Tài liệu Toán học

1 Các Khái niệm về vectơ 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng, tức là ta trên đoạn thẳng đó, ta đã chỉ ra điểm đầu và điểm cuối. • Một vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B, ta kí hiệu # »AB. • Trong một số trường hợp, nếu ta không cần chỉ ra điểm đầu và điểm cuối của vectơ, thì ta có thể viết #»x, #»y , . . . Ví dụ 1.1. Với ba điểm phân biệt A,B,C cho trước, có thể lập được bao nhiêu vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau? Ví dụ 1.2. Cũng hỏi như trên, nhưng với 2009 điểm phân biệt A1, A2, . . . , A2009? Định nghĩa 1.2. Vectơ có điểm đầu và điểm cuối không trùng nhau gọi là vectơ - không, kí hiệu #» 0 . 2 Hai vectơ cùng phương 2.1 Giá của một vectơ Định nghĩa 2.1. Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của một vectơ. Giá của vectơ # » AB là đường thẳng AB. 2.2 Hai vectơ cùng phương Định nghĩa 2.2. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 3 Hai vectơ cùng hướng Dựa vào hình vẽ, ta có thể biết hai vectơ cùng hướng hay ngược hướng. Chú ý • Hai vectơ cùng hướng thì sẽ cùng phương. Điều ngược lại không đúng. • Hai vectơ cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng. • Vectơ - không thì cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. . 3.1. Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A,B,C trong các trường hợp sau: 1. # » AB và # » AC ngược hướng. 2. # » AB và # » AC cùng phương. 4 Độ dài của một vectơ, hai vectơ bằng nhau 4.1 Độ dài của một vectơ Định nghĩa 4.1. Độ dài của vectơ # » AB, kí hiệu | # »AB|, chính là độ dài đoạn thẳng AB. Độ dài của vectơ #»0 bằng 0. Định nghĩa 4.2. Một vectơ có độ dài bằng 1 thì gọi là vectơ đơn vị. 1 4.2 Hai vectơ bằng nhau Định nghĩa 4.3. Hai vectơ #»a và #» b , được gọi là bằng nhau, kí hiệu #»a = #» b nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng. . 4.1. Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Tìm các vectơ bằng # » OA. . 4.2. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi # » AB = # » DC. . 4.3. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là điểm đối xứng của B qua O và H là trực tâm tam giác ABC. 1. Chứng minh rằng # » AH = # » DC. 2. Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng # » AI = # » OM . 5 Tổng của hai vectơ Định nghĩa 5.1. Cho hai vectơ #»a và #» b . Từ điểm A tuỳ ý, dựng # » AB = #»a . Từ B, dựng # » BC = #» b . Khi đó, # » AC được gọi là vectơ tổng của hai vectơ #»a và #» b . Kí hiệu # » AC = #»a + #» b . 5.1 Quy tắc ba điểm Với ba điểm A,B,C tuỳ ý, ta luôn có # » AB + # » BC = # » AC. 5.2 Quy tắc hình bình hành b A b B b D #»u #»v b C #»u + #»v Cho hình bình hành ABCD, ta có # » AB + # » AD = # » AC. 5.3 Tính chất Với mọi vectơ #»a , #» b , #»c , ta có 1. #»a + #» b = #» b + #»a ; 2. #»a + ( #» b + #»c ) = ( #»a + #» b ) + #»c ; 3. #»a + #» 0 = #» 0 + #»a = #»a . . 5.1. Tính tổng #»u = # » AB + # » DE + # » FA+ # » CD + # » EF + # » BC. . 5.2. Cho sáu điểm A,B,C,D,E, F . Chứng minh rằng # » AD + # » BE + # » CF = # » AE + # » BF + # » CD. . 