Tích phân 12

Trần Sĩ Tùng Tích phân ĐS: a = 3 Bài 4. Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx. a/ Tìm các số A, B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f’(x) π g(x) b/ Tính 4 dx. ∫0 f(x) 21 π 17 ĐS: a/ A=;B;=− b/ − ln 55 10542 Bài 5. Tìm các hằng số A, B để hàm số f(x) = Asinπx + B thoả mãn đồng thời các điều 2 kiện: f'(1)==2vàf(x)dx4. ∫0 2 ĐS: A=−=;B2. π Trang 91 Tích phân Trần Sĩ Tùng Vấn đề 2: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số để tính tích phân xác định có hai dạng cơ bản (ngoài ra còn dạng 3) dựa trên định lý sau: Định lý: a. Nếu ∫ f(x)dx=F(x)+Cvàu=ϕ(x) là hàm số có đạo hàm trong [a ; b] thì: ϕ(b) f(u)du= F(u) ϕ(b) ∫ϕ(a) ϕ(a) b. Nếu hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a ; b], hàm số x = ϕ(t) xác định và (i) Tồn tại đạo hàm ϕ’(t) liên tục trên đoạn [α; β] (ii) ϕ ( α ) = a và ϕ(β) = b. (iii) Khi t biến đổi từ α đến β thì x biến thiên trong đoạn [a ; b] b β Khi đó: f(x)dx=f[ϕϕ(t)]'(t)dt. ∫∫a α b Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tính tsch phân I= f(x)dx. ∫a Giải: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp. Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ’(t)dt Bước 3: Tính các cận α và β tương ứng theo a và b Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt β Bước 5: Khi đó: I= g(t)dt. ∫α Lưu ý: Chúng ta cần nhớ lại các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn x=asintvới−π/2≤t≤π/2 ax22−  x=acostvới0t≤≤π  a ππ x=vớit∈−[;]\{0}  sint22 xa22−   a π x=vớit∈π[0;]\{}  cost2 x=atgtvới−π/2<t<π/2 ax22+  x=acotgtvới0t<<π Trang 92 Trần Sĩ Tùng Tích phân Dấu hiệu Cách chọn a+−xax hoặc x = acos2t a−+xax (x−−a)(bx) x=a+−(ba)sint2 2 x2 Ví dụ 1: (ĐHTCKT_97) Tính tích phân : I= ∫ 2 dx. 0 1x− 2 Giải: Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt 2 π Đổi cận: với x= 0 ⇒ t = 0; x=⇒=t. 24 x2dxsin222t.costdtsint.costdtsintcostdt1 Ta có: ====−(1cos2t)dt. 1−−x221sint costcost2 π /4 1π/4 111π Khi đó: I=∫(1−cos2t)dt=t−sin2t.=− 20 220 84 2/3 dx Ví dụ 2: Tính tích phân : I = ∫ 2 2 xx1− Giải: 1cost Đặt x=,khiđó:dx=− dt sint sint2 2 π Đổi cận: với x= 1 ⇒ t = π/2; x=⇒=t. 3 3 1 ππ/2−costdt /2 2 π/2 π Khi đó: sint =dtt== ∫∫1 π/3 ππ/3/3 6 1 sint1− sint2 2/3 dx Chú ý: Cũng có thể sử dụng phép đổi: I = . ∫ 1 2 x12 − x2 1 3/2 dt Từ đó sử dụng phép đổi biến t,= ta sẽ nhận được: I.