Phương pháp lực và cách tính hệ phẳng siêu tĩnh

Chương 5 PHƯƠNG PHÁP LỰC VÀ CÁCH TÍNH HỆ PHẲNG SIÊU TĨNH BỘ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO TRƯỜNG Cð CN& QT SONADEZI ------------------- BÀI GiẢNG: CƠ HỌC KẾT CẤU ThS. VÕ XUÂN THẠNH 1 I/. Khái niệm về kết cấu siêu tĩnh: 1/. ðịnh nghĩa: hệ siêu tĩnh là hệ mà trong trạng thái không biến dạng nếu ta chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học thì không thể xác ñịnh ñược tất cả các phản lực liên kết và nội lực trong hệ 2/. Bậc siêu tĩnh Bậc siêu tĩnh chính bằng số liên kết thanh thừa trong hệ ngoài số liên kết cần ñể hệ BBH 2 II/. Tính kết cấu siêu tĩnh bằng phương pháp lực 1/. Công thức tính bậc siêu tĩnh Trường hợp nối ñất 1T+2K+3H+Co>3D Công thức tính bậc siêu tĩnh n theo số chu vi kín n=3V-K V: số chu vi kín K : số khớp ñơn có trong hệ n= 1T+2K+3H+Co-3D 3 Ví dụ V= 2 K = 5 (B) khớp bội = 2 khớp ñơn (C) khớp ñơn = 1 (D) khớp ñơn = 1 (D’) khớp ñơn =1 ---------------- ---------------- cộng = 5 khớp ñơn n= 3V – K = 3x2 – 5 =1 A B C D D’ 4 2/. Nội dung của phương pháp lực a/. Hệ cơ bản: Hệ cơ bản là hệ BBH ñược suy ra từ hệ siêu tĩnh ñã cho bằng cách loại bỏ ñi tất cả hoặc một số liên kết thừa P P x1 x2x3 “hệ siêu tĩnh “ “hệ cơ bản “ 5 ðiều kiện ñể hệ cơ bản tương ñương với hệ thực là : chuyển vị tại các vị trí của liên kết thừa Xk bị loại bỏ phải bằng không 0=∆k b/. Phương trình chính tắc 0 0 0 2211 22222222121 11111212111 =∆+∆+∆+∆+δ++δ+δ =∆+∆+∆+∆+δ++δ+δ =∆+∆+∆+∆+δ+δ+δ ∆ ∆ ∆ nznnPnPnnnnn ztPnn ztPnn X...XX .......................................... X...XX X...XX 6 Chú ý : khi chọn hệ cơ bản cho hệ siêu tĩnh chịu các chuyển vị cưỡng bức Z tại các gối tựa ta cần chú ý: + ñối với các liên kết thừa không có chuyển vị cưỡng bức có thể loại bỏ và thay thế bằng các lực Xk + ñối với liên kết thừa có chuyển vị cưỡng bức ta qui ñịnh: chỉ ñược phép cắt bỏ và thay thế cặp lực Xk ngược chiều nhau và không ñược phép loại bỏ 7 X1 X1 X1 8 + ñối với thanh hai ñầu khớp (không có ngoại lực tác dụng ), ñược cắt thanh và thay thế cặp lực Xk ngược chiều nhau mà không ñược loại bỏ X1 X1 ≠∝EA 9 ðối với những trường hợp có thể áp dụng cách “ nhân biểu ñồ”, ta có : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ∑ ∑ +++=δ +++=δ j j jk jkkkkkkkkk j j jm jkmkmkmkkm c R RQQNNMM c R RQQNNMM b/. Cách tính các số hạng kmkP δ,∆ 10 jkkkk R,Q,N,M Là