Phương pháp tích phân phiến hàm trong lý thuyết hệ nhiều hạt cho mạng tam giác

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM TRONG LÝ THUYẾT HỆ NHIỀU HẠT CHO MẠNG TAM GIÁC ThS. TRẦN VĂN QUẢNG Bộ môn Vật lý Khoa Khoa học cơ bản Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Công trình nghiên cứu các tính chất từ của hệ tam giác phản sắt từ Heisenberg trong biểu diễn đơn fermion. Biểu diễn đó tương đương với đưa vào thế hóa học ảo Popov- Fedotov μ = iπ/2β. Chúng tôi tính toán cho các thăng giáng lượng tử và nhiệt động tới số hạng bậc nhất trong dãy khai triển xung quanh giá trị nghiệm của trường trung bình trong trạng thái Neel. Các kết quả thu được có thể so sánh với các kết quả trong phương pháp tiếp cận sóng spin. Summary: We study mangetic properties of the spin 1/2 isotropic Heisenberg Antiferromanget on triangular lattice within the fermionic representation under a rigorous constraint of single particle site occupancy. This is realized by means of the Popov-Fedotov procedure with the imaginary chemical potential μ= iπ/2β. We take into account quantum and thermal fluctuations up to the first order in a loop expansion beyond the Neel state mean field solution.The results are compared with those obtained by means of a spin wave approach. CB-CNTT I. TỔNG QUAN Các tính chất từ của vật chất cùng với tính siêu dẫn của nó đã và đang là đầu mối dẫn kỹ thuật tới những phát minh cách mạng cho những công nghệ hiện đại ngày nay. Những nỗ lực nghiên cứu trong quá khứ về các tính chất này đã để lại nhiều dấu ấn đáng ghi nhận, thậm chí đã vươn tới những áp dụng vào thực tế mang lại những thắng lợi đáng ghi nhớ trên nhiều phương diện cho con người. Nghiên cứu lý thuyết về lĩnh vực này hiện nay vẫn đang tiếp tục với nhiều tham vọng lớn. Tính phản sắt từ của vật chất đã đưa các nhà lý thuyết dẫn ra những kết quả và phán đoán quan trọng, trước tiên phải kể đến là mẫu Heisenberg áp dụng cho các mạng phản sắt từ và sắt từ. Trong những năm gần đây người ta đã khám phá ra một điều đặc biệt, trong hợp chất NaxCoO2.yH2O (x ~0.35, y~ 1.3) trên mặt phẳng CoO2 tồn tại trật tự từ không có dạng mạng vuông thông thường nữa mà chính xác nó có trật tự tam giác [4-7], nói khác đi, mạng đó là mạng tam giác. Kết cấu này đã dẫn tới “vấp hình học” khi ta áp dụng những quan điểm của mạng phản sắt từ vuông để tính toán cho thậm chí chỉ ở gần đúng lân cận gần nhất. Tuy nhiên, cho tới thời điểm hiện tại, những quan điểm khác nhau về sự định hướng của các vectơ spin ở mỗi nút mạng trong trạng thái cơ bản vẫn còn gây nhiều tranh cãi và còn chưa kết luận chính xác cuối cùng. Giả định về sự định hướng lệch đi so với nhau những góc 120o của các vectơ spin ở các nút lân cận đối với trạng thái cơ bản cổ điển, thì trong trạng thái lượng tử trạng thái nền có phải như vậy hay không đó lại là vấn đề còn bàn cãi. Trong một công trình hơn ba thập kỷ trước, Andeson và Fazekas đã đưa ra giả thuyết rằng trạng thái liên kết cộng hóa trị tầm ngắn (short - range resonating valence bond (RVB)) là trạng thái cơ bản của mạng tam giác phản sắt từ Heisenberg [8]. Tuy nhiên, trong một thập kỷ trở lại đây, những nghiên cứu bằng tính toán số [9-11] dựa trên kỹ thuật biến phân lại đưa ra những thông tin không phù hợp với giả thuyết đó. Thay vì điều đó, những nghiên cứu này lại khẳng định những bằng chứng về sự tồn tại trạng thái nền lượng tử tương tự như trạng thái cổ điển. Trong