= ∫ 2 x 1/2 1t− π /3 π/3 π Rồi tiếp tục sử dụng phép đổi biến t = sinu, ta được I=∫ du==u.π/6 π /3 6 Đó chính là lời giải có thể bổ sung (để phù hợp với hạn chế chương trình của Bộ Trang 93 Tích phân Trần Sĩ Tùng GD&ĐT) hầu hết các tài liệu tham khảo trước đây. 0 ax+ Ví dụ 3: Tính tích phân : I=>∫ dx,(a0) a ax− Giải: Đặt x=a.cos2t,khiđó:dx=−2a.sin2tdt. π π Đổi cận: với x=−at⇒= ; x=0t⇒= 2 4 a++xaa.cos2t Ta có: dx=(−2a.sin2tdt)=−cotgt(2a.sin2tdt) a−−xaa.cos2t =−4a.cos2t.dt=−+2a(1cos2t)dt. π/2 π/2 1 π Khi đó: I=−2a(1+cos2t)dt=−2at−sin2t=−a1. ∫ 24 π/4 π/4 b Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tính tích phân I= f(x)dx. ∫a Giải: Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp, rồi xác định x = ψ(x) (nếu có thể). Bước 2: Xác định vi phân dx = ϕ’(t)dt Bước 3: Tính các cận α và β tương ứng theo a và b Bước 4: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt β Bước 5: Khi đó: I= g(t)dt. ∫α Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn Hàm có mẫu số t là mẫu số Hàm f(x,ϕ(x)) t=ϕ(x) a.sinx+b.cosx xx Hàm f(x) = t=≠tg(vớicos0) c.sinx++d.cosxe 22 • Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: 1 t=x+a++xb Hàm f(x) = (x++a)(xb) • Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: t=−x−a+−−xb Trang 94 Trần Sĩ Tùng Tích phân π /3 cosdx Ví dụ 4: Tính tích phân : I = ∫ 2 π /6 sinx−+5sinx6 Giải: Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx π 1 π 3 Đổi cận: với xt=⇒= ; xt=⇒= 6232 cosdxdtdt Ta có: == sin22x−5sinx+6t−+5t6 (t−−2)(t3) AB[(A+B)t−−2A3B]dt =+=dt t−3t−2(t−−2)(t3) A+B==0A1 Từ đó: ⇔ −2A−3B=1B1=− cosxdx11 Suy ra: =−dt. sin2 x−+5sinx6t−−3t2 3/2 3/211t−−33(63) Khi đó: I=∫−dt==lnln 1/2 t−3t−−2t21/2 5(4−3) 7 x3dx Ví dụ 5: Tính tích phân : I = ∫ 3 2 0 1x+ Giải: 3t2dt Đặt t=3 x2+1⇒t32=+x1, khi đó: 3t2dt=2xdx⇒=dx. 2x Đổi cận: với x = 0 ⇒ t = 1; x=7⇒=t2. x3dxx32.3tdt Ta có: ==3t(t34−1)dt=−3(tt)dt. 31x+22xt 2 2 52 4 tt141 Khi đó: I=3∫(t−t)dt=3.