Toán 1 Giải tích hàm một biến Bài 7: kỹ năng khai triển Taylor

BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK--------------------------------------------------------------------------------------------------- TOÁN 1 GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007) KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Từ khai triển hàm y = ex  Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx: o nhỏ của số hạng bị triệt tiêu! KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1  x), LN(1 + x) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm nghịch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân): Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)  Nhị thức Newton (1 + x)n VD: Khai triển MacLaurint hàm Giải: ln(1 + x): 1/(1+x)  xn/n, đan dấu BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: 7 HÀM--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Khai triển ML đến cấp 3: Giải: VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3: Đưa hàm cần khai triển về dạng tổng, hiệu, tích (đhàm, tphân) các hàm cơ bản. Aùp dụng kh/tr MacLaurint cơ bản Giải: Chú ý: Có thể sử dụng cả đạo hàm, tích phân (coi chừng C!) VD: Khai triển ML đến cấp 2: KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1  x) ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Khai triển MacLaurint Với thương (tỷ số, phân số) 2 hàm số: Dùng Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất hiện số 1! Giải: VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 2 Giải: KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HỢP ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Khai triển MacLaurint Hàm hợp f(u(x)): Khai triển lần lượt từng bước. Đầu tiên khai triển MacLaurint u(x), sau đó khai triển f(u) & cắt đến luỹ thừa được yêu cầu (Có thể đổi thứ tự). Chú ý quan trọng: Luôn kiểm tra điều kiện u(0) = 0! Giải: VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y = ln(2 + x) đến cấp 2 KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VỀ KTR ML --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Khai triển Taylor hàm Khai triển Taylor f(x) quanh x = x0: Đổi biến t = x – x0 và sử dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t) Cách 2: Biến đổi để (x – x0) xuất hiện trực tiếp trong hàm số! Giải: Cách 1: t = x – 2  Cách 2: Tạo (x – 2) trong hàm VD: Khai triển Taylor hàm Giải: ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB VD: Tìm (SGK/80) VD: Tính VD: Tìm ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÍNH GẦN ĐÚNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính gần đúng & ước lượng sai số: phần dư Lagrange VD: Góc x nào cho phép xấp xỉ sinx  x với độ chính xác 10-4 Tương tự: Cần chọn bao nhiêu số hạng trong khai triển hàm y = ex để có thể xấp xỉ e với độ chính xác 10-4 VD: Tính gần đúng giá trị số e với độ chính xác 10-4 (SGK/79) Giải: VI PHÂN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hàm khả vi tại x0  y = Ax + o(x), x  0 : Số gia hàm số biểu diễn tuyến tính theo x và vô cùng bé bậc cao của x Vi phân: dy = Ax = f’(x)dx Nhận xét: Hàm có đạo hàm  Có vi phân: Hàm khả vi 1/ C: hằng số  dC = 0 & d(Cy) = Cdy 2/ Vi phân tổng, hiệu, tích, thương: VI PHÂN HÀM HỢP -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- VD: Tính dy của a/ y = sinx b/ y = sinx, x = cost Giải: VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sint ĐS: Vi phân cấp 1:  Vi phân cấp 1: bất biến! Vi phân cấp cao: