Phương pháp phần tử hữu hạn

i PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN  Lý thuyết  Bài tập  Chương trình MATLAB HÀ NỘI 2007 TRẦN ÍCH THỊNH – NGÔ NHƯ KHOA TRẦN ÍCH THỊNH NGÔ NHƯ KHOA HÀ NỘI 2007 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN P p  Lý thuyết  Bài tập  Chương trình MATLAB GS, TS Trần Ích Thịnh TS. Ngô Như Khoa PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Lý thuyết Bài tập Chương trình MATLAB HÀ NỘI 2007 i MỞ ĐẦU Giáo trình Phương pháp Phần tử hữu hạn (PP PTHH) được biên soạn dựa trên nội dung các bài giảng và kinh nghiệm giảng dạy môn học cùng tên trong những năm gần đây cho sinh viên khoa Cơ khí, trường Đại học Bách khoa Hà Nội và học viên cao học ngành Cơ học Kỹ thuật, trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp - Đại học Thái Nguyên. Nội dung giáo trình có mục đích trang bị cho sinh viên các ngành kỹ thuật: Công nghệ chế tạo máy, Cơ tin kỹ thuật, Kỹ thuật hàng không, Kỹ thuật tàu thuỷ, Máy thuỷ khí, Ô tô, Động cơ, Tạo hình biến dạng, Công nghệ chất dẻo & composite, Công nghệ & kết cấu hàn v.v.: - Những kiến thức cơ bản nhất của PP PTHH ứng dụng, - Áp dụng phương pháp để giải quyết một số bài toán kỹ thuật khác nhau, - Nâng cao kỹ năng lập trình Matlab trên cơ sở thuật toán PTHH. Giáo trình biên soạn gồm 13 chương. Sau phần giới thiệu phương pháp PTHH, một số loại phần tử thực và phần tử qui chiếu hay gặp (Chương 1), giáo trình đề cập đến một số phép tính ma trận, phương pháp khử Gauss (Chương 2) và thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và véctơ lực nút chung cho kết cấu (Chương 3). Phương pháp Phần tử hữu hạn trong bài toán một chiều chịu kéo (nén) được giới thiệu trong Chương 4 và ứng dụng vào tính toán hệ thanh phẳng (Chương 5). Tiếp theo, giáo trình tập trung vào mô tả phần tử hữu hạn tam giác biến dạng hằng số trong bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi (Chương 6) và ứng dụng vào tính toán kết cấu đối xứng trục (Chương 7). Chương 8 giới thiệu phần tử tứ giác kèm theo khái niệm tích phân số. Chương 9 mô tả phần tử Hermite trong bài toán tính dầm và khung. Chương 10 trình bày phần tử hữu hạn trong bài toán dẫn nhiệt một và hai chiều. Chương 11 xây dựng thuật toán PTHH tính tấm-vỏ chịu uốn. Phần áp dụng phần tử hữu hạn trong tính toán vật liệu và kết cấu composite được giới thiệu trong chương 12. Chương 13 mô tả phần tử hữu hạn trong tính toán động lực học một số kết cấu. ii Cuối mỗi chương (từ chương 4 đến chương 13) đều có chương trình Matlab kèm theo và một lượng bài tập thích đáng để người đọc tự kiểm tra kiến thức của mình. Giáo trình được biên soạn bởi: - GS. TS Trần Ích Thịnh (chủ biên): Chương 1, 3, 4, 5, 6, 8 và 9. - TS Ngô Như Khoa: Chương 2, 7, 10, 11, 12, 13 và các chương trình Matlab. Giáo trình được trình bày một cách hệ thống và nhất quán từ đầu đến cuối nhờ Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần. Các quan hệ được xây dựng trong "không gian qui chiếu", do đó rất thuận lợi trong tính toán và lập trình. Có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên Cao học và nghiên cứu sinh các ngành kỹ thuật liên quan. Rất mong nhận được những góp ý xây dựng của bạn đọc. Tập thể tác giả iii MỤC LỤC Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1. Giới thiệu chung ................................................................................ 1 2. Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn ............................................................. 1 3. Định nghĩa hình học các phần tử hữu hạn .......................................... 2 3.1. Nút hình học ............................................................................................... 2 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử............................................................ 2 4. Các dạng phần tử hữu hạn ................................................................. 2 5. Phần tử quy chiếu, phần tử thực ......................................................... 4 6. Một số dạng phần tử quy chiếu .......................................................... 5 7. Lực, chuyển vị, biến dạng và ứng suất ............................................... 6 8. Nguyên lý cực tiểu hoá thế năng toàn phần ........................................ 7 9. Sơ đồ tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn ........................... 8 Chương 2 ĐẠI SỐ MA TRẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSSIAN 1. Đại số ma trận ................................................................................. 11 1.1. Véctơ ....................................................................................................... 11 1.2. Ma trận đơn vị .......................................................................................... 12 1.3. Phép cộng và phép trừ ma trận. ................................................................. 