Tích phân hàm số hữu tỉ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG TÍCH PHAÂN HAØM SOÁ HÖÕU TÆ 1. DẠNG 1: b a P(x) .dx ax b trong ñoù P(x) laø ña thöùc vaø ax +b bậc nhất  Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc một thì dùng phép chia đa thức.  Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc một thì bb aa dx 1 ln a.x+b ax b a   BÀI TẬP: Tính các tích phân sau: 1. dxx x x           2 0 1 2 13 2. dx x x           1 0 3 1 22 3.            0 1 12 12 2 dxx x x 4.    3 2 1 2 dx x x 5. dx x xx    1 0 2 3 32 6. dxx x xx            0 1 2 12 1 1 7. dxx x xx           1 0 2 1 1 22 8. 1 3 0 2 1 1 x x x dx x          9. 3 2 2 2 1 x dx x   10. 3 3 2 2 1 x dx x   2. DẠNG 2: b a 2 P(x) .dx ax bx c   trong ñoù P(x) laø ña thöùc bậc bé hơn hai. a.Loại 1: b a 2 P(x) .dx ax bx c   trong ñoù P(x) laø ña thöùc vaø tam thöùc: ax 2 + bx +c voâ nghieäm TH1: Nếu P(x) bậc không thì TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG 2 22 2 2 4 b b a a dx dx I ax bx c b a x a a                      Đặt  1 2tan 1 tan2 2 2 24 b x t dx t dt a a a        TH2: Nếu P(x) bậc một thì b b b 2 2 2 a a a mx + n A(2ax + b) B dx = dx + dx ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c I     Tích phân 2 (2 )b a A ax b dx ax bx c     = 2ln b a A ax bx c  Tích phân 2 22 2 2 4 b b a a dx dx I ax bx c b a x a a                      Đặt  1 2tan 1 tan2 2 2 24 b x t dx t dt a a a        Ví dụ 1:Tính tích phân: 1 2 0 1 dx x x    . Giải: Do 1 1 2 20 01 1 3 2 4 dx dx x x x             TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG Đặt  1 3 3 2tan , ; 1 tan 2 2 6 3 2 x t t dx t dt              Vậy  3 21 tan1 3 32 3 2 3 332 2 30 3 3 921 (1 tan )6 6 4 6 t dt dx dt t x x t                 Ví dụ 2:Tính tích phân: 1 2 0 (2 2) 1 x dx I x x      . Giải: 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 2 10 1 (2 2) (2 1) 1 1 1 ln 1 ln3 x dx x dx dx I x x x x x x x x I I                    Mà 1 1 2 21 0 01 1 3 2 4 dx dx I x x x              Đặt  1 3 3 2tan , ; 1 tan 2 2 6 3 2 x t t dx t dt               3 21 tan1 3 32 3 2 3 332 21 30 3 3 921 (1 tan )6 6 4 6 t dt dx I dt t x x t                  TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG Vậy: 3 ln 3 9 I    BÀI TẬP : Tính các tích phân sau: 1. I = 1 0 2 dx x x 2   2. I = 1 0 2 (2x 1).dx x x 2     3. I = 1 0 2 5x 4 .dx x x 2     4.I =   1 0 41 dx x x 5. I= 1 0 2 3x 4 .dx x 1    6.I= 1 2 2 1 4x .dx x 4x 5       7.I=   2 2 2 3 3 2 3 dx x 4x 13      8.I= 1 0 2 5x .dx x 1  9.I= 1 2 0 1 1 x dx x   10. I=   2 0 24 1 dx x b.Loại 2: b a 2 P(x) .dx ax bx c   trong ñoù P(x) laø ña thöùc vaø tam thöùc: ax 2 + bx +c có một nghieäm ax2 + bx + c = a(x- 1 x ) 2 +)Nếu P(x) bậc không thì 2 2 b a dx I b a x a          tính được +)Nếu P(x) bậc một thì 2 2 2 2ax ax 2 b b b dxmx n ax b I dx dx A abx c bx c ba a a x a                   