Toán học - Lý thuyết ước lượng

LÝ THUYẾTƯỚC LƯỢNGGV: TS. TRẦN ĐÌNH THANH Mục tiêu bài giảngNắm vững:  Phương pháp ước lượng Trung bình  Phương pháp ước lượng Phương sai  Phương pháp ước lượng Hiệu hai trung bình  Phương pháp ước lượng Tỉ số hai phương sai* Ước lượng là phỏng đoán một giá trị chưa biết bằng cách dựa vào quan sát mẫu. Có hai hình thức ước lượng:Ước lượng điểm Ước lượng khoảngvà Thông thường ta cần ước lượng giá trị trung bình, tỉ lệ, phương sai, hệ số tương quanƯỚC LƯỢNG LÀ GÌ?*a. Ước lượng điểm: Kết quả của giá trị cần ước lượng cho bởi 1 trị số.Thí dụ: Ta lấy mẫu và ước lượng được chiều cao trung bình của người VN là: µ = 160 cmb. Ước lượng khoảng: Kết quả của giá trị cần được ước lượng cho bởi 1 khoảng.Thí dụ: Ta lấy mẫu và ước lượng được chiều cao trung bình của người VN là: 158cm  µ  162cm.* Ước lượng điểm có ưu điểm là cho chúng ta một giá trị cụ thể, có thể dùng để tính các kết quả khác, nhưng không cho biết được sai số ước lượng nhiều hay ít. Ước lượng khoảng cho ta hình dung được sai số nhiều hay ít, nhưng không cho ta được giá trị cụ thể của đại lượng cần ước lượng.*A. ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM. I. TIÊU CHUẨN ƯỚC LƯỢNG Coilà mẫu độc lập, có hàm mậtđộ f(x,) phụ thuộc vào một tham số  chưa biết và cần ước lượngGọi là thống kê dùng đểước lượng tham số .1. Ước lượng đúng: Ta nói T là ước lượng đúng của  nếu:E(T) = *2. Ít phân tán (phương sai bé): Coi T1 , T2 là các ước lượng đúng của .Ta nói T1 tốt hơn T2 nếu T1 ít phân tán hơn T2 nghĩa là:3. Ước lượng tốt nhất: Thống kê T được gọi là ước lượng tốt nhất của  nếu T là ước lượng đúng và ít phân tán nhất, nghĩa là: (1) E(T) = *Thí dụ: Quan sát mẫu X1, X2, , Xn dùng để ước lượng chiều cao trung bình  Ta có thể đặt ra nhiều thống kê dùng để ước lượng  như sau:Giả sử chiều cao* Ta đánh giá mỗi các ước lượng T1, T2, T3, T4. Ta có: Vậy: T1,T2,T3,T4 là các ước lượng đúng của .*Ta tính phương sai: Vậy trong 4 thống kê: T1, T2, T3, T4 thì T4 là ước lượng tốt nhất*T2 là ước lượng tốt thứ hai.T3 là ước lượng tốt thứ ba.T1 là ước lượng tốt thứ tư. Ngoài các thống kê T1, T2, T3, T4, chúng ta có thể đặt ra nhiều thống kê khác nữa, như: Vậy làm thế nào để biết được một ước lượng T tốt nhất? Vấn đề này được giải quyết bởi bất đẳng thức Rao – Cramer.*II. BẤT ĐẲNG THỨC RAO – CRAMER 1. Tin lượng Fisher: Xét biến số ngẫu nhiên X có hàm mật độ f(x,) phụ thuộc tham số . Tin lượng Fisher của X là đại lượng: Ta dùng tin lượng Fisher trong việc đánh giá ước lượng.*Thí dụ: X ~ B(1, ), hàm mật độ của X là: *2. Bất đẳng thức Rao – Cramer:Nếu T là ước lượng đúng của , thì:Ý nghĩa của bất đẳng thức Rao – Cramer Bất đẳng thức Rao – Cramer cho ta một chặn dưới (giá trị nhỏ nhất có thể có được) của 2(T), vậy nếu ta tìm được một thống kê T là ước lượng đúng của  sao cho thì đó là ước lượng tốt nhất, vì không còn ước lượng nào có độ phân tán thấp hơn được*III. CÁCH TÌM ƯỚC LƯỢNG: Có nhiều phương pháp để tìm ước lượng, trong số đó, phương pháp ước lượng cơ hội cực đại được thường dùng nhiều hơn cả. 1. Nguyên lý cơ hội cực đại:Thí dụ: Giả sử có 1 hộp chứa 3 bi đỏ + 7 bi trắng + 5 bi xanh = 15 bi, có cùng kích thước, lấy ngẫu nhiên 1 bi. Hãy phán đoán xem bi đó màu gì?