lực uốn, dọc, cắt và phản lực tại gối ñàn hồi thứ j do lực xk =1 gây ra trong hệ cơ bản jmmmm R,Q,N,M Là lực uốn, dọc, cắt và phản lực tại gối ñàn hồi thứ j do lực xm =1 gây ra trong hệ cơ bản jC Hệ số ñàn hồi thứ j 11 Chú ý: Các ñại lượng 1/EJ; 1/EF; 1/GF tuy không viết trong biểu thức nhưng cần hiểu ngầm là vẫn tồn tại , khi tính phải thêm các ñại lượng ñó vào Trong biểu thức không viết dấu ∑ nhưng cũng cần hiểu là phải nhân biểu ñồ trong toàn hệ 12 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ∑+++=∆ j j jp jk o pk o pk o pkkp c R RQQNNMM o p o p o p Q,N,M Là các biểu ñồ nội lực do riêng tải trọng gây ra trên hệ cơ bản * Tải trọng 13 * Thay ñổi nhiệt ñộ ( ) ( ) ( )∑∑ Ωα+Ω−α=∆ kcmkmmkt NtMtth 12 * Chế tạo chiều dài thanh không chính xác i i ikk N ∆=∆ ∑∆ iki N;∆ ñộ dôi của thanh thứ i khi thanh ñược chế tạo dài hơn chiều dài thiết kế và lực dọc trong thanh thứ i do Xk=1 gây ra trong hệ cơ bản 14 Ví dụ 1 : 3EJ EJ A BC A BC X1 "HCB” A BC 90 q=5KN/m EJEJEJ 3 160464 3 14 3 244 2 11 11 =×××+×××××=δ EJEJp 2404690 3 1 3 1 1 − =×××× − =∆ 6m 4m KNX EJ X EJ 5,4 0 240 3 160 1 1 = =−× o pM lh 3 1 =ω lxc 4 1 = A BC 4 4 1M x1=1 15 B4x4,5=18 90 o pM11 XM × pM 18 72 3EJ EJ A BC q=5KN/m 6m 4m + - + Q N kNQ Q kNQ CB CA AC 5,4 4 180 0 2 65 6 )72(18 30 2 65 6 )72(18 −= − = = × − −− = = × + −− = 4,5 30 4,5 16 2kN/m 2EJ 2EJ EJ 6m 6m 4m Ví dụ 2 2kN/m 2EJ 2EJ EJ 6m 6m 4mX1 X2 Hệ cơ bản 17 EJ 180 2211 == δδ EJ 144 2112 − == δδ Ví dụ 2 EJp 864 1 =∆ EJEJEJp 1026643615,4636 3 1 2 1 2 − =      ×××+××××−=∆ 2kN/m 2EJ 2EJ EJ 6m 6m 4m x1=1 x2=1 36 6 6 lh 3 1 =ω lxc 4 1 = 1M 2M o pM X1 X2 18 Phương trình chính tắc 0 1026180144 0 864144180 21 21 =−+ − =+− EJ X EJ X EJ EJ X EJ X EJ kNXkNX XX XX 6 31 ; 3 2 057108 02445 21 21 21 = − = =−+− =+− 19 X1=1 X2=1 36 6x(-2/3) 6x31/6 4 5 1 1M 2M opM pM 2kN/m 2EJ 2EJ EJ 6m 6m 4m pQ 2/3 41/6 31/6 pN + 20 Ví dụ 3: 3m 3m 6m 12m EJ 4EJ EJ X1 X2 X3 Hệ cơ bản 21 X1=1 X2=1 6 6 X3=1 1 1 X1 X2 X3 M1 M2 M3 6m 6m 22 3m 3m 6m 12m EJ 4EJ EJ 60 60 22,5 37,5 11,28 o pM - + + - Q Mp P=20kN P 20 5,36 23 4/. Phép ñơn giản hoá khi tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lực a/. Hệ cơ bản ñối xứng 24 •Với hệ ñối xứng, chịu tải trọng ñối xứng . Ta chọn hệ cơ bản ñối xứng và sẽ có cập ẩn lực phản ñối xứng bằng không. Các biểu ñồ M và N ñối xứng, Q phản ñối xứng P/2 P/2 X1 X2 P/2 P/2 X’1 X’1X’2 X’2X’2=0Ta