Tích phân trung học phổ thông

Tích phân Trần Sĩ Tùng (Ax+B)dx I=∫ (λx+µ)n2ax++bxc dx Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: I=∫ (x+1)x2 ++2x2 Giải: 11 Đặt: t=⇒x1=− x+1t  dt 1 −>khit0 t(−)dt  2 1 dxt2 dt 1t+ suy ra: dx=− 2 dt, ==−= t (x+1)x2++2x2 11dt 22++1t.1 khit0< tt1t+2 Khi đó: Ÿ Với t > 0, ta được: dt11 I=−=−lnt+1+t2 +C=−ln+1C++ ∫ 2 1t+2 x1+ (x+1) 1+x22+2x+2x+11−x++2x2 =−ln+C=ln+C=+lnC. x++11+x2++2x2 x1 Ÿ Với t < 0, ta được: dt11 1−x2++2x2 I==lnt+1+t2 +C=ln+1C++=+lnC. ∫ 2 1t+2 x1+ (x+1) x1+ 1−x2 ++2x2 Tóm lại với t≠0⇔x1≠− ta luôn có: I=+lnC. x1+ 3. SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 3: Tính tích phân các hàm vô tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần PHƯƠNG PHÁP CHUNG Với các hàm vô tỉ, trong phạm vi phổ thông phương pháp tích phân từng phần ít được sử dụng, tuy nhiên chúng ta cũng cần xem xét. Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: I=+∫x2 adx Giải:  xdx u=+xa2 du = Đặt: ⇒ xa2 + dv=dx  vx= Trang 76 Trần Sĩ Tùng Tích phân x2dx Khi đó: I=xxa2 +−∫ (1) xa2 + x22dx[(x+−a)a]dxdx Với J=∫=∫=∫∫x2+−adxa x2+ax22++axa =I−alnx+x2++aC. (2) Thay (2) vào (1) ta được: xa I=xx2+a−(I−alnx+x2+a+C)⇔I=x22+a+lnx+x++aC. 22 4. SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI xa− Dạng 1: Tính tích phân bất định I=>dx,vớia0 ∫ xa+ PHƯƠNG PHÁP CHUNG xa≥ Vì điều kiện  x<−a' Ta xét hai trường hợp: x−−axa2xdxdx • Với xa≥ thì: ∫dx=∫dxa=−∫∫ xa+x2−a22x2−−a2xa22 =x2−a2−lnx+x22−+aC. x−−aaxdx2xdx • Với x < –a thì: ∫dx=∫dxa=−∫∫ xa+x2−a2x2−−a22xa22 =lnx+x2−a2−x22−+aC. x1− Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: I= dx ∫ x1+ Giải: x1≥ Vì điều kiện  . Ta xét hai trường hợp: x1<− x−12xdxdx • Với x1≥ . Ta có: I=∫dx=∫∫−=x22−1−lnx+x−+1C x2−12x22−−1x1 • Với x < –1. Ta có: 1− xdx2xdx I=∫dx=∫∫−=+lnxx22−1−x−+1C x2−1x22−−12x1 dx Dạng 2: Tính tích phân bất định I=,vớia≠0vàb−≠c0. ∫ax+b++axc Trang 77 Tích phân Trần Sĩ Tùng PHƯƠNG PHÁP CHUNG Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 1 1 I=(ax+b++axc)dx =[(ax+b)1/2d(ax+b)+(ax++c)1/2d(axc)] bc−∫ a(b− c) ∫∫ 2 =[(ax+b)33+(ax++c)]C 2a(b− c) dx Ví dụ 12: Tính tích phân bất định: I=+−x1 ∫ x1+ Giải: Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được: 11 I=∫(x+1+x−1)dx=[∫∫(x+1)1/2d(x+1)+(x−−1)1/2d(x1)] 22 1 =[(x+1)33+(x−+1)]C 3 Chú ý: Một phép biến đổi rất phổ biến đối với các hàm số vô tỉ là phương pháp