Toán học - Không gian vectơ

cấp A và B ñược gọi là ñồng dạng với nhau nếu tồn tại một ma trận vuông S không suy biến cấp sao cho B = S-1 A.S. Nhận xét: 1) Nếu A ñồng dạng với B ñồng dạng thì B ñồng dạng với A. 2) Hai ma trận ñồng dạng với nhau thì có ñịnh thức bằng nhau. 3) Các ma trận của cùng một phép biến ñổi tuyến tính của không gian véctơ V theo hai cơ sở của V là ñồng dạng với nhau. 2.5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT 2.5.1. ðịnh nghĩa. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ phương trình sau: 11 1 12 2 1 1 21 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + =  + + + =    + + + = ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ (1) hay viết dưới dạng vắn tắt: 1 ; 1,....., n i j j i j a x b i m = = =∑ trong ñó , , 1,..., ; 1,...,ij ia b i m j n= = là các số phức; , 1,...,jx j n= là các ẩn. Các số ija ñược gọi là các hệ số và 1 2, ,..., mb b b ñược gọi là các hệ số tự do của hệ phương trình (1). 2.5.2. Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính tổng quát Gọi i j m na ×  Α=  là ma trận cấp ( ),m n các hệ số của hệ phương trình (1). Gọi 1 1 2 2, m n b x b x b x b x            = =             ⋮ ⋮ là các ma trận cột. Khi ñó hệ (1) ñược viết dưới dạng ma trận: x bΑ = (2) Ta gọi 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 ... ... ... n n m m mn m a a a b a a a b a a a b      Β = Α=       ⋮ ⋮ 57 57 là ma trận bổ sung của hệ phương trình tuyến tính tổng quát (1). 2.5.3. Dạng vectơ của hệ phương trình tuyến tính tổng quát Trong không gian vectơ mℝ ta xét hệ các véctơ sau: ( ) ( )1 2, ,..., 1,...,mj j j mja a a j nα = ∈ =ℝ ( )1 2, ,..., mj j mb b bβ = ∈ℝ Khi ñó, hệ (1) ñược viết: 1 1 2 2 ... n nx x xα α α β+ + + = (3) Ta gọi (3) là dạng vectơ của hệ phương trình (1). 2.5.4. Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát Một bộ n số thực ( )1 2, ,..., nnc c c ∈ℝ ñược gọi là một nghiệm của hệ (1) nếu 1 , 1,2,..., n ij j i j a c b i m = = =∑ nghĩa là nếu ta thay các jx bởi jc tương ứng vào các phương trình của hệ, ta nhận ñược các ñồng nhất thức ñúng bằng số. Ký hiệu rank(X) là hạng của ma trận X, ta có 2.5.5. ðịnh lí Kronecker – Capeli. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát (1) có nghiệm ⇔ ( ) ( )rank A rank A= . Chứng minh. Hệ (1) có nghiệm ⇔ Phương trình dạng vectơ (3) có nghiệm β⇔ biểu thị tuyến tính ñược qua hệ 1 2, ,..., nα α α trong không gian vectơ mℝ ⇔ Hai hệ véctơ 1 2, ,..., nα α α và 1 2, ,..., ,nα α α β tương ñương với nhau ⇔ rank(A) = rank(B). g 2.5.6. Phương pháp Gauss – Jordan ñể giải hệ phương trình tuyến tính Bước 1. Lập ma trận bổ sung B Bước 2. Thực hiện 3 phép biến ñổi số cấp sau ñây trên các hàng của ma trận B (thực chất mỗi hàng của B là một phương trình của hệ (1)): 1) ðổi chỗ hai hàng cho nhau 2) Nhân vào mỗi hàng với số thực khác 0. 3) Cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính của các hàng còn lại. Buớc 3. Sau một số hữu hạn bước biến ñổi, hệ phương trình (1) ñược ñưa về một hệ tương ñương với ma trận mở rộng có dạng: 58 58 11 12 1 1 1 22 2 2 2 1 ... 0 ... 0 0... 0 0 0 0 0 0... 