có : P/2 P/2 aa 25 •Với hệ ñối xứng, chịu tải trọng phản ñối xứng , ta vẫn chọn hệ cơ bản ñối xứng, lúc nầy cặp ẩn lực ñối xứng bằng không . Các biểu ñồ M và N phản ñối xứng, Q ñối xứng P/2 X1 X2 X’1 X’1X’2 X’2 X’1=0Ta có : a P/2 P/2 a a P/2 26 •ðối với tải trọng bất kỳ trên hệ ñối xứng ta có thể phân ra tải trọng ñối xứng và phản ñối xứng a P P/2 aa P/2 P/2 aa P/2 27 2kN/m 2EJ 2EJ EJ 6m 6m 4m x1 x2 “HCB” X’1 “HCB” chọn X’1 X’2 X’2 Ví dụ: 28 X’1=1 X’1=1 X’2=1 X’2=1 ' 1M 0'21 ' 12 == δδ ' 2M Lúc nào ta cũng có : 12 6 6 36 0 PM Tính EJ 72 =4×6×6× 2 1 × EJ2 1 2=δ '11 EJ 648 =12×4×12× EJ 1 +4×6×6× 2 1 × EJ2 1 2=δ '22 29 X’1=1 X’1=1 X’2=1 X’2=1 ' 1M ' 2M 12 6 6 36 0 PM EJ 1890 12436 EJ 1 54636 3 1 EJ2 1 P2 =×××+××××+= , ' ∆ EJ 162 -=5,4×6×36×3 1 × EJ2 1 -=∆ ' P1 30 Phương trình chính tắc 0= EJ 1890 +X EJ 648 0= EJ 162 -X EJ 72 ' 2 ' 1 Giải hệ -2,92kN=X kN25,2=X ' 2 ' 1 Vậy ta có : 5,17kN- 67,0 ' 2 ' 12 ' 2 ' 11 == =+= XXX kNXXX 31 b/. Vận dụng tính ñối xứng của hệ Trong phương pháp lực , với các hệ có các yếu tố ñối xứng , ta có thể lợi dụng tính ñối xứng ñể ñơn giản trong tính toán Người ta nhận thấy là : 32 •Trong các hệ ñối xứng, chịu tải trọng tác dụng ñối xứng : Biểu ñồ mô men uốn M và lực dọc sẽ ñối xứng, biểu ñồ lực cắt Q sẽ phản ñối xứng 33 •Trong các hệ ñối xứng, chịu tải trọng phản xứng: Biểu ñồ mômen và lực dọc phản xứng, biểu ñồ lực cắt ñối xứng 34 Dựa vào nhận xét trên, ta có thể thay thế việc tính trên hệ ñối xứng bằng cách tính trên nửa hệ Ta xét cụ thể các dạng sơ ñồ ñối xứng và các trường hợp tải trọng tác dụng 35 b.1/.hệ ñối xứng, có 1 thanh trùng với trục ñối xứng của hệ. Tải trọng tác dụng ñối xứng A C B C Chọn nửa hệ ñể tính theo sơ ñồ : Nút C không có chuyển vị xoay, chuyển vị ngang và ñứng 36 b.2/. Hệ ñối xứng tải trọng ñối xứng, hệ không có thanh nằm trên trục ñối xứng A C B l/2 l/2 Tại C không có chuyển vị xoay, chuyển vị ngang, có chuyển vị ñứng C Chọn nửa hệ ñể tính theo sơ ñồ : 37 b.3/. Hệ ñối xứng, tải trọng ñối xứng, có khớp nằm trên trục ñối xứng A C B l/2 l/2 C không chuyển vị ngang, có chuyển vị thẳng theo trục ñối xứng, và các tiết diện hai bên khớp C có chuyển vị xoay tương ñối với nhau C 38 b.4/. Hệ ñối xứng chịu tải phản xứng A C B l/2 l/2 Tại tiết diện ñối xứng có M=N=0 còn Q khác không C 39 b.5/. Hệ ñối xứng, có trục thanh giữa trùng với trục ñối xứng, chịu tải