phân tích, chúng ta sẽ đi xem xét các dạng cơ bản sau: v(x)dx Dạng 3: Tính tích phân bất định I = ∫ u2 (x)±α PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực hiện theo các bước sau: v(x)a[u2 (x)+α]bu(x)c • Bước 1: Phân tích: =++ u2(x)+αu2(x)+αu22(x)+αu(x) +α Sử dụng phương pháp hằng số bất định ta xác định được a, b, c. • Bước 2: Áp dụng các công thức: xdx dx 1. ∫ =x2 ±+aC. 2. ∫ =lnx+x2 ±+aC xa2 ± xa2 ± xa 3. x2±adx=x22±a±lnx+x±+aC. ∫ 22 (2x2 +1)dx Ví dụ 13: Tính tích phân bất định: I = ∫ x2 + 2x Giải: 2x2+12x22+1a[(x+1)−+1]b(x1)c Ta có: ==++ x2+2x(x+1)2−1(x+1)2−1(x+1)22−1(x+−1)1 Trang 78 Trần Sĩ Tùng Tích phân ax2+(2a+b)x++bc = x2+2x a==2a2  Đồng nhất đẳng thức, ta được: 2a+b=0⇔b4=−  bc+==1c5 2x2 ++14(x1)5 Khi đó: =2(x+1)12 −−+ x2+2x(x+1)22−1(x+−1)1 4(x+1)5 Do đó: I=∫[2(x+1)2 −1−+]dx (x+1)22−1(x+−1)1 =(x+1)x2+2x−lnx+1+x2+2x−4x22+2x+5lnx+1+x++2xC =(x+1)x2+2x+4lnx+1+x22+2x−4x++2xC. BÀI TẬP Bài 30. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: x1+ x x3 x3 1 a/ ; b/ ; c/ ; d/ ; e/ ; 3 3x1+ 2x++11 x2+ 1++3 x14 3 xx+ 1 x 1 f/ ; g/ h/ tgx + 3 (2x+1)2 −+2x1 10 x1+ 2x+1+−2x1 1152 113 ĐS: a/ 33(3x+1)+(3x++1)C; b/ (2x+1)−(2x++1)C; 3564 1 333 c/ (x2+2)32−2x++2C; d/ 3(x4+1)2−33x44+1+ln(x+1++1)C; 3 844 e/ 2x−33x−666x+ln(x++1)C; 3 f/ 6(2x+1)2 +3662x+1+3ln2x1−−+1C; 2 1010 1 g/ 10(x+1)199−10 (x++1)C; h/ −lncosx+(2x+1)33−(2x−+1)C. 199 3 Bài 31. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: x 1 1 1 a/ ; b/ ; c/ ; d/ 9x2 −6x x2 ++2x3 x2 ++6x8 x2 −−x1 4x5+ 2x x12+ x e/ ; f/ ; g/ ; h/ . 2 2 4 x++6x1 x+−x1 xx1+ 1+x2++(1x)23 1 ĐS: a/ 9x22−6x+ln3x−1+9x−+6xC; b/ lnx+1+x2 +2x++3C; 9 1 c/ lnx+3+x2 +6x++8C; d/ lnx−+x2 −x−+1C; 2 Trang 79 Tích phân Trần Sĩ Tùng 22 e/ 4x22+6x+1−7lnx+3+x+6x++1C; f/ x2−(x23−+1)C; 33 2 11 2 g/ lnx−+x−++2C; h/ 21+1++xC. x2 dx Bài 32a/ Biết rằng ∫=ln(x+x2 ++3)C. x32 + Tìm nguyên hàm của F(x)=+∫x2 3dx b/ Tính ∫x2 −+4x8dx. 13 ĐS: a/ xx22+3+ln(x+x++3)C. 22 1 b/ (x−2)x22−4x+8+2lnx−2+x−4x++8C. 2 Bài 33. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 11 a/ ; b/ . (x23+16) (1−x)23 xx ĐS: a/ +C; b/ +C. 16x2 +16 1x−2 Bài 34. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1x1−1 a/ ; b/ ; c/ ; (x−−1)1x2(x++1)x12 (x−1)−x2 ++2x3 1x2 1 d/ ; e/ ; f/ . x+x2 ++x1 x2 ++x1 1+x++1x 1x+ 1−x++2(x2 1) ĐS: a/ −+C; b/ lnx+x2 +1++2lnC; 1x− 2(x+1) 12+−x2 ++2x3 c/ −+lnC; 22(x−1) 31t4 d/ +ln+C,vớit=x+x2 ++x1. 