Toán học - Dự báo sử dụng mô hình chuỗi thời gian

Economics 20 - Prof. Anderson 1 Dự báo sử dụng mô hình chuỗi thời gian (Time Series Models for Forecasting) Hồi qui với biến trễ Regression with distributed lags Nguyễn Ngọc Anh Trung tâm Nghiên cứu Chính sách và Phát triển Nguyễn Việt Cường Đại học Kinh tế Quốc dân Economics 20 - Prof. Anderson 2 Giới thiệu Chúng ta ở trong các bài trước, xem xét mô hình hồi qui, sử dụng cho cả dữ liệu chéo, lẫn dữ liệu chuỗi thời gian. Tuy nhiên, chúng ta ở đây lại thường quan tâm đến những biến số thay đổi theo thời gian, chứ không phải là những biến thay đổi theo các cá nhân Mô hình hồi qui tĩnh cho ta biết quan hệ giữa các chuỗi thời gian. Ở đây, tác động của một biến X lên một biến Y được giả thiết là chỉ có tác động trong cùng thời kỳ. Economics 20 - Prof. Anderson 3 Mô hình động Tác động mang tính động (Dynamic effects) „ Chính sách cần có thời gian mới có tác dụng „ Mức độ cũng như tính chất của tác động có thể thay đổi theo thời gian „ Tác động thường xuyên (Permanent) và tác động tạm thời (Temporary effects.) Economics 20 - Prof. Anderson 4 Trong kinh tế học vĩ mô „ Tác động của tiền tệM đối với Y (GDP) trong ngắn hạn có thể khác với trong dài hạn Người ta thường gọi là hàm phản ứng (impulse response function) „ Tăng cung tiền trong một năm ở năm thứ „ Sau đó sẽ quay trở lại bình thường, không tăng M nữa „ Điều gì sẽ xảy ra với Y time Y Economics 20 - Prof. Anderson 5 Phân bổ trễ (Distributed Lag) Tác động được phân bổ theo thời gian (Effect is distributed through time) „ Hàm tiêu dùng : Tác động của thu nhập cũng thay đổi theo thời gian „ Tác động của thuế thu nhập đối với GDP sẽ có độ trễ „ Tác động của chính sách tiền tệ với SX cũng qua thời gian yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + et it t i x yE − = δ δβ )( Economics 20 - Prof. Anderson 6 Tác động phân bổ trễ Hoạt động kinh tế tại các thời điểm t Tác động tại Thời điểm t Tác động tại Thời điểm t+1 Tác động tại Thời điểm t+2 Economics 20 - Prof. Anderson 7 Tác động phân bổ trễ Tác động tại thời điểm t Hoạt động kinh tế tại thời điểm t Hoạt động kinh tế tại thời điểm t-1 Hoạt động kinh tế tại thời điểm t-2 Economics 20 - Prof. Anderson 8 Hai câu hỏi 1. Trễ bao lâu (How far back)? - Độ trễ là bao lâu ? - Trễ hữu hạn hay vô hạn 2. Liệu các hệ số có nên bị hạn chế hay không (restricted)? - Điều chỉnh (smooth adjustment) - Hay để số liệu quyết định (let the data decide) Economics 20 - Prof. Anderson 9 1. Phân bổ trễ hữu hạn không hạn chế (Unrestricted Finite DL) Hữu hạn: biến động của một biến số chỉ có tác động lên một biến khác trong một khoảng thời gian cố định „ Ví dụ: Tác độngc của CS tiền tệ thường có tác động lên GDP khoảng 18 tháng „ Độ trễ được giả thiết là biết một cách chắc chắn Không hạn chế (Unrestricted - unstructured) „ Tác động ở giai đoạn t+1 không có quan hệ với tác động ở giai đoạn t Economics 20 - Prof. Anderson 10 yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + βn xt-n + et Có n độ trễ không hạn chế (unstructured lags) Không có một dạng cấu trúc (systematic structure) nào đối với các β’s Các tham số β’s không bị hạn chế (ràng buộc - restricted) Có thể sử dụng OLS: sẽ cho ta các ước lượng nhất quán (consistent) và không trệch Economics 20 - Prof. Anderson 11 Những vấn đề nảy sinh 1. Ta sẽ mất n quan sát khi độ trễ là n Š Số liệu từ năm 1960, giả sử có độ trễ là 5 thời kỳ, tức là thời điểm sớm nhất có thể sử dụng trong mô hình hồi qui là năm 1965 Š Mất độ tự do (đưa thêm biến trễÆ mất độ tự do) 2. Vấn đề đa cộng tuyên giữa các biến trễ xt-j Š xt rất giống với xt-1 Æ ít thông tin độc lập ŠƯớc lượng không chính xác (xem bài trước) ŠĐộ lệch chuẩn của ước lượng là lớn, kiểm định t có giá trị thấp ŠKiểm định giả thuyết là khó khăn (uncertain) Economics 20 - Prof. Anderson 12 3. Có thể có nhiều biến trễ thì sao? ŠMất nhiều độ tự do 4. Có thể ước lượng chính xác hơn nếu xây dựng một số cấu trúc trong mô hình Những vấn đề nảy sinh Economics 20 - Prof. Anderson 13 Trễ số học Độ trễ vẫn hữu hạn : Tác động của X cuối cùng sẽ bằng 0 Các hệ số không độc lập với nhau „ Tác động của mỗi bước trễ sẽ nhỏ dần đi „ VD: Chính sách tiền tệ của năm 1995 sẽ tác động tới GDP của năm 1998 ít hơn chính sách tiền tệ của năm 1996 Economics 20 - Prof. Anderson 14 2. Trễ số học i βi β0 = (n+1)γ β1 = nγ β2 = (n-1)γ βn = γ . . . 0 1 2 . . . . . n n+1 . . . . linear lag structure Economics 20 - Prof. Anderson 15 Trễ số học Áp đặt quan hệ: βiι = (n - i+ 1) γ β0 = (n+1) γβ1 = n γβ2 = (n-1) γβ3 = (n-2) γ . . βn-2 = 3 γβn-1 = 2 γβn = γ Chỉ cần ước lượng 1 tham số , γ , Thay vì n+1 tham số , β0 , ... , βn . yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + βn xt-n + et Economics 20 - Prof. Anderson 16 Giả sử X là cung tiền ( dạng log) và Y là GDP (dạng log), n=12 và γ được ước lượng có giá trị là 0.1 Tác động của x thay đổi đối với GDP trong giai đoạn hiện tại sẽ là β0=(n+1)γ=1.3 Tác động của CS tiền tệ một năm sau đó sẽ là β1=nγ=1.2 n năm sau đó,tác động sẽ là βn= γ=0.1 Sau n+1 năm, tác động sẽ là 0 it t i x yE − = δ δβ )( Economics 20 - Prof. Anderson 17 Ước lượng Ước lượng sử dụng OLS Chỉ cần ước lượng một tham số : γ Phải biến đổi một chút để viết mô hình dưới dạng có thể ước lượng được Economics 20 - Prof. Anderson 18 yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + βn xt-n + et yt = α + (n+1) γxt + n γxt-1 + (n-1) γxt-2 + . . . + γxt-n + et Bước 1: Áp đặt ràng buộc: βι = (n - i+ 1) γ Bước 2: Bóc tác tham số, γ . yt = α + γ [(n+1)xt + nxt-1 + (n-1)xt-2 + . . . + xt-n] + et Economics 20 - Prof. Anderson 19 Bước 3: Xác định zt . zt = [(n+1)xt + nxt-1 + (n-1)xt-2 + . . . + xt-n] Bước 5: Chạy OLS : yt = α + γ zt + et Bước 4: Xác định độ trễ , n. Với n = 4: zt = [ 5xt + 4xt-1 + 3xt-2 + 2xt-3 + xt-4] Economics 20 - Prof. Anderson 20 Ưu/ nhược điểm Ít tham số phải ước lượng (chỉ một tham số) hơn so với mô hình không hạn chế/ràng buộc „ Sai số chuẩn thấp „ T cao „ Kiểm định tốt Nhưng nếu các ràng buộc không đúng thì sao? „ Ước lượng sẽ bị trệch Ràng buộc tuyến tính có thực tế không? „ Xem xét mô hình không hạn chế để đánh giá „ Tiến hành kiểm định F Economics 20 - Prof. Anderson 21 2 1 / /)( dfSSE dfSSESSEF U UR −= Kiểm định F Ước lượng mô hình không ràng buộc (unrestricted model) Ước lượng mô hình có ràng buộc (arithmetic lag) Tính toán chỉ số F Economics 20 - Prof. Anderson 22 So sánh với giá trị F tới hạn F(df1,df2) „ df1=n số ràng buộc/hạn chế (number of restrictions) Š Số bê ta trừ đi số gamma = (n+1)-1 „ df2=số quan sát – số biến trong mô hình không bị ràng buộc (kể cả intercept) „ df2=(T-n)-(n+2) Economics 20 - Prof. Anderson 23 3. Phân bổ trễ số mũ Ràng buộc tuyến tính có thể là quá cứng nhắc Muốn có dạng lồi Ràng buộc số mũ (Polynomial – quadratic hoặc cao hơn) βi = γ0 + γ1i + γ2i2i it t x yE βδ δ = − )( Economics 20 - Prof. Anderson 24 Phân bổ trễ số mũ (Polynomial Lag) . . . . . 0 1 2 3 4 i β0 β1 β2 β3 β4 βi Economics 20 - Prof. Anderson 25 Tương tự như mô hình trễ số học „ Chỉ có hình dáng của dạng hàm phản ứng là khác (impulse response function) Vẫn hữu hạn : Tác động của X cuối cùng sẽ bằng 0 Các hệ số có quan hệ với nhau „ Tác động của mỗi bước trễ không nhất thiết sẽ nhỏ hơn bước trễ trước (not uniform decline) Economics 20 - Prof. Anderson 26 Ước lượng Sử dụng OLS Chỉ cần ước lượng một tham số : γ „ Số lượng tham số bằng với bậc số mũ (number of parameters is equal to degree of polynomial) Phải thực hiện một số biến đổi để mô hình có dạng ước lượng được . „ Mô hình này trở thành dạng mô hình số học (arithmetic) nếu bậc mũ là 1 OLS với mô hình đã biến đổi Economics 20 - Prof. Anderson 27 i = 1, . . . , n p = 2 và n = 4 Ví dụ: Mô hình mũ bậc 2 β0 = γ0β1 = γ0 + γ1 + γ2β2 = γ0 + 2γ1 + 4γ2β3 = γ0 + 3γ1 + 9γ2β4 = γ0 + 4γ1 + 16γ2 n = Độ trễ p = Bậc mũ Trong đó i = 1, . . . , nβi = γ0 + γ1i + γ2i +...+ γpi2 p βi = γ0 + γ1i + γ2i2 Economics 20 - Prof. Anderson 28 yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + β3 xt-3 + β4 xt-4 + et yt = α + γ0 xt + (γ0 + γ1 + γ2)xt-1 + (γ0 + 2γ1 + 4γ2)xt-2 + (γ0 + 3γ1 + 9γ2)xt-3+ (γ0 + 4γ1 + 16γ2)xt-4 + et Bước 2: Bóc tác các tham số: γ0, γ1, γ2. yt = α + γ0 [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4] + γ1 [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt-4] + γ2 [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt-4] + et Bước 1: Áp đặt ràng buộc: βi = γ0 + γ1i + γ2i 2 Economics 20 - Prof. Anderson 29 Bước 