Tiếng Việt - Chương II: Số tự nhiên

a giác là đường tròn nằm trong đa giác và tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác đó. Đa giác có đường tròn nội tiếp cũng được gọi là đa giác ngoại tiếp. Ví dụ: Mỗi tam giác là một đa giác ngoại tiếp. Mỗi đa giác đều cũng là một đa giác ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp trong đa giác đều chính là tâm đường tròn ngoại tiếp nó. Ta gọi tâm chung đó là tâm của đa giác đều. A B C D E AD EC BD BC  CD AE BD AB  66 Định lý 3. Điều kiện cần và đủ để một tứ giác lồi ngoại tiếp được là tổng các cạnh đối của tứ giác bằng nhau. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, gọi M, N, P, Q là các tiếp điểm. Khi đó ta có AM = AQ BM = BN CP = CN DP = DQ, Do đó AM + BM + CP + DP = AQ + DQ + BN + CN. Suy ra AB + CD = AD + BC. Điều kiện đủ. Giả sử tứ giác ABCD thoả mãn đều kiện AB + CD = AD + BC (*). Hai phân giác trong của  A và  B cắt nhau ở O, giả sử O là tâm của đường tròn tiếp xúc với AD, AB, BC tương ứng ở Q, M, N. Để ý rằng phải có hoặc Q ở giữa AD hoặc N ở giữa BC bởi nếu không thì AB = AM + MB = AQ + BN > AD + BC, do đó (*) không thể xảy ra. Không mất tính tổng quát giả sử Q ở giữa AD, kẻ tiếp tuyến thứ hai từ D, giả sử tiếp tuyến này cắt BC ở C’, ta phải chứng minh C’  C. Trong tứ giác ngoại tiếp AB C’D, ta có AB + C’D = AD + B C’ so sánh với (*) suy ra CD – C’D = BC – B C’ hay  CD – C’D = CC’ điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức trong tam giác DCC’. Vậy C’  C, nghĩa là tứ giác ABCD là tứ giác ngoại tiếp. Định lý đã được chứng minh. §5. CÁC HÌNH KHÔNG GIAN O A M B N C P D Q A M B N C C’ D Q 67 Các hình hình học thường gặp trong không gian là các hình đa diện và các hình tròn xoay. Các khối đa diện và các khối tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi các hình đa diện và các khói tròn xoay. 5.1. Hình đa diện. a) Hình tứ diện. Hình đa diện có vai trò như hình tam giác trong mặt phẳng là hình tứ diện. Bốn điểm A, B, C, D không cùng thuộc một mặt phẳng xác định bốn tam giác, mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm trên. Hình gồm bốn tam giác đó gọi là hình tứ diện. Bốn điểm A, B, C, D gọi là các đỉnh; bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD gọi là các mặt; sáu đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD gọi là các cạnh của hình tứ diện. Hai cạnh không có đỉnh chung gọi là hai cạnh đối diện. Ba đường thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện đồng quy tại một điểm O gọi là trọng tâm của hình tứ diện. b) Hình chóp. Hình chóp là hình gồm 1 đa giác A1A2...An (gọi là đáy) và n tam giác SA1A2, SA2A3, ..., SAnA1 (gọi là các mặt bên) trong đó S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa đa giác, S gọi là đỉnh của hình chóp. Ký hiệu SA1A2...An là hình chóp đỉnh S, đáy là đa giác A1A2...An. Hình chóp được gọi theo tên của đáy. Chẳng hạn gọi là hình chóp tam giác nếu đáy là tam giác, hình chóp tứ giác nếu đáy là tứ giác. Hình chóp tứ giác SABCD Hình chóp ngũ giác SABCD Chú ý: Hình tứ diện chính là một hình chóp tam giác. c) Hình lăng trụ. A Q D N C P B M O A S D C D A S D C D E 68 Hình lăng trụ là hình gồm hai đa giác A1A2...An, B1B2...Bn có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau (gọi là hai đáy) và n hình bình hành A1A2B1B2, A2A3B3B2, ..., AnA1BnB1 (gọi là các mặt bên). Ký hiệu hình lăng trụ trên là A1A2...AnB1B2...Bn. Hình lăng trụ cũng được gọi theo tên của đáy: lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác,... Lăng trụ tam giác A1A2A3B1B2B3 Lăng trụ tứ giác A1A2A3A4B1B2B3B4 d) Hình hộp. Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp là hình có sáu mặt đều là hình bình hành. Hai đỉnh không cùng thuộc một mặt gọi là hai đỉnh đối diện; đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo; bốn đường chéo của hình hộp đồng quy tại một điểm O gọi là tâm của hình hộp. Hình hộp có sáu mặt đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp chữ nhật; còn nếu sáu mặt đều là hình vuông gọi là hình lập phương. Hình hộp A1A2A3A4B1B2B3B4 Hình hộp chữ nhật A1A2A3A4B1B2B3B4 A1 A3 A2 B2 B1 B3 A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 A1 A4 A3 A2 B3 B2 B1 B4 O A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 A1 A4 A3 A2 B3 B2 B1 B4 69 Hình lập phương A1A2A3A4B1B2B3B4 5.2. Hình tròn xoay. a) Mặt cầu. Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm cố định O một khoảng bằng R. Điểm O gọi là tâm, R gọi là bán kính của mặt cầu. b) Mặt trụ. Mặt trụ là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách đường thẳng cố định d một khoảng bằng R  Các đường thẳng l song song với d và cách d một khoảng bằng R tạo nên mặt trụ, các đường thẳng ấy gọi là đường sinh của mặt trụ còn R gọi là bán kính mặt trụ. c) Mặt nón. Mặt nón: Cho hình tròn tâm O thuộc mặt phẳng (P), lấy điểm S  (P) sao cho S có hình chiếu lên mặt phẳng (P) là O. Mặt nón đỉnh S là hình gồm các nửa đường thẳng gốc S nối với điểm M bất kỳ thuộc đường tròn tâm O. Các nửa đường thẳng đó gọi la đường sinh của mặt nón. 5.3. Vẽ hình không gian. a) Phép chiếu song song. Cho mặt phẳng (P) và một đường thẳng l cắt (p). Hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) là điểm M’ giao của đường thẳng qua M song song với l và mặt phẳng (P). Còn nói M’ l M M’ P O R O R  l S O M 70 là hình chiếu của M qua phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu l. Tập hợp các hình chiếu của các điểm thuộc một hình F trong không gian là một hình F’ trên mặt phẳng (P). Hình F’ gọi là hình chiếu của F. Hình F’ và các hình đồng dạng với nó gọi là hình biểu diễn của hình F. Vẽ hình không gian F tức là vẽ một hình biểu diễn của nó. b) Phép chiếu song song chỉ bảo toàn tính song song và tỷ số các đoạn thẳng song song, không bảo toàn độ dài của đoạn thẳng và độ lớn của góc. Vì vậy, chẳng hạn, một tam giác tuỳ ý có thể coi là hình biểu diễn của tam giác đều, tam giác vuông hoặc tam giác cân. Một hình bình hành tuỳ ý có thể coi là hình biểu diễn của hình chữ nhật, hình vuông hoặc hình thoi. Đường Elip là biểu diễn của hình tròn. Ví dụ: Vẽ hình biểu diễn của tứ diện cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB, BC và CD. BÀI TẬP CHƯƠNG IV 1. Tính độ dài trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC, biết rằng AB = 1, AC = 2,  A = 120o. 2. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng bình phương của tất cả các cạnh bằng tổng bình phương của hai đường chéo cộng với bốn lần bình phương của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo. 3. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình chữ nhật thì với mọi điểm M ta luôn có MA2 + MC2 = MB2 + MD2. 4. Chứng minh rằng nếu các đường chéo của một tứ giác vuông góc với nhau thì tổng bình phương hai cạnh đối diện bẳng tổng bình phương hai cạnh còn lại. A N D P C Q B M 71 B. HƯỚNG DẪN TỰ HỌC CHƯƠNG III I. MỤC ĐÍCH – YÊU CẦU Chương III đề cập đến một số vấn đề các hình hình học nhằm những mục đích sau : 1. Cung cấp cho người học những khái niệm và kiến thức cơ bản về các hình hình học trong mặt phẳng cũng như trong không gian: hình tròn, tam giác, tứ giác, đa giác, đường tròn nội tiếp một đa giác, đường tròn ngoại tiếp một đa giác, hình tứ diện, hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp, mặt cầu, mặt trụ, mặt nón; bên cạnh các khái niệm còn có một số tính chất của chúng. Từ đó giúp người học hiểu rõ hơn về các hình hình học, biết cách vẽ chính xác các hình này, có cái nhìn rộng hơn và sâu hơn về nội dung và phương pháp hình thành cho trẻ các biểu tượng Toán nói chung và các biểu tượng về hình dạng nói riêng. 2. Rèn luyện cho người học sự khéo léo, cẩn thận, trí tưởng tượng phong phú khi vẽ hình, quan sát hình. 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phan Hữu Chân, nguyễn Tiến Tài, Tập hợp và lôgic số học, NXB GD, 1997. [2] Nguyễn Văn Đoành, Nguyễn Văn Khuê, Hình học sơ cấp, ĐHSP Hà nội I, 1994. [3] Trương Đức Hinh, Đào Tam, Hình học sơ cấp, NXB GD, 1995. [4] Đinh Thị Nhung, Toán và phương pháp hình thành các biểu tượng Toán học cho trẻ mẫu giáo, Tập I, NXB ĐH Quốc gia Hà nội, 2001. [5] Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn Ngọc, Số tự nhiên, Trường ĐHSP Hà Nội I, 1994. [6] Lại Đức Thịnh, Giáo trình số học, NXB GD, 1997. [7] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB GD, 1998. 73 MỤC LỤC Lời nói đầu Chương I: Tập hợp - Quan hệ - Ánh xạ 1. Các khái niệm cơ bản về tập hợp 1.1. Khái niệm tập hợp ................................................................................ 7 1.2. Sự xác định một tập hợp ....................................................................... 8 1.3. Tập rỗng, tập đơn tử ............................................................................. 8 1.4. Minh họa tập hợp bằng hình vẽ ............................................................ 9 Bài tập ............................................................................................. 9 2. Quan hệ bao hàm giữa các tập hợp 2.1. Quan hệ bao hàm - Tập con ........................................................... 10 2.2. Hai tập hợp bằng nhau ................................................................... 10 2.3. Một số tính chất của quan hệ bao hàm ........................................... 11 2.4. Tập hợp các tập con của một tập hợp ............................................. 11 Bài tập ........................................................................................... 12 3. Các phép toán trên các tập hợp 3.1. Phép hợp ........................................................................................ 13 3.2. Phép giao ............................................................................................ 13 3.3. Một số tính chất của phép hợp, phép giao ........................................... 