5.3. Cho ba điểm phân biệt không thẳng hàng O,A,B. Với điều kiện nào thì # » OA+ # » OB nằm trên đường phân giác của góc ÂOB? . 5.4. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ # » AB + # » AC và # » AB + # » CB theo a. 2 . 5.5. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M , ta có # » MA+ # » MC = # » MB + # » MD. . 5.6. Cho tam giác ABC, về bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABMN , BCPQ, CARS. Chứng minh rằng 1. # » MN + # » PQ + # » RS = #» 0 . 2. # » MQ + # » PS + # » RN = #» 0 . . 5.7. Cho hai điểm phân biệt A và B cố định và số k > 0. Tìm tập hợp điểm M sao cho | # »MA+ # »MB| = k. . 5.8. Cho các vectơ #»a , #» b , #»c . Chứng minh rằng | #»a |+ | #»b | > | #»a + #»b |. Dấu bằng xảy ra khi nào? . 5.9. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu | # »AD + # »BC| = | # »AB + # »DC|, thì AC ⊥ BD. . 5.10. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính PQ = 2. Trên nửa đường tròn ta lấy các điểm A,B,C khác P và Q. Chứng minh rằng | # »OA+ # »OB + # »OC| > 1. 6 Hiệu của hai vectơ 6.1 Vectơ đối của hai vectơ Định nghĩa 6.1. Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng có cùng độ dại và ngược hướng. • Nếu #»a và #»b là hai vectơ đối nhau, ta kí hiệu #»a = − #»b hay #»b = − #»a . • Vectơ đối của # »AB là − # »AB, và − # »AB = # »BA. • Vectơ đối của #»0 là #»0 . 7 Tính chất Tổng của vectơ #»a với vectơ đối của nó bằng vectơ - không. 7.1 Hiệu của hai vectơ Định nghĩa 7.1. Hiệu của hai vectơ #»a và #» b , kí hiệu #»a − #»b , là tổng của vectơ #»a với vectơ đối của vectơ #» b . #»a − #»b = #»a + (− #»b ). 7.2 Hiệu của hai vectơ chung điểm đầu Với ba điểm A,B,C tuỳ ý, ta luôn có # » AB − # »AC = # »BC. . 7.1. Dựng hiệu của hai vectơ #»a và #» b cho trước. . 7.2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Hãy rút gọn các vector 1. # » CO − # »BA; 2. # » CO − # »OD + # »CB; . 7.3. Cho năm điểm A,B,C,D,E. Chứng minh rằng # » AC + # » DE − # »DC − # »CE + # »CB = # »AB. 3 . 7.4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu | # »CA− # »CB| = | # »CA + # »CB|, thì tam giác ABC vuông tại C. . 7.5. Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn điều kiện # » AB + # » AC vuông góc với # » AB − # »AC, thì tam giác ABC cân. . 7.6. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tìm độ dài của vectơ # » AB − # »BC theo a. . 7.7. Cho lục giác đều ABCDEF . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác. Chứng minh rằng # » OA+ # » OB + # » OC + # » OD + # » OE + # » OF = #» 0 . . 7.8. Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác. Chứng minh rằng # » OA+ # » OB + # » OC + # » OD + # » OE = #» 0 . . 7.9. Chứng minh rằng nếu hai hình bình hành ABCD và A′B′C ′D′ có cùng tâm thì # » AA′ + # » BB′ + # » CC ′ + # » DD′ = #» 0 . . 7.10. Cho hình thoi ABCD có B̂AD = 60◦ và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | # »AB + # »AD|, | # »BA− # »BC|, | # »OB − # »DC|. . 7.11. Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | # »OA− # »CB|, | # »AB+ # »DC|, | # »CD − # »DA|. 