12 1.4. Nhân ma trận với hằng số ......................................................................... 12 1.5. Nhân hai ma trận ...................................................................................... 13 1.6. Chuyển vị ma trận .................................................................................... 13 1.7. Đạo hàm và tích phân ma trận................................................................... 14 1.8. Định thức của ma trận .............................................................................. 14 1.9. Nghịch đảo ma trận .................................................................................. 15 1.10. Ma trận đường chéo .............................................................................. 16 1.11. Ma trận đối xứng .................................................................................. 16 1.12. Ma trận tam giác ................................................................................... 16 2. Phép khử Gauss ............................................................................... 17 2.1. Mô tả........................................................................................................ 17 2.2. Giải thuật khử Gauss tổng quát ................................................................. 18 Chương 3 THUẬT TOÁN XÂY DỰNG MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ VÉCTƠ LỰC NÚT CHUNG 1. Các ví dụ ......................................................................................... 21 1.1. Ví dụ 1 ..................................................................................................... 21 1.2. Ví dụ 2 ..................................................................................................... 24 2. Thuật toán ghép K và F ................................................................... 27 iv 2.1. Nguyên tắc chung ..................................................................................... 27 2.2. Thuật toán ghép nối phần tử: .................................................................... 28 Chương 4 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU 1. Mở đầu ............................................................................................ 30 2. Mô hình phần tử hữu hạn ................................................................. 30 3. Các hệ trục toạ độ và hàm dạng ....................................................... 31 4. Thế năng toàn phần ......................................................................... 34 5. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 35 6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 36 7. Điều kiện biên, hệ phương trình phần tử hữu hạn ............................. 37 8. Ví dụ ............................................................................................... 39 9. Chương trình tính kết cấu một chiều – 1D ....................................... 45 10. Bài tập ............................................................................................. 49 Chương 5 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG 1. Mở đầu ............................................................................................ 51 2. Hệ toạ độ địa phương, hệ toạ độ chung ............................................ 51 3. Ma trận độ cứng phần tử .................................................................. 53 4. Ứng suất .......................................................................................... 54 5. Ví dụ ............................................................................................... 54 6. Chương trình tính hệ thanh phẳng .................................................... 56 7. Bài tập ............................................................................................. 66 Chương 6 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN HAI CHIỀU 1. Mở đầu ............................................................................................ 70 1.1. Trường hợp ứng suất phẳng ...................................................................... 71 1.2. Trường hợp biến dạng phẳng .................................................................... 71 2. Rời rạc hoá kết cấu bằng phần tử tam giác ....................................... 72 3. Biểu diễn đẳng tham số.................................................................... 75 4. Thế năng ......................................................................................... 78 5. Ma trận độ cứng của phần tử tam giác ............................................. 78 6. Qui đổi lực về nút ............................................................................ 79 7. Ví dụ ............................................................................................... 82 8. Chương trình tính tấm chịu trạng thái ứng suất phẳng ...................... 