14 3.4. Liên hệ giữa phép hợp và phép giao .............................................. 15 3.5. Phép trừ ......................................................................................... 15 3.6. Sự liên quan giữa phép trừ với phép hợp và phép giao ................... 16 Bài tập ........................................................................................... 17 4. Quan hệ 4.1. Tích Đề các của các tập hợp .......................................................... 17 4.2. Quan hệ hai ngôi ............................................................................ 18 4.3. Một số tính chất thường gặp của quan hệ hai ngôi ......................... 19 4.4. Quan hệ tương đương .................................................................... 19 4.5. Quan hệ thứ tự ............................................................................... 21 Bài tập ........................................................................................... 23 5. Ánh xạ 5.1. Các khái niệm cơ bản và ví dụ về ánh xạ ....................................... 25 5.2. Ảnh và tạo ảnh ............................................................................... 27 74 Bài tập ........................................................................................... 28 6. Các ánh xạ đặc biệt - Tích các ánh xạ - Ánh xạ ngược 6.1. Các ánh xạ đặc biệt ........................................................................ 29 6.2. Tích các ánh xạ .............................................................................. 31 6.3. Ánh xạ ngược ................................................................................ 32 Bài tập ........................................................................................... 34 Chương II: Lôgic toán 1. Lôgic mệnh đề và các phép toán 1.1. Phép phủ định ................................................................................ 36 1.2. Phép hội ......................................................................................... 37 1.3. Phép tuyển ..................................................................................... 38 1.4. Phép kéo theo ................................................................................ 39 1.5. Phép tương đương ......................................................................... 40 Bài tập ........................................................................................... 41 2. Công thức và luật của lôgic mệnh đề 2.1. Khái niệm về công thức ................................................................. 43 2.2. Giá trị của công thức...................................................................... 43 2.3. Hai công thức bằng nhau ............................................................... 44 2.4. Phép biến đổi công thức................................................................. 46 2.5. Luật của lôgic mệnh đề .................................................................. 48 Bài tập ........................................................................................... 48 3. Lôgic vị từ 3.1. Hàm mệnh đề một biến .................................................................. 49 3.2. Hàm mệnh đề hai biến ................................................................... 51 3.3. Hàm mệnh đề n biến ...................................................................... 52 Bài tập ........................................................................................... 52 4. Các phép toán của lôgic vị từ 4.1. Phép phủ định ................................................................................ 53 4.2. Phép hội ......................................................................................... 53 4.3. Phép tuyển ..................................................................................... 54 4.4. Phép kéo theo ................................................................................ 54 4.5. Phép tương đương ......................................................................... 55 Bài tập ........................................................................................... 56 75 5. Các lượng từ 5.2. Lượng từ “tồn tại’’ ......................................................................... 57 5.2. Lượng từ “với mọi’’ ...................................................................... 58 5.3. Liên hệ giữa lượng từ “tồn tại’’, “với mọi’’ và phép phủ định ....... 58 Bài tập ........................................................................................... 59 Chương III: Số tự nhiên 1. Tập hợp tương đương 1.1. Quan hệ tương đương trên các tập ................................................. 62 1.2. Một số tính chất ............................................................................. 62 1.3. Định lý Cantor ............................................................................... 