Tín hiệu và phổ của tín hiệu

Chương 4 Tín hiệu và phổ của tín hiệu Tóm tắt lý thuyết Tín hiệu điện nói chung là một dao động điện có chứa tin tức trong nó. Nó thường được ký hiệu là s(t)-signal-đó là điện áp hay dòng điện, được biểu diễn như một hàm của biến thời gian. Để tìm hiểu cấu trúc tần số trong tín hiệu người ta thường dùng công cụ chuỗi Fourrie và tích phân Fourrie. Một tín hiệu s(t) tuần hoàn (vô hạn ) với chu kỳ T thì nó sẽ được phân tích thành chuỗi Fourrie dạng sau: (4.1) Trong đó : (4.2.) -gọi là tần số (sóng) cơ bản- là tần số góc của tín hiệu tuần hoàn (k=1). , k = 2,3,4,…sóng hài bậc k. ; (4.3) Có thể biểu diễn ở dạng phức như sau Trong (4.1.) các thành phần thứ k (với k=0,1,2,3..) có biên độ Ak, góc pha đầu tương ứng là jk gọi là sóng hài bậc k của tín hiệu. Đồ thị của Ak biểu diễn theo trục tần số gọi là phổ biên độ, đồ thị của jk biểu diễn theo trục tần số gọi là phổ pha. Trong công thức (4.4) thì biên độ là Ak=2Ck., riêng A0=C0 Công thức (4.2) hoặc (4.5) gọi là công thức biến đổi Fourrie thuận, cho phép tìm phổ của tín hiệu khi biết tín hiệu. Công thức (4.1) hoặc (4.4) gọi là công thức biến đổi Fourrie ngược, cho phép tìm tín hiệu (biểu diễn dưới dạng tổng của các dao động hình sin) khi biết phổ của nó. Nếu s(t) là hàm chẵn thì bk=0Þ(4.6) Nếu s(t) là hàm lẻ thì ak=0Þ (4.7) Chú ý: Khi phân tích phổ của tín hiệu tuần hoàn có thể sử dụng công thức trên tuỳ ý, cho ra cùng kết quả. Tuy nhiên nên phân tích tiện hơn như sau: Nếu tín hiệu là hàm lẻ-dùng công thức (4.7), tức tìm bk theo 4.3., lúc đó Ak=bk. Nếu tín hiệu là hàm chẵn-dùng công thức (4.6), tức tìm ak theo 4.3., lúc đó Ak=ak. Nếu tín hiệu là hàm không chẵn không lẻ-dùng công thức (4.4), tức tìm k theo 4.5.,lúc đó Ak=2.Ck. Một tín hiệu s(t) không tuần hoàn thì dùng cặp công thức tích phân Fourrie : Trong đó hàm [hay còn ký hiệu là ] gọi là hàm mật độ phổ hay gọi tắt là hàm phổ của tín hiệu. Đó là một hàm phức: =IIejj(w)=S(jw) ejj(w). Công thức (4.9) gọi là công thức tích phân Fourrie thuận, cho phép tìm phổ của tín hiệu khi biết tín hiệu. Công thức (4.8) gọi là công thức tích phân Fourrie ngược, cho phép tìm tín hiệu khi biết hàm phổ của nó. Với công thức (4.8)ta cũng biểu diễn tín hiệu không dưới dạng tổng của các dao động hình sin gồm mọi tần số có biên độ phức vô cùng nhỏ là . Tín hiệu nhận được bằng cách biến đổi các đại lượng vật lý (cần truyền đi) thành các dao động điện gọi là tín hiệu sơ cấp (tín hiệu tương tự – analog).Để truyền nó đi cần một sóng mang (hoặc tải tin carrier)-đó là một dao động hình sin cao tần. Tín hiệu sơ cấp ký hiệu là uW(t), sóng mang ký hiệu u0(t)=U0mcos(w0t+j0)=U0mcos(2pf0t+j0) Tín hiệu điều biên đơn âm là một số sơ cấp: uW(t)=UWm cos(Wt+jW)= UWm cos(2pFt+jW) Tín hiệu điều biên đơn âm: uđb(t)=U0m[1+mcos(Wt+jW)]cos(w0t+j0) (4.10) Trong đó m là độ sâu điều biên : m= 1 (4.11) Khi tính trong các bài tập hằng số a thường coi bằng 1. m có thể xác định trên đồ thị theo hình 4.1 giá trị max và min của tín