Toán học - Một số bàí toán tổng hợp tốl ưu hệ điểu khiển

tion d e ra u lt d e ta u R Obịecltve Pundion Constraints anơ Bounđs Help Sotve Plot i| Giurt Hình B.3.1 Để tạo hàm mục tiêu (Objective Punction), chọn Edit tương ứng, soạn thào như hình B.3.2. Sau khi soạn xong, chọn Done . Đế tạo các ràng buộc và giới hạn (Constraints and Bounds), chọn Edit tương ứng và soạn thảo như hình B.3.3. Soạn từng ràng buộc vào ô Add =HỤ LỤC B 301 :onstraint rồi chọn A d d . Soạn giới hạn dưới và giới hạn trên của từng biến /ào ô Add Bound rồi chọn Add . Edit Objective Punđion 100^ (x 2 -x l''2 ) ''2 + ( l- x l) ' '2 Cancel Done Hình B.3.2 A d d C onstra ỉn t 3*x1 -t-5 *x 2< = 10 A d d B ound x 2 - -2 1 A s s u m e a!l va ria b les no nn egative Edít C on stra in ts an d Bounds C onstrain t or Bound C an ce l A dd A dd D isable Edit D elete Done Hình B.3.3 302 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tố l ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN TỐI ưu Đê chọn phương pháp giải bài toán, bấm chuột vào các nút tương ứng như hình B.3.4. Chọn: L o c a l D e í a u l t : ITieo mặc định L i n e a r ; Quy hoạch tuyến tính Q u a d r a t i c : Quy hoạch toàn phương N o n l i n e a r : Quy hoạch phi tuvến L e a s t S q u a r e : Bình phương nhỏ nhất M i n i m i z e : Bài toán tìm min của hàm mục tiêu M a x im iz e : Bài toán tìm max của hàm mục tiêu S o l v e : Giải bài toán. Kết quả bằng số xuất hiện trong ô S o l u t i o n P l o t : Vẽ đồ thị hàm mục tiêu theo 2 biến tùy chọn. Đồ thị như hình B.3.5 Sotver Problem loc^ Detaiiỉ Nonlinear Deíauí . • Leasí Squares C^tons (*■ Múvrriie () Maximiĩe FeasibitityTolefônce ơetâult Inrttal Vatues 1^ Clear Ed< Optimatity Tolerance deíauit íeralttin Limit detault InMe 8oưiđ detauH On QuS. RetLSTi SoUion Objeđwe Punction 100 (í2-í/^)^+ (1-^;)^ Ccnstraris and Botnds [ - 2 , 2 ] xì' + < 1 3 xi + 5x2 < 10 Edt Edỉ S d u tio n Obiective value: . 45674803719Ũ541I92e'l x2 ^ .617698312090790514 xi = .7864iSi5451055S548 Help Ịị Solve F1ot Quỉ Hình B.3.4 PHỤ LỤC B 303 R a n g e s R a n g e o t V ' t= -2 R a n g e o í x2 V- = -2 R a n g e o l o b j e c t iv e v a l u e s = d e t a u i t [ ỹ ] P lơ l U s in g P ro b le m D o m a in - -2 2 2 c íe ía u tt e x t r e m a a t o .7 8 6 4 1 5 e x ì r e m a a t 0 6 1 7 6 9 3 e x t r e m a o t 0 .0 4 5 6 7 4 8 P lo t l ĩ ì P lo t C o n s t r a i n t s L J a s S u r í a c e s D o n e Hĩnh B.3.5 4. H ồi quy tuyến tính và ước lượng đường cong số liệu (Linear Regression and Curve Pitting) Cho số liệu quan sát ; x = [ 6 9 12 15 18 21 24 27 30 ] Y = [60 195 225 240 243 240 230 220 2001 Cách dùng Cur\'e Pitting Assistants cúa MAPLE như sau: Trên thanh công cụ chọn: Tools/Assistants/Curve Fitting Giao diện Curve Pitting Assistant như hình B.4.6. Sau khi điền số liệu X, f (X) và chọn Fit Curve, xuất hiện giao diện như hinh B.4.7. Trono ó e x p r e s s i o n i n X , nếu cho a. l n ( x ) ^ 2 + b.ln(x) + c sẽ nhận được đồ thị và kết quả sau khi ấn P l o t . Có thể chọn dạn° hàm hồi quy khác nhau tưcfng ứng với các Plot khác nhau