trọng phản xứng A C B l/2 l/2 2J 2J J J J A C l/2 2J J J/2 40 5/.Tính dầm liên tục bằng phương pháp ba mô men a/. ðịnh nghĩa: Dầm liên tục là một thanh thẳng, ñặt trên nhiều gối tựa , trong ñó số gối tựa lớn hơn 2 b/. Bậc siêu tĩnh Hệ luôn luôn có: D=1 ; T=0 ; K=0 ; H=0 Vậy : n = Co-3 41 c/. Hệ cơ bản Hoặc loại bỏ các gối tự thừa và thay tác dụng của chúng bằng các ẩn lực thừa X1, X2, X3 X1 X2 M1 __ 42 Hoặc ñặt khớp vào các tiết diện ở trên gối tựa trung gian và thêm vào các cặp ẩn lực X1, X2, ..Xn. Các cặp ẩn lực ñó chính là các mô men nội lực tại tiết diện gối tựa trung gian X1 X2 Với hệ cơ bản nầy là hợp lý nhất vì khi nhân biểu ñồ sẽ thu ñược nhiều hệ số phụ 0δ km = M1 __ 43 d/. Phương trình ba mô men của dầm liên tục -ðánh số thứ tự các gối 0,1,2,3,từ trái sang phải . Tên nhịp gọi theo tên gối bên trái nhịp , cụ thể tương ứng ñộ cứng EJ1, EJ2, , EJn Trên hệ cơ bản , ký hiệu các ẩn lực thừa M1,M2,M3 0 1 2 3 EJ1 EJ2 EJ3 M4 4 5 EJ4 EJ5 M1 M2 M3 “HCB” 1l 2l 3l 4l 5l ,...l,l,l 321 44 0 1 2 3 M1=1 4 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 1l1 l2 l3 l4 l5 EJ1 EJ3 EJ4 EJ5 M2=1 M3=1 5 0 1 2 3 4 5 1l1 l2 l3 l4 l5 EJ1 EJ3 EJ4 EJ5EJ2 a2 b2 a3 b3 EJ2 P 0M 1M 2M 3M 45 0 1 2 3 M1=1 4 5 0 1 2 3 4 5 1l1 l2 l3 l4 l5 EJ1 EJ3 EJ4 EJ5 M2=1 2 22 2 21 EJ6 l 3 1 2 1l EJ 1 =× × = )(δ 46 0 1 2 3 4 5 M2=1 3 3 2 23 3 2 2 22 EJ3 l EJ3 l 3 2 2 1l EJ 1 3 2 2 1l EJ 1 +=× × +× × = )()(δ 47 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 M2=1 M3=1 5 3 33 3 23 EJ6 l 3 1 2 1l EJ 1 =× × = )(δ 48 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1l1 l2 l3 l4 l5 EJ1 EJ3 EJ4 EJ5 M2=1 33 33 22 22 3 3 3 32 2 2 2 p2 EJl b EJl a l b EJ 1 l a EJ 1 ωω ωω∆ +=+= EJ2 a2 b2 a2 b2 1 a3 b3 a3 b3 49 1 2 2 M EJ6 l 2 3 3 2 2 M EJ3 l EJ3 l )+( 3 3 3 M EJ6 l 33 33 22 22 EJl b EJl a ωω ++ + + =0 0 EJl b EJl a M EJ6 l M EJ3 l EJ3 l M EJ6 l 1i1i 1i1i ii ii 1i 1i 1i i 1i 1i i i i i i =+++++ ++ ++ + + + + + )()( )()( )( )( )( )( )( 1)-( )( ωω Tại gối 2 Tại gối i 1ii ll +, : chiều dài các nhịp ở hai bên gối i 1ii +ωω , ia 1ib + : diện tích biểu ñồ Mp ở trên nhịp thứ i và i+1o :Khoảng cách từ trọng tâm diện tích ñến gối trái nhịp thứ i, : K/c từ trọng tâm ñến gối phải nhịp i+1 iω 1i+ω 50 Nếu dầm có n bậc siêu tĩnh ( hay n gối trung gian ) ta viết viết ñược n phương trình ba mô men Chú ý: * Với dầm có ñộ cứng EJi = const , khi ñó phương trình