−= 1 52110 b Bài toán 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 3 tính tích phân I= f(x)dx. ∫a Giải: Dựa vào việc đánh giá cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới dấu tích phân ta có thể lựa chọn phép đặt ẩn phụ, thông thường: a • Với I==∫ f(x)dx0 có thể lựa chọn việc đặt x = –t −a π /2 π • Với I= ∫ f(x)dx có thể lựa chọn việc đặt t=−x. 0 2 Trang 95 Tích phân Trần Sĩ Tùng π • Với I= ∫ f(x)dx có thể lựa chọn việc đặt t = π – x 0 2π • Với I= ∫ f(x)dx có thể lựa chọn việc đặt t = 2π – x 0 b • Với I= ∫ f(x)dx có thể lựa chọn việc đặt x = a + b + t a Ghi chú: Xem vấn đề 6 1 Ví dụ 6: Tính tích phân : I= ∫ x2004 sinxdx −1 Giải: 01 Viết lại I về dưới dạng: I=+∫∫x2004sinxdxx2004 sinxdx. (1) −10 0 Xét tích phân J= ∫ x2004 sinxdx. −1 3t2dt Đặt x=−t⇒dx=−dt khi đó: 3t2dt=2xdx⇒=dx. 2x Đổi cận: x = –1 ⇒ t = 1; x = 0 ⇒ t = 0 01 Khi đó: I=−∫∫(−t)2004sin(−t)dt=− x2004 sinxdx. 10 Thay (2) vào (1) ta được I = 0. (2) π/2 cosx4 Ví dụ 7: (ĐHGT Tp.HCM_99) Tính tích phân : I= dx. ∫ 44 0cosx+sinx Giải: π Đặt t=−x⇒dx=−dt 2 π π Đổi cận: với x = 0 ⇒ t = ; x=⇒=t0. 2 2 4 π 0cos(−−t)(dt) ππ/2sin44tdt/2 sinx Khi đó: I=2 ==dx. ∫∫∫4444 44ππcost++sintcosxsinx π/2cos(−t)+−sin(t) 00 22 ππ/2cos44x+sinx /2 ππ Do đó: 2I=dx=dx=⇒=I. ∫∫44 00cosx+ sinx 24 Trang 96 Trần Sĩ Tùng Tích phân BÀI TẬP Bài 6. Tính các tích phân sau: π 3 1 1 xdx 3 sinx.cosx a/ x5(1−x)36dx; b/ c/ x521−xdx; d/ 2 dx ∫0 ∫0x42++x1 ∫0 ∫0 1+cosx2 1 π 3 848 11 ĐS: a/ ; b/ c/ ; d/ −ln2. 168 18 105 22 Bài 7. Tính các tích phân sau: π cosx.dx π cosx a/ 6 ; b/ 2 dx; ∫0 6−+5sinxsinx2 ∫0 7+ cos2x 1 cosx.dx π c/ ; d/ x.sinx.cos2 xdx ∫−1 e1x + ∫0 10 π 2 π ĐS: a/ ln; b/ ; c/ sin1; d/ ; 9 12 3 Trang 97 Tích phân Trần Sĩ Tùng Vấn đề 3: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN b b b Công thức: ∫∫udv=−uva vdu aa b Bài toán1: Sử dụng công thức tích phân từng phần xác định I= ∫ f(x)dx. a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thực hiện theo các bước sau: bb Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: I==∫∫f(x)dxf12(x).f(x)dx. aa u= f1(x) du Bước 2: Đặt: ⇒ dv= f22(x)dxv b b Bước 3: Khi đó: I=−uva ∫ vdu. a Chúng ta cần nhớ lại các dạng cơ bản: Dạng 1: I=∫∫P(x)sinααxdx(hoặcP(x)cosxdx) với P là một đa thức thuộc R[x] và α∈R* khi đó đặt u = P(x). Dạng 2: I= ∫∫eaxcos(bx)(hoặceax sin(bx)) với a,b0≠ khi đó đặt u = cos(bx) hoặc u = sin(bx)). Dạng 3: I==∫∫P(x)eααxxdx(hoặcIP(x)edx) với P là một đa thức thuộc R[x] và α∈R* khi đó ta đặt u = P(x). Dạng 4: I=∫ xα .lnxdx,vớiα∈−R\{1} khi đó đặt u = lnx. π /2 Ví dụ 1: Tính tích phân: I=+∫(x2 1)sinxdx. 