sao cho đường cong hồi quy sát với đường cong số liệu. 304 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA TÒÌ ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN t ố i ưu 21 24 27 30 Enter data poirits below Independent Values (x) Dependent Values (f(x)) 240 ; 230 : 220 ■ 200 Current Page 2 Prevíous Page Next Page Clear Cancel Help Fít Curve Hình B.4.6 Hình B.4.7 PHỤ LỤC B 305 5. H ồi quy phi tuyến (Nonlinear Regression) Cho vectơ số liệu X. Y. Chọn các dạng của hàm hồi quy Một thí dự được giải bằng MAPLE và lệnh F i t () như dưới đây. > restart with[Statistics) : with{plots) : > # H O I Q U Y M O T B I E N > # X- Vecto hi en doc lap:Y-Veclo bien phu íhuoc. > X --= {1 ,2 , 3 ,4 , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15); y : = (4 ,4 .5, 5.2, 5, 4.4, 3.7, 3, 2.1, 1.3, 0 . 5 ,0 , - 0 , 5 , - 1, 0, 0.3); I .. 15 Vector . ( o i i i m n Data Type: ưnyíhiniị Stoỉ : f ectan ựuỉar Order: ForỊran order \ ~ K:- / . 15 Vccĩor , c o ỉ u m / i Daiư Tvpe: anyíhiiì<ị Sĩoraiịư: recỊaìi^ĩiỉar Order: Forĩran ordcr > # Chon cac dang ham hoi quy (ỉhien, 3 thong so): > f! ■■= a ' QX' ọ[ - h- x) ' S\ n{ - c - x) \ f 2 ■= ( ị - a c ^ s in(c' x) Í2 -- ;-- a v“ -r h V -r c > u Cac ham hoi quy tinh cỉuoc: > y ỉ : = F i i [ f ỉ . x . Y . x ) \ y 2 Fi í ( / 2 , x . r , x ) ; ______ X______ ’ ứ - . r " + / ? - . r + c V, =15.0246163671458906^'°'-’'’’*'''“ **"“"®' sm(0.272632102490544780x) .V, = / ( 0 .0 9 9 0 7 9 8 9 7 4 4 1 9 8 2 2 5 6 5 -1 - - 0 . 3 3 0 2 7 0 2 2 8 0 3 1 2 1 6750. V + 0.639591063734849640) > U Ve do thi so lieu va cac ham hoi quy: ^ p := PoỉfĩĩPỉoĩ[YJegend = "Data") \P Ì : = p ỉo t ( v ỉ , x = 0 ,Ả5,coìor = red, thỉckness 2, ỉe%emỉ ^ " y \P 2 : = plo t(y2 , X = 0 .. 15, coỉor ^ hỉue, thickness = 2, ỉegend = "y2") : dìspiciy(P, P ỉ . P2, tiĩỉe - " D O T H Ỉ SO L I E U V A C A C H A M H O I Q U Y " ); 306 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tố l ưu HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ưu D O T H I S O U E U V A C A C H A M H O I Q U Y > # 0 K 6. H ồi quy nhiều biến sô' Khi biến độc lập X là một ma trận, biến phụ thuộc Y là một vectơ. Xây dựng hàm hồi quy dưới dạng: m y = a , > + Z a , ụ x ) với : fj (X ) - hàm chọn trước j == l ,m - các tham số cần xác định Một thí dụ được giải bằng MAPLE và dùng lệnh Fit () như dưới đây, > restarỉ :with{Statỉstics) \ \vilh[pỉots) : > u HOỈ QUY NHỈEU BỈEN > fịX- Ma tran hien doc lap;Y-Vecto hienphu thuoc. > X M a t r ỉ x [ [ [ ì , 1.25], [2,4.2], [3,2.7], [4, 1.6], [5,2.6]]); Y ■■= Kecía/'([4.2,43,3.1,2.4,4.3 ỉ 1.25 2 4.2 X;- 3 2.7 4 1.6 5 2.6 HỤ LỤCB 307 4.2 4.5 K : - 3.1 2.4 4.3 > # Chon dang ham hoi quy (2 bien. 4 íhongso): > f l : = a- xl ^ + b - x ĩ ^ \ j l ■■= — ^ ; / ^ = aQ + / y + y 2 ;XỈ'X2 ' (! ■-(! x!^ + h x2~ f :=a( ) + a x l ^ + h x2^ + xì x2 > # Ham hoi quv tinh diioc: > y ■■= F i t { f , X , Y A x J . x 2 ] ) - ;:=0.108885404389356136x,' -0.459827035884925516y- + 0.227626476256229882x' + 5.21963021975443775 XA', > # Ve do thi mat hoi quy > p l o t ỉ d [ y , x I = 1 , . 5 , x2 = 1 . . 