tính được BÀI TẬP: Tính các tích phân sau: 1. I= 2 2 1 1 dx x 2. I= 0 2 1 1 2 1 dx x x    TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG 3. I= 2 2 1 1 2 1 dx x x  4. I= 0 2 1 2 1 x dx x x    5. I= 2 2 1 1 1 4 dx x x   6. I= 0 2 1 2 3 2 1 x dx x x     7. I= 2 2 1 1 4 4 dx x x  8. I= 2 2 1 4 6 9 x dx x x    9. I= 2 2 1 1 6 9 dx x x  10. I= 2 2 1 12 1 6 9 x dx x x    c.Loại 3: b a 2 P(x) .dx ax bx c   trong ñoù P(x) laø ña thöùc vaø tam thöùc: ax 2 + bx +c coù 2 nghieäm Nếu 0  thì đồng nhất thức theo các công tức sau: ( ) ( )( ) P x A B x a x b x a x b       . ( ) 2 2 ( )( ) P x A Bx C x a bx cx d x a bx cx d            ( ) 22 ( )( ) P x A B C x a x bx a x b x b        . Ví dụ 1. Tính tích phân: 1 2 0 4 11 5 6 x I dx x x      . Cách 1. Chú ý: Bằng phương pháp đồng nhất hệ số ta có thể tìm A, B sao cho: TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG     2 54 11 , \ 3; 2 2 2 2 5 6 5 6 5 6 A xx B x x x x x x x                   2 54 11 , \ 3; 2 2 2 5 6 5 6 Ax A Bx x x x x x            2 4 2 5 11 1 A A A B B              Vậy     2 2 54 11 1 , \ 3; 2 2 2 2 5 6 5 6 5 6 xx x x x x x x x              . Giải: Ta có: 1 1 14 11 2 5 2 2 2 20 0 05 6 5 6 5 6 x x dx dx dx x x x x x x             2 91 12 2 ln 5 6 ln ln 3 20 0 x x x x        . Cách 2. Chú ý: Vì   2 5 6 2 3x x x x     nên ta có thể tính tích phân trên bằng cách: Tìm A, B sao cho:   4 11 , \ 3; 2 2 2 35 6 x A B x x xx x               34 11 , \ 3; 2 2 2 5 6 5 6 A B x A Bx x x x x x              TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG 4 3 3 2 11 1 A B A A B B               Vậy   4 11 3 1 , \ 3; 2 2 2 35 6 x x x xx x           . Giải: Ta có: 1 1 14 11 3 20 0 02 35 6 x dx dx dx x xx x         91 1 3ln 2 ln 3 ln 20 0 x x     . 3.DẠNG 3: Tính tích phân ( ) ( ) b P x I dx a Q x   với P(x) và Q(x) là đa thức của x.  Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức.  Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì quay lại dạng 2. Ví dụ 1. Tính tích phân: 1 3 2 20 1 x dx x   . Giải: 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 20 0 1 01 1 1 x x xdx dx x dx xdx x x x                 TRƯỜNG THPT NGUYỄN HỒNG ĐẠO GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG 1 12 1 1 1 32 2ln 1 ln2 2 2 8 2 400 x x     . BÀI TẬP: Tính các tích phân sau: 1. I= 2 2 dx x 2  2.I= 2 dx x 3x 2   3.I= 2 (2x 4)dx x 3x 2     4. I = 1 0 2 dx x 5x 6   5. I = 1 0 2 2 3x x 5 .dx x 5x 6       6.I= 1 2 2 0 ( 3 2) dx x x  7.I= 2 1 2 dx x(x 1)  8.I= 2 1 3 (2x 1).dx x(x 1)    9.I= 3 1 2 dx x(x 3)  10.I= 2 1 3 dx x 1  11.I= 1 2 0 2 (2x 4x 1)dx (x 2)(x x 1)       12.I= 3 3 1 dx x x 13.I= 2 2 2 2 1 ( 1) ( 5 1)( 4 1) x dx x x x x      14.I= 1 2 2 0 4 x dx x 15.I= 2 2 1 (2 1)(4 4 5) dx x x x   16.I= 2 1 3 2 2.dx x 3x 2x   20.I= 3 2 3 2 (3 x).dx x 4x 3x     21.I= 1 0 2(3x 7x).dx (x 1)(x 2)(x 3)    