Phương trình không mẫu mực

− x = m . HD. • Du hiu cn: x là nghim ⇔ 4x+ 4 1 − x + x + 1 − x = m ⇔ 4 1−x +4 1 − (1 − x ) + 1 − x + 1 − (1 − x ) = m ⇔ 1 - x là nghim 1 vy, cn ñ Pt ñã cho có nghim duy nht là x = 1 - x ⇔ x = 2 1 1 1 1 1 1 ⇒ m = 4+ 4 + + = 24 + 2 =4 8 + 2 = 2 2 + 2 2 2 2 2 2 2 • Du hiu ñ: Khi m = 2 2+ 2 pt ñã cho tr thành: 4x+ 4 1 − x + x + 1 − x = 2 2+ 2 Ta có 4x+ 4 1 − x ≤ 2( x + 1 − x) ≤ 2 2( x + 1 − x ) = 2 2 x+1 − x ≤ 2( x + 1 − x ) = 2  4x= 4 1 − x 1 Như th Pt tương ñương vi  ⇔x = là nghim duy nht.  x=1 − x 2 Suy ra m = 2 2+ 2 tho. VD5. Tìm tt c các giá tr a ñ h phương trình sau có nghim vi mi b a y (x2+1 ) + ( b 2 + 1 ) = 2  2 a+ bxy + x y =1 HD. • Du hiu cn: H có nghim vi mi b thì có nghim vi b = 0. a ( x2 +1) = 1 (1) Khi ñó h tr thành  a+ x2 y =1 (2) T (1) suy ra x = 0 thì a tuỳ ý.T (2) suy ra a = 1 Cũng t (1) suy ra x ≠ 0 thì a = 0. • Du hiu ñ: Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 21 Phương trình không mu mc www.VNMATH.com Phương trình không mu mc Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình y (b2 +1) = 1 (3) i) a = 0 : h tr thành  bxy+ x2 y =1 (4) Khi b ≠ 0 : (3) ⇒ y = 0 không tho (4). Suy ra a = 0 không tho. y x2+( b 2 +1) = 1 (3) ii) a = 1 : h tr thành  bxy+ x2 y = 0 (4) Khi b = 0 thì (4) ⇔ x = y = 0 tho (3) vi mi b. Suy ra a = 1 tho. Bài tp tương t: BT1. Tìm m ñ phương trình sau có nghim duy nht: 3+x + 6 − x = m BT2. Tìm a ñ h sau có nghim duy nht: 2 x +x = y + x2 + a  x2+ y 2 =1 BT3. Tìm a ñ h sau có nghim duy nht: ax2 + a −1 = y − sin x  tan2x+ y 2 = 1 BT4. Tìm a ñ h sau có nhiu hơn 5 nghim: x2− y 2 + a( x + y ) = x − y + a  x2+ y 2 + bxy −1 = 0 BT5. Tìm x ñ phương trình sau nghim ñúng vi mi a: log (a2 x 3− 5 a 2 x 2 − 6 − x ) = log (3 − x − 1) 2 2+a2 VI. BIN LUN NGHIM CA PHƯƠNG TRÌNH BNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG MIN, MAX. • Vi f(x) liên tc trên D, phương trình f(x) = m có nghim khi và ch khi m thuc tp giá tr ca f(x). • Vi f(x) liên tc trên D thì ñt giá tr ln nht và nh nht trên D. Khi ñó phương trình f(x) = m có nghim khi và ch khi: minf ( x )≤ m ≤ max f ( x ) x∈ D x∈ D VD1. Tìm tt c các giá tr m ñ phương trình sau có nghim x2+ x +1 − x 2 − x + 1 = m HD. ðt f(x) = x2+ x +1 − x 2 − x + 1, x ∈R . 2x+ 1 2 x − 1 Cách 1. f '(x) = − x2+ x +1 x 2 − x + 1 1 1 • - ≤ x ≤ ⇒ 2x + 1 ≥ 0, 2x - 1 ≤ 0 ⇒ f '(x) > 0 2 2 Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 22 Phương trình không mu mc www.VNMATH.com Phương trình không mu mc Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 1 2x+ 1 2 x − 1 • x > : f '(x) > 0 ⇔ > > 0 2 x2+ x +1 x 2 − x + 1 (2x+ 1)2 (2 x − 1) 2 ⇔ > ⇔ (2x+ 1)2 ( x 2 − x + 1) > (2 x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) ⇔ x > 0 x2+ x +1 x 2 − x + 1 1 Vy x > ⇒ f '(x) > 0 2 1 2x+ 1 2 x − 1 • x 0 ⇔ 0 > > 2 x2+ x +1 x 2 − x + 1 (2x+ 1)2 (2 x − 1) 2 ⇔ < ⇔ (2x+ 1)2 ( x 2 − x + 1) < (2 x − 1) 2 ( x 2 + x + 1) ⇔ x < 0 x2+ x +1 x 2 − x + 1 1 Vy x 0 2 2x 2 x Mt khác limf ( x )= lim = lim x→∞ x →∞ x2+ x +1 + x 2 − x + 1 x→∞ 1 1 1 1 x1+ + + x 1 − + x x2 x x 2  2  lim= 1 x→+∞ 1 1 1 1  1+ + + 1 − +  x x2 x x 2 =  ⇒ Tp giá tr ca f(x): (- 1; 1) 2x  lim= − 1 x→−∞ 1 1 1 1  −1 + + − 1 − +  x x2 x x 2 Suy ra, phương trình có nghim khi ch khi - 1 < m < 1. 2 x 2 x Cách 2. f( x ) = = = x2+ x +1 + x 2 − x + 1 1 2 3  1  2 3 x+  + +  x −  + 2  4  2  4 2x 2 x x = ≤ = =1 ⇒ f( x ) ≤ 1 1 1 1 1 x x+ + x − x + + x − 2 2 2 2 Du ñng thc (1) không xy ra vì du ñng thc (1) ch xy ra khi và ch khi: x = 0 (1)   1  1  x=0 ∨ x +  x −  ≥ 0 (2) : H này vô nghim do (1) và (3).  2  2  x ≠ 0 (3) Suy ra f( x ) < 1 ⇔ - 1 < f(x) < 1.  limf ( x )= 1 Mt khác: x→+∞ và f(x) liên tc trên R nên Tp giá tr ca f(x): (- 1; 1) limf ( x )= − 1 x→−∞ Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 23 Phương trình không mu mc www.VNMATH.com Phương trình không mu mc Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình VD2. Tìm tt c các giá tr m ñ phương trình sau có nghim 3+x + 6 − x = m HD. ðt f(x) = 3+x + 6 − x , x ∈[ −3;6] . 2 2 Cách 1. f '(x) = − , ∀ x ∈( −3;6) . 3+x 6 − x 3 f '(x) ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 3  f(-3) = 3, f(6) = 3, f   = 3 2 , f(x) liên tc trên [−3;6] 2  ⇒ minf ( x )= 3,max f ( x ) = 3 2 [−3;6 ] [−3;6 ] 3 Cách 2. f( x )≤ 2(3 + x + 6 − x ) = 3 2 , du ñng thc xy ra khi ch khi x = . 2 Mt khác f(x) ≥ 0, x ∈[ −3;6] , (f( x ) )2 = 9 + ( x + 3)( x − 6) ≥ 9 ⇔ f ( x ) ≥ 3, du ñng thc 3 xy ra khi ch khi x = . f(x) liên tc trên [−3;6] 2 Suy ra ⇒ minf ( x )= 3,max f ( x ) = 3 2 . [−3;6 ] [−3;6 ] VD3. Tìm tt c các giá tr m ñ phương trình sau có nghim 3+x − 6 − x = m 2 2 HD. f '(x) = + > 0, ∀ x ∈[ −3;6] . 3+x 6 − x f(-3) = - 3, f(6) = 3, f(x) liên tc trên [−3;6] ⇒ minf ( x )= − 3,max f ( x ) = 3 [−3;6 ] [−3;6 ] Suy ra, Pt ñã cho có nghim khi và ch khi - 3 ≤m ≤ 3. VD4. Tìm tt c các giá tr m ñ phương trình sau có nghim sinx + cosx = m 2sinx + cosx + 3 sinx + cosx HD. ðt y = 2sinx + cosx + 3 Vi mi x: 2sinx ≥ −2, cosx ≥ −1⇒ 2sinx+ cos x > − 3 (du ñng thc không xy ra vì sinx và cosx không ñng thi nhn giá tr - 1) Suy ra 2sinx+ cos x + 3 ≠ 0, ∀ x ⇒ TXð: R. Ta tìm tp giá tr ca hàm s: sinx + cosx y là mt giá tr thuc tp giá tr ⇔ phương trình y = có nghim. 