hiệu điều biên đơn âm. (4.12.) Biểu thức (4.10 )có thể phân tích thành: (4.13) Công thức (4.13) cho thấy tín hiệu điều biên đơn âm có ba vạch phổ như ở hình 4.2a. Với tín hiệu sơ cấp đa âm u - được coi là tổng của N dao động điều hoà, tức i=1¸N thì biểu thức của tín hiệu điều biên đa âm sẽ là : (4.14) (4.15) (4.16) Phổ của tín hiệu điều biên đa âm được biểu biểu diễn tượng trưng như ở đồ thị hình 4.2b.Từ đó bề rộng phổ của tín hiệu điều biên là Dw=2WN hay DF=2FN Với tín hiệu sơ cấp đơn âm uW(t)=UWmcosWt và sóng mang u0(t)=U0mcos(w0t+j0) thì biểu thức của tín hiệu điều tần và điều pha sẽ là các biểu thức (4.17)và (4.18) tương ứng : uđt=U0m cos( w0t+ mđtsinWt+j0) (4.17) uđt=U0m cos( w0t+ mđfcosWt+j0) (4.18) Trong đó m-chỉ số (độ sâu) điều tần (điều pha) : (4.19) (4.20) Lấy đạo hàm pha tức thời sẽ cho tần số của tín hiệu. Với tín hiệu điều tần: (4.21) Trong đó lượng biến thiên tần số Dw(t) gọi là độ dịch tần hoặc độ di tần. Dwm=aUWm gọi là độ di tần cực đại. Với tín hiệu điều pha: (4.22) Trong đó lượng biến thiên tần số Dw(t) gọi là độ dịch tần hoặc độ di tần. Dwm=aWUWm gọi là độ di tần cực đại. Tín hiệu điều tần và điều pha có góc pha tức thời biến thiên nên gọi chung là tín hiệu điều góc,ví dụ biểu thức tín hiệu điều góc đơn âm uđg(t)=U0mcos(w0t+msinWt). Muốn biết cấu trúc phổ của nó người ta dùng hàm Jn(m)- Hàm Besselle loại một bậc n của biến số m, để phân tích. Lúc đó sẽ có: uđg(t)=U0mcos(w0t+msinWt)=U0mJ0(m)cos(w0t) + U0mJ1(m)[cos(w0+W)t - cos(w0 - W)t] + U0mJ2(m)[cos(w0+2W)t + cos(w0 -2 W)t] + U0mJ3(m)[cos(w0+3W)t - cos(w0 -3 W)t] + U0mJ4(m)[cos(w0+4W)t + cos(w0 - 4W)t] +……………………………………….. (4.23) Công thức (4.23) cho thấy ngay cả khi điều góc đơn âm thì về mặt lý thuyết phổ của tín hiệu đã rộng vô cùng. Thực tế khi n>m thì Jn(m)»0 nên phổ lấy : Dw=2(m+1)W. (4.24) Nếu m >>1 thì Dw»2mW. (4.25) Định lý Cochenhicop : (4.26) Công thức (4.26) gọi là chuỗi Cochenhicop. Theo đó tín hiệu s(t) liên tục có phổ 0¸wC=2pFC được xác định bởi chuỗi rời rạc (4.26) (chuỗi Cochenhicop) nếu các điểm rời rạc kDt thoả mãn: (4.27) Liên hệ giữa các đặc tính của tín hiệu và các đặc tính của mạch: Nếu tác động là f1(t) có phổ và mạch có đặc tính tần số là T(jw) thì phản ứng là f2(t) sẽ được xác định: (4.28) H(p) là ảnh toán tử của đặc tính quá độ h(t), H(p)=T(p) gọi là hàm truyền đạt toán tử của mạch. (4.29) Khi tác động là xung Dirac d(t) có phổ thì phản ứng là đặc tính xung g(t) nên : nếu mạch có đặc tính xung là g(t) mà đặc tính xung có phổ là thì có quan hệ theo cặp tích phân Fourrie : (4.30) Bài tập 4.1. Cho tín hiệu tuần hoàn trên hình 4.3 là dãy xung vuông (còn gọi là xung thị tần – xung video) tuần hoàn vô hạn. Tìm phổ của nó theo 2 cách: Tìm qua ak và bk rồi tìm Ak và jk Tìm qua rồi tìm Ak và jk Viết biểu thức biến đổi Fourrie ngược cho tín hiệu u(t) theo phổ vừa tìm ghi nhớ công thức này. 3. Cho độ rộng của xung tX=1mS, chu kỳ lặp T=5mS, độ cao h=20[V], hãy tính và vẽ đồ thị 14 vạch phổ biên độ đầu tiên (k=0¸13) của tín hiệu. 4.2. Cho các tín hiệu tuần hoàn trên hình 4.4 a) và 4.4.b). 