63 2. Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn 2.1. Định nghĩa và ví dụ ....................................................................... 64 2.2. Một số tính chất ............................................................................. 64 3. Số tự nhiên - Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên 3.1. Bản số - Số tự nhiên ...................................................................... 67 3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên ......................................... 68 3.3. Số liền sau ..................................................................................... 69 3.4. Dãy các số tự nhiên ....................................................................... 71 Bài tập ........................................................................................... 71 4. Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên 4.1. Định nghĩa phép cộng và phép nhân các số tự nhiên ...................... 72 4.2. Một số tính chất của phép toán cộng và phép toán nhân ................ 73 4.3. Liên hệ giữa quan hệ thứ tự và phép toán cộng, phép toán nhân .... 75 4.4. Phép trừ và phép chia .................................................................... 76 Bài tập ........................................................................................... 77 5. Phép đếm và cách ghi số 5.1. Hệ thống ghi số cơ số g ................................................................. 78 5.2. Đổi cơ số ....................................................................................... 81 5.3. Cách viết các số trong hệ thống ghi số cơ số g ............................... 82 5.4. So sánh các số trong cùng hệ thống ghi số cơ số g ......................... 84 Bài tập ........................................................................................... 84 6. Các dấu hiệu chia hết 6.1. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 .......................................................... 84 76 6.2. Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25 ........................................................ 85 6.3. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9 .......................................................... 86 6.4. Dấu hiệu chia hết cho 11................................................................ 86 Bài tập ........................................................................................... 86 7. Thực hành các phép toán trong hệ thống ghi số cơ số g 7.1. Phép cộng ...................................................................................... 87 7.2. Phép trừ ......................................................................................... 88 7.3. Phép nhân ...................................................................................... 98 7.4. Phép chia ....................................................................................... 92 Bài tập ........................................................................................... 93 Chương IV: Các hình hình học 1. Các khái niệm về hình hình học 1.1. Định nghĩa ..................................................................................... 95 1.2. Các phép toán trên các hình ........................................................... 95 1.3. Xác định một hình bằng tính chất đặc trưng................................... 96 2. Tam giác 2.1. Định nghĩa ..................................................................................... 97 2.2. Các đường và các điểm đặc biệt trong tam giác ............................. 98 3. Đa giác 3.1. Đường gấp khúc ............................................................................ 99 3.2. Đa giác .......................................................................................... 99 3.3. Tứ giác ........................................................................................ 101 3.4. Đa giác đều .................................................................................. 102 3.5. Đa giác bằng nhau ....................................................................... 103 4. Đường tròn 4.1. Xác định đường tròn .................................................................... 104 4.2. Đường tròn ngoại tiếp của đa giác ............................................... 105 4.3. Đường tròn nội tiếp một đa giác .................................................. 106 5. Các hình không gian 5.1. Hình đa diện ................................................................................ 107 5.2. Hình tròn xoay ............................................................................ 111 5.3. Vẽ hình không gian ..................................................................... 111 Bài tập chương IV ....................................................................... 111 77