0 Giải: u=(x2 +1) du= 2xdx Đặt: ⇔ dv=sinxdx v=−cosx ππ/2/2 π/2 Khi đó: I=−(x2 +1)cosx+2xcosxdx=+12xcosxdx (1) 0 ∫∫ 00 π/2 Xét tích phân J= ∫ xcosxdx. 0 Trang 98 Trần Sĩ Tùng Tích phân u==xdudx Đặt: ⇔ dv==cosxdxvsinx π/2 ππ/2ππ/2 Khi đó: J=xsinx00−∫ sinxdx=+cosx1=− (2) 022 π Thay (2) vào (1) ta được: I=1+2−1=π−1. 2 π Ví dụ 2: (Đề 37). Tính tích phân: I= ∫e2x2sinxdx. 0 Giải: ππ1 Biến đổi I về dạng: I=∫∫e2xsin2xdx=−e2x(1cos2x)dx (1) 002 π π 2π 2x12x e1 • Xét tích phân: I1 =∫edxe==− (2) 0 20 22 π 2x • Xét tích phân: I2 = ∫ecos2xdx 0 du=−2sin2xdx u=cos2x  Đặt: ⇔ 1 dv=e2xdx ve=2x 2 πππ2π 12x2xe1 2x Khi đó: I2 =ecos2x+∫∫esin2xdx=−+esin2xdx (3) 20 0022 π 2x • Xét tích phân: I2,1 = ∫esin2xdx 0 du= 2cos2xdx u= sin2x  Đặt: ⇔ 1 dv=e2xdx ve=2x 2 π π 1 2x2x Khi đó: I2,12=esin−∫ecos2xdx=−I. (4) 2 0 0 1442443 I2 e22ππ1e1 Thay (4) vào (3), ta được: I=−−I⇔I.=− (5) 2222244 1e22ππ1e11 Thay (2), (5) vào (1), ta được: I=[−−(−)]=−(e2π1). 222448 2 ln(1+ x) Ví dụ 3: (ĐHHH Tp.HCM_2000) Tính tích phân: I= dx. ∫ 2 1 x Trang 99 Tích phân Trần Sĩ Tùng Giải:  1 u=+ln(1x) du= dx  1x+ Đặt: dx ⇔ dv = 1 x2 v = x 2 1221111 Khi đó: I=−ln(x+1)+∫∫dx=−ln3+ln2++dx x111x(x++1)2x1x 132 =−ln3+ln2+(ln|x|−ln(x+1))=−+ln33ln2. 221 BÀI TẬP Bài 8. Tính các tích phân sau: π 1 e a/ 2 ex .sin3xdx; b/ (x+1)2xedx; c/ (x.lnx)2 dx; ∫0 ∫0 ∫1 π 1 e 2 2 lnx d/ xln(x+1)dx e/ cosx.ln(1+ cosx)dx; f/ 1 dx. ∫0 ∫0 ∫ 2 e (x+ 1) 3− 2ex 5e12 − 7e13 − 1 π 2e ĐS: a/ ; b/ ; c/ d/ ln2;− e/ −1; f/ . 13 4 27 2 2 e1+ Trang 100 Trần Sĩ Tùng Tích phân Vấn đề 4: TÍNH TÍCH PHÂN CÁC HÀM CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI b Bài toán: Tính tích phân: I= ∫ f(x,m)dx. a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét dấu biểu thức f(x, m) trên [a, b] Từ đó phân được đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ, giả sử: [a,b]=[a,c1]∪[c1,c2k]∪∪...[c,b]. mà trên mỗi đoạn f(x, m) có một dấu. cc12 b Bước 2: Khi đó: I=∫f(x,m)dx+∫∫f(x,m)dx++...f(x,m)dx. acc1k 4 Ví dụ 1: Tính tích phân: I=∫x2 −+3x2dx −1 Giải: Ta đi xét dấu hàm số f(x)=−+x2 3x2 trên [–1, 4], ta được: x –1 1 2 4 f(x) + 0 – 0 + 124 Khi đó: I=∫(x2−3x+2)dx−∫∫(x22−3x+2)dx+(x−+3x2)dx −112 124 13321332132319 =x−x+2x−x−x+2x+x−x+=2x. 32−13212322 Chú ý: Với các bài toán chứa tham số cần chỉ ra được các trường