Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ20: Tìm giá trịcủa m để đồthịhàm số
( ) ( )
3 2 2 2
3 1 3 7 1 1 y x m x m m x m = − + + − + − + − có điểm cực tiểu tại một
điểm có hoành độnhỏhơn 1.
Giải :
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên .
* Ta có ( ) ( )
2 2
' 3 6 1 3 7 1 y x m x m m = − + + − + − .
Hàm số đạt cực tiểu tại một điểm có hoành độnhỏhơn 1
Bạn đang xem trước 20 trang nội dung tài liệu Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
A ( 0;0 )
y '= 0 ⇔ 1 1 ⇒ I (1;− 2 )
x= ⇒ y= − ⇒ B −
22 2 4( 2; 4 )
D th y I (1;− 2 ) ∈ ∆
V y m = 0 tho mãn yêu c u bài toán .
Bài t ập t ươ ng t ự :
Tìm m th c a hàm s y= x3 +( m −4) x 2 − 4( m − 1) x + 4 m + 1 có c c
i, c c ti u và các i m c c i, c c ti u c a th hàm s i x ng nhau qua
ng th ng : d: y= x .
x2 + mx
Ví d 17: Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng
1 − x
cách gi a hai i m c c tr b ng 10 .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \{ 1 } .
−x2 +2 x + m
* Ta có y ' =
(1− x ) 2
y'= 0 ⇔ x2 − 2 x − m = 0 (1) ( x ≠ 1)
∆' = 1 +m > 0
th hàm s có c c tr ⇔ ⇔m > − 1 .
1− 2 −m ≠ 0
ng th ng i qua các i m c c tr có ph ơ ng trình y= −2 x − m ⇒ các i m
c c tr là: A x− x − m B x − x − m
(1 ; 2 1 ), ( 2 ; 2 2 )
⇒ AB2= x − x 2 = ⇔ x + x 2 − x x − =
5(1 2 ) 100 ( 1 2 ) 4 1 2 20 0
⇔4 + 4m − 20 = 0 ⇔ m = 4 .
V y m = 4 là giá tr c n tìm.
Bài t ập t ươ ng t ự :
mx2 + x − m + 1
1. Tìm m th c a hàm s y = có c c tr và kho ng cách
x − 1
gi a hai i m c c tr b ng 3 .
80
Nguy n Phú Khánh – à L t
2. Tìm m th c a hàm s y= x3 − mx 2 + x −5 m + 1 có c c tr và kho ng
cách gi a hai i m c c tr bé h ơn 2 .
x2 +2 mx + 2
Ví d 18: Tìm giá tr c a m th hàm s y= f( x ) = có
x + 1
i m c c i, i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ng th ng
∆:x + y + 2 = 0 b ng nhau.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D =» \{ − 1 }
x2 +2 x + 2 m − 2
* Ta có y'= , x ≠ − 1
2
(x + 1 )
Hàm s có c c i , c c ti u khi f' ( x ) i d u hai l n qua nghi m x hay
ph ơ ng trình g( x) = x2 +2 x + 2 m − 2 = 0 có hai nghi m phân bi t khác −1
∆' > 0 3− 2m > 0 3
⇔ ⇔ ⇔m <
g (−1 ) ≠ 0 2m − 3 ≠ 0 2
= + = +
G i A( x1; y 1 2 x 1 2 m) , B( x 2 ; y 2 2 x 2 2 m ) là các i m c c tr c a th
= ≠
hàm s thì x1, x 2 là nghi m c a ph ơ ng trình g( x) 0, x 1 . Theo nh lý Vi
x+ x = − x x = − m
ét 1 22, 1 . 2 2
x+ y +2 x + y + 2
Theo yêu c u bài toán d( A,∆ ) = d ( B , ∆ ) ⇔1 1 = 2 2
2 2
2 2
⇔x + m + = x + m + ⇔ x + m + = x + m +
31 2 2 3 2 2 2( 3 1 2 2 ) ( 3 2 2 2 )
2 2
⇔x + m + − x + m + =
(31 2 2 ) ( 3 2 2 2 ) 0
⇔x − x x + x + m + =
( 1 2) 3( 1 2 ) 4 4 0
1
⇔3(x + x) + 4 m + 4 = 0 ( x ≠ x ) ⇔3( − 2 ) + 4m + 4 = 0 ⇔ m =
1 2 1 2 2
1
So v i i u ki n, v y m = là giá tr c n tìm .
2
Bài t ập t ươ ng t ự :
x2 +2 mx − 3 m + 1
1. Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c i,
x − 2
i m c c ti u và kho ng cách t hai i m ó n ng th ng ∆: 2x − y = 0
b ng nhau.