3: xác định zt0 , zt1 and zt2 for γ0 , γ1 , and γ2. yt = α + γ0 [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4] + γ1 [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt-4] + γ2 [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt-4] + et zt0 = [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4] zt1 = [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt- 4 ] zt2 = [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt- 4] Economics 20 - Prof. Anderson 30 yt = α + γ0 zt0 + γ1 zt1 + γ2 zt2 + et Bước 5: Biểu diễn βi dưới dạng của γ0 , γ1 , và γ2.^ ^ ^ ^ β0 = γ0 β1 = γ0 + γ1 + γ2 β2 = γ0 + 2γ1 + 4γ2 β3 = γ0 + 3γ1 + 9γ2 β4 = γ0 + 4γ1 + 16γ2 ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ Bước 4: OLS Economics 20 - Prof. Anderson 31 Ưu nhược điểm Ít tham số để ước lượng „ Chính xác hơn Nhưng nếu ràng buộc không chính xác thì sao? „ Ước lượng trêch Liệu ước lượng mũ có đúng khổng? „ Linh hoạt hơn trễ số học Nếu chỉ xấp xỉ đúng ? Kiểm địnhÆ F test Economics 20 - Prof. Anderson 32 Kiểm định F Ước lượng mô hình không hạn chế Ước lượng mô hình hạn chế (polynomial lag model) Tính toán con số kiểm định thống kê như trước So sánh với giá trị tới hạn F(df1,df2) „ df1=số ràng buộc = số các β trừ đi số γ=(n+1)− (p+1) „ df2=số quan sát – số lượng các biến trong mô hình không ràng buộc (kể cả intercept) „ df2=(T-n)-(n+2) Economics 20 - Prof. Anderson 33 Độ trễ Với cả 03 mô hình vừa nêu, ta cần phải chọn độ trễ (lag length) Có thể coi như là chọn điểm cắt mà „ Sau đó biến số không còn tác động „ VD: CS tiền tệ không còn tác động tới GDP sau 2 năm Không có tiêu chí thỏa đáng để chọn lựa điều này Có nên cho độ trễ n là vô hạn hay không? Economics 20 - Prof. Anderson 34 Tiêu chí chọn độ trễ (Lag-Length Criteria) Tiêu chí Akaike’s AIC criterion Tiêu chí Schwarz’s SC criterion Với mỗi tiêu chí ở trên, ta chọn bước trễ sao cho các tiêu chí trên là nhỏ nhất. Vì khi đưa thêm biến trễ vào sẽ làm giảm SSE, nên phần thứ 2 của mỗi tiêu chí là một penalty function đối với việc đưa thêm biến trễ vào mô hình 2 ( 2 )ln nS S E nA IC T N T N += +− − ( )2 ln( )( ) ln n n T NSSESC n T N T N + −= +− − Economics 20 - Prof. Anderson 35 Tóm tắt 1. Trễ bao lâu?? - Độ trễ là khoảng bao lâu thì phù ? - Không có câu trả lời (no good answer) 2. Liệu các tham số có nên bị ràng buộc không? - Thể hiện qua số liệu - Số học hay số mũ -Bậc của số mũ Economics 20 - Prof. Anderson 36 4. Mô hình trễ Geometric Có độ trễ dài vô hạn Nhưng chúng ta không thể ước lượng một số lượng vô hạn các tham số Buộc các hệ số của biến trễ phải tuân thủ một trật tự nhất định „ Ước lượng các tham số cho trật tự/cấu trúc này. Đối với dạng mô hình trễ geometric thì cấu trúc của độ trễ sẽ có dạng giảm liên tục với tốc độ giảm dần. Economics 20 - Prof. Anderson 37 Cấu trúc độ trễ của mô hình geometric βi . . . . . 