* Hẳn nhiên mỗi chúng ta đều phán đoán rằng bi đó màu trắng, vì số lượng nhiều hơn, tất nhiên cơ hội để đoán trúng sẽ cao hơn, thật vậy nếu tính xác suất ta thấy: ÑTXP3/157/155/15 Ta đã mặc nhiên sử dụng nguyên lý cơ hội cực đại trong lúc phán đoán màu của viên bi lấy ra. *2. Aùp dụng vào ước lượng: Hàm cơ hội được định nghĩa là:Trong đólà hàm mật độ của Xi. Ta chọn giá trị sao cho hàm cơ hộitại đó lớn nhất.*Khi đã quan sát được mẫu, ta biết được giá trị ; do đó biểu thức còn phụ thuộc một đại lượng chưa biết .Hàmđạt cực đại chỗ nào thì lấygiá trị đó làm ước lượng cho . Để ý rằng vàcó cùngchiều biến thiên, nên cực đại thìcũng cực đại.chỉ*Thí dụ: Ta muốn ước lượng tỉ lệ sản phẩm  hỏng trong một lô hàng thật nhiều. Trước hết ta quan sát mẫu. X101P1- Hàm mật độ xác suất của X1: *Tương tự, sau n lần quan sát ta được mẫu: X1, X2, , Xn.Hàm cơ hội: *0f1+0-lnLCÑđạt cực đại khi  = f, do đó cũng đạt cực đại khi  = f. Do đó công thức ước lượng là: = fTa có:*Tin lượng Fisher Do chặn dưới Rao – Cramer Vậydo đó  = f là ước lượng tốt nhất.*B.ƯỚC LƯỢNG KHOẢNGI. ƯỚC LƯỢNG  TRONG PHÂN PHỐI Giả sử ta muốn ước lượng trung bình trong phân phối bình thường có phương sai đã biết Gọi X1, X2, X3, , Xn là mẫu độc lập,Ta dùng mẫu này để ước lượng .*nênDo đó: Cho sẵn giá trị ta tìm được giátrị C sao cho:Giá trị C được đọc trong bảng phân phối chuẩn N(0,1).*Ta có:Do đó:Thông thường ta viết:Khoảng ước lượng của là: *Chú ý: 1.  được gọi là độ tin cậy (hay hệ số tin cậy) của ước lượng. Các trị số thường được sử dụng cho độ tin cậy là: = 0.90 thì C = 1,64 = 0.95 thì C = 1.96  = 0.99 thì C = 2.58 2. Nếu dùng độ tin cậy càng lớn thì C càng lớn, do đó khoảng ước lượng càng rộng, và do đó sai số ước lượng sẽ lớn. Nếu muốn giảm bớt sai số ước lượng ta có thể tăng n, nghĩa là phải quan sát nhiều hơn. * Do đó ta thấy giữa các đại lượng:  Độ tin cậy:  Sai số ước lượng:  Cỡ mẫu quan sát: n Có liên hệ mật thiết với nhau, Thông thường, đứng trước bài toán ước lượng, ta xác định trước độ tin cậy cần thiết là bao nhiêu, và sai số tối đa có thể chấp nhận được, từ đó tính ra cỡ mẫu cần thiết phải quan sát để đáp ứng yêu cầu của bài toán.*Giả sử ta ấn định trước độ tin cậy (do đó biết C), xác định sai số tối đa , và ta tính cỡ mẫu như sau:Ta muốn: Ta chọn: *Thí dụ: Biết chiều cao của con người Ta muốn ước lượng chiều cao trung bình của dân số  với sai số không quá 1 cm, ở độ tin cậy 0,95 thì quan sát ít nhất mấy người? Giải:Ta có: Vậy quan sát ít nhất 385 người. *II. ƯỚC LƯỢNG  TRONG PHÂN PHỐI Gọi X1, X2, , Xn là mẫu độc lập; : chưa biết. Ta dùng mẫu này để ước lượng . Ta có: Do đó: Ta không thể dùng biến số này để ước lượng  vì biểu thức này còn chứa tham số chưa biết.*Ta có: Vì Z, Y độc lập, do đó, đặt: Thì T phân phối theo luật Student(n-1). Ta có: *Cho sẵn giá trị , (0<<1), ta tìm được C sao cho:Trong thực hành, giá trị C được đọc trong bảng phân phối Student. *Ta có: Do đó, khoảng ước lượng của  là:Thông thường ta viết: *Thí dụ: Quan sát ngẫu nhiên chiều cao của 20 người, ta tính được: cm; S = 14 cm. Hãy ước lượng chiều cao trung bình của dân số ở độ tin cậy  = 0.95Giải:Ta có: *Vấn đề cỡ mẫu Giả sử muốn ước lượng  ở độ tin cậy , và sai số không quá  thì ta phải quan sát mấy trường hợp?Ta muốn: Ta chọn: ,C đọc trong PP chuẩn*Vậy: Chú ý: Trong các bảng thiết lập cho phân phối Student, thông thường người ta chỉ thiết lập đến 30 độ tự do. Vậy, nếu gặp trường hợp mẫu lớn (độ tự do lớn