0 0 r n r n rr rn r r m b b b b c b b b c b b c c c +           Β = Α=             ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ trong ñó iib là những số thực khác 0 với r = rank(A). - Nếu có một trong các số thực 1,...,r mc c+ khác 0 thì hệ (1) vô nghiệm. - Nếu 1 ... 0r mc c+ = = = thì hệ phương trình có nghiệm. Bằng cách gán cho 1,...,r nx x+ những giá trị thực tuỳ ý (nếu n > r) rồi giải duy nhất nghiệm 1,..., rx x theo những giá trị ñã gán. Ví dụ 1. Giải hệ 3 2 1 2 3 0 3 2 1 x y z x y z x y z + + =  + + =  + + =− Thực hiện các phép biến ñổi trên các hàng 1 2 3 2 1L L L L L 1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 2 1 3 0 2 1 3 0 0 5 1 2 3 2 1 1 0 2 4 2 0 1 2 1 − + −            → → − − −           − − − −      1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1 0 5 1 2 0 5 1 2 0 5 1 2 0 5 10 5 0 0 9 3 1 0 0 1 3            → − − − → →                 1 2 1 3 0 1 0 0 1 3 0 43 3 5 1 1 0 5 0 0 1 0 0 1 0 3 3 3 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 3 3      −    −          → → →                        2 1 1 , , 3 3 3 x y z⇒ =− = = . 59 59 Ví dụ 2. Giải hệ phương trình : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 5 3 2 2 4 x x x x x x x x x x x x − + =  − − =  − + = − + + = − 9 1 1 0 5 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 1 0 1 2 1 2 0 1 3 1 5 3 1 5 3 0 2 1 0 2 0 2 0 52 2 1 4 0 0 5 2 2 0 0 1 5  −   − −     − −   − − − −     → →    − −  −     − − −      −    1 0 0 2 1 0 0 2 1 1 0 1 0 0 1 0 5 5 1 2 0 1 0 0 0 0 5 5 2 2 0 0 1 0 0 1 5 5                    → → −            − −       Hệ Vô nghiệm. Ví dụ 3. Giải hệ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 4 2 5 3 3 4 2 3 5 5 x x x x x x x x x x x x − + − =  − + − = − + − + = − 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 4 2 5 3 3 4 2 5 3 3 0 0 1 1 1 4 2 3 5 5 0 0 0 0 0 − − − −    − −    − − → − − →     − −    − − −    1 2 3 4 3 4 2 3 1 1 x x x x x x − + − = ⇒  = − − ⇒ Hệ vô số nghiệm theo 2 ẩn tự do : 2 1 3 42 3 1x x x x= + − − 1 4 42 3 3 1x x x= − − − − 1 4 1 22 4 4 2 4 4x x t t= − − = − − 3 4 21 1x x t= − − = − − ( ) ( )1 2 3 4 1 1 2 2 2, , , ,2 4 4, 1,x x x x t t t t t= − − − − . 60 60 2.6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 2.6.1. ðịnh nghĩa. Một hệ phương trình tuyến tính trong ñó tất cả các hệ số tự do bằng 0 gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Nói khác ñi, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có dạng : 0 0 ( 1,....., ) n k j j j a x k m = = =∑ (1) Nhận xét. 1) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) luôn luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường, ñó là nghiệm: (0, 0, ..., 0). 2) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) có nghiệm khác tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số A nhỏ hơn n. 2.6.2. Mệnh ñề. Tập hợp N tất cả các nghiệm của hệ phương trình thuần nhất (1) là một không gian vectơ con của không gian vectơ nℝ . Chứng minh. Giả sử ( )1,..., nc cα = ∈Ν , ( )1,..., nd dβ = ∈Ν là các nghiệm của hệ (1), khi ñó ta có: 1 0, 1,....., n k j j j a c k m = = ∀ =∑ 1 0, 1,....., n k j j j a d k m = = ∀ =∑ ( ) ( ) 1 0 ,..., n k j j j j j n n j a c d c d c dα β = ⇒ + = ⇒ + = + + ∈Ν∑ cũng là một nghiệm của hệ (1). Ngoài ra: ( ) 1 1 0, 1,..., n n k j j k j j j j a c a c k mλ λ = =   = = ∀ =    ∑ ∑ . Do ñó ( )1 2, ,..., nc c cλα λ λ λ= là một nghiệm của hệ (1) hay λα ∈Ν . VậyΝ là không gian con của nℝ . Ta phát biểu ñịnh lý sau 2.6.3. ðịnh lý. Không gian vectơ Ν các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1) có số chiều là n – r, trong ñó r = rank(A). 