Toán học - Chương 1: Mở đầu cơ sở của biểu diễn

ới 2 đường sinh của nón giao tuyến là hypecbol 134222’Điểm 3 là điểm đặc biệt 22’ là đường kính trục dài (đường kính liên hợp) của elip, là trục đối xứng của elips33’411343Điểm 3 là đỉnh của hypecbol2413Trục đối xứng của hypecbol79c- Tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn Để tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn ta áp dụng bài toán điểm thuộc mặt cong 133’24531544’122’33’44’22’580d- Nối giao tuyến Nguyên tắc nối: - Theo thứ tự các điểm gắn trên hình chiếu đã biết của giao tuyến (VD 1,2,4,5) - Theo dạng giao tuyến 81Mặt phẳng cắt cầu trong không gian giao tuyến là đường tròn Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt congMặt phẳng cắt cầu 3333Mặt phẳng cắt nghiêng bất kỳ đường tròn giao tuyến bị suy biến thành elip khi chiếu lên các mặt phẳng hình chiếu -Mặt phẳng cắt song song với Π1 (hoặc Π2) thì hình chiếu đứng (hoặc hình chiếu bằng) của giao tuyến vẫn là đường tròn, hình chiếu cạnh của giao tuyến suy biến thành đường thẳng -Mặt phẳng cắt song song với Π3 thì hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của giao tuyến suy biến thành đường thẳng, hình chiếu cạnh của giao tuyến là đường tròn 82Nối giao tuyến133’24531544’122’33’44’22’583Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt congMặt phẳng cắt nón Mặt phẳng cắt tất cả các đường sinh của nón giao tuyến là elip -Mặt phẳng cắt song song với hai đường sinh của nón giao tuyến là hypecbol-Mặt phẳng cắt song song với một đường sinh của nón giao tuyến là Parabol84Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt congMặt phẳng cắt nón (tiếp) Mặt phẳng cắt song song với đáy nón giao tuyến là đường tròn -Mặt phẳng cắt đỉnh nón giao tuyến là tam giác cân-Mặt phẳng cắt song song với Π3 thì hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của giao tuyến suy biến thành đường thẳng, hình chiếu cạnh của giao tuyến là hypwcbol85Các dạng giao tuyến của mặt phẳng cắt mặt congMặt phẳng cắt trụ 14412=323- Mặt phẳng cắt vuông góc với đường sinh giao tuyến là đường trònMặt phẳng cắt song song với đường sinh giao tuyến là hình chữ nhật- Mặt phẳng cắt nghiêng bất kỳ giao tuyến là elip Đường tròn1243123445o1243- Mặt phẳng cắt trụ nghiêng 45 độ so với đường sinh giao tuyến là elip. Khi chiếu lên hình chiếu cạnh elips suy biến thành đường tròn 86e- Xét thấy khuất Xét thấy khuất trên hình chiếu bằngXét thấy khuất trên hình chiếu cạnhXét thấy khuất trên hình chiếu đứng 87Xét thấy khuất 133’24531544’122’33’44’22’588f. Xét đường bao133’24531544’122’33’44’22’5893.4. Giao của trụ chiếu với mặt cong903.4.1 Trụ chiếu Trụ chiếu đứngTrụ chiếu bằng Hình chiếu đứng suy biến thành đường tròn Hình chiếu bằng suy biến thành đường tròn Π2Π1xΠ2Π1xO2O2913.4.2 Các bước tìm giao cua trụ chiếu với mặt cong Bước 1: Xác định hình chiếu đã biết của giao tuyến (Mục a) Bước 2: Gắn điểm vào hình chiếu của giao tuyến đã biết (Mục b) Bước 3: Tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn (Mục c) Bước 4: Nối giao tuyến (Mục d) Bước 5: Xét thấy khuất (Mục e) Bước 6: Xét đường bao (Mục f)92a- Xác định hình chiếu đã biết của giao tuyến Hình chiếu đã biết của giao tuyến trùng với đường tròn suy biến của trụ chiếu93b- Gắn điểm vào hình chiếu của giao tuyến đã biết Những điểm bắt buộc phải gắn:1. Điểm bắt đầu và kết thúc của giao tuyến (Trường hợp này hình chiếu đứng của giao tuyến là đường tròn khép kín nên không có điểm bắt đầu và điểm kết thúc )2. Điểm thuộc đường bao trụ chiếu (Điểm 2,4,8,10) Xác định bằng cách kẻ 2 trục đối xứng thẳng đứng và nằm ngang của đường tròn đáy trụ chiếu, 2 trục đối xứng này cắt đường tròn đáy trụ chiếu ở đâu gắn điểm vào đấy 2410894 Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp): 3. Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến trên hình chiếu bằng : (Điểm 5,9) Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến trên hình chiếu cạnh : Điểm 3,7Xét thấy khuất trên hình chiếu bằngXét thấy khuất trên hình chiếu cạnh(Điểm giới hạn thấy khuất của giao tuyến có thể xác định nhanh bằng cách kẻ các trục đối xứng thẳng đứng và nằm ngang của mặt cong ra, các trục đối xứng cắt giao tuyến ở đâu gắn điểm vào đấy)24108593795 Những điểm bắt buộc phải gắn (tiếp): 4.Điểm tiếp xúc của trụ chiếu với mặt cong (Điểm 1) 5. Điểm thấp nhất, cao nhất ( gần nhất, xa nhất) của đường cong ghềnh) ( Điểm 1,6) Hai mặt cong bậc 2 cắt nhau theo giao tuyến là đường cong ghềnh bậc 4. Nếu ta có một mặt phẳng đi qua 2 trục đối xứng của 2 mặt cong thì mặt phẳng đó sẽ cắt đường cong ghềnh tại điểm thấp nhất, cao nhất (gần nhất, xa nhất) của đường cong ghềnhĐiểm cao nhất của đường cong ghềnhĐiểm thấp nhất của đường cong ghềnh2410835791696c- Tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn Để tìm hình chiếu còn lại của các điểm vừa gắn ta áp dụng bài toán điểm thuộc mặt cong ( Mục 1.3.1,1.3.2)112345791033’44’55’77’99’1010’222’666’888’133’22’44’1010’55’99’66’77’8897d- Nối giao tuyến Nguyên tắc nối: - Theo thứ tự các điểm gắn trên hình chiếu đã biết của giao tuyến (VD 1,2,36) - Theo dạng giao tuyến (Xem slice 21,23)98Các dạng giao tuyến thường gặpGiao của 2 mặt cong 112131415112222’2323’2424’252O2613121715132226252722’23’25’26’2613121715181322262526’2722’23’25’282Hai mặt cong bậc hai cắt nhau giao tuyến là đường cong ghềnh bậc 4.Hai mặt cong tiếp xúc với nhau tại 1 điểm, giao tuyến là đường cong ghềnh bậc 4, đường cong ghềnh bậc 4 đó tự nó cắt nó tại điểm tiếp xúcHai mặt cong tiếp xúc với nhau tại 2 điểm, giao tuyến là hai đường bậc 2, hai đường bậc 2 đó cùng đi qua 2 điểm tiếp xúc99 Nối giao tuyến (tiếp) Nguyên tắc nối: - Theo thứ tự các điểm gắn trên hình chiếu đã biết của giao tuyến (VD 1,2,36) - Theo dạng giao tuyến (Xem slice 21,22)112345791033’44’55’77’99’1010’222’666’888’100 e Xét thấy khuất giao tuyến112345791033’44’55’77’99’1010’222’666’888’133’22’44’1010’55’99’66’7788’Xét thấy khuất hình chiếu bằng: + Cầu : Những điểm thấy: 9,10,1,2,3,4,5 +Trụ: Những điểm thấy : 10,1,2,3,4 + Tìm giao của hai tập hợp trên ta có điểm thấy trên hình chiếu bằng là 10,1,2,3,4Xét thấy khuất hình chiếu cạnh: + Cầu: Những điểm thấy là 3,4,5,6,7 +Trụ: Những điểm thấy là 2,3,4,5,6,7,8 + Tìm giao của hai tập hợp trên ta có điểm thấy trên hình chiếu cạnh là 3,4,5,6,7101 f. Xét đường bao112345791033’44’55’77’99’1010’222’666’888’133’22’44’1010’55’99’66’7788’1023.2.7 Xét thấy khuất giao tuyêns và đường bao trong trường hợp trừ khối112345791033’44’55’77’99’1010’222’666’888’133’22’44’1010’55’99’66’7788’103613121715181322262526’2722’23’25’282S1S2613121715181322262526’2722’23’25’282Cộng khốiTrừ khối104S1S21141312132222’2423’212X1Y1X2X’2Y2Y’2Cộng khốiTrừ khối1141312132222’2423’212X1Y1X2X’2Y2Y’2105 