hơn 30), ta dùng các trị số ở bảng N(0, 1) thay thế bảng Student. *III. ƯỚC LƯỢNG 2 TRONG PHÂN PHỐI (0: đã biết)Quan sát mẫu X1, X2, , Xn, độc lập; Ta dùng mẫu này để ước lượng phương sai 2.Ta có: *Cho sẵn giá trị ta tìm 2 số a, b sao cho:với qui ước: Các giá trị a, b được cho bởi bảng như sau:*Ta có: Vậy khoảng ước lượng của 2 ở độ tin cậy  là:*IV. ƯỚC LƯỢNG 2 TRONG PHÂN PHỐI Quan sát mẫu X1, X2, ,Xn độc lập; ta dùng mẫu này để ước lượng 2Ta có: *Với quy ước: Cho sẵn giá trị tìm 2 số a, bsao cho:Các giá trị a, b được cho bởi bảng như sau: *Ta có: Vậy khoảng ước lượng của 2 ở độ tin cậy  là:*V. ƯỚC LƯỢNG TỈ LỆ p TRONG PHÂN PHỐI B(1, p) Gọi X1, X2, , Xn độc lập; mẫu này để ước lượng p.ta dùngĐặt: Cho sẵn giá trị ta tìm được Csao cho:*Ta có: * Biểu thức này chưa sử dụng được, vì các đầu mút của khoảng ước lượng còn phụ thụôc p (chưa biết và cần ước lượng). Trong trường hợp này, ta dùng ước lượng điểm của p để thay thế vào các giá trị ở đầu mút khoảng ước lượng.Do đó: Vậy khoảng ước lượng của p là: *Thí dụ: Quan sát ngẫu nhiên 200 lọ thuốc trong một lô hàng rất nhiều, ta thấy có 27 lọ không đạt tiêu chuẩn. Hãy ước lượng tỉ lệ thuốc không đạt tiêu chuẩn p ở độ tin cậy 95%.Giải:Ta có: Vậy: *Vấn Đề Cỡ Mẫu Giả sử ta muốn ước lượng p ở độ tin cậy , với sai số không quá , thì quan sát mẫu ít nhất mấy trường hợp?Ta muốn: Ta chọn: *( nếu biết f )Trong trường hợp không biết f Ta có: khi 0  f  1Vậy nếu chọn: Do đó ta cũng có công thức tính n: *Thí dụ: Ta muốn ước lượng tỉ lệ bệnh sốt rét (p) ở vùng ĐB sông Cửu Long. 1. Nếu muốn sai số ước lượng không quá 0.02 ở độ tin cậy 95% thì quan sát ít nhất mấy người?2. Ta quan sát ngẫu nhiên 200 người, thấy có 24 người mắc bệnh sốt rét.a. Tìm khoảng ước lượng của p ở độ tin cậy 95%.b. Muốn sai số ước lượng không quá 0.02 ở độ tin cậy 95% thì quan sát ít nhất mấy người?*Giải: 1.n  2401 ngườia.2.*b. Ta thấy trong trường hợp câu 2 với mẫu thăm dò sẽ cho ta cỡ mẫu n thấp hơn, như vậy chỉ cần quan sát ít cũng đủ. *VI. BÀI TOÁN 2 MẪUGiả sử: X1, X2, , Xm ; Y1, Y2, , Yn độc lập với 1. Ước lượng tỉ số Đặt:*Ta biết độc lập, ngoài raĐặt *Các giá trị a, b được cho bởi bảng như sau: Ta có: Vậy khoảng ước lượng của ở độ tin  là:*2. Ước lượng dành chokhi đã biết Ta có: Nên: *Với:Chọn C thỏa: Ta có: *Vậy khoảng ước lượng của ở độ tin  là: Ta có thể viết: vớiC đọc trong Student(n+m-2)a) NếuKhi đó công thức ước lượngVới phương sai mẫu nhậpb) Nếu khi đóĐộ tự do được tính như sau:*Lúc đó công thức ước lượngvới C đọc trong bảng Student(θ )Chú ý: Nếu m,n lớn thì ta có:Lúc đó công thức ước lượngvới C đọc trong chuẩnVí dụ 1: Trọng lượng viên thuốc của lô A và lô B có phân phối và .Một mẫu 30 viên của lô A và một mẫu 10 viên của lô B có trọng lượng trung bình  .Tìm khoảng tin cậy 95% của . *GiảiVìta có công thức ước lượng vớinênLượng cholestrelemie của 2 nhóm người có phân phốiLấy 2 mẫu thuộc 2 nhóm,kết quả ghi nhận:Mẫu 1:Mẫu 2:1) Ước lượng tỉ số ở độ tin cậy 95%2) Ước lượng tỉ số ở độ tin cậy 95% Ví dụ 2:Khoảng ước lượng của *Trong đóVậy:1.*Bước 1: So sánh 2 phương sai (kiểm định) Nên khác nhau có ý nghĩa. Bước 2: Ước lượng Công thức ước lượng:C đọc trong Student( )2.*vớiNên Vậy:HỎI VÀ ĐÁP Đại Học Y Dược Thành Phố Hồ Chí Minh Email:trandinhthanh56@yahoo.com ------------------------------------------------ Chúc các em thành công