2.6.4. ðịnh nghĩa. Một cơ sở của không gian con ℕ ñược gọi là một hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (1). Ví dụ. Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: 61 61 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 0 3 5 6 4 0 4 5 2 3 0 3 8 24 19 0 x x x x x x x x x x x x x x x x + + − =  + + − =  + − + =  + + − = Ta dùng phương pháp Gauss ñể giải : 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 3 5 6 4 0 1 6 5 0 1 6 5 4 5 2 3 0 3 18 15 0 0 0 0 3 8 24 19 0 2 12 10 0 0 0 0 − − −           − − − − −     → →      − − −      − −      Do ñó, hệ ñã cho tương ñương với hệ 1 2 3 42 4 3x x x x+ = − + 2 3 46 5x x x− = − 1 3 4 2 3 4 8 7 8 7 6 5 6 5 x x x a b x x x a b = − = − ⇒  = − + = − + Dựa vào phép biến ñổi ở trên ta thấy hạng của ma trận hệ số của hệ phương trình ñã cho là 2, do ñó không gian nghiệm của hệ có số chiều là: dim(N) = 4 - 2 = 2. ðể tìm hệ nghiệm cơ bản ta gán x3 và x4 các giá trị cụ thể: x1 x2 x3 x4 8 -6 1 0 -7 5 0 1 Do ñó, tìm ñược hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình : 1 2(8, 6,1,0), ( 7,5,0,1).α α= − = − Ví dụ. Chứng minh rằng hệ: ( )1 1, 2,1t = − ; ( )2 1,0,2t = − ; ( )3 1, 1,1t = − − là một cơ sở của 3ℝ . Tìm tọa ñộ của ( ) 32, 9,2α = − ∈ℝ theo cơ sở { }1 2 3, , .t t t Gọi: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1,0,0 0,1,0 0,0,1 c c c =  =  = là cơ sở ñơn vị của 3ℝ . 62 62 Khi ñó, ma trận chuyển từ cơ sở { }1 2 3, ,l l l sang cơ sở { }1 2 3, ,f f f là: 1 1 1 2 0 1 1 2 1 − −   Α = − −     Gọi ( )' ' '1 2 3, ,x x x là tọa ñộ của α ñối với cơ sở { }if . Theo công thức ñổi toạ ñộ, chúng ta có: , 1 , 1 2 , 3 2 3 9 2 2 3 x x A x −            = − = −                Vậy 1 2 33 2 3f f fα = − + , hay toạ ñộ của 'α ñối với 1 2 3, ,f f f là ( )3, 2,3 .− HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG 2 1. Chú ý rèn các kỹ năng: tính ñịnh thức, tìm hạng của ma trận, tìm ma trận nghịch ñảo; giải hệ phương trình bằng phương pháp tính ñịnh thức và phương pháp khử Gauss; kiểm tra hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính hoặc ñộc lập tuyến tính. 2. Nắm vững các khái niệm: không gian vectơ, không gian vectơ con, cơ sở của không gian vectơ, số chiều của không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính, phép biến ñổi tuyến tính. 3. Vận dụng ñược lý thuyết toán học ñã học (ma trận, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ) vào giải quyêt các bài toán trên các mô hình kinh tế và kỹ thuật. 