2sinx + cosx + 3 sinx + cosx Ptrình y = ⇔ (2y - 1)sinx + (y - 1)cosx + 3y = 0 2sinx + cosx + 3 Ptrình này có nghim khi và ch khi (2y - 1)2 + (y - 1)2 ≥ 9y2 ⇔ 2y2 + 3y - 1 ≤ 0 Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 24 Phương trình không mu mc www.VNMATH.com Phương trình không mu mc Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình −3 − 17 − 3 + 17 ⇔ ≤y ≤ . 4 4 −3 − 17 − 3 + 17  Suy ra, tp giá tr ca y: ;  4 4  Bài tp tương t: BT1. Tìm m ñ phương trình sau có nghim x2+ x +1 + x 2 − x + 1 = m . 2cos2 x+ sin 2 x BT2. Tìm m ñ phương trình sau có nghim = m . 2sin 2x+ 3cos 2 x − 5 VII. PHƯƠNG PHÁP TO ð VÀ HÌNH HC x2+ y 2 =2(1 + a ) VD1. Cho h phương trình  (x+ y )2 = 4 1) Gii h khi a = 1. 2) Tìm tt c các giá tr ca a ñ h có ñúng hai nghim. x2+ y 2 =2(1 + a ) x2+ y 2 =2(1 + a ) HD. Cách 1. ⇔  (x+ y )2 = 4 (x+ y − 2)( x + y + 2) = 0 x2+ y 2 =2(1 + a )   x 2 + (2 − x ) 2 = 2(1 + a )  x 2 − 2 x + 1 − a = 0 (1)     x+ y −2 = 0   y = 2 − x  y = 2 − x (2) ⇔ ⇔  ⇔  x2+ y 2 =2(1 + a )  x 2 + (2 + x ) 2 = 2(1 + a ) x 2 + 2 x + 1 − a = 0 (3)     x+ y +2 = 0   y = − 2 − x y = − 2 − x (4) x2 −2 x = 0  x= 0 ∨ x = 2   y=2 − x  y = 2 − x 1) a = 1: H ñã cho tr thành ⇔ ⇔   2  x+2 x = 0 x=0 ∨ x = − 2   y= −2 − x y= −2 − x Suy ra 4 nghim (0; 2), (2; 0), (0; - 2), (- 2; 0). 2) H có ñúng hai nghim. Nhn xét rng (1) và (3) có cùng bit s ∆ ' = a. Suy ra a ≥ 0 • a > 0: Mi phương trình (1) và (3) có 2 nghim phân bit, trong khi t (2) và (4) ta có 2 - x ≠ - 2 - x vi ∀ x nên h có ít nht 4 nghim. Suy ra a > 0 không tho. • a = 0: H (1)&(2) có nghim (1; 1), h (3)&(4) có nhim (- 1; - 1). Vy a = 0 tho. Cách 2 (PP Hình hc). Thy ngay a ≥ 0 . Trong h to ñ ðê-các Oxy: Xem Pt x2+ y 2 =2(1 + a ) , a ≥ 0 là Pt ñưng tròn (O, R), R = 2(1+ a ) Xem (x + y)2 = 4 ⇔ (x + y - 2)(x + y + 2) = 0 là phương trình hai ñưng thng: ∆1 : x + y - 2 = 0, ∆2 :x + y + 2 = 0 Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 25 Phương trình không mu mc www.VNMATH.com Phương trình không mu mc Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình Hai ñưng thng này ñi xng nhau qua O. Pt có ñúng hai nghim ⇔ ∆1 tip xúc vi (O, R)( do ñó ∆2 cũng tip xúc vi (O, R)) 0+ 0 − 2 ⇔ d(O, ∆ ) = R ⇔ =2(1 + a ) ⇔ a = 0. 