Toán 1 – Học kỳ 1 Bài 1: Dãy số. Giới hạn dãy số

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK------------------------------------------------------------------------------------- TOÁN 1 – HỌC KỲ 1 0708 BÀI 1: DÃY SỐ. GIỚI HẠN DÃY SỐ (SV) TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (9/2007) NỘI DUNG--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- KHÁI NIỆM DÃY SỐ 2- DÃY TĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN, DÃY CON 3- GIỚI HẠN DÃY SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN 6- GIỚI HẠN KẸP KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG – ĐẠI HỌC) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Giới hạn: Khái niệm cơ bản của Giải tích. “Không có giới hạn thì giải tích không tồn tại. Mỗi khái niệm của giải tích đều là giới hạn theo một nghĩa nào đó” Đạo hàm (theo định nghĩa): giới hạn y / x Ứng dụng hình học: Hsgóc tiếp tuyến = lim Hsgóc dây cung Ứng dụng vật lý: Vận tốc tức thời = lim Vận tốc trung bình Độ dài đường cong = lim độ dài đường gấp khúc nội tiếp Diện tích hình thang cong (tích phân) = lim S hình chữ nhật DÃY SỐ THỰC --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tập hợp vô hạn các số được đánh số từ 1 đến : x1, x2 … xn …  Dãy số {xn}n  1 (hoặc từ 0 đến : x0, x1 … xn …  {xn}n  0) VD: Dãy số nguyên dương:1, 2, 3, 4 … Dãy số chẵn: 2, 4, 6 … Câu hỏi: Tìm số hạng cuối cùng của 1 dãy số? Thông thường, dãy số được xác định theo 1 công thức tổng quát dành cho số hạng thứ n VD: Dãy xn-1: số hạng thứ n của {xn}n  0 ! CÔNG THỨC TỔNG QUÁT – SỐ HẠNG THỨ n --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của các dãy {xn}n1: 1/ Dãy hằng 1, 1 … 1 …: Hữu hạn giá trị & vẫn vô hạn phần tử 2/ Dãy các số nguyên tố: 1, 2, 3, 5 … : Công thức tổng quát? Có thể xem dãy số {xn} với số hạng tổng quát: xn = f(n) như hàm số từ tập số nguyên dương N*  R. VD: Dãy số chính phương 1, 4, 9, 16 …  xn = n2  f(x) = x2 ĐS: Maple: > n^2 $n = 1..5; > array( [ [n, n^2]$ n = 1 .. 5 ]); DÃY TĂNG – GIẢM: ĐƠN ĐIỆU ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- xn TĂNG: xn  xn+1  n  1. Tổng quát: xn  xn+1  n  N0 VD: xn GIẢM: xn  xn+1  n  1. Tổng quát: xn  xn+1  n  N0 Dãy xn LUÔN tăng hoặc LUÔN giảm (từ N0 nào đó): dãy ĐƠN ĐIỆU DÃY BỊ CHẶN – DÃY CON ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- xn  Dãy con VD: Dãy xn bị chặn trên: xn  M  n  1. Tổng quát: xn  M  n  N0 Dãy bị chặn trên lẫn dưới: gọi chung bị chặn  m  xn  M xn bị chặn dưới: xn  m  n  1. Tổng quát: xn  m  n  N0 VD: Xét tính bị chặn của các dãy a/ Bị chặn. Trên: 1, Dưới: 0. b/ Dưới: 0. c/ K0 bị chặn trên, dưới Chú ý: Từ dãy {xn}  Hay xét 2 dãy con {x2n – 1} & {x2n} Dãy con GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ CHỊU” --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lập bảng giá trị 2 dãy số sau. Quan sát và rút ra kết luận Nhận xét: n tăng, xn đến gần 1 còn yn đến gần 1  Khi n  : Giá trị xn  1, còn yn KHÔNG đến gần giá trị cụ thể nào! Định nghĩa (“dễ chịu”): Dãy {xn} có giới hạn bằng a  xn  a khi n đủ lớn Mánh: n đủ lớn (n = 1000) & MTBTúi  0.50025  (b)! GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Có ghạn: Hội tụ. K0 có ghạn (hoặc lim = ): phân kỳ Dãy xn hội tụ về a  Toán học (ngôn ngữ  – N0): xn “rất gần” a, n đủ lớn   > 0  N0: | xn– a | limit( …, n=infinity); VD: limit( n/(n+1), n=infinity)