5 , í í 7 / e = " i M A T H 0 1 Q U Y " ) ; MAT HOI QUY > noK 7. Điều khiển tối ưu vé thời gian Thí dụ 9.1.2 trong sách được giải bằng cách ước đoán thời gian điều khiển và giải ngược PTVP như dưới đây. > restart : w ỉth[pỉots) : > # DỈEUKHiEN TOỈ u u VE THOĩ GỈAN. GỈAĨ NGUOC PTVP > > # PTVP( da doi dau ve phai): > 308__________ CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐIỀU KHIẩN TÒ'| ưu = d ì f f ( x ỉ ( t ) , t ) = - 0)-x2(r); = d t f f { x 2 ( t ) , t ) = a ) - x ỉ ( t ) == = - (0- p 2 ( t ) ; = dij f (p2{t) , t ) = + (ứ- p l [ t ) \ PTI PT2 PT3 PT4 u ■■= sigrìum{p2{t)]- , PTI : = - ị - x / { t ) = ~-íũx2{t) úl PT2 : - - ^ x 2 ( í ) - ( 0 , r / ( / ) - u P ĩ ' J : = ~ p / ( t ) ^ - o y p 2 ( r } P Ĩ 4 : = - ^ p 2 i r } = m p / ( r ) u : = s i c n u n n ( / ^ 2 ( / ) ) > n SO LlEU > (0 := 2; t f ■■= 3; 0> :-2 l í - ì > # D ỈE U K IE N D A U : > D K D : = . r y ( 0 ) = 0 , x 2 ( 0 ) = 0 , p / ( 0 ) = l , p 2 ( 0 ) = - 1; DKD : - x / ( 0 ) - 0 . . v 2 ( 0 ) - ( ) , / ; / ( ( ) ) - l , / ; J ’ (ơ) - - 1 > # GIAI PTVP & VE DO THI > nghiem :=dsolve ( { PTJ , PT2, PT3, PT4, DKD} , numeric)-, nghiem :- -^pìTttc{x rk/'4ĩ ) ... e i id p r o c HỤ LỤC B 309 ^ odeplotịnghiem , [ [ / , i í ] , [ i , p2{ t ) , sry l e = point]] , I = 0 ..lf, thickness = 2, legend = [ " H A M Ò l E U K H I E N " , " H A M p2( t ) " í ) ; oc/eplot {nghiem, [ x l { r ) , x2{ t ) ], r = 0 ..ự, thickness = 2, title = " Q U Y D A O P H A " ) ; Q U Y D A O P H A > # SA VE: D KTU - THOỈGIAN 8. Điêu khiển tối ưu khi bị ràng buộc vé' trạng thái Thí dụ 9 .5 .1 được giải bằng MAPLE như dưới đây. > resíari : wi th[plots) : > # D KTU CO RANG BUOC T M N G THAI-PHUONG PHAP TRUC TIEP > # P T trang thai: > fl := ,/2 := «;,/» / / :-.v : /2 3 ] 0 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu m > # P T rang buoc g va dao ham dg: > g ■■= {xl ^ + x 2 ^ Ý ~ 2 - a ~ - { x ỉ ^ - x2^): a ■■= ị- g { x ì - + x 2 - Ý ~ 2 (>- [xỉ^ - . r2“ ) ư ỉ > d g - - = 2 ị x r ~ + x 2 - ) - [ 2 . x ! - f I + 2 . x I - f Ị + 2. x 2 - /2) - 2-a~ ■ [ 2 . x l - f l - 2 - X 2 - / 2 ) ; d g :=2, { x í - + , x2- ) (4. xJ x2 + 2. ,v2 u) - 4. x ì x 2 + 4x2 II > u Ham Hamiỉton > H-.= -JĐ + p l - f l +p2-J2 +ị i-dg- gHu : = diJf(H,u)-, d p i ■■=-di f f [H, xl ) - dp2 ■■=-diff {H, x2 y, ỉ ỉ • - + p l x2 -r p2 u -T l-i ( 2 . {xì~ + -y2^) (4, x l x2 + 2. x2 lí) — 4. x l x2 + 4 x2 11) ịỉHu :-= - 2 u + p2 + u ( 4 . ( x / - + x2^) x2 + 4 . v 2 ) d p i ( 4 . x ì (4, x l x2 + 2, a2 i / ) + 8. ( x / " + x2~) x2 - 4. .v2) d p i - p ! - Ị.I ( 4 . ,y2 (4. x ì x2 + 2. ,r2 t/) + 2. ( , r / - + ,v2") (4. x / + 2. u) - A. x ì + 4 » ) > # Xac dinh mu, u: > ỊJ. — soỉveị^gH u,\i), u '= s o l ve [ dg , u) \ 0.2500000000( - 2 . u p 2 ) U l - + x 2 ^ + \ )x2 u - ỉ . x / [ l . x ỉ ^ - f 2. ,v2" - ì . ) > UPTVP > PT l PT2 PT3 PT4 PT5 = d i j f { x i { t ) j ) = y / ( 0 ; = d ự n x 2 [ t ) j ) = / 2 ( 0 ; = d i j f { p ỉ { l ) , l ) = d p l ( t ) \ = dự:f[p2{t],t)=dp2[t)■ = d ự n z { t ) , t ) =jo{ty. PHỤ LỤC B 311 / ' 7 7 x K t ) d/ , r r A ^ . ( , ) „ „ ( 2 . . v / ( ò ^ ^ ; - 2 ^ - v : ( r ) - I . ) d/ ' ■ + 1, PT3 d/ 0.25()00()000()( 1 / x2{ t ) [ x K t y ^ x 2 { t r ~ i . ) X {xiụy + X2(IỶ + i.)