hợp riêng biệt của tham số để khéo léo chia được khoảng cho tích phân, ta xét hai dạng thường gặp trong phạm vi phổ thông sau: b Dạng 1: Với tích phân: I=∫x−αdx. a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi đó với x∈[a,b] cần xét các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu α ≥ b thì: b b x12 I=∫(α−x)dx=αx−=(a−b)(a+b−α2) a 22a Trường hợp 2: Nếu a < α < b thì: Trang 101 Tích phân Trần Sĩ Tùng α b α b xx22 I=∫∫(α−x)dx+(x−α)dx=(αx−)+(−αx) a α 22a α 1 =α2+(a+b)α++(a22b). 2 Trường hợp 3: Nếu α ≤ a thì: b b x12 I=∫(x−α)dx=(−αx)=(a−b)(2α−−ab). a 22a b Dạng 2: Với tích phân: I=∫x2 −αx+βdx. a PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khi đó với x∈[a,b] cần xét các trường hợp: b Trường hợp 1: Nếu ∆=α2−40β≤ thì: I=∫(x2 +αx+β)dx a 2 Trường hợp 2: Nếu ∆ > 0 thì x+αx0+β= có hai nghiệm phân biệt x12<x. b 2 • Nếu x1<x2≤ahoặcb≤<xx12 thì: I=∫(x+αx+β)dx. a b 2 • Nếu x12≤a<≤bx thì: I=∫(x+αx+β)dx. a x2 b 22 • Nếu x12≤a<<xb thì: I=−∫∫(x+αx+β)dx+(x+αx+β)dx. ax2 x1 b 22 • Nếu a≤x12<≤bx thì: I=∫∫(x+αx+β)dx−(x+αx+β)dx. ax1 xx12b 222 • Nếu a≤x12≤≤xb thì: I=∫(x+αx+β)dx−∫∫(x+αx+β)dx+(x+αx+β)dx. axx12 Chú ý: Với bài toán cụ thể thường thì các nghiệm x1, x2 có thể được so sánh tự nhiên với các cận a, b để giảm bớt các trường hợp cần xét và đây là điều các em học sinh cần lưu tâm. 1 Ví dụ 2: (ĐHYD TP.HCM_96) Tính tích phân: I=∫x.x−>adx(a0) 0 Giải: Ta đi xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Nếu a ≥ 1 1 11 32 2 xaxa1 Khi đó: I=−∫∫x.(x−a)dx=−(x−ax)dx.=−−=− 00 32023 Trường hợp 2: Nếu 0 < a < 1 Trang 102 Trần Sĩ Tùng Tích phân a1a1 Khi đó: I=−∫x.(x−a)dx+∫x.(x−a)dx=−∫∫(x22−ax)dx+−(xax)dx 0a00 a1 x3ax2x3ax23aa1 =−−+−=−+. 320a32323 BÀI TẬP Bài 9. Tính các tích phân sau: 5 1 1 |x|dx a/ (|x+2|−−|x2|dx; b/ (|2x−−1|(x|2 )dx; c/ ; ∫−3 ∫−1 ∫−1x42−−x12 4 1 1 d/ x2 −+6x9dx; e/ 4−|x|.dx; f/ |x|−xdx ∫1 ∫−1 ∫−1 3 3 g/ |2x −4|dx; h/ x32−+2xxdx. ∫0 ∫0 323 5 ĐS: a/ 8; b/ c/ ln; d/ ; 274 2 22 12438+ e/ 2(5−3); f/ ; g/ 4;+ h/ . 3 ln2 15 Bài 10. Tính các tích phân sau: π π 2 a/ π|sinx|dx; b/ 2+2cos2xdx ∫− ∫0 2 π 2π c/ 1−sin2xdx; d/ 1+sinx.dx. ∫0 ∫0 ĐS: a/ 2; b/ 4; c/ 22; d/ 42. 