2(1+2t)2 1+2t 3 111 e/ (2x−3)x22+x+1−lnx++x+x++1C; 482 111t−+11x f/ x+x−x.t+ln+=C,vớit. 224t+1x Trang 80 Trần Sĩ Tùng Tích phân Vấn đề 10: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ SIÊU VIỆT Để xác định nguyên hàm của các hàm số siêu việt ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Sử dụng các dạng nguyên hàm cơ bản 2. Phương pháp phân tích 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần. 1. SỬ DỤNG CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bài toán 1: Xác định nguyên hàm các hàm siêu việt dựa trên các dạng nguyên hàm cơ bản PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bằng các phép biến đổi đại số, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng nguyên hàm cơ bản đã biết. Ví dụ 1: Tính các tích phân bất định sau: dx 2xx.e a/ I = b/ J= dx ∫ eexx− − 169xx− Giải: d(exx)1e1− a/ Ta có: I==+lnC ∫e2xx−+12 e1 b/ Chia tử và mẫu số của biểu thức dưới dấu tích phân cho 4x, ta được: xxx 444 d −1 13 11 J=33dx=dx=+.lnC ∫∫2x2xx 444442 −1ln−+11ln  33333 143xx− =+.lnC. 2(ln4− ln3)43xx+ 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bài toán 2: Xác định nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp phân tích PHƯƠNG PHÁP CHUNG Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất định, nhưng ở đây ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc. dx Ví dụ 2: Tính tích phân bất định : I.= ∫1e− x Trang 81 Tích phân Trần Sĩ Tùng Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 1=1−+exx)e 1(1−+ex)eexx Ta được: ==+1. 1−ex1−−exx1e xx ed(1−e) x Suy ra: I=1+dx=dx−=x−ln1−+eC. ∫1−−exx∫∫1e 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 3: Xác định nguyên hàm hàm siêu việt bằng phương pháp đổi biến PHƯƠNG PHÁP CHUNG Phương pháp đổi biến được sử dụng cho các hàm số siêu việt với mục đích chủ đạo để chuyển biểu thức dưới dấu tích phân về các dạng hữu tỉ hoặc vô tỉ, tuy nhiên trong nhiều trường hợp cần tiếp thu những kinh nghiệm nhỏ đã được minh hoạ bằng các chú ý trong vấn đề 4. dx Ví dụ 3: Tính tích phân bất định : I.