trạng thái này, các vectơ spin định hướng tạo với véc tơ spin của nút mạng lân cận góc 120o. Mặt khác, một số kết quả nghiên cứu lý thuyết khác về một các tính chất của mạng tam giác này cũng cho những kết quả tương tự đáng chú ý. Các kết quả đó thu được từ nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau như: phương pháp sóng spin [12], bổ chính 1/s [3,13], tiếp cận Swinger boson [14-16], phương pháp khai triển chuỗi [2],… Trong đó đáng chú ý là một số các tác giả [12,13] đã cho thấy dạng phiếm hàm mô tả tính chất động học của các mangon cho mạng tam giác S = 1/2 phản sắt từ Heisenberg có thể nhận lại cho giới hạn chuẩn cổ điển. Trong đó các spin được mô tả bằng các fermion, hệ spin lượng tử Hersenberg tương ứng được mô tả bằng phương pháp Abribosov. Nhưng lại xuất hiện trở ngại là không loại bỏ được các trạng thái phi vật lý ứng với một số điều kiện ràng buộc trong đó. Năm 1988, hai tác giả Popov - Fedotov đã đưa ra một mô tả mới bằng tích phân phiếm hàm. Để thực hiện việc loại bỏ trên họ đã đưa vào một “giả” thế hóa học ảo [18]. Phương pháp này đã đưa đến một áp dụng thành công cho các mạng sắt từ vuông (square lattice) thông thường [19,20,4]. Trong công trình này, chúng tôi áp dụng phương pháp này để nghiên cứu làm sáng tỏ trạng thái nền và nghiên cứu động lực học spin của mạng phản sắt từ tam giác. CB-CNTT II TÁC DỤNG HIỆU DỤNG Mạng phản sắt từ tam giác spin ½ trong từ trường ngoài B r hướng theo trục Oz, khi chỉ xét tới các lân cận gần nhất, được mô tả bằng Hamiltonian sau B.SgS.SJ 2 1H ij i z iBjiij∑ ∑ >< μ−−= rr (1) Trong đó Si là các toán tử spin s=1/2 ở nút mạng thứ i. Tổng được lấy theo tất cả các giá trị của i, và lân cận j của i. Sử dụng phương pháp Popov - Fedotov [8] biểu diễn hàm phân bố của Hamintonian trên bằng tích phân phiếm hàm trong các trạng thái kết hợp như sau [ ] [ ]∫ −ττμ= σσ Sexp)(a),(aDN1Z i*ii (2) với ∫ ∑ ∑ β =σ σσστσ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ττβ π+τ+τ∂ττ= 0 2,1,i i * ii * i )(a)(a2 i)(H)(a)(adS (3) là tác dụng hiệu dụng, các đại lượng và )(a*i τσ )(a i τσ là các số Grassmann tương ứng với các toán tử sinh huỷ giả ferminon và , N là số ô mạng. Số hạng cuối cùng trong S là “giả” thế hoá học ảo xuất hiện lần đầu trong [18] để loại bỏ các trạng thái phi vật lý mô tả trong hàm phân bố. Còn toán tử spin được biểu diễn như sau + σia σia ( ) 'i*i aa2 1S σσσστ=τ r r (σ = ↑, ↓, τ, là các ma trận Pauli) (4) Để thực hiện việc tính tích phân phiếm hàm (2), ta đưa vào trường boson, đóng vai trò như một trường bổ trợ, φr Đặt [ ]∫ ττφ− ∫ β φ= d)(Si 0 0 0 eDZ r r (5) Với tác dụng của trường bổ trợ [ ] )()()J( 2 1)(S ji j,i ij 1 0 τφτφ=τφ ∑ − rrr (6) Trong đó là ma trận nghịch đảo của ma trận trận tương tác hai nút Jịj. Thay (5) vào (3), lưu ý (1), và thực hiện phép dịch chuyển sau ij 1 )J( − CB- CNTT ∑ τ+τφ→τφ j ijii )(SJ)()( rrr (7) Để tách tích jiSS rr , ta thu được hàm phân bố ( ) ( ) ( )[ ] [ ]∫ β ττττφ− σσ∫ ττμτφ 0 * d)(a),(a),(S~ i * i 0 ea,aDD Z 1.Z r r (8) Với ( )[ ] 10 SBSS~ +−τφ= rr (9) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ τ τ′τ′τττ= ↓ ↑ ↓↑∑ i * i i ii * i1 a a ,KaaS (10) τ′τ+ − δ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ φ−φ φφ+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ β π−τ∂ ∂= z z i 2 1 2 iIˆK (11) Thực hiện chuyển Fourier theo các tần số Matshubara các biểu thức (8)-(11), và tích phân theo các biến Grassman ta nhận được [ ]φ−∫ φ= ~S 0 effeD Z 1Z r (12) Trong đó tác dụng hiệu dụng Seff có biểu thức: ( ) ( )( ) ( )(∑∑ ∑ >< − β−−ω−φ−= ij ij ijbiij 1 eff B KdetlnBJ 2 1S )rr (13) Với Ki, trong biểu diễn các tần số Matshubara Zn);nn( 2;n2 1212b ∈−β π=ω−ωβ π=ω , có dạng tường minh sau: ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω−ωφ−δ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ β π−ω−ω−ωφ ω−ωφω−ωφ+δ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ β π−ω− =ωω ωω + − ωω )( 2 1 2 ii)( 2 1 )( 2 1)( 2 1 2 ii K 12 z i112i 12i12 z i1 21i 21 21 (14) III. XẤP XỈ SADDPOINT VÀ ĐÓNG GÓP BẬC THẤP NHẤT Để tính (12), ta phân tíchφr thành hai thành phần: phần trung bình, và phần thăng giáng nhiệt động xung quanh giá trị trung bình CB-CNTT )()0()( iii ωφδ+=ωφ=ωφ rrr , tương ứng khi đó, ma trận K ở trên tự phân tích thành hai phần: phần chính và phần nhiễu loạn K = K0 + M (15) Khai triển trlnK theo chuỗi Taylor như sau: ∑∞ = −+−+= 1n n1 0 1n 0 )MK(n )1(trKlntrKlntr (16) Dạng cụ thể của phần chính K0 phụ thuộc vào việc chọn trường bổ trợ φ0 ở trên. ( ) 21 ,ij 0i 0iz 0i z 121ij0 0 0 2 1 2 1IˆiK ωω+ − δδ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ φ φ+φτ+ω=ωω (17) ( ) ( ) ( )( ) ( )⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ω−ωδφ−ω−ωδφ ω−ωδφω−ωδφ=ωω + − 21 z i21i 21i21 z i 21ij 2 1M (18) Số hạng thứ nhất trong (16) được tính thông qua phương pháp lấy thặng dư, kết quả như sau 2 cosh i 2lnKlntr 0i 0 φβ= r (19) Do đó năng lượng tự do trung bình có dạng ( )( )[ ] ∑∑ φββ−−φ−φβ= − i 0ij0ji0iij ij1mf 2cosh2ln1BB)J(1F r rrrr (20) Cực tiểu hóa năng lượng tự do trung bình theo 0iϕr thu được các phương trình tự hợp ( ) [ ]∑ φβφφ=−φ−i 0jjji0iij1 2tanh21BJ r r r rr (21) Từ quan hệ độ từ hóa địa phương i i B Fm rr ∂ ∂−= , đặt iB r = 0, từ phương trình (20) - (21), ta thu được phương trình xác định độ từ hóa tại nút i 2 mJ tanh 2 1m j 0jij 0i ∑β = (22) Kết quả tính toán cho điều kiện chiếm giữ đơn fermion không được thỏa mãn dẫn tới phương trình sau CB- CNTT ∑β= ij 0jij0i mJ4 tanh 2 1m (23) Điều thú vị ở đây là từ các phương trình (22) và (23) ta có thể tính được nhiệt độ chuyển pha bằng cách đặt mio = 0. Tiếp theo ta tính toán cho các đóng góp của phần thăng giáng, số hạng ứng với bậc nhất của ϕδr cho đóng góp bằng không. Số hạng bậc hai có dạng sau đây ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ δφ δφ δφ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ φ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ φφφ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ φ++⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ φ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ωφ−φφ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ωφ−φφφφ−φφ−−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ φ δφδφδφ= + − − ωωω − ω − ω + − ωωω ++ ω ++ ω − − − ωω +−ω j j z j ij 1 ii 2z i i 2 i i z ii i 2 i ij 1 ii 2z i i i z ii i i z ii i z ii ij 1ii ii 2z i ii z i )( eff J 4 1PQ 2 Q 2 Q 2 Q 2 J 4 1PQ 2 Qi 22 Qi 22 Q 2 J 2 1 2 PQ 2 2 1S (24) Trong đó: n2β π=ω là tần số Boson Matshubara ( ) ( ) ( ) ( ) 2tanh2 2P;2tanh2Q 0i20i2i0i20i20ii βφ φ+ω β=ωβφφ+ωφ β=ω ; (25) Từ các phương trình (24), (25) có thể dẫn ra độ từ hóa trong trạng thái Neel cũng như đóng góp thăng giáng nhiệt động của độ cảm từ. Trong phạm vi báo cáo này, chúng tôi giới hạn nghiên cứu động lực học spin. Do vậy ta chỉ quan tâm đến trường trung bình trong đó không quan tâm tới mode dao động ngang còn mode dọc . Trong mạng tam giác ta đặt φ0A = -2φ0B = -2φ0C = φ0. 