0 1 2 3 4 i β1 = β φ β2 = β φ2 β3 = β φ3β4 = β φ4 β0 = β geometrically declining weights Economics 20 - Prof. Anderson 38 Ước lượng Không thể ước lượng dùng OLS Chỉ cần ước lượng hai tham số : φ,β Phải biến đổi để biểu diễn mô hình dưới dạng thức có thể ước lượng được Sau đó sử dụng biến đổi Koyck (Koyck transformation) Sau đó sử dụng bình phương cực tiểu hai bước (2SLS) Economics 20 - Prof. Anderson 39 yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + et Mô hình phân bổ trễ vô hạn: yt = α + Σ βi xt-i + eti=0 ∞ Cấu trúc trế có dạng geometric: βi = β φi where 0 0 . Economics 20 - Prof. Anderson 40 yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + β3 xt-3 + . . . + et Trễ vô hạn không cấu trúc : yt = α + β(xt + φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + et Trễ geometric vô hạn (infinite geometric lag): thay thế βi = β φi β0 = β β1 = β φ β2 = β φ2 β3 = β φ3. .. Economics 20 - Prof. Anderson 41 Số nhân giữa kỳ (ví dụ 3 kỳ) (interim multiplier) : Số nhân tác động (impact multiplier) :β Số nhân dài hạn : β(1 + φ + φ2 + φ3 + . . . ) = yt = α + β(xt + φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + et β + β φ + β φ2 β 1− φ Phản ứng động (Dynamic Response): Economics 20 - Prof. Anderson 42 yt = α + β(xt + φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + et yt − φ yt-1 = α(1− φ) + βxt + (et − φet-1) Trễ tất cả các toán tử một bậc, nhân với φ, và sau đó lấy mô hình gốc trừ đi φ yt-1 = φ α + β(φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + φ et-1 Biến đổi Koyck (Koyck Transformation) yt = α(1− φ) + φ yt-1 + βxt + (et − φet-1) yt = δ1 + δ2 yt-1 + δ3xt + νt Economics 20 - Prof. Anderson 43 Cần sử dụng 2SLS yt-1 độc lập với et-1 (xem mô hình) Nhưng yt-1 lại có tương quan với vt-1 Như vậy OLS sẽ không phù hợp „ OLS không thể phân biệt giữa những thay đổi của yt do yt-1 gây ra với những thay đổi do vt gây ra „ OLS sẽ coi những thay đổi của vt như là những thay đổi của yt-1 Economics 20 - Prof. Anderson 44 Sử dụng 2SLS 1. Hồi qui yt-1 lên xt-1 và tính giá trị ước lượng của yt-1 (fitted value) 2. Sử dụng giá trị ước lượng của yt-1 trong mô hình hồi qui Koyck regression tttt vxyy +++= − 3121 ˆ δδδ Economics 20 - Prof. Anderson 45 Sao lại thế nhỉ? „ Từ mô hình hồi qui bước 1, giá trị ươc lượng yt-1 không còn tương quan với et-1 trong khi đó yt-1 thì có tương quan „ Như vậy giá trị ước lượng (fitted value) yt-1 không còn tương quan với vt =(et -et-1 ) 2SLS sẽ cho kết quả ước lượng nhất quán (consistent) của mô hình phân bổ trễ Geometric (Geometric Lag Model) Economics 20 - Prof. Anderson 46 Mô hình kỳ vọng điều chỉnh dần (Adaptive Expectations Model) Một dạng mô hình của mô hình biến trễ geometric Nếu chúng ta giả thiết rằng các cá nhân có kỳ vọng ở dạng điều chỉnh dần (adaptive