81
Nguy n Phú Khánh – à L t
2. Tìm giá tr c a m th hàm s y= x3 −(3 m + 1) x 2 − 2 m + 3 có i m
c c i, i m c c ti u và kho ng cách t c c i n ng th ng
(d) : 2 x− 3 y = 0 nh h ơn 11 .
x2 + mx + 2
Ví d 19: Tìm giá tr c a m th hàm s y = có i m c c
x − 1
ti u n m trên Parabol (P) : y= x2 + x − 4
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \{ 1 }
x2 −2 x − m − 2
* Ta có y'= , x ≠ 1 . t g x= x2 −2 x − m − 2 .
2 ( )
(x − 1 )
Hàm s có c c i , c c ti u khi ph ơ ng trình g( x ) = 0 có hai nghi m
∆' = 1 −( −m − 2) > 0 m + 3 > 0
phân bi t khác 1 ⇔ ⇔ ⇔m > − 3
≠ −
g(1 ) = − m − 3 ≠ 0 m 3
x=1 − m + 3⇒ y= m + 2 − 2 m + 3
Khi ó : y '= 0 ⇔ 1 1
x=1 + m + 3⇒ y= m + 2 + 2 m + 3
2 2
B ng xét d u :
x −∞ +∞
x1 1 x2
y ' + 0 − − 0 +
D a vào b ng xét d u suy ra A(1+ m + 3; m + 2 + 2 m + 3 ) là
i m c c ti u c a th hàm s .
2
A∈( P ) ⇔ m +2 + 2 m + 3 =( 1 + m + 3) + 1 + m + 3 − 4
⇔m +3 = 1 ⇔ m = − 2
So v i i u ki n bài toán, ta có m = − 2 là giá tr c n tìm.
Bài t ập t ươ ng t ự :
1 1
1. Tìm giá tr c a m th hàm s y= x3 − mx 2 +2( m − 2 ) x có i m
3 2
5
c c ti u n m trên ng th ng (d ) : y= x .
6
82
Nguy n Phú Khánh – à L t
2. Tìm giá tr c a m th hàm s y= x3 −3( m + 1) x 2 + 3 m − 2 có i m
c c ti u n m trên Parabol (P) : y= x 2 .
Ví d 20 : Tìm giá tr c a m th hàm s
y= − x3 +3( m + 1) x 2 −( 3 m 2 + 7 m − 1) x + m 2 − 1 có i m c c ti u t i m t
i m có hoành nh h ơn 1.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có y'= − 3 x2 + 6( m + 1) x −( 3 m 2 + 7 m − 1 ) .
Hàm s t c c ti u t i m t i m có hoành nh h ơn 1
⇔ = −2 + + − 2 + − =
y' 3 x 6( m 1) x( 3 m 7 m 1) 0 có hai nghi m x1, x 2 tho
mãn i u ki n :
1⇔ − 3.y ' 1 < 0
( ) ( )
x
11 2 ( 1 ) ' 0
⇔
x< x ≤ 1 2 2⇔ − 3.y ' 1 ≥ 0
1 2 ( ) ( ) ( )
S
< 1
2
3 3m2 + m − 4 < 0 4
( ) − <m < 1
2
2 3
9(m+ 1 ) − 3( 3 m + 7 m − 1 ) > 0 − + >
⇔ ⇔ 3m 12 0
2
3( 3m+ m − 4 ) ≥ 0 m2 + m − ≥
3 4 0
m +1 < 1 m < 0
4
− <m < 1
3 4
m < 4 − <m < 1
⇔ ⇔ 3 ⇔m < 1
4 4
m≤ − ∨ m ≥ 1 m ≤ −
3 3
m < 0
Bài t ập t ươ ng t ự :
1. Tìm giá tr c a m th hàm s y= mx3 −3 mx 2 +( m + 1) x − 4 có i m
c c ti u t i m t i m có hoành âm.
1 1
2. Tìm giá tr c a m th hàm s y=( m −1 ) x3 −( m − 1 ) x 2 + 2 m + 3
3 2
có i m c c ti u t i m t i m có hoành l n h ơn 2 .
83
Nguy n Phú Khánh – à L t
Ví d 21 : Tìm giá tr c a m th hàm s
x2−( m +1) x − m 2 + 4 m − 2
y = . có c c tr ng th i tích các giá tr c c
x − 1
i và c c ti u t giá tr nh nh t.
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên D = » \{ 1 } .
x2−2 x + m 2 − 3 m + 3 g( x )
* Ta có y'= = , x ≠ 1
2 2
(x−1 ) ( x − 1 )
g( x) = x2 −2 x + m 2 − 3 m + 3
Hàm s có c c i , c c ti u khi ph ơ ng trình g( x) =0, x ≠ 1
có hai nghi m phân bi t x1, x 2 khác 1.
∆' > 0 −m2 +3 m − 2 > 0
⇔ ⇔ 2 ⇔1 <m < 2
g (1 ) ≠ 0 m−3 m + 2 ≠ 0
G i A( x1; y 1) , B( x 2 ; y 2 ) là các i m c c tr c a th hàm s thì x1, x 2
là nghi m c a ph ơ ng trình g( x) =0, x ≠ 1 .