1 2 x+ ay − a = 0 VD2. Cho h phương trình  x2+ y 2 − x = 0 1) Tìm tt c các giá tr ca a ñ h có hai nghim phân bit. 2) Gi hai nghim là (x1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ) là hai nghim. Chng minh rng: 2 2 (x1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 )≤ 1 HD. 1) Trong h to ñ ðê-các Oxy: Xem phương trình x + ay - a = 0 là phương trình ñưng thng d. Xem phương trình x2 + y2 - x = 0 là phương trình ñưng tròn I( 1 ; 0), R = 1 . 2 2 H có hai nghim phân bit khi ch khi ñưng thng ct ñưng tròn ti hai ñim phân bit 1 − a 2 1 4 ⇔ d(I, d) 1 − 2 a ⇔ 1 + a 2 > 4 a 2 − 4 a + 1 ⇔ 0 < a < 1+ a2 2 3 2) Gi A, B là các giao ñim ca ñưng tròn I( 1 ; 0) và ñưng thng d. Khi ñó 2 A(x1 ; y 1 ), B(x 2 ; y 2 ) . AB là mt dây cung ca ñưng tròn nên AB ≤ 2R =1. 2 2 ð ý rng AB = (x1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 ) . Ta có ñpcm. VD3. Gii phương trình x2−4 x + 5 − x 2 − 10 x + 50 = 5 HD. Ptrình tương ñương (x− 2)2 + 1 2 − ( x − 5) 2 + 5 2 = 5 (1) Trong h to ñ Oxy, chn M(x; 0), A(2; 1), B(5; 5). (1) ⇔ AM− BM = AB ⇔ A, B, M thng hàng và M ngoài AB. Mt khác A, B v cùng phía ñi vi Ox. Suy ra M là giao ñim ca ñưng thng AB, kí hiu (AB), vi Ox. x−2 y − 1 Phương trình (AB): = ⇔4(x − 2) = 3( y − 1) 5− 2 5 − 1 5 Hoành ñ giao ñim vi Ox: y = 0 ⇒ x = . 4 VD4. Gii phương trình 2x2− 2 x + 1 + 2 x 2 − ( 3 − 1) x + 1 + 2 x 2 + ( 3 + 1) x + 1 = 3 . HD. Phương trình ñã cho tương ñương: Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 26 Phương trình không mu mc www.VNMATH.com Phương trình không mu mc Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình  2 2  2 2 2 2 3 1  3  1  x+( x − 1) + x −  + x +  +  x +  +  x +  = 3 (1) 2  2   2   2  Trong mt phng Oxy, chn A(0; 1), B( 3 ; - 1 ), C(- 3 ; - 1 ). 2 2 2 2 Khi ñó, (1) ⇔ MA + MB + MC = 3 (2) Thy rng tam giác ABC ñu, tâm O và OA = OB = OC = 1 (1) suy ra MA + MB + MC = OA + OB + OC (2) Ta bit rng: Nu tam giác ABC ñu tâm O thì mi ñim M thuc mt phng tam giác ñu có MA + MB + MC ≥ OA + OB + OC. Du ñng thc xy ra khi và ch khi M ≡ O. Suy ra (2) ⇔ M ≡ O ⇔ x = 0. + + − = + VD5. Gi
i phương
trình x x1 3 x 2 x 1. HD. ðt u= ( x ;1) , v=( x + 1; 3 − x ) .



Ta có: u. v = x x+1 + 3 − x , u. v = 2x + 1





Phương trình ñã cho tương ñương vi u. v = u. v ⇔ u, v cùng chiu.

x x +1 x2 (3− x ) = x + 1 u, v cùng phương ⇔ = ≥ 0 ⇔  ⇔x =1 ∨ x = 1 + 2 1 3− x 0≤x < 3 VD6. Gii h phương trình:  1981  1+x + 1 + x + ... + 1 + x = 1980  1 2 1980 1980   1979 1−x + 1 − x + ... + 1 − x = 1980  1 2 1980 1980 HD. 