0iϕr 00i0i =φ=φ −+ 0z0i ≠φ Thực hiện khai triển Fourier các biểu thức (25) ∑ Ω −+−+ ω−−δφωδφω= ,k eff ),k(),k(),k(MS (26) Với: ( ) ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ ω+φ βφ +ω−φ βφ −γ=ω i2 4 tanh4 i 2 tanh 6 1 )k(J2 1,KM 0 0 0 0 (27) Và ( ) ∑ ρ ρ=γ r rrkiek (28) Vectơ ρr biểu diễn sáu lân cận gần nhất bao gồm: (± 1,0); ( ) ( )2/3;2/1;2/3;2 ±−±/1 CB-CNTT Mở rộng giải tích iω → ϖ, từ (29) rút ra phổ năng lượng sóng spin 2 12120 2 0 )a2a()a2a(1881)k( −++φ−φ=ω (29) Với 4 tanh)k(J4a; 2 tanh)k(Ja 02 0 1 βφγ=βφγ= (30) IV. KẾT LUẬN Nghiên cứu của chúng tôi thu được các kết quả chính sau đây: - Phương trình xác định độ từ hóa tự phát của hệ spin lượng tử và nhiệt độ chuyển pha. Đặc tính khi so sánh kết quả này với kết quả thu được từ phương pháp nhân tử Lagrange trung bình đối với đặc tính thu được từ hai phương pháp tương ứng áp dụng cho mạng lập phương giống hệt nhau [20,21]. - Phương trình xác định phổ năng lượng kích thích của hệ spin lượng tử. Ở giới hạn nhiệt độ thấp, kết quả mà chúng tôi nhận được rất gần với những kết quả tính từ các phương pháp khác nhau ở các công trình khác, chẳng hạn [12,13]. Ở giới hạn nhiệt độ cao, các đóng góp của CB- CNTT thăng giáng nhiệt động được nghiên cứu và tính toán chi tiết. Nghiên cứu của chúng tôi ở thời điểm hiện tại chỉ dừng lại trong khuôn khổ các biểu thức giải tích, và phán đoán một số giới hạn đặc biệt. Còn một số các đại lượng quan trọng đặc trưng cho chất rắn như nhiệt dung riêng, độ cảm từ spin chúng tôi chưa quan tâm. Đồng thời việc tính số cho tất cả các đại lượng đặc trưng đó chưa được thực hiện. Kết quả tính toán bằng số sẽ đưa lại nhiều kết luận thú vị hơn và gần gũi với số liệu thực nghiệm gần đây nhất hơn. Chúng tôi dự định sẽ tiếp tục thực hiện nghiên cứu vấn đề này và thực hiện tính toán bằng số các kết quả thu được trong thời gian tới. Các kết quả nghiên cứu và vấn đề thảo luận ở trên đã được công bố tại Hội nghị Vật lý Lý thuyết lần thứ 33 tổ chức tại Đà Nẵng đầu tháng 07/2008 vừa qua. Tài liệu tham khảo [1]. A. L. Chernyshev and M. E. Zhitomirsky, Phys. Rev. Lett, 97 (2006) 207202. [2]. W. Zheng et al, Phys. Rev, B74 (2006) 224420. [3]. O. A. Starykh et al, Phys. Rev, B74 (2006) 180403 (R). [4]. K. Takata et al, Nature, 422 (2003) 53. [5]. R. Schaak et al, Nature, 424 (2003) 527. [6]. M. Z. Hasan et al, Phys. Rev. Lett, 92 (2004) 246402. [7]. D. Qian et al, Phys. Rev. Lett, 96 (2006) 046407. [8]. P. Fazekas and P. W. Anderson, Philos. Mag, 30 (1974) 423. [9]. B. Bernu et al, Phys. Rev, B50 (1934) 10048. [10]. L. Cepriotti et al, Phys. Rev. Lett, 82 (1999) 3844. [11]. D. J. J. Farnell et al, Phys. Rev, B63 (2001) 220402. [12]. T. Jolicocur and J. C. le Guillou, Phys. Rev, B40 (1989) 2227. [13]. A. V. Chubukoo et al, J. Phys. Condens. Matter, 6 (1994) 8891. [14]. D. Yoshioka and J. Miyazaki, J. Phys. Soc. Jpn, 60 (1991) 614. [15]. I. Ritchey and P. Glemon, J. Phys. Condens. Matter, 2 (1990) 9227. [16]. C. J. Gazzo and H. A. Ceccatto, J. Phys. Condens. Matter, 5 (1993) L 135. [17]. A. A. Abrikosov, Physics, 2 (1965) 5. [18]. V. N. Popov and S . Fedotov, Sov. Phys JFTP 67 (1988) 535. [19]. S. Tejima and A. Oguchi, J. Phys. Soc. Japan 64 (1995) 4923. [20]. S. Azakov et al, Int. J. Mod. Phys, B14 (2000) 13. [21]. R. Dillenschseider and J. Richezt, Phys. Rev, B73 (2006) 24409♦