Toán học - Bài 2: Hàm số

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK-------------------------------------------------------------------------------------TOÁN 1 HK1 0708BÀI 2: HÀM SỐ (SV)TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (09/2007) NỘI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- KHÁI NIỆM HÀM SỐ 2- CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ 3- NHẮC LẠI: HÀM CƠ BẢN (PHỔ THÔNG) 4- HÀM SỐ NGƯỢC 5- HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC 6- HÀM HYPERBOLIC 7- ÁP DỤNG KỸ THUẬTKHÁI NIỆM HÀM SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD: Đồ thị VNINDEX (chứng khoán)  Hàm số: giá chứng khoán theo ??? (Thời gian? Giá vàng? Biến động chính trị? & Biểu thức y = ???Đại lượng A biến thiên phụ thuộc đại lượng B: Đời sống: Tiền điện theo số kwh tiêu thụ, giá vàng trong nước theo thế giới  Kỹ thuật: Tọa độ chất điểm theo thời gian Tương quan hàm sốLỊCH SỬ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giữa TK 18, Euler: Biểu diễn hàm số qua ký tự  y = f(x)1786, Scotland: The Commercial an Political Atlas, Playfair. Đồ thị so sánh xuất & nhập khẩu từ Anh sang Đan Mạch + Na UyĐỊNH NGHĨA TOÁN HỌC -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------MXĐ Df = {x| f(x) có nghĩa}Hàm số y = f(x): X  R  Y  R: Quy luật tương ứng x  X  y  Y. Biến số x, giá trị y. Tương quan hàm số: 1 giá trị x cho ra 1 giá trị yMột x  Nhiều y: K0 phải hàm nghĩa thông thường (Nhưng hàm đa trị?)MGTrị Imf: y =f(x), xDf y = sinx  D= R, Imf = [–1, 1] CÁC CÁCH XÁC ĐỊNH HÀM SỐ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bốn cách cơ bản xác định hàm số: Mô tả (đơn giản) - Biểu thức (thông dụng) – Bảng giá trị (thực tế) – Đồ thị (kỹ thuật) Mô tả: Đơn giản, dễ phát hiện tương quan hàm sốTrọng lượngGiá tiền 20 gr18.000 đ20 – 40 gr30.000 đVD: Bảng cước phí gửi thư bằng bưu điện đi châu Aâu Bảng giá trị: Thực tế, rõ ràng, thích hợp các hàm ít giá trịVD: Phí gửi thư bưu điện đi nước ngoài phụ thuộc trọng lượng40 – 60 gr42.000 đXÁC ĐỊNH HÀM SỐ QUA BIỂU THỨC (HAY GẶP NHẤT) -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Quen thuộc (dạng hiện): y = f(x)VD: y = x2, y = ex, hàm sơ cấp cơ bản Dạng tham sốVD: x = 1 + t, y = 1 – t  Đường thẳng: 1 t  1 (x, y)VD: x = acost, y = asint  Đường trònDạng ẩn F(x, y) = 0  y = f(x) (implicit)VD: Đtròn x2 + y2 – 4 = 0,Biểu thức:MAPLE: KHAI BÁO HÀM SỐ, VẼ ĐỒ THỊ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (Khai báo hàm số) p := x^3 + x^2 + 1; (Tính giá trị hàm số) subs(x=1, p); (Tính giới hạn hàm số) limit( sin(2*x)/x, x = 0) ; (Tính đạo hàm) diff(p, x) ; (Tính đhàm cấp 2) diff(p,x$2) (Vẽ đồ thị) plot(sin(x), x = 0..Pi); (Nhiều đồ thị) plot( [sin(x),cos(x)],x = 0..2*Pi, color = [red,blue]); (Đồ thị tham số lý thú) plot( [31*cos(t)-7*cos(31*t/7), 31*sin(t)-7*sin(31*t/7), t = 0..14*Pi] ); plot( [17*cos(t)+7*cos(17*t/7), 17*sin(t)- , t = 0..14*Pi] );HÀM QUEN THUỘC (PHỔ THÔNG) -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính chất hàm y = x: MXĐ, đơn điệu tuỳ thuộc  > 0 & 0 (Nếu hàm căn: tuỳ tính chẵn lẻ) Tính đơn điệu y = x, x > 0:  > 0  Tăng,  0  lim x = +,  1 & 0 1 & 0 1  Hàm tăng & 0 1 &  > 0: Cùng ,  +, nhưng mũ nhanh