= ∫ 1e+ 2x Giải: • Cách 1: Đặt t=1+e2x⇔t2=+1e2x 2x tdtdxtdtdt Suy ra: 2tdt=2edx⇔dx&=2==22 t−11e+ 2x t(t−−1)t1 dt1t−+111e2x Khi đó: I==ln+C=+lnC ∫2 t1− 2t+121++e12x • Cách 2: Đặt: t = ex −x dx dxdxdx−dt Suy ra: dt=−edx⇔−=dt,x ===. e 1+e2xe2x(e−−2x+1)exe2x2++1t1 dxdt Khi đó: ∫∫=−=−lnt+t2+1+C=−lne−−xx+e++1C. 1++e2x2t1 dx Ví dụ 4: Tính tích phân bất định : I = ∫ eex− x/2 Giải: 1dx Đặt te=−x/2. Suy ra: dt=e−x/2dx⇔−=2dt, 2 ex/2 dxdxe−x/2dx−2tdt1 ====+21dt ex−ex/2ex(1−−e−−x/2)ex/2(1e)x/2 1−−tt1 1 −−x/2x/2 Khi đó: I=21+dt=2(e+lne++1C. ∫t1− 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Bài toán 4: Tìm nguyên hàm các hàm siêu việt bằng phương pháp tích phân từng phần Trang 82 Trần Sĩ Tùng Tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG Bài toán 1: Tính: ∫∫eaxcos(bx)(hoặceax sin(bx)vớia,b0≠ u==cos(bx)usin(bx) Khi đó ta đặt: axhoặc ax dv==edxdvedx Bài toán 2: Tính: ∫ P(x)eαx*dxvớiRα∈ u= P(x) Khi đó ta đặt:  αx dv= edx Ví dụ 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=(tg2xx++tgx1)e. Giải: Ta có: F(x)=∫(tg2x+tgx+1)ex=∫∫(tg2x++1)exxetgxdx. (1) Xét tích phân J= extgxdx.  dx 2 u=tgx du=2 =+(1tgx)dx Đặt: x ⇔ cosx dv=edx x ve= Khi đó: J=extgx−+∫(tg2xx1)e. Thay (2) vào (1) ta được F(x)=+extgxC. (2) 5. SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU dx Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: I = ∫ 1e+ 2x Giải: dxdxe−−xxdxd(e) Ta có: ===− (1) 1+e2xexe−2x+1e−−2x++1e12x d(e)−x Khi đó: I=∫ =−ln(e−−x+e2x ++1)C e1−x + Chú ý: Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến để làm tường minh lời giải, bằng cách: dtdt Đặt t = ex . Suy ra: dt==exdx& 1++e2x2t1t 1 d dtdt 11 Khi đó: I===−t=−ln+++1C ∫2 ∫∫11tt2 t1t+ t2 ++11 tt22 =−ln(e−−x+e2x ++1)C. Trang 83 Tích phân Trần Sĩ Tùng Đương nhiên cũng có thể đặt t = e–x ta sẽ thu được lời giải giống như trên, xong sẽ thật khó giải thích với các em học sinh câu trả lời “Tại sao lại nghĩ ra cách đặt ẩn phụ như vậy?” Chú ý: Nếu các em học sinh thấy khó hình dung một cách cặn kẽ cách biến đổi để đưa về dạng cơ bản trong bài toán trên thì thực hiện theo hai bước sau: – Bước 1: Thực hiện phép đổi biến: Đặt t = ex Suy ra: dt=exdx&exe2x−2ex+2dx=t22−2t+2dt=(t−+1)1dt Khi đó: I=∫(t−+1)2 1dt. – Bước 2: Thực hiện phép đổi biến: Đặt u = t – 1 Suy ra: du=dt&(t−1)22+1dt=+u1du u1 Khi đó: I=u2+1du=u22+1+lnu+u++1C ∫22 t−11 =(t−1)22+1+lnt−1+(t−1)++1C 22 ex−11 =e2x−2ex+2+lnex−1+e2xx−e++2C 22 ex Ví dụ 8: Tìm nguyên hàm hàm số : f(x) = eexx+− Giải: e−x Chọn hàm số phụ: g(x) = eexx+− Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: eexx−− f(x)−=g(x) eexx+− ex−+e−−xd(exxe) ⇒F(x)−G(x)=dx==lnexx++eC− ∫∫ex++e−−xeexx 1 eexx+− f(x)+g(x)==1⇒F(x)+G(x)=dx=+xC. eexx+− ∫ 2 xx− F(x)+G(x)=lne++eC 1 xx− Ta được:  1⇒F(x)=(lne+e++x)C. 2 F(x)−G(x)=+xC2 BÀI TẬP Bài 35. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 11x+lnx a/ 2xx.e; b/ ; c/ ; d/ ; 1e+xx(1+x.e)x x 2x e 1 2 e/ exx.sin(e); f/ ; g/ ; h/ x.e.x e22x +xlnx Trang 84 Trần Sĩ Tùng Tích phân 2xx.e ex xex ĐS: a/ + C; b/ ln+ C; c/ ln+ C; 1+ ln2 1e+ x 1+ xex 2 1 d/ lnx.lnx+ C; e/ −+cos(ex )C; f/ lne2x ++1C; 3 2 1 2 g/ lnlnx+ C; h/ ex + C. 2 Bài 36. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 2x 2x 2x e1− 3x23x e 1 e a/ x ; b/ (1+ e).e; c/ ; d/ ; e/ e 4xe1+ 1e+ x 4xe1+ 1 sinx 1 f/ .e;x g/ ; h/ . x ecosx exx(3+ e)− 1 44 ĐS: a/ exx++e− C; b/ (1++e3x3)C; c/ 44(ex+1)7−(ex3++1)C; 9 73 t1− t1− d/ ln+C,vớit=+ex 1; e/ 2t+ln+C,vớit=+1lnx; t1+ t1+ 3ex f/ 2ex + C; g/ e−x + C; h/ ln+ C. 3e1x + Bài 37. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 3 23x 2x x lnx n a/ xe; b/ e.cos3x; c/ e.sinx; d/ ; e/ x.lnx,n≠−1. x 1 1 ĐS: a/ e3x2(9x−6x++2)C; b/ e2x(2cos3x++3sin3x)C; 27 13 1 x 132333 c/ e(sinx−+cosx)C; d/ −2lnx+lnx+lnx++C; 2 2x 224 xxn++1n1 e/ lnx−+C; n1+ (n+1)2 Bài 38. Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: xe2x (1+ sinx)ex 11x+ a/ ; b/ c/ exx++e− 2; d/ ln; (x+ 2)2 1+ cosx 1x− 2 1x− lnx xln(x++x2 1) e/ ln(x+−x2 1); f/ ; g/ . x1+ lnx x12 + x2− ex sinx ĐS: a/ −+.ex C; b/ + C; c/ ex(e3x++e2x)C; x2+ 1+ cosx 2 11x+ 22 d/ ln+ C; e/ xln(x+x−1)−x−+1C; 41x− 2 f/ (1+lnx)1+lnx−21++lnxC; g/ x22+1.nx+x+1−+xC. 3 Trang 85 Tích phân Trần Sĩ Tùng §Bài 2: TÍCH P HÂN 1. Định nghĩa tích phân: Ta có công thức Niutơn – Laipnit: b f(x)dx=F(x)b =−F(b)F(a). ∫ a a b Chú ý: Tích phân ∫ f(x)dx chỉ phụ thuộc vào f, a, b mà không phụ thuộc vào cách ký a hiệu biến số tích phân. Vì vậy ta có thể viết: bbb F(b)−F(a)=∫f(x)dx=∫∫f(t)dt==f(u)du... aaa 2. Ý nghĩa hình học của tích phân: b Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên [a ; b] thì tích phân ∫ f(x)dx là diện tích a hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y= f(x,trụcOx) và hai đường thẳng x = a và x = b. 3. Các tính chất của tích phân: Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa vào định nghĩa tích phân ta có các tính chất sau: a Tính chất 1. Ta có ∫ f(x)dx0= a ba Tính chất 2. Ta có ∫∫f(x)dx=− f(x)dx. ab bb Tính chất 3. Ta có ∫∫kf(x)dx=∈kf(x)dx,vớikR. aa bbb Tính chất 4. Ta có ∫[f(x)±g(x)dx=±∫∫f(x)dxg(x)dx. aaa cbc Tính chất 5. Ta có ∫f(x)dx=+∫∫f(x)dxf(x)dx. aaa b Tính chất 6. Nếu f(x)≥0,∀x∈≥[a;b]thì∫ f(x)dx0 a bb Tính chất 7. Nếu f(x)≥g(x),∀x∈≥[a;b]thì∫∫f(x)dxg(x)dx. aa Trang 86 Trần Sĩ Tùng Tích phân b Tính chất 8. Nếu m≤f(x)≤M,∀x∈[a;b]thìm(b−a)≤∫ f(x)dx≤−M(ba). a t Tính chất 9. Cho t biến thiên trên đoạn [a; b] thì G(t) = ∫ f(x)dx là nguyên hàm của a f(t) và G(a) = 0. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau: 2 x2 − 2x 4 x a/ I= dx; b/ J=−(3xe4 )dx. ∫ 3 ∫ 1 x 0 Giải: 2 2 122 a/ Ta có: I=−dx=ln|x|+=(ln2+1)−(ln1+2)=−ln21. ∫2  1 xxx1 4 3 x b/ Ta có: J=x2 −4e4 =(24−4e)−(0−4)=−284e. 2 0 Chú ý: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng định nghĩa cùng các tính chất 1, 3 và 4 để tính tích phân Ví dụ sau đây sẽ sử dụng tính chất 5 để tính tích phân của hàm chứa dấu trị tuyệt đối. 1 Ví dụ 2: Tính tích phân sau: J=−∫ex 1dx. −1 Giải: Xét dấu của hàm số y = ex – 1 Ta có: y = 0 ⇔ex −1=0⇔=x0 Nhận xét rằng: x>0⇒ex >1⇒>y0 x<0⇒ex <1⇒<y0 Ta có bảng xét dấu: x –∞ –1 0 1 +∞ y’ – 0 + 01 011 Do đó: J=(1−ex)dx+(exx−1)dx=(x−e)+(e−x)=e+−2. ∫∫ −10 −10 2 Chú ý: Sử dụng tính chất 6, 7, 8 ta sẽ đi chứng minh được các bất đẳng thức tích phân. ππ3π/4 dx Ví dụ 3: Chứng minh rằng: ≤≤. ∫ 2 42π/4 3− 2sinx Giải: Trang 87 Tích phân Trần Sĩ Tùng ππ3 Trên đoạn ; ta có: 44 2111 ≤sinx≤1⇒≤sin22x≤1⇔1≤3−2sinx≤2⇔≤−≤1. 2223− 2sinx2 3π/413ππ/4dx 3/4 Do đó: dx≤≤dx. (1) ∫∫∫2 π/42 ππ/43−2sinx /4 3π/4 3ππ/4113π/4 π3/4 trong đó: ∫∫dx=x=&dx==x2. (2) 224π/4 ππ/4/4 π/4 ππ3π/4 dx Thay (2) vào (1) ta được: ≤≤ (đpcm). ∫ 2 42π/4 3− 2sinx x+<akhix0 Ví dụ 4: Cho hàm số: f(x) =  2 x+≥1khix0 a/ Xét tính liên tục của hàm số đã cho tại điểm x0 = 0. 1 b/ Với a để hàm số liên tục tại x = 0, hãy xác định ∫ f(x).dx. −1 Giải: a/ Hàm số xác định với mọi x∈ R. Ta có: limf(x)=lim(x2 +1)=1vàlimf(x)=lim(x+=a)a. x→0+x→0+x→→0−−x0 f(0)= 1. Vậy: • Nếu a = 1 thì limf(x)=limf(x)=f(0)1=⇔ hàm số liên tục tại x0 = 0 x→→0+−x0 • Nếu a1≠ thì limf(x)≠⇔limf(x) hàm số gián đoạn tại x0 = 0 x→→0+−x0 b/ Ta có: 10001 11 ∫f(x)dx=+∫f(x)dx∫f(x)dx=∫∫(x+1)dx+(x2+=1)dx. −1−1−−110 6 Chú ý: Như vậy chúng ta sử dụng hầu hết các tính chất để giải các ví dụ về tích phân, duy còn tính chất thứ 9 ở đó có một dạng toán mà các học sinh cần quan tâm là “Đạo hàm của hàm số xác định bởi tích phân”. Ta có các dạng sau: x Dạng 1: Với F(x)=∫f(t)dt⇒=F'(x)f(x). a ax Với F(x)=∫∫f(t)dtthìviếtlạiF(x)=−f(t)dt⇒F'(x)=−f(x). xa