3.2.6 Các trường hợp đặc biệt khác 124312=431=3241’2’=4’3’2’1’=3’4’10612312431’42’4’3’11’12=42’=4’1’107Giao của hai mặt trụ có bán kính bằng nhauGiao hai mặt trụ (R1=R2) là hai elíp 12≡431243III1243T1T2T3T4xyxy1081091104.3.3- Giao của trụ chiếu và mặt congVí dụ 1: Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoay (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và nón tròn xoay là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 1,4 thuộc đường sinh biên của nón cắt trụ. + Điểm 2 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất. - Để vẽ đường cong ghềnh chính xác hơn có thể tìm thêm các điểm X, Y...Hình 6.18Tìm giao của trụ chiếu đứng với nón tròn xoayS1S21141312132222’2423’212X1Y1X2X’2Y2Y’2111Ví dụ 2: Tìm giao tuyến của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu (Hình )Giải: - Giao của trụ chiếu đứng và mặt cầu là đường cong ghềnh bậc 4. - Vì trụ chiếu đứng nên ta biết trước hình chiếu đứng của giao tuyến. - Tìm hình chiếu bằng giao tuyến, xét các điểm sau: + Điểm 2,6 là điểm xét giới hạn thấy khuất. + Điểm 3 là điểm trên đường sinh thấp nhất của trụ. + Điểm 5 là điểm thuộc đường sinh cao nhất của trụ + Điểm 7 là điểm tiếp xúc của trụ với cầu. Hình 6.19Tìm giao của mặt trụ chiếu đứng với mặt cầu613121715132226252722’23’25’26’2112Hình 6.20. Giao của mặt trụ tiếp xúc với mặt cầuChú ý: Hai mặt cong tiếp xúc nhau tại một điểm thì chúng cắt nhau theo đường cong ghềnh bậc 4, tại điểm tiếp xúc của hai mặt cong đường cong ghềnh bậc 4 đó tự cắt nó.113Hình 6.21. Minh họa định lý 1Định lý 1: Nếu hai mặt cong bậc hai đã cắt nhau theo một đường bâc hai thì chúng sẽ cắt nhau theo một đường bậc hai thứ hai.S1S211312132222’23’212114Hình 6.22. Minh họa định lý 2Định lý 2: Nếu hai mặt cong bậc hai tiếp xúc với nhau tại hai điểm thì chúng sẽ cắt nhau theo hai đường cong bậc hai đi qua hai điểm tiếp xúc đó.S1S2613121715181322262526’2722’23’25’282115Chương 3Thay mặt phẳng hình chiếu116Đặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán. Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.1173.1- Thay một mặt phẳng hình chiếu3.1.1 Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1 Điều kiện: * Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:- Gọi x’ ≡ П’1∩П2 là trục hình chiếu mới.- Giả sử điểm A trong hệ thống (П1 , П2) có hình chiếu là (A1 , A2).- Chiếu vuông góc điểm A lên П’1 ta có hình chiếu A’1. Cố định П2 xoay П’1 quanh trục x’cho đến khi П’1≡П2. ( Chiều quay xác định như trên hình 4.1). - Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống (П’1, П2), A’1 là hình chiếu đứng mới của điểm A. *Tính chất: - Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П’1, П2): Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’ + A’1 , A’x , A2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’1=AxA1 (Độ cao điểm A không thay đổi)A1xAxA2x’A’1A’xΠ1Π2Π2Π’1Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1a)b)xΠ1Π2A1A’1A2Π’1AA’1A’xx’Ax118 Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2). Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П2 Giải: Dựa vào tính chất của đường mặtAB đã cho ở vị trí bất kỳ.Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới (П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt . Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2.