hơn luỹ thừaĐiểm đặc biệt:  nhauKhi a > 1 &  > 0: Cùng ,  +, nhưng luỹ thừa nhanh hơn logHÀM LƯỢNG GIÁC: sinx, cosx -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = sinx, y = cosx  MXĐ R, MGTrị [–1, 1], Tuần hoàn HÀM LƯỢNG GIÁC: tgx, cotgx -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = tgx (x  /2 + k ), y = cotgx (x  k): MGT R, TC đứngHÀM HỢP. HÀM SƠ CẤP -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 hàm y = f(x), y = g(x)  Hàm hợp: f o g = f(g): y(x) = f(g(x))VD: Phân biệt f(g) & g(f): f = x2 & g = cosx  f(g) =  g(f) = Hàm sơ cấp: Tổng, hiệu, tích, thương, hợp (ngược) của những hàm cơ bản  Hàm sơ cấp: Diễn tả qua 1 công thứcVD: y = (sin2(x) – ln(tgx+2))/(ecosx – 1): sơ cấp  Ltục, đhàm VD: HÀM NGƯỢC -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------f–song ánh  Phương trình f(x) = y (*) có nghiệm x duy nhấtTìm hàm ngược: Giải (*) (ẩn x)  Biểu thức hàm ngược x = f1(y) Hàm số y = f(x): X  Y thoả tchất:  y  Y, ! x  X sao cho y = f(x)  f: song ánh (tương ứng một–một)VD: Tìm miền xác định và miền giá trị để trên đó hàm số sau có hàm ngược và chỉ ra hàm ngược đó y = x2 + 1 Chú ý: Cẩn thận chọn X & Y VD: y = f(x) = 2x + 1  f–1 = ? HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VD:  = arcsin(1/2) = sin-1 (1/2) :Dùng phím sin-1 trên MTBTúiy = arcsinx: D = [–1, 1], MGTy = sinx: song ánh:  Hàm ngược y = arcsinx:  Hàm arccos, arctg, arccotg: Toán 1, ĐCK, trang 21 – 23 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------y = cosx song ánh: [0, ]  [–1, 1]  y = arccosx: [–1, 1] HÀM HYPERBOLIC (Toán 1, ĐCK, trang 23 – 24) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Công thức hàm hyperbolic: Như công thức lượng giác & đổi dấu riêng với thừa số tích chứa 2 sin (hoặc thay cosx  chx, sinx  ishx (i: số ảo, i2 = –1)! MTBTúi: Bấm hyp + sin, hyp + cos. VD: Tính sh(0), ch(0) VD: Chứng minh: a/ ch(x) > 0  x (Thật ra ch(x)  1  x) b/ sh x < chx  x c/ ch(x): hàm chẵn, sh(x): hàm lẻ)VD: Chứng minh ch2x – sh2x = 1  x (So sánh: cos2x + sin2x = 1)VD: Giải phương trình: sh(x) = 1BẢNG CÔNG THỨC HÀM HYPERBOLIC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Coâng thöùc löôïng giaùcCoâng thöùc HyperbolicĐhàm: (shx)’ = chx, (chx)’= shx. ĐN: thx = shx/chx; cthx = 1/thxÁP DỤNG HÀM MŨ, LOG: PHÂN RÃ PHÓNG XẠ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tốc độ phân rã của vật liệu phóng xạ tỷ lệ thuận với khối lượng hiện có. Hãy tìm quy luật phân rã của vật liệu này?Giải: Gọi R(t) – khối lượng vật thời điểm t  tốc độ phân rã: R’(t) = dR/dt < 0 (vì R giảm). Theo quan sát:Carbon C – 14: Chu kỳ bán phân rã: 5730 năm  Tìm R(t)?Giải: T – chu kỳ bán phân rã  Khối lượng: R0/2 tại th/điểm T: TẤM VẢI LIỆM THÀNH TURIN --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Năm 1356, các nhà khảo cổ phát hiện tại thành Turin (Ý) tấm vải có ảnh âm bản hiện hình người được xem là Chúa Jesus  Truyền thuyết: Tấm vải liệm thành Turin. Năm 1988, Toà thánh Vatican cho phép Viện Bảo tàng Anh xác định niên đại tấm vải bằng phương pháp đồng vị phóng xạ C – 14  Sợi vải chứa 92% - 93% lượng C – 14 ban đầu. Kết luận? Giải: Từ công thức trước:R/R0: 0.92  0.93 Thực nghiệm: 1988  Tuổi tấm vải khi đó: 600 – 688  Kluận?