8 Tích của một số thực với một vectơ Định nghĩa 8.1. Cho số thực k và vectơ #»a . Tích của số k với vectơ a là một vectơ, kí hiệu k #»a , được xác định như sau: • Nếu k > 0, thì vectơ k #»a cùng hướng với vectơ #»a . Nếu k < 0, thì vectơ k #»a ngược hướng với vectơ #»a . • Độ dài vectơ k #»a bằng |k| · | #»a |. 9 Tính chất Cho các vectơ #»a và #» b ; cho các số thực k,m. Ta có • k · ( #»a + #»b ) = k · #»a + k · #»b ; • (k + m) · #»a = k · #»a + m · #»a ; • (k −m) · #»a = k · #»a −m · #»a ; • k(m · #»a ) = (km) · #»a ; • k · #»a = #»0 khi và chỉ khi k = 0 hoặc #»a = #»0 . . 9.1. Chứng minh rằng điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi với M là điểm bất kì, ta có # » MA + # » MB = 2 # » MI. . 9.2. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. 4 1. Chứng minh rằng # » GA + # » GB + # » GC = #» 0 . Ngược lại, nếu # » MA + # » MB + # » MC = #» 0 , thì M là trọng tâm của tam giác ABC. 2. Chứng minh rằng với M là điểm bất kì, ta có # » GA+ # » GB + # » GC = 3 # » MG. . 9.3. Cho tứ giác ABCD. Xác định điểm M sao cho # » MA + # » MB + # » MC + # » MD = #» 0 . . 9.4. Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với M là điểm bất kì, ta có # » MA+ # » MB + # » MC + # » MD = 4 # » MO. . 9.5. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng # » AB + # » CD = 2 # » IJ . . 9.6. Cho bốn điểm A,B,C,D. Gọi I, J lần là trung điểm của các cạnh BC, CD. Chứng minh rằng 2( # » AB + # » AI + # » JA+ # » DA) = 3 # » DB. . 9.7. Cho tứ giác ABCD. Hãy dựng điểm G sao cho # » GA + # » GB + # » GC + # » GD = #» 0 . Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có # » OG = 1 4 ( # » OA + # » OB + # » OC + # » OD). . 9.8. Cho tam giác đều ABC và M là điểm bất kì. Kẻ MH,MK,MI lần lượt vuông góc với các cạnh BC,CA,AB. Chứng minh rằng # » MA+ # » MB + # » MC = 2( # » MH + # » MK + # » MI). . 9.9. Cho tam giác ABC. Hãy xác định các điểm M,N,P sao cho 1. # » MA+ # » MB − 2 # »MC = #»0 ; 2. # » NA+ # » NB + 2 # » NC = #» 0 ; 3. # » PA− # »PB + 2 # »PC = #»0 . . 9.10. Cho hai tam giác ABC và A′B′C ′ có trọng tâm lần lượt là G và G′. Chứng minh rằng nếu # » AA′ + # » BB′ + # » CC ′ = #» 0 , thì G trùng G′. . 9.11. Cho lục giác ABCDEF . Gọi P,Q,R, S, T, U lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF , FA. Chứng minh rằng hai tam giác PRT và QSU có trọng tâm trùng nhau. 9.1 Điều kiện để hai vectơ cùng phương Định lí 9.1. Vectơ #» b cùng phương với vectơ #»a 6= #»0 khi và chỉ khi có số k sao cho #»b = k #»a . 9.2 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng Định lí 9.2. Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng là # » AB = k # » AC. . 9.12. Cho bốn điểm A,B,C,M thoả mãn # » MA+ 2 # » MB − 3 # »MC = #»0 . . 9.13. Cho tam giác ABC, M và N thay đổi sao cho # » MN = 2 # » MA + 3 # » MB − # »MC. 1. Tìm điểm I thoả mãn 2 # » IA + 3 # » IB − # »IC = #»0 . 2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 5 . 9.14. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. 1. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh # » AH = 2 # » OI. 2. Chứng minh # » OH = # » OA+ # » OB + # » OC. 3. Chứng minh ba điểm O,G,H thẳng hàng. . 