Trang 88 Trần Sĩ Tùng Tích phân u(x) Dạng 2: Với F(x)=∫f(t)dt⇒=F′(x)u'(x)f[u(x)]. a u(x) Dạng 3: Với F(x)= ∫ f(t)dt thì viết lại: v(x) u(x)v(x) F(x)=∫∫f(t)dt−f(t)dt⇒F'(x)=−u'(x)f[u(x)]v'(x)f[v(x)] aa minh hoạ bằng ví dụ sau: Ví dụ 5: Tính đạo hàm của các hàm số: x a a/ F(x)=+∫(et2cost)dt; b/ G(x)=∫(t2 ++21)dt; a x2 x2 c/ H(x)=+∫(t3 sint)dt. 2x Giải: x a/ Ta có: F(x)=[∫(et+cost2)dt]'=+ex2cosx. a ax2 b/ Ta có: G(x)=[∫∫(t2+t2+1)dt]'=[−(t2+t2+1)dt]'=(u)'.(u22++u1) x2 a trong đó: u = x2, do đó: G'(x)=(x2)'.(x4+x4+1)=2x(x44++x1). x22x2x c/ Ta có: H'(x)=[∫(t3+sint)dt]'=[∫∫(t33+sint)dt−+(tsint)dt]' 2xaa =(u)'.(u33+sinu)++(v)'.(vsinv), trong đó: u==x2 vàv2x, do đó: H'(x)=(x2)'.(x6+sin2)+(2x)'.(8x+sin2x)=2x(x6+sinx)23++2(8xsin2x) TỔNG KẾT CHUNG: Để tính tích phân xác định ngoài các phương pháp cơ bản mà chúng ta đã biết để xác định nguyên hàm, cụ thể có: 1. Phương pháp sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản. 2. Phương pháp phân tích 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần. 5. Sử dụng các phép biến đổi. còn có thêm một vài phương pháp khác ví dụ như phương pháp cho lớp tích phân đặt biệt. Vấn đề 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bằng việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết, từ đó ta xác định được giá trị của tích phân. Trang 89 Tích phân Trần Sĩ Tùng 1 x5 Ví dụ 1: (ĐHTM HN_95) Tính tích phân: I= dx. ∫ 2 0 x1+ Giải: Sử dụng đồng nhất thức: x5=x5+x3−x3−x+x=x3(x22+1)−x(x++1)x. 1 1 x11111 Ta được: I=x3−x+dx=x4−x22+ln(x+1)]=−ln2. ∫2  0x1+422024 sinx Ví dụ 2: (Đề 91) Cho f(x) = cosx+ sinx cosx− sinx a/ Tìm hai số A, B sao cho f(x)=+AB cosx+ sinx π/2 b/ Tính ∫ f(x)dx. 0 Giải: sinxcosx−sinx(A+B)cosx+−(AB)sinx a/ Ta có: =AB+= cosx+sinxcosx++sinxcosxsinx A+=B0 1 Đồng nhất đẳng thức, ta được:  ⇔A=B.=− A−=B1 2 b/ Với kết quả ở câu a/ ta được: π /2 ππ/2/21cosx−πsinx1 ∫∫f(x)dx=−−dx=−x−ln(cosx+sinx).=− 0022(cosx+sinx240 BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân: 4 dx 1 1 x2 −−2x3 2 dx a/ ∫ ; b/ ∫ x1− xdx; c/ ∫ dx; d/ ∫ 0 x 0 0 2x− 1 x+1+−x1 4 1 1 ĐS: a/ 4 b/ c/ − ln2 d/ (33−−221) 5 2 3 Bài 2. Tính các tích phân: π π 3 2 4sinx3 8 ex e dx a/ ; b/ tg222x(1+ tg2x)dx; c/ dx; d/ ∫ ∫ ∫ x2 ∫ 0 1+ cosx 0 0(e+ 1) 1 x1+ lnx 1 1 ĐS: a/ 2 b/ c/ d/ 2 6 6 2 Bài 3. Tìm các giá trị của a để có đẳng thức: [a23+(4−4a)x+=4x]dx12. ∫1 Trang 90