(2.x/(/) [ i . x i ụỶ + i .xi ị tỶ - 1 . ) ) p -MO) 4 . . r / ( í ) 4 , . v / ( / ) x2( ì ) 2 . x 2 { l ) x l [ t ) [ l . x i ụ y + 2 . . x 2 ( t Ý - 1.) ^ x ỉ [ t ỷ + x 2 { j ] - . v 2 ( 0 " ) -v2(í) - 4 . x J ( 0 + 8, [ x ì ( t Ỷ PT4 p 2 ự ] ^ - -pHì ) 0.2500000000( I x2( í ] [ x i { t r + x 2 ị ! r + i.) ( x / ( n - + x 2 ( / ) - +- 1. ) ( 2 . t / ( 0 ( 2 , . r / f í ) " + 2 ,.v2 ( 0 " p 4. .v2(f) 2 . x 2 í t ) x l [ t ) [ l . x l i i Ỷ + 2 ^ x 2 [ i Ỷ - 1.) ^ xl[iỶ ^ X2[IỶ + \ . - l - í l l l l Ì A í ị l í i Ì i Ậ i M Ỉ ^ L l ' xl[í)- + x2[íY + I, 4..r/(/) (2..v/[n" + 2.-v:f/)' -- 1.) V A- / ( / ) ’ ■■'• a'-’ ( / Ị - - 1. + .v2(r)-) - 4 . , v / ( 0 - A -( ) = l..v/íf)- (2..v/(/)- + 2.,v:(Q- - 1.) ' (,ơ(fì’ -r .v2(0" + 1.)" > UThoi gian tinh tfva Dieiỉ kien bien DKB: 312 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN t ố i ưu > / / : = 2 0 : Đ A ' B : = x / ( 0 ) = 0 , x 2 ( 0 ) = 0 . 1 5 , r ( 0 ) = 0 , / 7 / ( 0 ) = 0 , / ; 2 ( 0 ) = 0; / / : -2 0 /.)Ả7i : = . r / ( 0 ) - 0 . a 2 ( 0 ) = 0 . 1 5 . r ( U ) - ( ) , / ? / ( ( ) ) = ( ) . / ; : ( ( ) ) - 0 > # G /a i PTVP: > nghiem ■■= dsolve ( {PTI , PT2, PT3, PT4, PT5, DKB) , numeric)-, lìglúeni : =proc{ x rk/45 ) ... end p r o c > # d o thi ^ odeplot (nghiem, [t, u{ l ) ], ? = 0 thickness = 2, title = "HAM DlÈU KHIEN " ) ; odepìot [nghiem, [x l [ t ) , x 2 ụ ) ] , t = ồ ,.tj\ thickness = 2, numpoints = 300, title = " Q U Y D A O P H A " ); HAM DIEU KHIEN > n SAVE:DKTU_RBT1 PHỤ LỤC B 313 9. Điéu khiển tối ICU hệ phi tuyến: phương pháp trực tiếp Thí dụ 9.3.1 trong sách được giái theo phưcmg pháp trực tiếp bằng MAPLE như dưới đây. > # D IE Ư K H Ĩ E N T O I v u HE P H Ĩ T U Y E N - PHUONG PHAP TRƯC T I E P > u D KTU CON L A C K E P Tư V I T R I DAU DEN V I T R I CƯ O I CO DINH, T H O I G IA N CHO TRƯOC > resiart wi th{pỉoĩ s) : > # K H A I B A O = > u K ỵ h i e u : N v a r : S o bien; N e q t : S o p h u o n g trinh; N c o n t r : S o d i e u k h i e n \ J = x [ N v a r \ ] ( t f ) > N v a r :=4; N e q t : ^ 2 • N v a r + 1; N c o n t r :=2; :Vví//‘ ;-4 Neqí : - 9 Nconír : ^ 2 > X ■ - a r r a ỵ ị l . . N v a r ) ; f : = a r r a y ( l . . N v a r ) : p :=array( \ . . Nv a r ) ; PT := a r r ã y { l . . N e q t ) \ V '--^^Lỉrrayi ỉ ..4. [ ]) f V- lUTOV ( 1 ..4. Ị I) p :^arrav{ ỉ ..4, I ì) PT :-- ar ray( \ ..9. Ị I) > # ì/e p h a i í[i] cua PTVP t r a n g t h a i & Ham f O t r o n g m u c t i e u ------- 2 ] ; / [ 2 ] " - A ' [ 1 ] • . v / / 7 ( . v [ 1 ] ) “ x[ 2] ■ x [ 1 ] — 0.1 ■ x[ 3 ~ 0 .5 * .v [ 4 ] + w [ l ] ; / [ 3 — A' 2 ] ; / [ 4 ] := - 0 . 1 • .v [ l - 0 . 3 - - r í 2 0.5 • . t [ 3 ] • cyav(.v[3]) - a ' [ 4 ] + w [ 2 ] ; JD • (,v[l]^ + .x-[2] ^ + ,v[3]' + x [ 4 f + u [ \ f + i i[2Ỷ) : / : = - .V, s i n ( . V ị ) - X . - V , - 0.1 0.5 . v^ -t- u /, - .V, 314 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tố l ưu HÓA VÀ ĐlỀU KHIỂN TỐI ưu ;= " 0.1 .Vj “ 0.3 x " — 0.5 x.