1980 
ðt ai=1 + x i ; 1 − x i ⇒ ai = 2 (i = 1, 2, ...., 1980), ∑ ai =1980 2 (1) ( )i = 1, 1980 i=1 1980 
Mt khác ∑ ai =( 1 + x1 + ... + 1 + x 1980 ; 1 − x 1 + ... + 1 − x 1980 ) i=1 1980 
2 2 ⇒ a=1 + x + ... + 1 + x + 1 − x + ... + 1 − x = ∑ i (1 1980 ) (( 1 1980 ) ) i=1 = 1980.1981+ 1980.1979
= 1980 2 (2) T (1)&(2) suy ra các véc tơ ai ( i = 1,1980) cùng phương, cùng hưng, cùng ñ dài. 1981 Như th x1 = x2 = ... x1980 ⇒ 1+x = 1 + x = ... = 1 + x = 1 2 1980 1980 1 ⇒ x1 = x2 = ... x1980 = 1980 Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 27 Phương trình không mu mc www.VNMATH.com Phương trình không mu mc Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình IX. CÁC PHƯƠNG TRÌNH KHÁC. VD1. Cho các s thc a, b, c và s nguyên dương m tho: a b c + + = 0 m + 2 m + 1 m Chng minh rng phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) có nghim x∈(0; 1). HD. (S dng ñnh lý Lagrăng). Vi hàm s f(x) xác ñnh liên tc, kh vi trên [a; b] thì tn ti c thuc (a; b): f( b )− f ( a ) f'( c ) = b− a a b c ðt f(x) = xm + 2 + x m + 1 + x m , x ∈ [0; 1] m + 2 m + 1 m f '(x) = axm + 1 + bx m + cx m - 1 m + 1 m m - 1 f(1) - f(0) Tn ti x0 ∈ (0; 1) : f '(x0) = ax + bx + cx = = 0 0 0 1 - 0 a b c = + + = 0 m + 2 m + 1 m m + 1 m m - 1 m - 1 2 ax0 + bx 0 + cx 0 = 0 ⇔ x0 (ax 0 + b x 0 + c) = 0 2 ⇔ ax0 + bx 0 + c = 0 VD2. Cho a > - 6. Gii phương trình: x4−10 x 3 − 2( a − 1) x 2 + 2(5 a + 6) x + 2 a + a 2 = 0 HD. (Xem v trái là tam thc bc hai ca tham s a) a2−2 a ( x 2 − 5 x − 1) + ( x 4 − 10 x 3 + 22 x 2 + 12 x ) = 0 ∆' = (x − 1)2⇒ a= ( x 2 − 5 x − 1) ± ( x − 1) Suy ra hai nghim: x2 - 6x và x2 - 4x - 2 Phương trình ñã cho tương ñương: [a - ( x2 - 6x )][a - (x2 - 4x - 2)] = 0 x2 −6 x − a = 0 ⇔  x2 −4 x − 2 − a = 0 Do a > - 6 ⇒ ∆1' = 9 +a > 0, ∆ 2 ' = 6 + a > 0. suy ra các nghim ca pt ñã cho: x=3 ± a + 9, x = 2 ± a + 6 VD3. Cho h phương trình: ax2 + bx + c = y  ay2 + by + c = z , trong ñó a≠0, ( b − 1)2 − 4 ac < 0.  2 az+ bz + c = x Chng minh h phương trình trên vô nghim. HD. (Chng minh phn chng) Không mt tính tng quát, gi s a > 0. Gi s h có nghim (x0, y0, z0). Khi ñó: Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 28 Phương trình không mu mc www.VNMATH.com Phương trình không mu mc Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình ax2 + bx + c = y (1)  0 0 0 2 ay0+ by 0 + c = z 0 (2)  2 az0+ bz 0 + c = x 0 (3) Cng tng v (1)(2)(3) ta có: 2   2   2  ax0+( b − 1) x 0 + c  +  ay 0 + ( b − 1) y 0 + c  +  az 0 + ( b − 1) z 0 + c  = 0 (4) 2 ðt f( t )= at + ( b − 1) t + c thì (4) ⇔ f(x0) + f(y0) +f(z0) = 0 (5) Do a≠0, ( b − 1)2 − 4 ac 0, ∀ t. Vì a > 0 nên f(t) > 0, ∀ t ⇒ f(x0) > 0, f(y0) > 0, f(z0) > 0. Trái vi (5). Vy, h ñã cho vô nghim. Trn Xuân Bang- GV Trưng THPT Chuyên Qung Bình 29 Phương trình không mu mc