87 9. Bài tập ............................................................................................. 98 v Chương 7 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG TRỤC CHỊU TẢI TRỌNG ĐỐI XỨNG 1. Mở đầu .......................................................................................... 102 2. Mô tả đối xứng trục ....................................................................... 102 3. Phần tử tam giác ............................................................................ 104 4. Chương trình tính kết cấu đối xứng trục ......................................... 113 5. Bài tập ........................................................................................... 122 Chương 8 PHẦN TỬ TỨ GIÁC 1. Mở đầu .......................................................................................... 126 2. Phần tử tứ giác............................................................................... 126 3. Hàm dạng ...................................................................................... 127 4. Ma trận độ cứng của phần tử.......................................................... 129 5. Qui đổi lực về nút .......................................................................... 131 6. Tích phân số .................................................................................. 132 7. Tính ứng suất................................................................................. 136 8. Ví dụ ............................................................................................. 136 9. Chương trình ................................................................................. 138 10. Bài tập ........................................................................................... 150 Chương 9 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU DẦM VÀ KHUNG 1. Giới thiệu ...................................................................................... 152 2. Thế năng ....................................................................................... 153 3. Hàm dạng Hermite ........................................................................ 153 4. Ma trận độ cứng của phần tử dầm .................................................. 155 5. Quy đổi lực nút .............................................................................. 157 6. Tính mômen uốn và lực cắt............................................................ 159 7. Khung phẳng ................................................................................. 159 8. Ví dụ ............................................................................................. 162 9. Chương trình tính dầm chịu uốn .................................................... 166 10. Bài tập ........................................................................................... 175 Chương 10 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN DẪN NHIỆT 1. Giới thiệu ...................................................................................... 178 2. Bài toán dẫn nhiệt một chiều.......................................................... 178 2.1. Mô tả bài toán ........................................................................................ 178 vi 2.2. Phần tử một chiều ................................................................................... 178 2.3. Ví dụ ...................................................................................................... 180 3. Bài toán dẫn nhiệt hai chiều ........................................................... 182 3.1. Phương trình vi phân quá trình dẫn nhiệt hai chiều .................................. 182 3.2. Điều kiện biên ........................................................................................ 183 3.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 184 3.4. Xây dựng phiếm hàm ............................................................................. 186 3.5. Ví dụ ...................................................................................................... 190 4. Các chương trình tính bài toán dẫn nhiệt ........................................ 192 4.1. Ví dụ 10.1 .............................................................................................. 192 4.2. Ví dụ 10.2 .............................................................................................. 197 5. Bài tập ........................................................................................... 203 Chương 11 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN KẾT CẤU TẤM - VỎ CHỊU UỐN 1. Giới thiệu ...................................................................................... 206 2. Lý thuyết tấm Kirchhof ................................................................. 206 3. Phần tử tấm Kirchhof chịu uốn ...................................................... 