1. Hãy áp dụng định lý trễ tìm phổ của chúng dựa vào BT4.1. 2. Viết biểu thức biến đổi Fourrie ngược cho tín hiệu u(t) theo phổ vừa tìm và ghi nhớ công thức này. 4.3. Cho tín hiệu là dãy xung tuần hoàn vô hạn hai cực tính hình 4.5.Tìm phổ của nó và viết biểu thức chuỗi Fourrie ngược cho tín hiệu này. 4.4. Cho tín hiệu là dãy tuyến tính tuần hoàn vô hạn hình 4.6. Tìm phổ của nó và viết biểu thức chuỗi Fourrie ngược cho tín hiệu này. 4.5. Tìm phổ của dãy xung dòng điện tuyến tính tuần hoàn vô hạn hình 4.7. Tìm phổ và vẽ 14 vạch phổ biên độ đầu tiên của dãy xung này. 4.6. Tìm phổ của tín hiệu xung s(t) tuần hoàn vô hạn trên hình 4.8. 4.7. Trên hình 4.9. là dãy xung xạ tần được coi là dài vô hạn. Chu kỳ đầu tiên có biểu thức giải tích: a) Tìm biểu thức phổ của dãy xung này. b) Tính và vẽ phổ biên độ Ak khi T0=10-6 S; t=5T0; T=2t ; U0m=100V 4.8. Tìm phổ của tín hiệu xung s(t) tuần hoàn vô hạn trên hình 4.10, có biểu thức giải tích s(t)=AIcosw0tI 4.9. Cho dãy xung tuần hoàn vô hạn hàm mũ hình 4.11, biểu thức giải tích trong một chu kỳ là khi (Với a>>1 - ứng với sự biến thiên nhanh của hàm). 4.10. Tìm phổ của dãy xung hình thang hai cực tính tuần hoàn vô hạn hình 4.12. 4.11. Cho tín hiệu là dãy xung tuần hoàn vô hạn hai cực tính hình 4.13.Tìm phổ của nó và viết biểu thức chuỗi Fourrie ngược cho tín hiệu này. 4.12. Xác định phổ AK và vẽ đồ thị của 25 vạch phổ đầu tiên (k=0¸24) của tín hiệu tuần hoàn vô hạn hình 4.14. với T=2 mS, U0=50 V. 4.13.Với tín hiệu điều hoà s(t), công suất trung bình của nó được xác định theo biểu thức: Hãy biểu diễn công thức công suất trung bình trên qua các hệ số của chuỗi Fourrie tương ứng của tín hiệu này. 4.14. Tìm hàm phổ của các xung vuông đơn hình 4.15. 4.15.Tìm phổ của tín hiệu có biểu thức giải tích là : ; a >0 4.16.Tìm phổ của tín hiệu cho bởi biểu thức : ; b >0 ; (Hình 4.16.) 4.17. a)Tìm hàm phổ của chuỗi n xung vuông tuần hoàn hình 4.17. b) Vẽ phổ biên độ trong trường hợp tX=1 mS, A = 40 V, T=5tX, n=8. 4.18. a)Tìm hàm phổ của một xung xạ tần (Hình 4.18.) b) Vẽ phổ biên độ với tX=10T0, T0=0,5 mS, U0m =20 V. 4.19. Tìm phổ của n xung xạ tần hình hình 4.19 với t=m T0 ; T=kt với m và k là các số nguyên dương >1. 4.20.Tìm phổ của tín hiệu s(t)= với a1¹a2 và a1, a2 >0 4.21. Tìm phổ của tín hiệu s(t) = cos2w0t với -¥ <t < ¥. 2.22. Tìm tín hiệu s(t) khi biết phổ của chúng: 2.23.Cho tín hiệu như sau:.Tìm dải tần số w=0¸wm tập trung 90% năng lượng của tín hiệu. 2.24.Tín hiệu là một xung vuông có độ rộng t= 5mS. Hãy xác định xem có bao nhiêu % năng lượng tập trong dải phổ f=0¸575 Khz. 2.25. Tín hiệu điều biên đơn âm có Umax=130 V, Umin=20 V. a) Vẽ dạng đồ thị của tín hiệu điều biên này. b) Tìm biên độ sóng mang U0m và chỉ số điều biên m 2.26. Một tín hiệu điều biên cho bởi biểu thức : uđb(t)= (12+6 cos Wt+2 cos 2Wt)cos w0t [V] Xác định giá trị max và min của đường bao của tín hiệu này. 4.27. Cho phổ của một tín