^ cos^.r. ì — A'^ - 11^ > # Ham H am iỉton ----------------------- > H —ịlì :fo r ỉ [rom 1 ío Nvar do H \-= H p[ i ] - / ' [ / ] ; end do': / / : = /7 ; ' > # PTVP ỉien hop d p -------------------------------- > for i from ỉ to Nvar do d p \ i ] : = —di f f [H, x[ i ] ) \ end do: > dp • ~ { d p [ \ ị d p [ 2 ị d p \ ' ò \ c ỉ p \ 4 ] } > # Tỉm uopt : > for j /rom 1 ĩo Nconír do d ư [ j ] : = d i f f [ H , u [ j \ ) \ end do: > f o r ỹ f r o m l io Ncontr áo ỉ iopt [ j ] : = ^'o/ve(í/zv[ j ], w [ ý ] ) ; c n d do: > # Dat bien theo ỉ : > /:=5«ố5(.r[l] = .r[ l](/),.r[2] =x[2](r),x[3] = x[3](í),.r[4 = x [ 4 ] ( / ) , ; 7 [ 1 ] = / ? [ 1 ] ( / ) , / 7 [ 2 ] = j ơ [ 2 ] ( í ) , / 7 [ 3 ] = p [ 3 ] ( í ) , / ? [ 4 = / ’[4 ] (0 ,“ [l] = «op/[l](/), u[2\ = uopt[2]{t),Pi : > dp ■=subs[x[\ X = X 2 ] ( r ) , x [ 3 ] = x [ 3 ] ( / ) , . r [ 4 4 ] ( í ) , p [ l ] = p [ l ] ( / ) , p [ 2 ] =/?[2]( /) , /?[3] = p [ ì ] ( t ) , p { 4 =/>[4] (/),«[ 1 ] = uopt[\]{t), w[2] = uopt[2][t), dp) : > fO : = 5 « f c ( . v [ l ] = .v [ 1 ] ( / ) , . í [ 2 ] = . v [ 2 ] ( / ) , . y [ 3 ] = . v [ 3 ] ( / ) , . v [ 4 = x 4 ] ( í ) , p [ l ] = p [ l ] ( / ) , p [ 2 ] = / 7 [ 2 ] ( r ) , p [ 3 ] = p [ 3 ] ( / ) , / ) [ 4 = / ? [ 4 ] ( / ) , « [ 1 ] = uopt[\]{t), Ii[2] = uopt[2]{t),f0) : > # P T ỵP cua he dieu khien j o r i /rom 1 lo Nvar do PT{ i \ { x [ ì \ [ ị ) , t) ^ f enci d o ; fo r i from I to Nvar do PT + Nvar] ' ~d ỉ f f ( p [ ỉ ] ( t ) , t ) = cỉp[ỉ]\ end do\ PT[ Neq ĩ ] - =d i f f [ z [ t ) . t) P ĩ - . v _ , ( í ) - X ^ ị l Ị PT, x^ ị i ) -,V| (/) sinC.v, (/) j - x , ( / ) .V| ( r) ““ O. I .V, PHỤ LỤC B 315 PT. ^ ^ -0 .1 A-| (/ ) - Q 3 x j t ỷ - O. S x ^ ị i ) c o s ( , v , ( 0 ) - \ Ạ l ) + Py(ỉ ) P ĩ PT, : cl/ d^ /?,(/) =-í,(í) + 0.1 /;3(f) x Ạ t ) c o s ( X | ( 0 ) - s ( / ) ) p Ạ [ ) ( - s i n ( . V ị ( / ) ) + 0 . 5 . r , ( 0 s i n ( x 3 ( / ) ) ) + 0.1 / ; ^ ( r ) P/7 :=-^P,Ú) =.v^ (/) - p . i i ) +P:Ại) + 0.5/;^(r) PTịị ;= Y f>4 ( / ) - x , ( t ) - p ^ ị t ) + p ^ i t ) + 0 . 6 p j j ) A-,(/) + ^ 4(0 -' i^(0 > .vyi’ ■=convert{PT,xel) : > t f - = ^ ì - D K B : = - v [ l ] ( ( / ) ~ 0 , . v [ 2 ] ( í / ' ) = 0 , a [ 3 ] ( í / ’ ) = 0 , x [ 4 ] ( í / ) = 0, z ( 0 ) = 0 , p [ l ] ( 0 ) = l , / / [ 2 ] ( 0 ) = I , p [ 3 ] ( 0 ) = l , / ^ [ 4 ] ( 0 ) = 1; DKB : - . V | ( 3 ) 0 , x . ( 3 ) - 0 , . v , (3 ) = 0 , x ^ ( 3 ) - 0, r ( 0 ) = 0 , / ; , (0 ) = !. /;,(()) l . / ) , (0) - l,/;^(0) - 1 > # PTVP cua he & Dieu kien hien > odes .= convert [svs Union {DKB) , l i s t ) \ 316 CÁC BÀI TOÁN C ơ BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐlỀU KHIỂN TỐI ưu odcs : Ỷ( 0 ) - I - ỳ + 0.1^;,J/) - / ;^ ( / ) ( sin(.r,(/)) ~ .V |(í) cos(.r,(;)) - -V ,u ) ) , d + 0.5 .v,(/) sin(x3(/))) - 0.1/;^ (0. ^ /;3{/) -.v^ (í) ~ p . J t ] + p Ạ l ) + O . S p Ạ í } , - ^ p Ạ i ) =X2ÌI] - P ị { ! ) + + Q . 6 p Ặ t ) X, { 1) +/^4 ( 0 .Vị(/).-^ A-|(r)-A-^ (í) - ^ . r , ( 0 = - ,V ị( /) s in ( .v , (0 ) - x , ( / ) . v , ( 0 o . l . v , ! / ) - 0 . 5 x Ạ t ) + P Ặ I ) , ^ x Ạ t ) - - o . ì x ^ ( t ) - 0 . } . x , ( í f - 0. 