4. Các khẳng ñịnh sau ñây ñúng hay sai. Nếu ñúng thì bạn hãy ñiền giá trị 1 còn nếu sai thì bạn hãy ñiền giá trị 0 vào ô vuông: 1. Phép cộng hai ma trận cùng cấp có tính chất giao hoán và kết hợp. □ 2. Phép nhân hai ma trận nếu thực hiện ñược thì có tính chất giao hoán. □ 3. Phép nhân ma trận nếu thực hiện ñược thì có tính chất kết hợp. □ 4. Phép cộng hai ma trận cùng cấp luôn thực hiện ñược. □ 5. Phép nhân hai ma trận cùng cấp luôn luôn thực hiện ñược. □ 6. (AB)2 = A2B2 với mọi ma trận vuông A, B cùng cấp. □ 7. (A + B)2 = A2 + B2 + 2AB với mọi ma trận A, B cùng cấp. □ 8. (A + B)2 = A2 + B2 với mọi ma trận A, B cùng cấp. □ 9. Khi nhân một số với một ma trận, ta phải nhân số ñó với mọi phần tử của ma trận. □ 63 63 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 1. Tính các lũy thừa: a) 1 1 0 1 n       ; b) os sin sin os n c c ϕ ϕ ϕ ϕ −      2. Tính ñịnh thức của các ma trận sau: a) 1 1 1 1 1 2 1 a b b           b) 2 2 1 1 a a a b b a a b           c) 3 1 2 1 1 3( 1) 3 λ λ λ λ λ λ +   −   + +  3. Chứng minh rằng, các ma trận sau ñây là ma trận suy biến: 2 2 2 2 2 2 sin 1 os sin 1 os sin 1 os c c c α α β β γ λ           ; 2 2 2 2 2 2 sin os2 os sin os2 os sin os2 os c c c c c c α α α β β β γ γ λ           . 4. Tìm tất cả các ma trận giao hoán ñược với ma trận 1 2 1 1    −  . 6. Giải hệ phương trình: 3 2 1 2 3 0 3 2 1 x y z x y z x y z + + =  + + =  + + =− . 7. Giải hệ phương trình : 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 1 2 2 3 5 3 2 2 4 x x x x x x x x x x x x − + =  − − =  − + = − + + = − 8. Tìm hệ nghiệm cơ bản của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 3 0 3 5 6 4 0 4 5 2 3 0 3 8 24 19 0 x x x x x x x x x x x x x x x x + + − =  + + − =  + − + =  + + − = 9. Chứng minh rằng hệ vectơ: ( )1 1, 2,1t = − ; ( )2 1,0,2t = − ; ( )3 1, 1,1t = − − là một cơ sở của 3ℝ . Tìm tọa ñộ của ( ) 32, 9,2α = − ∈ℝ theo cơ sở { }1 2 3, , .t t t 64 64 10. Chứng minh rằng tập hợp x x X x x x    = ∈      ℝ với phép cộng và nhân một số với một ma trận lập thành không gian vectơ. Tìm cơ sở và số chiều của X. 11. Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính 3 4:f →ℝ ℝ xác ñịnh bởi ( ) ( )1 2 3 1 2 3, , , , ,0f x x x x x x= theo cơ sở ( ) ( ) ( )1 1 11,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1ε ε ε= = = trong 3ℝ và cơ sở ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4W 1,0,0,0 ,W 0,1,0,0 ,W 0,0,1,0 ,W 0,0,0,1= = = = trong 4 ℝ . 12. Cho tập hợp: { }1 1( ,..., ) ; 0nn nA x x x x= ∈ + + =ℝ ⋯ . a) Chứng minh rằng A là không gian vectơ con của không gian vectơ nℝ . b) Tìm cơ sở và số chiều của A. c) Tìm phép biến ñổi f của nℝ sao cho Ker(f) = A. d) Tìm phép biến ñổi g của nℝ sao cho Im(g) = A. 13. Cho tập hợp: { }31 1 2( ,..., ) ; 0, , ,n nA x x ax bx cx a b c= ∈ + + = ∈ℝ ℝ . a) Chứng minh rằng A là không gian vectơ con của không gian vectơ 3ℝ . b) Tìm cơ sở và số chiều của A. c) Tìm phép biến ñổi f của 3ℝ sao cho Ker(f) = A. d) Tìm phép biến ñổi g của 3ℝ sao cho Im(g) = A. 14. Cho tập hợp: ; , , a b A a b c b c    = ∈      ℝ . a) Chứng minh A là không gian vectơ con của không gian vectơ GL(2, R) các ma trận thực vuông cấp 2. b) Tìm cơ sở và số chiều của A. c) Tìm phép biến ñổi f của không gian GL(2, R) sao cho Ker(f) = A. d) Tìm phép biến ñổi g của không gian GL(2, R) sao cho Im(g) = A. 15. Cho ánh xạ 3 3:f →ℝ ℝ xác ñịnh bởi : ( , , ) (2 3 4 , ,3 2 5 ), .f x y z x y z x y z x y z m m= + − + + − + − ∈ℝ a) Với giá trị nào của m thì f là phép biến ñổi truyến tính của không gian vectơ 3ℝ . b) Tìm Im(f) và Ker(f) khi m = 0.