expectation) thì mô hình biến trễ geometric là phù hợp Giả thiết về kỳ vọng „ Kỳ vọng được xác lập trên kinh nghiệm quá khứ „ Kỳ vọng được điều chỉnh dựa trên những sai lầm của quá khứ Kỳ vọng điểu chỉnh này không phù hợp với giả thuyết về kỳ vọng hợp lý (rational expectations) Economics 20 - Prof. Anderson 47 yt = α + β x*t + et yt = Cầu tiền tệ x*t = lãi suất kỳ vọng (x*t không quan sát được) Ví dụ: Cầu tiền tệ x*t - x*t-1 = λ (xt-1 - x*t-1) Điều chỉnh kỳ vọng dựa trên các sai lầm của quá khứ : Economics 20 - Prof. Anderson 48 Biến đổi một chút để có thể tiến hành ước lượng x*t - x*t-1 = λ (xt-1 - x*t-1) x*t = λ xt-1 + (1- λ) x*t-1 Cho x*t về một phía λ xt-1 = [x*t - (1- λ) x*t-1] or Economics 20 - Prof. Anderson 49 Lấy mô hình ban đầu, trễ một bước và nhân với (1− λ) yt = α + β x*t + et (1) yt = αλ - (1− λ)yt-1+ β [x*t - (1− λ)x*t-1] + et - (1− λ)et-1 Trừ đi, ta có (1− λ)yt-1 = (1− λ)α + (1− λ)β x*t-1 + (1− λ)et-1 (2) Economics 20 - Prof. Anderson 50 Thay λ xt-1 = [x*t - (1- λ) x*t-1] vào ta có yt = αλ - (1− λ)yt-1+ βλxt-1 + ut Trong đó ut = et - (1− λ)et-1 Đây chính là mô hình phân bổ trễ mà φ=(1−λ) Chúng ta có thể ước lượng mô hình này băng 2SLS Economics 20 - Prof. Anderson 51 Ví dụ: hàm tiêu dùng C là tiêu dùng, Y* là thu nhập kỳ vọng trong tương lai „ Để quyết định mức tiêu dùng, các cá nhân phải dự đoán về thu nhập trong tương lai của mình Nếu người ta điều chỉnh kỳ vọng theo giả thuyết điều chỉnh dần ttt eyc ++= *βα )( * 11 * 1 * −−− −=− tttt yyyy λ Economics 20 - Prof. Anderson 52 Thay vào ta sẽ có dạng Sử dụng 2SLS „ Ước lượng bằn OLS: „ Sử dụng thay cho tttt vycc +++= −− 13121 δδδ 1 3 2 1 1 −−= = −= = ttt eev βλδ λδ λαδ ttt eyaac ++= −110 1ˆ −tc 1−tc Economics 20 - Prof. Anderson 53 Mô hình điều chỉnh dần Một dạng khác của mô hình điều chỉnh dần Giả thiết rằng các cá nhân điều chỉnh mọi thứ dần dần „ Việc điều chỉnh có thể tốn kém, nên không điều chỉnh ngay Ví dụ : Hàn trong kho của các công ty y*t = α + β xt + et Economics 20 - Prof. Anderson 54 Hàng trong kho sẽ được điều chỉnh dần tới mức tối ưu Tham số γ cho biết tỷ lệ chênh lệch giữa con số thực tế và con số mong muốn điều chỉnh Việc điều chỉnh ngay lập tức có thể có tốn kém Mô hình trên rất giống, nhưng không giống tuyệt đối mô hình kỳ vọng điều chỉnh dần (AE model) yt - yt-1 = γ (y*t - yt-1) Economics 20 - Prof. Anderson 55 Biến đổi một chút yt - yt-1 = γ (y*t - yt-1) = γ (α + βxt + et - yt-1) = γα + γβxt - γyt-1+ γet yt = γα + (1 - γ)yt-1 + γβxt + γet Tìm yt : Economics 20 - Prof. Anderson 56 Kết luận Trong bài giảng này ta đã xem xét mô hình phân bổ trễ Một bước tiến so với mô hình tĩnh Nhưng nói chung, mô hình vẫn giả thiết rằng chúng ta vẫn có số liệu là cân bằng (stationary processes.) Việc dãy số không cân bằng sẽ được xem xét tiếp trong các phần tiếp sau