5 x Ạ t ) cos(a-,(;)) - x Ạ i ) + p Ạ , ) ^ ^ ,v^ (/) - A,(/),/.;, (0) = l . / ^ ( 0 ) = I . p ^ í O ) = 1. /J^( () j - l . , V | ( 3 ) = 0 , . V 2 ( 3 ) = ( ) , a - , ( 3 ) -0,.v~(3)-^0 > # Giai he P T V P --------------------------- > solution := dsolve ( odes , niimeric); Jopt := rhs {sohaion ( / / ' ) [Neat + 1]); solidion := proc( .v /ny; ] ... e i id p roc Jopt 5 .23494S736914 6 1 3C > # Ve d o t h i n g h i e m ------- PHỤ LỤC B 317 o d e p ] o t ị s o l u t i o n , [ [ t, uopr[ 1 ]( í:), styie POĨNT, c o l o r = red, thỉckness ^ 2], [ t, u o p t [ 2 ](t), 5 t y l e ^ POINT, c o l o r = b l ue, tỉĩickness ^ 2], [ t, x[ 1 ](t), co lor g r e e n t, x [2 ] ( t) , c o l o r ^ magentã, thickness =2]], t = ữ .. t i t l e = ” D 0 T H I D I E U K H I E N T O I u u & T R A N G T H A I x ỉ & x 2 " , l e g e n d = ["ur; "u2': "xl*; ”x2”l); o d e p l o t { s o l u t i o n , [x[ 1 ]( t), x[ 2 ](t) ]], t ^ 0 . t f, t h i c k n e s s "-=2, t i t l e - " D O T H I Q U Y D A O P H A x l & x 2 " ) ; D O T H I D I E U K H I E ^ Ĩ T O I u u & T R A N G T H A I x l & x 2 1 _ .... ........ ;------- -■i___ - 1 - - 2 - - 3 - - 4 - ư l u 2 x l x 2 D O T H I O U V E ' A O P H A x l & x 2 318 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tố l ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN TỐI ưu o d e p l o t { s o l u t i o n , [ [ t, x[3]( t), c o l o r = g r e e n , thickness = 2], [ t, x[4 ](t), c o l o r ^ m a g e n t a , thickness =2]], t = 0 , . t f , t i t i e = " T R A N G T H A I x3 & x4'; l e g e n d = [ " x T ; "x2" ; o d e p l o t { s o l u t i o n , [[x[3](t),x[4](t)]], t = 0 , . t f , t h i c k n e s s = 2, t i t l e =- "DO T H I QUY DAO P H A x3 & x4" ); x [3 ], x [4 ] 1 - 0 .5 - - 0 .5 - T R A N G T H A I x3 <& x4 x l x 2 > # SAVE: DKTU_ tructiep > n OK * Hướng dẫn sử dụng chương trình: Kết quả giải thành công PTVP theo giá trị biên (Boundary Value Problems) được máy thông báo dưới dạng : solution:= proc(x_bvp) ... end proc Khi thay đổi bài toán chỉ cần thay đổi các phần: khai báo, điều kiện biên, thời gian tính. Đối với hệ phi tuyến mạnh, bài toán giá trị biên có thể không hội tụ, khi này có thể dùng các biện pháp: thay đổi điều kiện biên, giảm thời gian tính, giảm số hạng phi tuyến trong phương trình, tuyến tính hóa hệ phương trình,... 10. Điêu khiển tối ưu hệ phi tuyến: phương pháp lặp điểu khiển Cho PTVP trạng thái: X, = Ấ 2 X 2 = - X | - X 2 - 0 . I x , - 0 . 5 x ^ X, = X, = -0 .1 X | - 0 .1X|X2 - 0 . 1X3 - X 4 + u Điều kiện biên của trạng thái: x(0) = x„ ;x (t|) = x, Mục tiêu: r PHỤ LỤC B_________________________________________________________ 319 J = 2,-’ (X| + X, + X? + )dt min Xác định điều khiển tối uu u(t) để đưa hệ từ trạng thái đầu đến trạng thái cuối Xf trong thời gian t|, sao cho thỏa mãn mục tiêu J. ỉiải ITieo sơ đồ phưcíng pháp lặp (chương 9), đặt: f.) = ^ ( x ^ + X 2 + X3 + x ^ + U - ) f, = x^ = - X | - X , - O . l x , -0 .5 x ^ ^3=^4 = - 0 . 1 X | - 0 . 