ba mô men tại gối i có dạng 0 l b l a 6MlMll2Ml 1i 1i1i i ii 1i1iiiii =+++++ + ++ +++ )()( )( )()( )()(1)(i)1-( ωω 51 * Trường hợp dầm liên tục có ñầu thừa o 1 2 a b q P Qui về dầm liên tục ñơn giản o 1 2 PQo=qa 2 qa M 2 o -= -Pa=2M 52 * Trường hợp dầm liên tục có ñầu ngàm cứng o 1 2 Qui về dầm liên tục ñơn giản 1 2-1 3 o 3 lo ‡=EJ 53 e/.Vễ biểu ñồ Mp, Qp Mp = Mp +Mgo Mg : biểu ñồ mô men gối do các gối Mi gây ra trên hệ cơ bản Có biểu ñồ Mp ta suy ra biểu ñồ Qp 54 f/. Trình tự tính toán: Sau khi xác ñịnh bậc siêu tĩnh ( hay gối trung gian ) và chọn hệ cơ bản ta tiến hành các bước: + Bước 1: viết phương trình ba mômen cho các gối trung gian thứ i + Bước 2: Vẽ biểu ñồ Mp do tải trọng gây ra trên hệ cơ bản . ðể vẽ Mp xem mỗi nhịp như một dầm ñơn gian o o 55 + Bước 3: tính 1ii11i ba ++ ,,,ωω Nếu trường hợp biểu ñồ khó xác ñịnh diện tích và trọng tâm , ta chia nhỏ biểu ñồ trong mỗi nhịp thành những hình ñơn giản và áp dụng công thức sau: j1i n 1j j1i1i1i ij n 1j ijii bb aa )()( + = +++ = ×=× ×=× ‡” ‡” ωω ωω 56 + Bước 4: giải hệ phương trình ba mô men ñể xác ñịnh M1, M2, M3,,Mn. ðó là các mô men gối + Bước 5: Vẽ biểu ñồ mô men gối Mg. Trên trục hoành song song trục dầm, tại vị trí các gối thứ i ñặt các tung ñộ Mi ( ñã tính ở bước 4), nối các tung ñộ Mi ta ñược biểu ñồ Mg 57 + Bước 6: Vẽ biểu ñồ Mp = Mp+ Mgo + Bước 7: Vẽ biểu ñồ Qp 58 2m P=18kN q=2kN/m 6m 8m 2m P=18kN q=2kN/m 6m 8m M1 “HCB” EJ EJ 0 1 2 0 2 Ví du 1 59 2m P=18kN q=2kN/m 4m 8m M1 “HCB”0 1 2 24 16 MP o (2x2)/3 (2+4/3) b2=4 0 l b l a 6Mll2 2 22 1 11 121 =+++ )()( ωω 3 11 kNm192 3 4 2 2 244 3 22 2 242 a =+ × + ×× = ))(()(ω 3 22 kNm 3 4256 4816 3 2 b × =×××=ω 60 0 8 1 3 4256 6 192 6M862 1 =× × +++ )()( Suy ra: M1 = -16kNm 61 24 16 MP o b2=4 16 Mg 2m q=2kN/m 6m 8m “HCB” 0 1 2 P=18kN 16/3 8 18,67 16 8 9,33 10 8,67 6 Q 62 q=3kN/m 4m3m EJ 2EJ 0 1 2m Ví du 2 6m P=16kN 3m q=3kN/m 4m3m EJ 2EJ 0 1 6m P=16kN 3m M1 2 3 2 3 M3=-6 2EJ 2EJ 63 q=3kN/m 4m3m EJ 2EJ 0 1 6m P=16kN 3m M1 2 3 M3=-6 24 13,5 2EJ 7 2,5 6 20,5 7 2,5 9,25 6 Mpo Mg Mp Qp 6,82 9,17 1,75 8,42 9,58 6 M2 64 Ví dụ 3 q=2kN/m m=6kN.m P=8kN P=8kN 6m 4m 2m 4m 2m 0 1 2 3 0 1 2 3 -1 2EJ EJ 3EJ q=2kN/m Mo M1 M2 2EJ EJ 3EJ 6m 4m 2m 4m 2m 65 0 1 2 3 -1 q=2kN/mMo M1 M2 2EJ EJ 3EJ 6m 4m 2m 4m 2m 9 6 M=6kN.m P=8kN P 16 9,5 1,01 3,9 1,01 3,99,5 4,75 13,8 15,03 7,75 4,25 1,23 8,49 0,49 7,51 Mp Mg Mp Qp o 66