau
Đối với n biến ngẫu nhiên độc lập xác suất 11 { } n n i i ii P A P A ==   =    ∏I 1 1 ( ,..., ) ( ) n n i i p x x p x = =∏ 34 Xác suất có điều kiện
Xác suất để xảy ra sự kiện A trong trường hợp sự kiện B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện P{A|B} = P{AB} / P{B}
Như vậy, nếu A và B độc lập xác suất thì P{A|B} = P{A}
Tương tự với 2 biến ngẫu nhiên , ( , )( | ) ( ) x y x x p x y p x y p y = 35 Xác suất có điều kiện (tt)
Một số tính chất ◦ ◦ Gọi Γ = {Bi, i=1..} là một phân hoạch của không gian kết quả, khi đó ( ) ( , ) ( | ) ( )p x p x y dy p x y p y dy ∞ ∞ −∞ −∞ = =∫ ∫ ( ) ( , ) ( | ) ( ) i i i i i B B p x p x B p x B P B ∈Γ ∈Γ = =∑ ∑ 36 Xác suất có điều kiện (tt)
Định lý Bayes
Bài tập??? ( | ) ( )( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )( ) ( ) ( | ) i i i i i i i B p y x p xp x y p y p x B P B p x B P BP B x p x p x B ∈Γ = = = ∑ 37 Dàn bài
Xác suất là gì?
Biến ngẫu nhiên
Các hàm thể hiện phân phối xác suất
Kỳ vọng, phương sai
Biến ngẫu nhiên kết hợp
Độc lập xác suất, xác suất có điều kiện
Biến vector ngẫu nhiên 38 Biến vector ngẫu nhiên
Một biến vector ngẫu nhiên x = [x1,,xn]’ có các thành phần xi là các biến ngẫu nhiên số
Hàm mật độ xác suất của x là hàm mật độ xác suất của hợp n thành phần biến ngẫu nhiên số { } 1 1 ,..., 1 0, 1.. 1 ( ) ( ,..., ) lim ... n i n i i i i x x n d i n n P d x p p d dξ ξ ξ ξ ξ ζ ξ ξ = → =   − < <    = =x ξ I 39 Biến vector ngẫu nhiên (tt)
Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên vector x là một vector nx1
Hiệp phương sai là một matrận nxn
Ma trận Pxx có thành phần (i,j) chính là cov(xi,xj) 1 1[ ] ... ( ) ... n n x x E p dx dx ∞ ∞ =−∞ =−∞ = ∫ ∫x x x x
cov( ) [( )( ) '] ( )( ) ' ( ) xxE p d P− − = − −∫x x x x x x x x x x x