1X| X, - O . l x , - X 4 + u Hàm Hamilton: H = - p ^ í . - p / , - P 4 Í 4 PTVP liên hợp; p, = - - ^ ; i = 1...4 ỡx, PTVP đối với mục tiêu: z = f„ Cho giá trị mục tiêu Jị| = Z|, là môt số đủ lớn. Giả thiết điều khiển đầu U||. Giải hệ PTVP: X, = f , , i = 1...4 Pi = ổx, z = f„ x(0) = xg,z(0) = 0,x(t,) = xf Tiến hành lặp điều khiển: õ u Để đơn giản, có thể chọn: 0 < A. < 1 và cho X biến thiên theo bước lạp. Điều khiển đầu u„ có thể chọn là const hoặc phụ thuộc biến trạng thái theo một quan hệ nào đó. Phép lặp thành công khi , với k - bước lặp. Bài toán này được giải bằng MAPLE theo phương pháp lặp điều khiển như dưới đây. > restart \\\nĩh[pỉots) : > # DỈEU KHỈEN TOI u u HE PHỈ TUYEN - HAI DIEV KỈỈỈEN - PỈĨUONG PỈỈAP LAP 320_________ CÁC BÀI TOÁN CO BẢN CỦA Tổ l ưu HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ưu > > # KHAI BAO > # Ky hieii ; Nvar : So hỉen\ Neqĩ ; So phiion^ írinh.; Ncontr ; So dỉeu khien Jo : lioc cỉoan ^ia tri max cua ./; > // kmax : So huoc lap lon nhat; Ả > 0; / / ' ; Thoi gian tinh: eps : Sai so. HỤ LỤC B 321 > Nvur := 4; Neql :=^ 2 ■ Nvar + 1; Ncontr : - 2 ; :-4 ,VcY// \ 'c(^nlr 2 > A “ l e + 6; t*y7-v : = l e - 6 ; / / ' — 2.0; kmax ■■= 30; ^ 1.5 l(f ep.s 0.00000! ự :-2 ,0 kmax ;= 3 0 > PT : =a r r a y { ] . . Neqt ) \ p ■=array[ \ ..Nvar)-J’:= a rra y{ \ ..Nvar)\ PT- =ar r av \ \ ,.9. I 1) p :-=^ưrray ( 1 ..4. [ 1) f : ^ a n x i v ( 1 ..4, [ 1) > UVe phai f [ i ] cua PTVP trang thai & Ham J0 trong muc t i e u --------------- ^ / [ 1] ^ - í [ 2 ] ; / ' [ 2 ] := - x [ 1 ] - ,v [2 ] - 0.1- , r [ 3 ] - 0.5- ,v [4 ] + « [ 1]; / [ 3 ] : = . v [ 4 ] ; / [ 4 ] : = - 0 . 1 ■ { x[ \ ] + .v[I] ■ x [2 ] + A'[3]-) - , r[4 + Ií[2] \ fũ ■ ( x [ l ] - + x [ 2 Ỹ + . v [ 3 f + . v [ 4 ] - + í í [ p - + « [2 f ) ; / | -t. / , - .c, - 0.1 A-, - 0.5 x_, + ÍÍJ - 0 . ! .Vị - 0.1 .Vj - 0.1 T ro x\ ^ + Ỷ x; y -t- y //ị > # Het phan khai hao > u Ham H am ilton ---------- -- > : for i frorn 1 to Nvar do H - - H + p [ ì ] - j end c ỉ o : H: ^ ỉ ỉ : 322 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tốl ưu HÓA VÀ ĐIỀU KHIỂN t ố i ưu II := ~ T 'ĩ ■ P\ -'^2 + / - ' 2 - 0.1 a-3 - 0,5 .r^ + H | ) + / ; , .v^ Pị ( - 0-> 'l ~ 0-' '^ 1 -^ 2 “ - 4^ + » 2) # PTVP lien hop dp & PTVP muc tieu dz > f o r i from 1 to Nvar do d p [ i ] : = - d i f f { H, x [ i ] ) - , end do\ dz : = / 0 ; l i P ị - x ^ + p ^ - (-0.1 - 0 .1 .r,) clp^ _ : = x . + / 7 2 + 0.1 .Vị d p , :=X3 + 0.1 /?2 + 0.2 ,x-3 d p j ^ : = a ' 4 + 0.5 p^_ - ■ 2 , 1 2 1 . 2 ìl.-> “2 > # PTVP cua he dieu khien ^ f o r i from 1 to Nvar do P T [ i ] —d i f f [ x [ i ] [ t ) , t ) =f [ i ] ( t ) - , end d o \fo r i /rom 1 to N var do PT[ i + Nvar] ■= đi f f { p [ i ] [ t ) , t ) = d p [ i ] { t ) \ e n d do\ PT[ Neq t ] := d iff ( z [ í ) , t) = dz(t )- P7] d ■ d/ -V,Í7) = d d/ x^[t) - --r ,(r) - X , ( Ò - O.I X^ÍI) - 0.5 .v^ú) 4- / / , (0 PT^ : d ' dí x Ạ l ) = .V4(0 PT, d ■ cừ x Ạ l ) = -0 .1 . V | ( / ) - O . I ,V|(/) A , ( / ) - 0 , l .v,{/)- ■ - + w j/) /;,(/) =.V,U) + p , ( / ) - /7 ^ (0 (-0.1 - 0 .1 x , (0 ) d p-q := ^ / a ( 0 = - r , ( 0 “ / ^ , ( 0 + / ; , ( / ) + 0 . 1 p j i } ,v , ( / ) d p Ạ ỉ ) - x Ạ t ) + ữ.