Để thực hiện: +Chọn x’//A2B2 +Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất)Chú ý : Độ cao các điểm A’1, B’1A1xAxA2x’A’1A’xΠ1Π2Π2Π’1B1B2B’1B’xBxφĐLT: ABHình 4.2. Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П21193.1.2 Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 Điều kiện: Cách xây dựng như thay П1 thành П’1* Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1. (Hình 4.3)*Tính chất:- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2) + A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng vuông góc với x’ + A’xA’2 =AxA2A1xAxA2Π1Π2x’A’2A’xΠ1Π’2Hình 4.3. Thay mặt phẳng П2 thành П’2120 Ví dụ 2: Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC được cho trên đồ thức. (Hình 4.4) Giải: Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức - (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng. - Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC) Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1. Tìm A’2B’2C’2? - Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật của ΔABC.Π1Π2C1C2xA2B2B1A1x’A’2A’xΠ1Π’2B’2B’xC’2C’xHình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABCAxBxCx1213.2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu3.2.1 Thay mặt phẳng П1 thành mặt phẳng П’1rồi thay П2 thành П’2 Điều kiện: Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là giao của П’1 với П’2 . (Hình 4.5)Giải: - Tìm A’1: A’1A2 ^ x’ ; A’xA’1=AxA1 - Tìm A’2: A’2A’1 ^ x” ; A’xA”2=AxA’2 A1Hình 4.5. Thay mặt phẳng П1 thành П’1 rồi thay П2 thành П’2Chú ý: Không được nhầm độ xa AxA2 với A’xA2A1xAxA2x’A’1A’xΠ1Π2Π2Π’1x’’A’2A”xΠ’2Π’1122Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2). Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống mới.(Hình 4.6)Giải: Thay П1thành П’1 để trong hệ thống (П’1,П2), AB là đường mặt. + Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2. + Tìm A’1B’1? (Độ cao điểm A âm)Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống (П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng. + Muốn vậy, chọn trục x”^A’1B’1. + Tìm A’2B’2? (A’2 ≡B’2 vì có độ xa bằng nhau, AB chiếu bằng)A1xAxA2x’A’xΠ1Π2Π2Π’1B1B2B’1B’xBxΠ’1Π’2x’’A”x ≡ B”xA’2 ≡ B’2Hình 4.6. Ví dụ 3Độ cao âmA’11233.2.2 Thay mặt phẳng П2 thành mặt phẳng П’2 rồi thay П1 thành П’1 Điều kiện: Thực hiện phép thay tương tự như mục a)Bài toán: Cho điểm A (A1,A2). Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2.(Hình 4.7).Giải:Tìm A’2: A1A’2 ^ x’ ; A’xA’2=AxA2Tìm A’1: A’1A’2 ^ x” ; A’’xA’1=A’xA1 A1xAxA2Π1Π2x’A’2A’xΠ1Π’2x’’A’1A’’xΠ’1Π’2Chú ý: Không nhầm độ cao A1A’x với A1AxHình 4.7. Thay mặt phẳng П2 thành П’2 rồi thay П1 thành П’1 124Ví dụ 4: Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giácABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)Giải:- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệthống (П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng chiếu bằng. Muốn vậy, vẽ đường mặt Af. Chọn trục x’^A1f1.Tìm A’2B’2C’2?- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống (П’1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng mặt. Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2.Tìm A’1B’1C’1?- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật của tam giác ABC.Π1Π2C1C2xA2B1A1A’2A’xΠ’2Π’1B’2B’xC’2C’xB2C’1A’1B’1x’’x’BxCxAxB”xA”xC”xΠ’2Π1Hình 4.8. Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABCf2f11112125