Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì

PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn HAPPY NEW YEAR 2011 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 2 § 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì • Chuỗi với số hạng có dấu bất kì • Chuỗi đan dấu • Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối 1. Đặt vấn đề. 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì Định nghĩa: ∞ = ∑ 1 n n a được gọi là hội tụ tuyệt đối ⇔ ∞ = ∑ 1 n n a hội tụ. Chuỗi ∞ = ∑ 1 n n a được gọi là bán hội tụ ⇔ ∞ = ∑ 1 n n a phân kì và ∞ = ∑ 1 n n a hội tụ. Định lý. ∞ = ∑ 1 n n a hội tụ ⇒ 1 n n a ∞ = ∑ hội tụ. Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau a) ( ) ∞ + = −∑ 2 2 1 1 2 n n n n n ; b) ∞ = ∑ 2 1 sin n n c) ( )( )pi∞ = +∑ 1 sin 2 3 n n (HTTĐ) d) ∞ = ∑ 3 1 sin n n n (HTTĐ) H
ng dn. a) ( ) ∞ + = −∑ 2 2 1 1 2 n n n n n +) Xét ∞ = ∑ 1 2 n n n +) + →∞ = <1 1lim 1 2 n n n a a +) ∞ = ∑ 1 2 n n n hội tụ +) +∞ = −∑ 2 2 1 ( 1) 2 n n n n n hội tụ b) ∞ = ∑ 2 1 sin n n +) ∈
2sinn +) Không có →∞ = 2lim sin 0 n n Thật vậy, phản chứng có →∞ = 2lim sin 0 n n ⇒ →∞ + =lim sin(2 1) 0 n n ⇒ →∞ + =lim sin(2 3) 0 n n ⇒ →∞ + =lim cos(2 1) 0 n n ⇒ ( ) →∞ + + + =2 2lim sin (2 1) cos (2 1) 0 n n n (vô lí) +) ∞ = ∑ 2 1 sin n n phân kì. PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Nhận xét. 1°/ Nếu ∞ = ∑ 1 n n a phân kì theo tiêu chuẩn D’Alembert hoặc Cauchy ⇒ ∞ = ∑ 1 n n a phân kì 2°/ ∞ = ∑ 1 n n a phân kì ⇒ ∞ = ∑ 1 n n a phân kì (đúng hay sai?) 3. Chuỗi đan dấu Định nghĩa. ( ) ∞ − = − >∑ 1 1 1 , 0n n n n a a được gọi là chuỗi đan dấu Chú ý. ( ) ∞ = − >∑ 1 1 , 0n n n n a a cũng được gọi là chuỗi đan dấu. Định lí Leibnitz Dãy { }na giảm, > 0na , lim 0n n a →∞ = ⇒ ( ) ∞ − = −∑ 1 1 1 n n n a hội tụ và có ( ) 1 1 1 1 n n n a a ∞ − = − ≤∑ Chứng minh: +) = 2n m : • Có ( ) ( ) ( ) − = − + − + + −2 1 2 3 4 2 1 2m m mS a a a a a a ⇒ { }2mS tăng • ( ) ( ) ( ) − − = − − − − − − − − <2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2 1m m m mS a a a a a a a a a • Từ đó →∞ ∃ =2lim m m S S và có ≤ 1S a +) = +2 1n m : • + += +2 1 2 2 1m m mS S a • Do + →∞ =2 1lim 0m m a ⇒ + →∞ =2 1lim m m S S . Định lí được chứng minh. Ví dụ 2. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau a) ( ) −∞ = − − ∑ 1 1 1 2 1 n n n (Bán HT) b) ( ) −∞ = − ∑ 1 1 1 n n n (Bán HT) c) ( )( ) +∞ = − − ∑ 1 3 1 1 2 1 n n n (HTTĐ) d) ( ) −∞ = − − ∑ 1 1 1 6 5 n n n n (PK) e) ( ) ( )( ) 1 1 3.5.7 2 11 2.5.8 3 1 n n n n ∞ − = + − − ∑ (HTTĐ) f) ( ) ( )( ) ∞ − = − − +∑ 1 1 1.4.7 3 21 7.9.11 2 5 n n n n (PK) g) ( ) ∞ − = −∑ 1 1 11 tann n n n (HTTĐ) h) ( ) ∞ + = −∑ 2 1 1 21 ! n n n n (PK) PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn i) ( ) ∞ = − + ∑ 2 1 1 2 1 n n n n (PK) k) ( ) ∞ = +  −    + ∑1 11 2 n n n n n (PK) l) ( ) ∞ − = + −∑ 1 2 1 11 lnn n n n (HTTĐ) m) ( ) ∞ − = −∑ 1 1 ln1 n n n n (Bán HT) o) ( ) ( ) 3 7 3 1 1 sin 2 , 2 3n n n n n β β ∞ = + ∈ + + ∑
(HTTĐ) p) ( ) ∞ = − − ∑ 1 1 ln n n n n (Bán HT) H
ng dn. b) +) ( ) −∞ = − ∑ 1 1 1 n n n là chuỗi đan dấu +)      1 n giảm và có →∞ = 1lim 0 n n +) Hội tụ theo Leibnitz +) ∞ = ∑ 1 1 n n phân kì ⇒ bán hội tụ d) +) ( ) −∞ = − − ∑ 1 1 1 6 5 n n n n là chuỗi đan dấu +) →∞ = − 1lim 6 5 6n n n ⇒ ∞ = − ∑ 1 6 5n n n phân kì +) ( ) − →∞ ∃ − − 1lim 1 6 5 n n n n +) ( ) ∞ = − − ∑ 1 1 6 5 n n n n phân kì. 4. Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối a) ∞ = =∑ 1 n n a S ⇒ chuỗi số nhận được từ chuỗi này bằng cách đổi thứ tự các số hạng và nhóm tuỳ ý các số hạng cũng hội tụ tuyệt đối và có tổng S b) Cho ∞ = =∑ 1 n n a S , ∞ = ∑ 1 n n a phân kì ⇒ có thể thay đổi thứ tự các số hạng của nó để chuỗi thu được hội tụ và có tổng là một số bất kì cho trước hoặc trở nên phân kì. Định nghĩa. Cho ∞ ∞ = = ∑ ∑ 1 1 ,n n n n a b , khi đó ta định nghĩa phép nhân chuỗi: ∞ ∞ ∞ = = =       =       ∑ ∑ ∑ 1 1 1 n n n n n n a b c , ở đó 1 1 n n k n k k c a b + − = =∑ c) ∞ = =∑ 1 1 n n a S , ∞ = =∑ 2 1 n n b S ⇒ ∞ ∞ = =       =       ∑ ∑ 1 2 1 1 n n n n a b S S Ví dụ 3.a) Xét sự hội tụ của tích các chuỗi số sau: 1 1 n n n ∞ = ∑ và 1 1 1 2nn ∞ − = ∑ . PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@mail.hut.edu.vn b) Xét sự hội tụ của chuỗi số ( ) ∞ − = =  + − −   + −  ∑ ∑ 1 2 1 1 1 21 tan .ln 1 n k n k n k n kk k H
ng dn. a) +) ∞ = ∑ 1 1 n n n hội tụ tuyệt đối +) ∞ − = ∑ 1 1 1 2nn hội tụ tuyệt đối +) ∞ ∞ − = =                 ∑ ∑ 1 1 1 1 1 . 2nn nn n hội tụ HAVE A GOOD UNDERSTANDING!