\ / ; ^ ( / ) + 0.2 p Ậ t ) x^(t) ả d/ p Ạ ĩ ) ~ x Ạ í ) + 0.5 p , ( r ) - p ,Ạt) + P Ặ ! ) HỤ LỤC B 323 PT., ■ d/ 1 2 z[ t ) - ^ ỳ x , ( / ) - + ỳ x , ( 0 - - ỳ .v,(?)- -t- ỳ .v,(í) '^ 1 11^(0 > # Tinh gradient cua H theo u > f o r j from 1 to Ncontr do g r a d H u { J ] ~ d i j f { H , u [ j graclHu [ y ] :=graciHu [ y ] ( 0 ; <Jo', gradHu J ^ r a d i h i J grưdỉlu g ỉ X í c ỉ H u ^ ■- -i- - í í | ( / ) + p Ạ t ) - “2 ^ 1’a + pẠO > # D IEU KIEN BIEN \ > D K B : = x [ l ] ( 0 ) = 0 , , v [ 2 ] ( 0 ) = 0 . 1 , x [ 3 ] ( 0 ) = 0 , . r [ 4 ] ( 0 ) = 0 . 1 , z ( 0 ) = 0 , x [ l ] ( í / ) = l , x [ 2 ] ( f / ) = 0 , ; [ 3 ] ( í / ) = 2 , x [ 4 ] ( ? / ) = 0 ; DKB ;=.v,(0 ) = 0 . .v,(0 ) = 0 .I,.V3(0 ) - 0 . .tj{ 0 ) = 0 . L - i O ) = 0 , .V, (2 .0 ) = 1.X2(2.0) -0,.r3Í2.0) -2,.v^(2.0) - 0 > # GIA TH IETDIEU KH IEN DAU : > i 4 l ] ( 0 : = l ; i / f 2 1 ( í ) : = I; «,(/) :- l » . ( 0 I i. > # PTVP cua he & D K B ---------------------------------- > o d e s :=converí {convert [PT, s e i ) U n io n { DK8} J i s t ) ; 324 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA Tố l ưu HÓA VÀ ĐIỂU KHIỂN TỐI ưu odes := r ( 0 ) = 0 , : {l ) - - ị ’ ^ + -7 -V-,(/)- + ^ + "T "]( ')" + ^ ^ + p^{i)~pẬt) ( - 0 . 1 - 0 . 1 v s ( / ) ) . y / ; , ( í ) = A- , ( / ) - / ^ ị i o + ^ 2(0 + 0-1 /'4(') -Vị(/).-|- /?,(/) + 0.1 ^ 2( 0 + 0 . 2 p Ạ t ) + 0.5 / a ( ó - P í í ^ ) + /^4(0 . “ T ^[ (0 -v,(r) - ~,rj(/j - .v,(/) - 0 . 1 X 3 ( / ) - 0 . 5 a- ^ ( / ) + « , ( / ) . ^ , r 3 ( / ) = . r , ( 0 , ^ A-^{/) = - 0 . 1 X | ( / ) - 0 . 1 X ị [ t ) X ^ Í O - O . I x ^ { t f - x Ạ í ) + u^Jí], x,(0) -(Uj{2.0) - l,.v,(0) - 0.1.a-2(2.0) - 0,.r3 (0 ) -n,.v,C.O) = 2,x^ (0) =0.1,.r^ (2.0) -0' > # LAP D ỈEƯ KHỈEN: Khỉ xuaỉ hỉen Clarify Expression, chon remember table assỉgnment íork from 1 to kmax do k k\ Ằ ■= X; forJ from I to Ncontr d o w [ y ] ( r ) : = w [ ý ] ( 0 + ‘^ ■ g ra d H u [j] \en ú úo\ìĩ^hiem : = d so lv e {o d e s ,n u n ĩe r ic ) \J [k ] '= rhs{nghi em( ĩ f ) [ Neqt + 1 ]); deltaJ ■= J \k] — J[k — 1 ]; if deỉĩcU > 0 then X -= -X else ỉ f ( àbs(de ỉtaJ) < 10- eps) th e n X := — c n d if; if (abs(deỉiaj) < eps or Ẳ kmax) then break; end if; cnd if ; e n d do; k : - l À - 1.5 n^hiem : = p r o c ( x />17;> j ... eiuí p r o c ./, - 9 .887293178608265^ deltcd := -9 .9 9 9 9 0 1 127 l ( f k :=2 k := 1.5 nọjỉicni ;^ - proc( .v hvp ) ... end p ro c : ^ -9 .8725204753230748 cMtíU - 0.01477270^ ^ :-3 X ỉ .5 nghicni ;“ proc( .v h\’p ) ... end p ro c ;■ 9.867837521287563^; delỉuJ - 0 .0U 468295 ‘ k : - 4 1.5 n^Ạiem ; - " p r o c ( x hvp) ... end p r o c : 9 .8667969327865154 cỉcỉícU - 0 . 0 0 Ỉ 0 4 0 5 8 Í k ; - 5 Ằ : - ! . 5 n ^ h iem proc(.v />v/7 ) ... end proc , / , - 9 . 8 6 6 5 2 0 9 5 7 2 3 7 6 7 3 5 deltcd -0 .000275971 k :-6 À - 1.-^ fiiỊỈĩịeni : - p r o c ( x h v p ) ... cnd proe 7 : - 9 . 8 6 6 4 5 3 % 8 5 5 4 5 7 3 3 (t í / r / / a / -0. í )00()6698: Ả' : - 7 Â 1.5 n^ỉiìem :"=^proc(.v hvỊ?) ... end p r o c 7^ ; 9 . 8 6 6 4 3 6 9 7 2 2 1 6 0 4 Ì 2/ f/íV/c/./ - 0 .0 0 Í ) 0 Ỉ6 9 9 ' Á' : - 8 Ầ 1.5 nohiem :^^proc(.v b