Tài liệu về tín hiệu và các loại tính chất của nó

CHƯƠNG I TÍN HIỆU Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu là gì? Đại lượng vật lý thể hiện một quá trình thông tin về một hiện tượng. Có thể biểu diễn dưới dạng hàm theo thời gian liên tục hay rời rạc. Biểu diễn toán học: hàm của một hay nhiều biến độc lập Âm thanh: hàm của một biến thời gian t. Hình ảnh động: hàm của ba biến x, y, t. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục và rời rạc theo thời gian Tín hiệu theo thời gian liên tục (tín hiệu liên tục): Có thể thay đổi tại bất cứ thời điểm nào. Thường có bản chất tự nhiên. Tín hiệu theo thời gian rời rạc (tín hiệu rời rạc): Chỉ thay đổi tại những thời điểm nhất định. Có thể được tạo ra bằng cách lấy mẫu một tín hiệu liên tục tại những thời điểm nhất định. Thường liên quan tới các hệ thống nhân tạo. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc Tín hiệu liên tục và rời rạc theo giá trị Tín hiệu có giá trị liên tục: giá trị của tín hiệu thay đổi một cách liên tục. Tín hiệu có giá trị rời rạc: giá trị của tín hiệu thay đổi không liên tục. Tín hiệu tương tự và tín hiệu số Tín hiệu tương tự: tín hiệu liên tục theo thời gian và có giá trị liên tục. Tín hiệu số: tín hiệu rời rạc theo thời gian và có giá trị được lượng tử hóa→ có giá trị rời rạc. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn Tín hiệu tuần hoàn: tín hiệu có giá trị lặp lại theo chu kỳ, nghĩa là ∃T > 0 : f (t + T ) = f (t). Chu kỳ cơ bản của một tín hiệu tuần hoàn: giá trị nhỏ nhất của T thỏa mãn điều kiện nói trên. Tín hiệu không tuần hoàn: giá trị của tín hiệu không được lặp lại một cách có chu kỳ. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Nhân quả, phản nhân quả và phi nhân quả Tín hiệu nhân quả: giá trị của tín hiệu luôn bằng không trên phần âm của trục thời gian, nghĩa là ∀t < 0 : f (t) = 0. Tín hiệu phản nhân quả: giá trị của tín hiệu luôn bằng không trên phần dương của trục thời gian, nghĩa là ∀t > 0 : f (t) = 0. Tín hiệu phi nhân quả: tín hiệu có các giá trị khác không trên cả phần âm và phần dương của trục thời gian. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu chẵn và tín hiệu lẻ Tín hiệu chẵn: đồ thị biểu diễn tín hiệu có dạng đối xứng qua trục tung, nghĩa là f (t) = f (−t). Tín hiệu lẻ: đồ thị biểu diễn tín hiệu có dạng đối xứng qua tâm, nghĩa là f (t) = −f (−t). Bất cứ tín hiệu nào cũng đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng hợp của một tín hiệu chẵn và một tín hiệu lẻ: f (t) = feven(t) + fodd(t) ở đó: feven(t) = 1 2 [f (t) + f (−t)] fodd(t) = 1 2 [f (t)− f (−t)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên Tín hiệu xác định: giá trị của tín hiệu tại bất cứ thời điểm nào đều có thể tính trước được bằng biểu thức toán học hay bảng giá trị. Tín hiệu ngẫu nhiên: không thể dự đoán chính xác giá trị của tín hiệu tại một thời điểm trong tương lai. Các tín hiệu có nguồn gốc tự nhiên thường là tín hiệu ngẫu nhiên. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu đa kênh và tín hiệu đa chiều Tín hiệu đa kênh: thường được biểu diễn dưới dạng vector mà các thành phần là các tín hiệu đơn kênh: F(t) = [f1(t) f2(t) ... fN(t)] Tín hiệu đa chiều: thường được biểu diễn dưới dạng hàm của nhiều biến độc lập: f (x1, x2, ..., xN) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu thuận và tín hiệu nghịch Tín hiệu thuận: giá trị của tín hiệu luôn bằng không kể từ một thời điểm trở về trước, nghĩa là ∀t < t0 <∞ : f (t) = 0. Tín hiệu nghịch: giá trị của tín hiệu luôn bằng không kể từ một thời điểm trở về sau, nghĩa là ∀t > t0 > −∞ : f (t) = 0. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 27 Các Loại Tín Hiệu và Tính Chất Tín hiệu có độ dài hữu hạn và tín hiệu có độ dài vô hạn Tín hiệu có độ dài hữu hạn: tất cả các giá trị khác không của tín hiệu đều năm trong một khoảng hữu hạn trên trục thời gian, ngoài khoảng đó giá trị của tín hiệu luôn bằng không, nghĩa là ∃ −∞ < t1 < t2 <∞ : f (t) = 0 nếu t /∈ [t1, t2]. Tín hiệu có độ dài vô hạn: miền các giá trị khác không của tín hiệu trên trục thời gian là vô hạn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 27 Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Năng lượng tín hiệu Năng lượng của một tín hiệu liên tục f (t) được định nghĩa như sau: Ef = ∫ ∞ −∞ |f (t)|2dt Năng lượng của một tín hiệu rời rạc f (n) được định nghĩa như sau: Ef = ∞∑ n=−∞ |f (n)|2 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 27 Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Norms của tín hiệu Lp-norm của một tín hiệu liên tục f (t) được định nghĩa như sau: ||f (t)||p = [∫ ∞ −∞ |f (t)|pdt ]1/p Lp-norm của một tín hiệu rời rạc f (n) được định nghĩa như sau: ||f (n)||p = [ ∞∑ n=−∞ |f (n)|p ]1/p Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 27 Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Norms của tín hiệu Năng lượng của một tín hiệu chính là bình phương của L2-norm của tín hiệu đó: Ef = ||f ||22 Khi p →∞: ||f (t)||∞ = ess sup |f (t)| ||f (n)||∞ = maxn {f (n)} Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 27 Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Tín hiệu năng lượng Tín hiệu có năng lượng hữu hạn được gọi là tín hiệu năng lượng. Tín hiệu tuần hoàn không phải là tín hiệu năng lượng: năng lượng của tín hiệu tuần hoàn luôn luôn vô hạn. Tín hiệu xác định có độ dài hữu hạn là tín hiệu năng lượng. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 15 / 27 Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Công suất của tín hiệu Công suất của một tín hiệu là năng lượng trung bình của tín hiệu trong một đơn vị thời gian. Công suất của một tín hiệu liên tục f (t) được tính như sau: Pf = lim T→∞ 1 T ∫ T/2 −T/2 |f (t)|2dt Công suất của một tín hiệu rời rạc f (n) được tính như sau: Pf = lim N→∞ 1 2N + 1 N∑ i=−N |f (n)|2 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 16 / 27 Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Công suất của tín hiệu Công suất của một tín hiệu liên tục f (t) tuần hoàn với chu kỳ T bằng năng lượng trung bình của tín hiệu được tính trong một chu kỳ: Pf = 1 T ∫ T 0 |f (t)|2dt Công suất của một tín hiệu rời rạc f (n) tuần hoàn với chu kỳ N cũng bằng năng lượng trung bình của tín hiệu được tính trong một chu kỳ: Pf = 1 N N∑ i=0 |f (n)|2 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 17 / 27 Năng Lượng và Công Suất Của Tín Hiệu Tín hiệu công suất Tín hiệu có công suất hữu hạn được gọi là tín hiệu công suất. Một tín hiệu nếu là tín hiệu năng lượng thì không thể là tín hiệu công suất: công suất của tín hiệu năng lượng luôn bằng không. Một tín hiệu nếu là tín hiệu công suất thì không thể là tín hiệu năng lượng: năng lượng của tín hiệu công suất luôn vô hạn. Ví dụ: tín hiệu tuần hoàn. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 18 / 27 Biến Đổi Biến Thời Gian Của Tín Hiệu Dịch thời gian Trễ: dịch tín hiệu sang bên phải theo trục thời gian, nghĩa là f (t)→ f (t − T ) với T > 0. Tiến: dịch tín hiệu sang bên trái theo trục thời gian, nghĩa là f (t)→ f (t + T ) với T > 0. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 19 / 27 Biến Đổi Biến Thời Gian Của Tín Hiệu Nén/giãn thời gian Nhân biến thời gian với một hệ số tỷ lệ sẽ làm thay đổi bề rộng của tín hiệu. Nén tín hiệu theo trục thời gian: f (t)→ f (at) với a > 1. Giãn tín hiệu theo trục thời gian: f (t)→ f (at) với 0 < a < 1. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 20 / 27 Biến Đổi Biến Thời Gian Của Tín Hiệu Đảo chiều thời gian Trên đồ thị, phép đảo chiều thời gian chính là phép lật tín hiệu qua trục tung của đồ thị: f (t)→ f (−t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 21 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu xung đơn vị Tín hiệu xung đơn vị liên tục, ký hiệu δ(t), được định nghĩa bởi hàm delta Dirac như sau: δ(t) =  0 (t 6= 0)6= 0 (t = 0) và ∫ ∞ −∞ δ(t)dt = 1 Tín hiệu xung đơn vị rời rạc, ký hiệu δ(n), được định nghĩa như sau: δ(n) =  0 (n 6= 0)1 (n = 0) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 22 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu nhảy bậc đơn vị và tín hiệu dốc Tín hiệu nhảy bậc đơn vị (liên tục), ký hiệu u(t), được định nghĩa như sau: u(t) =  0 (t < 0)1 (t ≥ 0) Tín hiệu dốc (liên tục) được định nghĩa như sau: r(t) =  0 (t < 0)t/t0 (0 ≤ t ≤ t0)1 (t ≥ t0) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 23 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu sin Một tín hiệu có dạng hàm sin giá trị thực thường được biểu diễn như sau: s(t) = A cos(ωt + φ) ở đó: A là biên độ, ω là tần số góc (rad/s) và φ là góc pha của tín hiệu. Chu kỳ của tín hiệu nói trên được tính bằng công thức T = 2pi/ω. Một cách biểu diễn khác của tín hiệu sin là biểu diễn theo hàm của tần số f = 1/T (Hz) như sau: s(t) = A cos(2pift + φ) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 24 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ thực Một tín hiệu có dạng hàm mũ giá trị thực thường được biểu diễn như sau: f (t) = Aeαt ở đó, A và α là các giá trị thực. Nếu α > 0, ta có một hàm tăng; còn nếu α < 0, ta sẽ có một hàm suy giảm theo thời gian. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 25 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ phức Một tín hiệu có dạng hàm mũ phức thường được biểu diễn như sau: f (t) = Ae(σ+jω)t Áp dụng công thức Euler cho ejωt , tín hiệu nói trên sẽ biểu diễn được dưới dạng sau đây: f (t) = Aeσt [cos(ωt) + j sin(ωt)] Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 26 / 27 Một Số Dạng Tín Hiệu Thường Dùng Tín hiệu dạng hàm mũ phức f (t) là một hàm có giá trị phức với phần thực và phần ảo được tính như sau (nếu A là giá trị thực): Re[f (t)] = Aeσt cos(ωt) Im[f (t)] = Aeσt sin(ωt)] f (t) còn được gọi là tín hiệu dạng sin phức với biên độ phức là Aeσt và tần số góc ω. Biên độ thực của f (t) là |A|eσt và góc pha là φ, ở đó: |A| = √ Re(A)2 + Im(A)2 và φ = arctan Im(A) Re(A) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 27 / 27 CHƯƠNG II HỆ THỐNG Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 14 Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Hệ thống là gì? Một hệ thống là một thực thể hoạt động khi có tín hiệu đầu vào (kích thích) và sinh ra tín hiệu đầu ra (đáp ứng). Nói cách khác, một hệ thống được đặc trưng bởi mối quan hệ giữa tín hiệu đầu vào và tín hiệu đầu ra: y(t) = T[x(t)], ở đó x(t) là tín hiệu vào, y(t) là tín hiệu ra, và T là phép biến đổi đặc trưng cho hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 14 Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Mô hình toán học của hệ thống Mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ thống, nói cách khác là hành vi của hệ thống, có thể được biểu diễn bằng một mô hình toán học. Mô hình toán học cho phép xác định hệ thống: xác định tín hiệu ra khi biết tín hiệu vào. Mô hình toán học được sử dụng trong việc phân tích và thiết kế hệ thống. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 14 Hệ Thống và Các Thuộc Tính của Hệ Thống Các thuộc tính của hệ thống Tính tuyến tính Tính bất biến Tính nhân quả Tính ổn định Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 14 Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống truyền thông tương tự Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 14 Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống truyền thông số Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 14 Các Ví Dụ về Hệ Thống Hệ thống điều khiển Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc Các hệ thống có tín hiệu vào, tín hiệu ra và các tín hiệu sử dụng trong hệ thống đều là các tín hiệu theo thời gian liên tục được gọi là các hệ thống liên tục. Các hệ thống có tín hiệu vào và tín hiệu ra là các tín hiệu theo thời gian rời rạc được gọi là các hệ thống rời rạc. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống tĩnh và hệ thống động Các hệ thống tĩnh, còn được gọi là hệ thống không bộ nhớ, là những hệ thống trong đó giá trị của tín hiệu ra chỉ phụ thuộc giá trị của tín hiệu vào ở cùng thời điểm. Các hệ thống động, còn được gọi là hệ thống có bộ nhớ, là những hệ thống trong đó giá trị của tín hiệu ra phụ thuộc cả vào giá trị trong quá khứ của tín hiệu vào. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống đơn biến và hệ thống đa biến Hệ thống SISO (Single-input single-output): một biến vào và một biến ra. Hệ thống SIMO (Single-input multiple-output): một biến vào và nhiều biến ra. Hệ thống MISO (Multiple-input single-output): nhiều biến vào và một biến ra. Hệ thống MIMO (Multiple-input multiple-output): nhiều biến vào và nhiều biến ra. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống tuyến tính và hệ thống phi tuyến Một hệ thống đặc trưng bởi một phép biến đổi T được gọi là hệ thống tuyến tính khi điều kiện sau đây luôn được thỏa mãn: T[αx1(t) + βx2(t)] = αT[x1(t)] + βT[x1(t)] Các hệ thống không thỏa mãn điều kiện tuyến tính nói trên được gọi là hệ thống phi tuyến. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống bất biến và hệ thống biến đổi theo thời gian Một hệ thống được gọi là bất biến theo thời gian khi mối quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào không bị phụ thuộc vào thời điểm bắt đầu, nghĩa là: y(t) = T[x(t)] ⇒ ∀t0 : y(t − t0) = T[x(t − t0)] Các hệ thống không thỏa mãn điều kiện bất biến nói trên được gọi là hệ thống biến đổi theo thời gian. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống nhân quả và hệ thống phi nhân quả Một hệ thống được gọi là nhân quả nếu tín hiệu ra của hệ thống chỉ có thể phụ thuộc các giá trị của tín hiệu vào hiện tại và trong quá khứ chứ không thể phụ thuộc vào các giá trị tương lai của tín hiệu vào. Một hệ thống phi nhân quả là hệ thống mà tín hiệu ra có thể phụ thuộc vào cả các giá trị tương lai của tín hiệu vào. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 14 Các Loại Hệ Thống và Tính Chất Hệ thống ổn định và hệ thống không ổn định Một hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu ra luôn có giới hạn hữu hạn khi tín hiệu vào có giới hạn hữu hạn, nghĩa là: |x(t)| <∞→ |y(t)| = |T[x(t)]| <∞ Một hệ thống không thỏa mãn điều kiện nói trên là hệ thống không ổn định. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 14 CHƯƠNG III PHÂN TÍCH HỆ THỐNG TRONG MIỀN THỜI GIAN Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Biểu diễn hệ thống bằng phương trình vi phân Mô hình phương trình vi phân là loại mô hình toán học được sử dụng phổ biến nhất để biểu diễn các hệ thống trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Đối với các hệ thống vật lý, phương trình vi phân biểu diễn hệ thống được thiết lập từ các phương trình của các định luật vật lý mà hoạt động của hệ thống tuân theo. Các hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bởi các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Ví dụ: phương trình vi phân của mạch RC CdVradt + Vra R = Vvào R Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 3 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng Dạng tổng quát của các phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng biểu diễn các hệ thống tuyến tính bất biến: N∑ i=0 ai d iy(t) dt i = M∑ j=0 bj d jx(t) dt j với x(t) là tín hiệu vào và y(t) là tín hiệu ra của hệ thống. Giải phương trình vi phân tuyến tính nói trên cho phép xác định tín hiệu ra y(t) theo tín hiệu vào x(t). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 4 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Giải phương trình vi phân tuyến tính Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng có dạng như sau: y(t) = y0(t) + ys(t) y0(t): đáp ứng khởi đầu, còn gọi là đáp ứng khi không có kích thích, là nghiệm của phương trình thuần nhất N∑ i=0 ai d iy(t) dt i = 0 (1) ys(t): đáp ứng ở trạng thái không, là nghiệm đặc biệt của phương trình đối với tín hiệu vào x(t). Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 5 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu y0(t) là đáp ứng của hệ thống đối với điều kiện của hệ thống tại thời điểm khởi đầu (t = 0), không xét tới tín hiệu vào x(t). Phương trình thuần nhất (1) có nghiệm dạng est với s là một biến phức, thay vào phương trình ta có: N∑ i=0 aisiest = 0 → s là nghiệm của phương trình đại số tuyến tính bậc N sau đây: N∑ i=0 aisi = 0 (2) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 6 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu Phương trình (2) được gọi là phương trình đặc trưng của hệ thống. Gọi các nghiệm của phương trình (2) là {sk |k = 1..N}, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau nếu các {sk} đều là nghiệm đơn: y0(t) = N∑ k=1 ckesk t Giá trị của các hệ số {ck} được xác định từ các điều kiện khởi đầu. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 7 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng khởi đầu Trong trường hợp phương trình (2) có nghiệm bội, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1) sẽ có dạng như sau: y0(t) = ∑ k ( ckesk t pk−1∑ i=0 t i ) trong đó pk số lần bội của nghiệm sk . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 8 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng ở trạng thái không ys(t) là đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào x(t) khi các điều kiện khởi đầu đều bằng không. ys(t) còn được gọi là nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân tuyến tính biểu diễn hệ thống. Để xác định ys(t), thông thường ta giả thiết ys(t) có dạng tương tự tín hiệu vào x(t) với một vài hệ số chưa biết, sau đó thay vào phương trình để xác định các hệ số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 9 / 21 Phương Trình Vi Phân của Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Xác định đáp ứng ở trạng thái không Chú ý khi giả thiết dạng của ys(t): ys(t) phải độc lập với tất cả các thành phần của y0(t). Ví dụ, nếu x(t) = eαt , ta có thể gặp một số trường hợp như sau: Nếu eαt không phải là một thành phần của y0(t), ta có thể giả thiết ys(t) có dạng ceαt . Nếu α là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng (2)→ eαt là một thành phần của y0(t)→ ys(t) phải có dạng cteαt . Nếu α là một nghiệm bội bậc p của phương trình đặc trưng (2)→ eαt , teαt ,...,tp−1eαt là các thành phần của y0(t)→ ys(t) phải có dạng ctpeαt . Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 10 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Định nghĩa tích chập của hai tín hiệu Tích chập của hai tín hiệu f (t) và g(t), ký hiệu f (t) ∗ g(t), được định nghĩa như sau: f (t) ∗ g(t) = ∫ +∞ −∞ f (τ)g(t − τ)dτ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 11 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Các tính chất của tích chập Tính giao hoán: f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t) Tính kết hợp: [f (t) ∗ g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ [g(t) ∗ h(t)] Tính phân phối: [f (t) + g(t)] ∗ h(t) = f (t) ∗ h(t) + g(t) ∗ h(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 12 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Các tính chất của tích chập Dịch thời gian: nếu x(t) = f (t) ∗ g(t), ta có x(t − t0) = f (t − t0) ∗ g(t) = f (t) ∗ g(t − t0) Nhân chập với tín hiệu xung đơn vị: f (t) ∗ δ(t) = f (t) Tính nhân quả: nếu f (t) và g(t) là các tín hiệu nhân quả thì f (t) ∗ g(t) cũng là tín hiệu nhân quả. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 13 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Cho một hệ thống tuyến tính bất biến được biểu diễn bằng mối quan hệ y(t) = T[x(t)], ta có thể biến đổi biểu diễn đó như sau: y(t) = T[x(t) ∗ δ(t)] = T [∫ ∞ −∞ x(τ)δ(t − τ)dτ ] = ∫ ∞ −∞ x(τ)T[δ(t − τ)]dτ = x(t) ∗ h(t) ở đó, h(t) = T[δ(t)] được gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến biểu diễn bởi T. Một hệ thống tuyến tính bất biến là xác định khi đáp ứng xung của hệ thống đó xác định. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 14 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Phân tích đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến Hệ thống tĩnh (hệ thống không bộ nhớ): đáp ứng xung chỉ có giá trị khác không tại t = 0. Hệ thống nhân quả: đáp ứng xung là tín hiệu nhân quả. Hệ thống ổn định: khi và chỉ khi điều kiện sau đây đối với đáp ứng xung được thỏa mãn∫ ∞ −∞ |h(t)|dt <∞ Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 15 / 21 Biểu Diễn Hệ Thống Bằng Đáp ứng Xung Đáp ứng xung của các hệ thống ghép nối Ghép nối tiếp hai hệ thống: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1(t) ∗ h2(t) Ghép song song hai hệ thống: Đáp ứng xung tổng hợp h(t) = h1(t) + h2(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 16 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Biến trạng thái của hệ thống Trạng thái của một hệ thống được mô tả bằng một tập hợp các biến trạng thái. Mô hình biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến là tập hợp các phương trình vi phân của các biến trạng thái, cho phép xác định trạng thái trong tương lai của hệ thống khi biết trạng thái hiện thời và tín hiệu vào→ hệ thống hoàn toàn xác định khi trạng thái khởi đầu của hệ thống là xác định. Mô hình biến trạng thái rất thuận tiên để biểu diễn hệ thống đa biến. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 17 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Phương trình trạng thái Gọi {u1(t),u2(t)...} là các tín hiệu vào, {y1(t), y2(t)...} là các biến ra, và {q1(t),q2(t)...} là các biến trạng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến. Phương trình trạng thái của hệ thống là các phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất: dqi(t) dt = ∑ j aijqj(t) + ∑ k bikuk(t) (i = 1,2, ...) Các tín hiệu ra được xác định từ biến trạng thái và các tín hiệu vào như sau: yi(t) = ∑ j cijqj(t) + ∑ k dikuk(t) (i = 1,2, ...) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 18 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Phương trình trạng thái Mô hình tráng thái của một hệ thống tuyến tính bất biến thường được biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: dq(t) dt = Aq(t) + Bu(t) y(t) = Cq(t) + Du(t) ở đó, u(t), y(t) và q(t) là các vector cột với các phần tử lần lượt là các tín hiệu vào, tín hiệu ra và các biến trạng thái của hệ thống; A, B, C và D là các ma trận hệ số. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 19 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Thiết lập phương trình trạng thái Thiết lập các phương trình trạng thái từ phương trình vi phân biểu diễn hệ thống tuyến tính bất biến sau đây: N∑ i=0 ai d iy(t) dt i = M∑ j=0 bj d jx(t) dt j Đặt uj(t) = d jx(t)/dt j (j = 0..M) là các tín hiệu vào của hệ thống và viết lại phương trình trên dưới dạng: N∑ i=0 ai d iy(t) dt i = M∑ j=0 bjuj(t) Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 20 / 21 Mô Hình Biến Trạng Thái Thiết lập phương trình trạng thái Chọn các biến trạng thái như sau: q1(t) = y(t),q2(t) = dy(t) dt , ...,qN(t) = dN−1y(t) dtN−1 Các phương trình trạng thái: dq1(t) dt = q2(t), dq2(t) dt = q3(t), ... dqN−1(t) dt = qN(t) dqN(t) dt = 1 aN − N−1∑ 0 aiqi+1(t) + M∑ j=0 bjuj(t)  Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 21 / 21 CHƯƠNG IV BIỂU DIỄN TÍN HIỆU BẰNG CHUỖI FOURIER Lê Vũ Hà ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Trường Đại học Công nghệ 2009 Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 1 / 13 Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thống tuyến tính bất biến với tín hiệu dạng sin Xem xét một hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h(t) và tín hiệu vào x(t) = ejωt . Đáp ứng của hệ thống được tính như sau: y(t) = h(t) ∗ x(t) = ∫ ∞ −∞ h(τ)ejω(t−τ)dτ = ejωt ∫ ∞ −∞ h(τ)e−jωτdτ = H(ω)ejωt ở đó, H(ω) là đáp ứng tần số: H(ω) = ∫ ∞ −∞ h(τ)e−jωτdτ đặc trưng cho đáp ứng của hệ thống với tần số ω của tín hiệu vào dạng sin. Lê Vũ Hà (VNU - ColTech) Tín hiệu và Hệ thống 2009 2 / 13 Tín Hiệu Dạng Sin và Hệ Thống Tuyến Tính Bất Biến Đáp ứng của hệ thố