2 2
x=1 − − m + 3 m − 2⇒ y= 1 − m + 2 − m + 3 m − 2
Khi ó y '= 0 ⇔ 1 1
x=1 + − m2 + 3 m − 2⇒ y= 1 − m − 2 − m2 + 3 m − 2
2 2
y. y= 1 − m + 2 − m2 + 3 m − 2 1 − m − 2 − m2 + 3 m − 2
1 2 ( ) ( )
2
y y= − m − − m2 + m −
1. 2 ( 1 ) 4( 3 2 )
2
7 4 4
y. y= 5 m2 − 14 m + 9 = 5 m − − ≥ −
1 2 5 5 5
4 7
⇒ miny . y= − khi m =
1 2 5 5
7
So v i i u ki n , v y m = là giá tr c n tìm .
5
Bài t ập t ươ ng t ự :
1. Tìm giá tr c a m th hàm s y= x3 −3 x 2 + m 2 + 4 m − 2 có c c tr
ng th i tích các giá tr c c i và c c ti u t giá tr nh nh t.
84
Nguy n Phú Khánh – à L t
3
2. Tìm giá tr c a m th hàm s y= − x3 + x 2 + m 2 − m + 1 có c c tr
2
ng th i tích các giá tr c c i và c c ti u t giá tr l n nh t.
Ví d 22: Tìm các h s a, b , c , d sao cho hàm s f( x) = ax3 + bx 2 + cx + d
t c c ti u t i i m x = 0, f (0) = 0 và t c c i t i i m x=1, f ( 1) = 1 .
Gi i :
* Hàm s ã cho xác nh và liên t c trên » .
* Ta có f'( x) = 3 ax2 + 2 bx + c , f ''( x) = 6 ax + 2 b
i Hàm s f( x ) t c c ti u t i x = 0 khi và ch khi
f'( 0) = 0 c = 0 c = 0
⇔ ⇔ 1 .
> > ( )
f ''( 0 ) > 0 2b 0 b 0
i Hàm s f( x ) t c c i t i x = 1 khi và ch khi
f'( 1) = 0 3 a + 2 b + c = 0
⇔ 2
+ < ( )
f ''( 1 ) < 0 6a 2 b 0
f(0) = 0 d = 0 d = 0
⇒ ⇔ 3 .
+ + + = + + = ( )
f (1 ) = 1 a b c d1 a b c 1
T (1) ,( 2) ,( 3 )suy ra a= −2, b = 3, c = 0, d = 0 .
Ta ki m tra l i f( x) = −2 x3 + 3 x 2
Ta có f'( x) = − 6 x2 + 6 x , f ''( x) = − 12 x + 6
f ''( 0) = 6 > 0 . Hàm s t c c ti u t i x = 0
f ''( 1) = − 6 < 0 . Hàm s t c c i t i x = 1
V y : a= −2, b = 3, c = 0, d = 0 .
Bài t ập t ự luy ện:
1. Tìm các h s a, b , c sao cho hàm s f( x) = x3 + ax 2 + bx + c t c c tr
b ng 0 t i i m x = − 2 và th c a hàm s i qua i m A(1;0 ) .
ax2 + bx + ab
2. Tìm các h s a, b sao cho hàm s f( x ) = t c c tr t i i m
ax+ b
x = 0 và x = 4 .
D ng 4 : ng d ng c c tr c a hàm s trong bài toán i s .
85
Nguy n Phú Khánh – à L t
Ví d : Tìm t t c các giá tr th c c a m ph ơ ng trình sau có m t s l
nghi m th c: (3x2− 14 x + 14) 2 − 4(3 x − 7)( x − 1)( x − 2)( x − 4) = m .
Gi i :
f( x )=( x − 1)( x − 2) ( x − 4) = x3 − 7 x 2 + 14 x − 8
2
g( x )=( 3 x2 − 14 x + 14) − 4( 3 x − 7 ) f ( x )
g (x ) là a th c b c 4 v i h s c a x 4 là −3 .
f'( x )= 3 x2 − 14 x + 14
g'( x )= 2( 3 x2 − 14 x + 14 )( 6 x − 14 ) − 12 f ( x ) − 4 ( 3 x − 7 ) f '( x ) = − 12 f ( x )
g'( x )= 0 ⇔ x = 1; x = 2; x = 4.
g(1)= 9; g (2) = 4; g (4) = 36.
B ng bi n thiên c a g (x ) .
x −∞ 1 2 4 +∞
g'( x ) + 0 − 0 + 0 −
9 36
g (x )
4
−∞ −∞
T b ng bi n thiên cho th y ph ơ ng trình g( x ) = m có m t s l nghi m
khi và ch khi: m=4; m = 9; m = 36.
86
Các file đính kèm theo tài liệu này:
Chuong[1]-Bai[2]-Dang[3].pdf