hiệu điều biên hình 4.20. Hãy xác định các chỉ số điều biên thành phần và chỉ số điều biên toàn phần. 4.28. Cho biểu thức tín hiệu điều biên: uđb(t)=20[1+0,6cos2p.103t+0,5cos6p.103t+m3cosp.105t]cos2p.107t[V] 1. Hãy chỉ ra tần số sóng mang, các tần số tín hiệu sơ cấp với đơn vị là Khz. 2. Tìm chỉ số điều biên m3 để tín hiệu không bị điều chế qua mức. 3. Với m3 max vừa tìm được hãy vẽ phổ của tín hiệu với trục tần số f có đơn vị Khz và điền trị số của các vạch phổ trên đồ thị, đơn vị [V]. 4.29. Cho tín hiệu sơ cấp là : uW(t)=8 cos W1t+6 cos W2t+ 4 cos W3t+ 2cos W4t[V]. Hãy tìm biên độ sóng mang tối thiểu để tín hiệu không bị điều chế qua mức. Tín hiệu điều biên ở đầu ra của bộ khuếch đại công suất có biểu thức : uđb(t)=75(1+0,4 cos103t) cos 106t. [V].Tín hiệu này cấp cho điện trở tải Rt = 2 KW. Hãy xác định công suất tác dụng max và min mà khuếch đại phải cung cấp cho tải trong 1 chu kỳ tần số sóng mang. 4.31. Tín hiệu điều biên là một nguồn dòng có biểu thức(hình 4.21b): iđb(t)=10[1+0,8cos100t+0,6cos10 000t) cos106t [mA]. Ngoài tín hiệu này còn có các tần số nhiễu nằm ngoài dải phổ của nó(hình 4.21a) nên cần lọc bỏ bằng khung cộng hưởng song song (hình 4.21b).Biết C=1 nF. a) Chọn giá trị của điện cảm L và giá trị tối ưu của điện trở R để lọc bỏ được nhiễu và nhận được phổ tín hiệu điều biên không bị méo. b)Với R tối ưu vừa chọn, tính các chỉ số điều biên thành phần, các thành phần phổ và vẽ phổ của điện áp ra. 4.32. Cho cấu trúc phổ của một dòng điện điều biên trên hình 4. 22. a) Từ phổ hãy xác định (viết ra) tần số sóng mang w0, các tần số tín hiệu sơ cấp Wk và bề rộng phổ Dw với đơn vị là rad/s? b) Xác định các chỉ số điều biên thành phần và chỉ số điều biên toàn phần của tín hiệu. c) Dòng điện này kích thích vào một khung cộng hưởng RLC song song để lọc lấy điện áp điều biên để kích thích cho tầng tiếp theo. Chọn điện cảm L có trị số là 10 mH; Hãy xác định trị số của điện dung C và trị số tối ưu của điện trở R để có thể lọc tốt nhất tín hiệu điều biên này. d) Với R tối ưu vừa chọn, tính các chỉ số điều biên thành phần, các thành phần phổ và vẽ phổ của điện áp ra. 4.33. Cho tín hiệu điều góc: uđg(t)=15cos (108t+3sin.106t+1,4sin 105t+) [V] Hãy xác định biểu thức tần số của dao động, độ di tần và độ di tần cực đại Tần số của dao động tại thời điểm t = 1 s. 4.34. Hãy tìm wmax và wmin trong tín hiệu điều tần sau: uđt(t)=U0mcos (3.109t+2sin.107t+) [V] 4.35. Hãy chọn tần số cực đại của tín hiệu sơ cấp Wmax sao cho trong phổ của tín hiệu điều tần không còn sóng mang, biết độ di tần cực đại Dwm=6.104 rad/s. 4.36. Một đài phát thanh FM Stereo có mạch điều tần dùng khung cộng hưởng song song LC, với C là varicap tạo ra điện dung biến thiên theo quy luật tín hiệu sơ cấp C(t)=C0+CmcosWt. Biết trị số điện dung cố định là C0=8pF, tần số sóng mang là 82,25Mhz, độ sâu điều tần m=70, tần số tín hiệu sơ cấp Fmax=15Khz. Tìm các thông số L và Cm (biên độ biến thiên của điện dung) để tín hiệu đảm bảo được các thông số trên.