209 4. Phần tử tấm Mindlin chịu uốn ........................................................ 216 5. Phần tử vỏ ..................................................................................... 219 6. Chương trình tính tấm chịu uốn ..................................................... 222 7. Bài tập ........................................................................................... 231 Chương 12 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN VẬT LIỆU, KẾT CẤU COMPOSITE 1. Giới thiệu ...................................................................................... 234 2. Phân loại vật liệu Composite ......................................................... 234 3. Mô tả PTHH bài toán trong trạng thái ứng suất phẳng ................... 236 3.1. Ma trận D đối với trạng thái ứng suất phẳng ........................................... 236 3.2. Ví dụ ...................................................................................................... 238 4. Bài toán uốn tấm Composite lớp theo lý thuyết Mindlin ................ 241 4.1. Mô hình hóa vật liệu composite nhiều lớp theo lý thuyết Mindlin ........... 241 4.2. Mô hình hóa PTHH bài toán tấm composite lớp chịu uốn ....................... 246 5. Chương trình tính tấm Composite lớp chịu uốn.............................. 250 6. Bài tập ........................................................................................... 267 Chương 13 PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU 1. Giới thiệu ...................................................................................... 268 vii 2. Mô tả bài toán................................................................................ 268 3. Vật rắn có khối lượng phân bố ....................................................... 270 4. Ma trận khối lượng của phần tử có khối lượng phân bố.................. 272 4.1. Phần tử một chiều ................................................................................... 272 4.2. Phần tử trong hệ thanh phẳng.................................................................. 272 4.3. Phần tử tam giác ..................................................................................... 273 4.4. Phần tử tam giác đối xứng trục ............................................................... 274 4.5. Phần tử tứ giác ....................................................................................... 276 4.6. Phần tử dầm ........................................................................................... 276 4.7. Phần tử khung ........................................................................................ 277 5. Ví dụ ............................................................................................. 277 6. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm và khung .................. 278 6.1. Chương trình tính tần số dao động tự do của dầm ................................... 278 6.2. Chương trình tính tần số dao động tự do của khung ................................ 283 7. Bài tập ........................................................................................... 288 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Chương 1 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1. GIỚI THIỆU CHUNG Sự tiến bộ của khoa học, kỹ thuật đòi hỏi người kỹ sư thực hiện những đề án ngày càng phức tạp, đắt tiền và đòi hỏi độ chính xác, an toàn cao. Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) là một phương pháp rất tổng quát và hữu hiệu cho lời giải số nhiều lớp bài toán kỹ thuật khác nhau. Từ việc phân tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy bay, tàu thuỷ, khung nhà cao tầng, dầm cầu, v.v, đến những bài toán của lý thuyết trường như: lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thuỷ đàn hồi, khí đàn hồi, điện-từ trường v.v. Với sự trợ giúp của ngành Công nghệ thông tin và hệ thống CAD, nhiều kết cấu phức tạp cũng đã được tính toán và thiết kế chi tiết một cách dễ dàng. Trên thế giới có nhiều phần mềm PTHH nổi tiếng như: NASTRAN, ANSYS, TITUS, MODULEF, SAP 2000, CASTEM 2000, SAMCEF v.v. Để có thể khai thác hiệu quả những phần mềm PTHH hiện có hoặc tự xây dựng lấy một chương trình tính toán bằng PTHH, ta cần phải nắm được cơ sở lý thuyết, kỹ thuật mô hình hoá cũng như các bước tính cơ bản của phương pháp. 2. XẤP XỈ BẰNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Giả sử V là miền xác định của một đại lượng cần khảo sát nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nhiệt độ, v.v.). Ta chia V ra nhiều miền con ve có kích thước và bậc tự do hữu hạn. Đại lượng xấp xỉ của đại lượng trên sẽ được tính trong tập hợp các miền ve. Phương pháp xấp xỉ nhờ các miền con ve được gọi là phương pháp xấp xỉ bằng các phần tử hữu hạn, nó có một số đặc điểm sau: - Xấp xỉ nút trên mỗi miền con ve chỉ liên quan đến những biến nút gắn vào nút của ve và biên của nó, 2 - Các hàm xấp xỉ trong mỗi miền con ve được xây dựng sao cho chúng liên tục trên ve và phải thoả mãn các điều kiện liên tục giữa các miền con khác nhau. - Các miền con ve được gọi là các phần tử. 3. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CÁC PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1. Nút hình học Nút hình học là tập hợp n điểm trên miền V để xác định hình học các PTHH. Chia miền V theo các nút trên, rồi thay miền V bằng một tập hợp các phần tử ve có dạng đơn giản hơn. Mỗi phần tử ve cần chọn sao cho nó được xác định giải tích duy nhất theo các toạ độ nút hình học của phần tử đó, có nghĩa là các toạ độ nằm trong ve hoặc trên biên của nó. 3.2. Qui tắc chia miền thành các phần tử Việc chia miền V thành các phần tử ve phải thoả mãn hai qui tắc sau: - Hai phần tử khác nhau chỉ có thể có những điểm chung nằm trên biên của chúng. Điều này loại trừ khả năng giao nhau giữa hai phần tử. Biên giới giữa các phần tử có thể là các điểm, đường hay mặt (Hình 1.1). - Tập hợp tất cả các phần tử ve phải tạo thành một miền càng gần với miền V cho trước càng tốt. Tránh không được tạo lỗ hổng giữa các phần tử. 4. CÁC DẠNG PHẦN TỬ HỮU HẠN Có nhiều dạng phần tử hữu hạn: phần tử một chiều, hai chiều và ba chiều. Trong mỗi dạng đó, đại lượng khảo sát có thể biến thiên bậc nhất (gọi là phần tử bậc nhất), bậc hai hoặc bậc ba v.v. Dưới đây, chúng ta làm quen với một số dạng phần tử hữu hạn hay gặp. biên giới biên giới v2 v1 biên giới v2 v1 v 1 v2 Hình 1.1. Các dạng biên chung giữa các phần tử 3 Phần tử một chiều Phần tử hai chiều Phần tử ba chiều Phần tử tứ diện Phần tử lăng trụ Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 4 5. PHẦN TỬ QUY CHIẾU, PHẦN TỬ THỰC Với mục đích đơn giản hoá việc xác định giải tích các phần tử có dạng phức tạp, chúng ta đưa vào khái niệm phần tử qui chiếu, hay phần tử chuẩn hoá, ký hiệu là vr. Phần tử qui chiếu thường là phần tử đơn giản, được xác định trong không gian qui chiếu mà từ đó, ta có thể biến đổi nó thành từng phần tử thực ve nhờ một phép biến đổi hình học re. Ví dụ trong trường hợp phần tử tam giác (Hình 1.2). Các phép biến đổi hình học phải sinh ra các phần tử thực và phải thoả mãn các qui tắc chia phần tử đã trình bày ở trên. Muốn vậy, mỗi phép biến đổi hình học phải được chọn sao cho có các tính chất sau: a. Phép biến đổi phải có tính hai chiều (song ánh) đối với mọi điểm  trong phần tử qui chiếu hoặc trên biên; mỗi điểm của vr ứng với một và chỉ một điểm của ve và ngược lại. b. Mỗi phần biên của phần tử qui chiếu được xác định bởi các nút hình học của biên đó ứng với phần biên của phần tử thực được xác định bởi các nút tương ứng. Chú ý: - Một phần tử qui chiếu vr được biến đổi thành tất cả các phần tử thực ve cùng loại nhờ các phép biến đổi khác nhau. Vì vậy, phần tử qui chiếu còn được gọi là phần tử bố-mẹ. - Có thể coi phép biến đổi hình học nói trên như một phép đổi biến đơn giản. -  (, ) được xem như hệ toạ độ địa phương gắn với mỗi phần tử. vr v3 v2 v1 1,0 0,0 y  x (1) (2) (3) (4) (5)  r3 r2 r1 0,1 Hình 1.2. Phần tử quy chiếu và các phần tử thực tam giác 5 6. MỘT SỐ DẠNG PHẦN TỬ QUI CHIẾU Phần tử qui chiếu một chiều Phần tử qui chiếu hai chiều Phần tử qui chiếu ba chiều Phần tử tứ diện  Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba vr 0,1,0 0,0,0 0,0,1  vr 0,1,0 0,0,1 vr    1,0,0  1,0,0    0,1,0 1,0,0 0,0,1  Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba vr 1 0,0 1  vr 1 0,0 1  vr 1 0,0 1    1/2 ,1/2 1/2 1/2 1/3 ,2/3 2/3 ,1/3 2/3 1/3 1/3 2/3 0 1 -1  0 1 -1  -1/2 1 -1  1/2 0 Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 6 Phần tử sáu mặt 7. LỰC, CHUYỂN VỊ, BIẾN DẠNG VÀ ỨNG SUẤT Có thể chia lực tác dụng ra ba loại và ta biểu diễn chúng dưới dạng véctơ cột: - Lực thể tích f : f = f[ fx, fy , fz]T - Lực diện tích T : T = T[ Tx, Ty , Tz]T - Lực tập trung Pi: Pi= Pi [ Px, Py , Pz]T Chuyển vị của một điểm thuộc vật được ký hiệu bởi: u = [u, v, w] T (1.1) Các thành phần của tenxơ biến dạng được ký hiệu bởi ma trận cột:  = [x , y, z, yz, xz, xy] T (1.2) Trường hợp biến dạng bé: T x v y u x w z u y w z v z w y v x u                             (1.3) Các thành phần của tenxơ ứng suất được ký hiệu bởi ma trận cột:  = [x ,  y, z,  yz,  xz,  xy] T (1.4) Với vật liệu đàn hồi tuyến tính và đẳng hướng, ta có quan hệ giữa ứng suất với biến dạng: vr  Phần tử bậc nhất Phần tử bậc hai Phần tử bậc ba 0,1,1  vr    1,1,0  0,1,1 1,1,0  vr   0,1,1 1,1,0 7  = D  (1.5) Trong đó:                                       5000000 0500000 0050000 0001 0001 0001 211 , , , ED E là môđun đàn hồi,  là hệ số Poisson của vật liệu. 8. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU HOÁ THẾ NĂNG TOÀN PHẦN Thế năng toàn phần  của một vật thể đàn hồi là tổng của năng lượng biến dạng U và công của ngoại lực tác dụng W:  = U + W (1.6) Với vật thể đàn hồi tuyến tính thì năng lượng biến dạng trên