1 Bài 11. Cho I(t)=|ex −∈t|.dx,tR ∫0 a/ Tính I(t). b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của I(t), với t∈R. t+1−≥e,te  2 ĐS: a/ 2t.lnt−3t+e+1,1<<te b/ minI(t)=(3−=1),te.  e−t−≤1,t1 Bài 12. Tính các tích phân sau: 1 2 a/ |x−m|dx; b/ |x2 −(a++1)xa|dx. ∫0 ∫1 3a5−  ,a2≥ 1 6 −≤m,m0  2 (a−−1)3 3a5 ĐS: a/  b/ −,1<<a2 1 36 m2 −m+,0<≤m1.  2 5−3a  ,a1≤ 6 Trang 103 Tích phân Trần Sĩ Tùng bb Vấn đề 5: CÁCH TÍNH: max[f(x),g(x)]dx,min[f(x),g(x)]dx. ịịaa Phương pháp: • Ta tìm max[f(x),g(x)],min[f(x),g(x) bằng cách xét hiệu: f(x)−g(x) trên đoạn [a ; b] • Giả sử ta có bảng xét dấu: x a c b f(x) – g(x) + 0 – Từ bảng x ét dấu ta có: – với x∈=[a;c]thìmax[f(x),g(x)]f(x) – với x∈=[c;b]thìmax[f(x),g(x)]g(x). bcb • Từ đó: max[f(x),g(x)dx=+[f(x),g(x)]dxmax[f(x),g(x)]dx ∫a∫∫ac cb =+f(x).dxg(x).dx ∫∫ac • Cách tìm min[f(x),g(x)] thực hiện tương tự. 2 Ví dụ: Tính tích phân: I=max[f(x),g(x)]dx, trong đó f(x)=x2 vàg(x)=−3x2. ∫0 Giải: Xét hiệu: f(x)−g(x)=x2−+3x2 trên đoạn [0 ; 2] : x 0 1 2 f(x) – g(x) 0 + 0 – Do đó: – Với x∈=[0;1]thìmax[f(x);g(x)]x2 – Với x∈[1;2]thìmax[f(x);g(x)]=−3x2 12 Ta có: I=+max[f(x);g(x)]dxmax[f(x);g(x)]dx ∫∫01 1 32 12 x3 =x22dx+(3x−2)dx=+−x2x ∫∫01  3201 1317 =+6−4−+=2. 326 BÀI TẬP Bài 13. Tính các tích phân sau: 2 2 a/ max(x;x2 )dx; b/ min(1;x2 )dx; ∫0 ∫1 π 2 c/ min(x;x3 )dx; d/ 2 (sinx,cosx)dx. ∫0 ∫0 55 47 ĐS: a/ ; b/ ; c/ ; d/ 2−2. 634 Trang 104 Trần Sĩ Tùng Tích phân Vấn đề 6: LỚP CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT Trong vấn đề này ta đi chứng minh rồi áp dụng một số tính chất cho những lớp tích phân đặc biệt. a Tính chất 1: Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên [–a ; a] thì: I==∫ f(x)dx0. −a PHƯƠNG PHÁP GIẢI a0a Biến đổi I về dạng: I=∫f(x)dx=+∫∫f(x)dxf(x)dx (1) −−aa0 0 Xét tính phân J= ∫ f(x)dx. −a Đặt x=−t⇒dx=−dt Đổi cận: x = –a ⇒ t = a; x = 0 ⇒ t = 0 Mặt khác vì f(x) là hàm lẻ ⇒ f(–t) = –f(t). 0aa Khi đó: J=−∫f(−t)dt=−∫∫f(t)dt=− f(x)dx. a00 Thay (2) vào (1) ta được I = 0 (đpcm). Áp dụng: 1/2 1x− Ví dụ 1: Tính tích phân: I= ∫ cosx.lndx. −1/2 1x+ Giải: 1x− Nhận xét rằng: hàm số f(x)= cosx.ln có: 1x+ 11 • Liên tục trên − ; 22 1−−x1x • f(x)+f(−x)=cosx.ln+−cos(x).ln 1++x1x 1−+x1x =ln+lncosx==ln1.cosx0. 1+−x1x ⇒f(−x)=−f(x). 11 Vậy, f(x) là hàm lẻ trên − ; , do đó theo tính chất 1 ta được I = 0. 22 Chú ý quan trọng: 1. Khi gặp dạng tích phân trên thông thường học sinh nghĩ ngay tới phương pháp tích Trang 105