9.15. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là hai điểm xác định bởi # » IA = 2 # » IB; 3 # » JA + 2 # » JC = #» 0 . 1. Tính # » IJ theo # » AB và # » AC. Đáp số. # » IJ = 2 5 # » AC − 2 # »AB. 2. Chứng minh đường thẳng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Đáp số. # » IJ = 6 5 # » IG. . 9.16. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Các điểm M,N thoả 3 # » MA + 4 # » MB = #» 0 và # » CN = 1 2 # » BC. Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. . 9.17. Cho tam giác ABC, trên BC lấy điểm D sao cho # » BD = 3 5 # » BC, gọi E là điểm thoả mãn hệ thức 10 # » EA + 2 # » EB + 3 # » EC = #» 0 . Chứng minh ba điểm A,E,D thẳng hàng. Hướng dẫn. Chọn E làm gốc. # » EA = −1 2 # » ED. . 9.18. Cho tam giác ABC, gọi D, I là các điểm xác định bởi 3 # » DB − 2 # »DC = #»0 và # »IA+ 3 # »IB − 2 # »IC = #»0 . Chứng minh ba điểm A, I,D thẳng hàng. Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc { # »AB, # »AC}; # »AD = 2 # »AI. . 9.19. Cho tam giác ABC, gọi M,N là các điểm xác định bởi # » MA+3 # » MC = #» 0 và # » NA+2 # » NB+3 # » NC = #» 0 . Chứng minh ba điểm M,N,B thẳng hàng. Hướng dẫn. Chọn hệ vectơ gốc { # »BA, # »BC}; # »BM = 3 2 # » BN. 9.3 Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương Định nghĩa 9.1. Cho hai vectơ #»a và #» b . Nếu vectơ #»c có thể viết được dưới dạng #»c = m #»a + n #» b , với m,n là hai số thực nào đó, thì ta nói vectơ #»c biểu thị được (hay phân tích được) qua hai vectơ #»a và #» b . Định lí 9.3. Cho hai vectơ không cùng phương #»a và #» b . Khi đó mọi vectơ #»x đều có thể biểu thị được một cách duy nhất qua hai vectơ #»a và #» b , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao cho #»x = m #»a + n #» b . . 9.20. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh # » AM = 1 3 # » AB + 2 3 # » AC. . 9.21. Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho # » BD = 3 5 . Gọi E là điểm thoả 4 # » EA + 2 # » EB + 3 # » EC = #» 0 . 1. Tính # » ED theo # » EB và # » EC. Đáp số. # » ED = 2 5 # » EB + 3 5 # » EC. 6 2. Chứng minh ba điểm A,E,D thẳng hàng. Hướng dẫn. # » EA = −5 4 # » ED. Bài toán. Cho n điểm A1, A2, . . . , An và tập hợp các số thực x1, x2, . . . , xn sao cho x1+x2+ · · ·+xn 6= 0. Tìm tập hợp các điểm M thoả điều kiện |x1 # »MA1 + x2 # »MA2 + · · · + xn # »MAn| = k. • Bước 1. Chọn điểm I sao cho x1 # » IA1 + x2 # » IA2 + · · · + xn # »IAn = #»0 . Khi đó, điểm I xác định duy nhất và |x1 # »MA1 + x2 # »MA2 + · · · + xn # »MAn| = |(x1 + x2 + · · · + xn) # »MI |. • Bước 2. Từ điều kiện đã cho suy ra IM có độ dài không đổi và M thuộc đường tròn tâm I, bán kính là một hằng số xác định. . 9.22. Cho đoạn thẳng AB = 3a. Tìm tập hợp các điểm M sao cho | # »MA + 2 # »MB| = 3. Đáp số. Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm I, bán kính R = 1. . 9.23. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho • | # »MA+ # »MB + # »MC| = 3. • | # »MA+ 2 # »MB + 3 # »MC| = 12. Bài toán. Cho đường thẳng d (đường tròn S), tập hợp điểm A1, A2, . . . , An và tập hợp các số thực x1, x2, . . . , xn sao cho x1 +x2 + · · ·+xn 6= 0. Với mỗi điểm N thuộc d (thuộc S), ta dựng điểm M thoả điều kiện x1 # » NA1 + x2 # » NA2 + · · · + xn # »NAn = # »NM. Tìm tập hợp các điểm M . • Bước 1. Rút gọn biểu thức vế trái bằng cách chọn điểm I sao cho x1 # » IA1 + x2 # » IA2 + · · · + xn # »IAn = #»0 . Khi đó, điểm I xác định duy nhất và biểu thức vectơ được rút gọn là (x1 + x2 + · · · + xn) # »NM. • Bước 2. Đẳng thức trên chứng tỏ # »NI và # »NM cùng phương. Từ đó, suy ra tập hợp điểm M . • Chú ý xét thêm giới hạn của điểm M (nếu có). . 9.24. Cho hai điểm A,B và đường thẳng (d). Với mỗi điểm N trên (d) ta dựng điểm M thoả # » NM = 2 # » NA + 3 # » NB. Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d). . 9.25. Cho hai điểm A,B và đường tròn (O;R). Với mỗi điểm N trên (O;R) ta dựng điểm M thoả # » NM = 2 # » NA+ 3 # » NB. Tìm tập hợp các điểm M khi N thay đổi trên (d). 7 9.4 Tìm tập hợp điểm Ta áp dụng các kết quả cơ bản sau: • Nếu | # »OM | = | #»v | với O cố định, #»v không đổi, thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính | #»v |. • Nếu | # »MA| = | # »MB| với A,B cố định, thì tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB. • Nếu # »OM = k · #»a với O cố định, #»a không đổi, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua O và song song với giá của #»a . • Nếu # »OM = k · # »OA, với A cố định, k ∈ R, thì tập hợp các điểm M là đường thẳng OA. . 9.26. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho: 1. # » MA+ k # » MB = k # » MC (k ∈ R). 2. # » MA+ (1 − k) # »MB + (1 + k) # »MC = #»0 (k ∈ R). 3. # » MA+ (1 − k) # »MB + k # »MC = #»0 (k ∈ R). . 9.27. Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M sao cho: 1. | # »MA+ # »MB| = | # »MB − # »MC|; 2. |2 # »MA + # »MB| = | # »MA + # »MB + # »MC|; 3. | # »MA+ # »MB − # »MC| = |2 # »MA− # »MB − # »MC|. 4. | # »MA+ # »MB| = k( # »MB − # »MC)| (k ∈ R). . 9.28. Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. Kẻ MD,ME,MF lần lượt vuông góc với các cạnh BC,CA,AB. 1. Chứng minh rằng # » MD + # » ME + # » MF = 3 2 # » MO; 2. Tìm tập hợp các trọng tâm tam giác DEF khi M chuyển động sao cho | # »MD + # »ME + # »MF | có giá trị không đổi. 10 Trục toạ độ Định nghĩa 10.1. Trục toạ độ là một đường thẳng mà trên đó ta đã chọn một điểm làm gốc và một vectơ đơn vị. Nếu trục toạ độ nhận O làm điểm gốc và nhận vectơ #» i làm vectơ đơn vị ta kí hiệu là (O; #» i ). Hướng dương của trục là hướng của vectơ #» i . Hướng ngược lại là hướng âm. 11 Toạ độ của một vectơ trên trục - độ dài đại số của một vectơ 11.1 Toạ độ của một vectơ trên trục Xét trục (O; #» i ) và điểm M trên trục. Nếu # » OM = k #» i , thì toạ độ của điểm M là k. 8 11.2 Độ dài đại số của một vectơ Cho hai điểm A,B trên trục toạ độ (O; #» i ), nếu # » AB = k #» i , thì độ dài đại số của vectơ # » AB, kí hiệu AB. 12 Hệ trục toạ độ Định nghĩa 12.1. Hệ toạ độ gồm hai trục toạ độ (O; #» i ) và (O; #» j ) vuông góc với nhau tại O. Một hệ trục như thế gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Oxy hay hệ trục toạ độ Oxy. • Điểm O gọi là gốc toạ độ. • Trục Ox gọi là trục hoành. • Trục Oy gọi là trục tung. • Mặt phẳng Oxy gọi là mặt phẳng toạ độ. 13 Toạ độ của một vectơ 13.1 Toạ độ của một vectơ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, với điểm M tuỳ ý, luôn tồn tại duy nhất hai số thực x, y sao cho # » OM = x #» i + y #» j . Bộ hai số thực (x; y) được gọi là toạ độ của vectơ # » OM , kí hiệu # » OM = (x; y) hay # » OM(x; y) # » OM = (x; y) ⇔ # »OM = x #»i + y #»j . • Toạ độ của vectơ đơn vị #»i là (1; 0), tức là #»i = (1; 0); • Toạ độ của vectơ đơn vị #»j là (0; 1), tức là #»j = (0; 1); • Toạ độ của vectơ - không là (0; 0), tức là #»0 = (0; 0). Ví dụ 13.1. Nếu # » OM = −2 #»i + 3 #»j , thì M( ; ). Ví dụ 13.2. Nếu # » OM = 5 #» i , thì M( ; ). Ví dụ 13.3. Nếu # » OM = √ 2 #» j , thì M( ; ). Ví dụ 13.4. Nếu M(1;−√3), thì # »OM = #»i + #»j . 13.2 Toạ độ của một điểm Định nghĩa 13.1. Toạ độ của điểm M cũng chính là toạ độ của vectơ # » OM . 13.3 Các phép toán về vectơ Cho các vectơ #»a = (a1; a2), #» b = (b1; b2) và số k. Ta có 1. #»a + #» b = (a1 + b1; a2 + b2); 2. #»a − #»b = (a1 − b1; a2 − b2); 3. k #»a = (ka1; ka2). 9 4. #»a = #» b ⇔ a1 = b1,a2 = b2. 5. Cho #»a 6= #»0 , vectơ #»b cùng phương với #»a khi và chỉ khi tồn tại số thực k thoả mãn b1 = ka1b2 = ka2 13.4 Toạ độ của một vectơ khi biết toạ độ hai điểm Cho A(xA; yA) và B(xB; yB) thì # » AB = (xB − xA; yB − yA). # » AB = (xB − xA; yB − yA) 13.5 Toạ độ trung điểm của một đoạn thẳng Cho A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi I(xI ; yI) là trung điểm của đoạn thẳng AB, thìxI = xA + xB 2 , yI = yA + yB 2 . 13.6 Toạ độ trọng tâm của một tam giác Cho tam giác ABC, A(xA; yA), B(xB ; yB) và C(xC ; yC). Gọi G(xG; yG) là trọng tâm của tam giác ABC, ta có xI = xA + xB + xC 3 , yG = yA + yB + yC 3 . . 13.1. Cho #»u = (−1; 2), #»v = (−5;−3); #»m = (4; 1). 1. Tìm toạ độ của vectơ #»s = 2 #»u − 3 #»v ; 2. Tìm toạ độ của vectơ #» t = 5 #»m + #» j ; 3. Cho điểm A(1;−3). Tìm toạ độ điểm M sao cho 3 # »AM − 2 #»v = #»0 . . 13.2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 5. Chọn hệ trục toạ độ (A; #» i , #» j ) sao cho #» i và # » AD cùng hướng, #» j và # » AB cùng hướng. Tìm toạ độ của các đỉnh hình vuông, toạ độ giao điểm I của hai đường chéo hình vuông, toạ độ trung điểm M của cạnh BC và toạ độ trung điểm Ncủa cạnh CD. . 13.3. Cho tam giác ABC với A(−1; 3), B(2; 4), C(4;−1). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. . 13.4. Cho tam giác ABC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác ABC. . 13.5. Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không? Trong trường hợp chúng cùng phương, xét xem chúng cùng hướng hay ngược hướng. 1. #»a = (2; 3) và #» b = (−10;−15); 2. #»u = (0; 7) và #»v = (0; 8); 10 3. #»c = (3; 4) và #» d = (6; 9) . 13.6. Cho A(−1; 1), B(1; 3), C(−2; 0). Chứng minh rằng ba điểm A,B,C thẳng hàng. . 13.7. Cho A(3; 4), B(2; 5). Tìm x để điểm C(−7;x) thuộc đường thẳng AB. . 13.8. Cho bốn điểm A(0; 1), B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3). Chứng minh rằng AB và CD song song. . 13.9. Cho tam giác ABC với A(3; 2), B(−11; 0), C(5; 4). 1. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC. 2. Tìm toạ độ điểm I đối xứng với A qua B . 13.10. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−3; 4), B(1; 1), C(9;−5) 1. Chứng minh rằng ba điểm A,B,C thẳng hàng; 2. Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của đoạn BD; 3. Tìm toạ độ điểm E trên trục Ox sao cho ba điểm A,B,E thẳng hàng. . 13.11. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2;−2) 1. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác ABC; 2. Tìm toạ độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD; 3. Tìm toạ độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành. . 13.12. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Chọn hệ toạ độ (O; #» i , #» j ), trong đó O là trung điểm của cạnh BC, #» i cùng hướng với # » OC, #» j cùng hướng với # » OA. 1. Tính toạ độ các đỉnh của tam giác ABC; 2. Tìm toạ độ trung điểm E của cạnh AC; 3. Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 14 Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0◦ đến 180◦ 14.1 Nửa đường tròn đơn vị Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét nửa đường tròn tâm O, bán kính R = 1, ở phía trên của trục hoành. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị. 14.2 Định nghĩa Với mỗi góc α (0◦ 6 α 6 180◦), ta xác định điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho M̂Ox = α. Giả sử điểm M có toạ độ (x; y). Khi đó, • tung độ y của điểm M gọi là sin của góc α, kí hiệu là sinα. • tung độ x của điểm M gọi là côsin của góc α, kí hiệu là cosα. 11 • Với x 6= 0, tỉ số y x gọi là tang của góc α, kí hiệu là tanα. tanα = sinα cosα , α 6= 90◦. • Với y 6= 0, tỉ số x y gọi là côtang của góc α, kí hiệu là cotα. cotα = cosα sinα , α 6= 0◦ và α 6= 180◦. Các số sinα, cosα, tanα và cotα được gọi là các giá trị lượng giác của góc α. . 14.1. Tính các giá trị lượng giác của góc 120◦. 14.3 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau. 1) sin(90◦ −α) = cosα; 2) cos(90◦ −α) = sinα; 3) tan(90◦−α) = cotα; 4) cot(90◦−α) = tanα. . 14.2. Tính P = tan 5◦ · tan 10◦ · tan 15◦ · · · tan 80◦ · tan 85◦. 14.4 Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau. Nếu hai góc bù nhau, thì sin của chúng bằng nhau còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau. 1) sin(180◦ − α) = sinα; 2) cos(180◦ − α) = − cosα; 3) tan(180◦ − α) = − tanα với α 6= 90◦; 4) cot(180◦−α) = − cotα với 0◦ < α < 180◦. . 14.3. Tính tổng S = cos 0◦ + cos 20◦ + cos 40◦ + · · · + cos 140◦ + cos 160◦ + cos 180◦. . 14.4. Đơn giản các biểu thức 1. S1 = sin 100◦ + sin 80◦ + cos 16◦ + cos 164◦. 2. S2 = 2 sin(180◦ − α) · cotα− cos(180◦ − α) · tanα · cot(180◦ − α) với 0◦ < α < 90◦. . 14.5. Chứng minh các hệ thức sau 1. sin2 α + cos2 α = 1; 2. 1 + tan2 α = 1 cos2 α (α 6= 90◦); 3. 1 + cot2 α = 1 sin2 α (0◦ < α < 180◦). . 14.6. Cho α ∈ (90◦; 180◦) và sinα = 3 4 . Tính các giá trị còn lại của góc α. 12 . 14.7. Cho và cosα = −4 7 . Tính các giá trị còn lại của góc α. . 14.8. Cho tanα = 2. Tính các giá trị còn lại của góc α. . 14.9. Biết rằng tan a = 2 3 . Tính 1. A = 3 sin a + 2cos a 5 sin a− 2 cos a ; 2. B = 4 sin2 a + 2cos a · sin a + 3cos2 a 5 + cos2 a . . 14.10. Biết sinx + cos x = m. Tính theo m 1. sinx · cos x; 2. sin4 x + cos4 x; 3. sin6 x + cos6 x. . 14.11. Cho tan x + cot x = k. Tính các tổng sau theo k: 1. tan2 x + cot2 x; 2. tan4 x + cot4 x; 3. tan6 x + cot6 x. 15 Tích vô hướng của hai vectơ 15.1 Góc giữa hai vectơ Định nghĩa 15.1. Cho hai vectơ #»a và #» b đều khác #» 0 . Từ một điểm O nào đó, ta vẽ các vectơ # » OA = #»a và # » OB = #» b . Khi đó, số đo của góc AOB được gọi là số đo của góc giữa hai vectơ #»a và #» b , hoặc đơn giản là góc giữa hai vectơ #»a và #» b . Góc giữa hai vectơ #»a và #» b kí hiệu là ( #»a , #» b ). Chú ý. • 0◦ 6 ( #»a , #»b ) 6 180◦. • Trong trường hợp có ít nhất một trong hai vectơ #»a hoặc #»b là vectơ #»0 , thì góc giữa hai vectơ đó là tuỳ ý. • Nếu ( #»a , #»b ) = 90◦, thì ta nói hai vectơ #»a và #»b vuông góc với nhau, kí hiệu là #»a ⊥ #»b . 15.2 Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ Định nghĩa 15.2. Tích vô hướng của hai vectơ của hai vectơ #»a và #» b , kí hiệu #»a · #»b , là một số, được xác định bởi #»a · #»b = | #»a | · | #»b | · cos( #»a , #»b ). Từ định nghĩa trên, ta suy ra #»a · #»b = 0 ⇔ #»a ⊥ #»b . . 15.1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng sau. 13 1. # » AB · # »AC; # »AC · # »CB; # »AG · # »AB. 2. # » GB · # »GC; # »BG · # »GA; # »GA · # »BC. . 15.2. Cho tam giác ABC vuông ở A có Â = 60◦. Tính các tích vô hướng # » CA · # »CB; # »AB · # »BC. . 15.3. Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng. Biết AB = √ 2 và AC = √ 3. Tính # » AB · # »AC. . 15.4. Cho tam giác ABC vuông tại C có AB = 9, CB = 5. Tính # » AB · # »AC. 15.3 Bình phương vô hướng của một vectơ Định nghĩa 15.3. Với vectơ #»a tuỳ ý, tích vô hướng #»a · #»a được kí kiệu ( #»a )2hay #»a 2 và gọi là bình phương vô hướng của vectơ của vectơ #»a . Ta có #»a 2 = | #»a | · | #»a | · cos 0◦ = | #»a |2. Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó. 15.4 Tính chất của tích vô hướng Với ba vectơ #»a , #» b , #»c tuỳ ý và một số thực k, ta có 1) #»a · #»b = #»b · #»a ; 2) (k #»a ) · #»b = a · (k #»b ) = k( #»a · #»b ); 3) a · ( #»b + #»c ) = #»a · #»b + #»a · #»c ; 4) a · ( #»b − #»c ) = #»a · #»b − #»a · #»c . . 15.5. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. Tính giá trị của biểu thức ( # » AB + 2 # » AD) · (3 # »AB − # »CD). . 15.6. Cho các vectơ #»u , #»v , #»w có độ dài bằng 1, ( #»u , #»v ) = 30◦, ( #»v , #»w) = 60◦, ( #»w, #»u ) = 120◦. Tính P = ( #»u + #»v + #»w)2. . 15.7. Cho các vectơ #»a , #» b có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện | #»a + #»b | = √3. Tính ( #»a , #»b ). . 15.8. Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2). . 15.9. Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC,BD. Chứng minh rằng AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2 + 4MN2. . 15.10. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2. . 15.11. Cho hình chữ nhật ABCD, M là