Phép tính vi phân của hàm số một biến số

hạn bởi đ−ờng cong Gioóc-đăng kín bất kỳ + Ta gọi là đ−ờng cong liên tục tập các điểm M(x,y) thoả mãn hệ ph−ơng trình ( ) ( ) x t y t ϕ ψ =⎧⎨ =⎩ , (α ≤ t ≤ β) trong đó ϕ(t) và ψ(t) là các hàm số liên tục trên [α, β]. Đ−ờng cong liên tục C đ−ợc gọi là đ−ờng cong Jooc-đăng nếu với 2 điểm bất kỳ t1 và t2 mà α ≤ t1 < t2 ≤ β (trừ tr−ờng hợp t1 = α, t2 = β) thì [ ] [ ]1 1 1 2 2 2( ), ( ) ( ), ( )M t t M t tϕ ψ ϕ ψ≠ Đ−ờng cong Jooc-đăng gọi là kín nếu ϕ(α) = ϕ(β); ψ(α) = ψ(β) Bài toán: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đ−ờng cong kín Jooc-đăng bất kỳ. Giả sử hình phẳng đó là S. Ta chia hình này thành các hình nhỏ bởi các đ−ờng thẳng theo 2 ph−ơng vuông góc với nhau. Mỗi hình nhỏ này đ−ợc giới hạn bởi các đoạn thẳng và một cung cong, ta gọi chúng là hình thang cong (nếu có một đáy thu về một điểm ta cũng coi nh− là hình thang cong) Ta chọn hệ toạ độ đề các vuông góc sao cho hình thang 86 cong đó đ−ợc giới hạn bởi đ−ờng cong AB có ph−ơng trình y = f(x) (trong đó f(x) liên tục và không âm) trục hoành ox uur , và 2 trung tuyến x = a, x = b. Ta chia đoạn [a,b] thành hữu hạn các đoạn nhỏ bởi các điểm chia a ≡ x0 < x1 <..< xn ≡ b (1) gọi mỗi phép chia này là phép phân hoạch π. Trên mỗi đoạn Δk = [xk+1, xk] (k = 1,n) ta lấy điểm ξk bất kỳ. Khi hàm số f(x) không đổi trên đoạn Δk thì trên đoạn này giá trị của hàm số là f(ξk) và diện tích của hình thang cong là f(ξk)(xk- xk+1). Trong tr−ờng hợp tổng quát, nếu đoạn Δk rất nhỏ ta sẽ coi f(ξk)(xk-xk+1) là giá trị gần đúng của diện tích Sk hình thang cong PQSR: Sk ≈ f(ξk)(xk-xk+1) Gọi S là diện tích của hình thang cong Abba thì S =∑ = n k kS 1 ≈ f(ξk)(xk-xk+1) = S* Nếu ta chọn phép phân hoạch π sao cho: d(π) = max(xk-xk+1) càng nhỏ thì mỗi hình thang cong con PQSR càng gần trùng với hình chữ nhật có đáy là Δk và chiều cao là f(ξk). Khi đó số S là diện tích của hình thang cong đã cho nếu ứng với ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi phép phân hoạch π mà d(π) < δ và với mọi cách chọn điểm ξk ta đều có 1 1 ( )( ) n k k k k f x x Sξ ε− = − − <∑ hay * 1( ) 0 ( ) 0 1 lim lim ( )( ) n k k k d d k S S f x xπ π ξ −→ → = = = −∑ Từ vẫn đề tích phân giới hạn trên là nghiệm nhân dấu đến đủ về thời gian xác định. 1.2. Định nghĩa tích phân xác định. Cho hàm số f(x) xác định trên [a, b]. Mỗi họ n+1 điểm chia x0, x1 xn, thoả mãn tính chất a ≡ x0 < x1 <..< xn ≡ b, gọi là phép phân hoạch của đoạn [a,b] và ký hiệu là π, trong đó xk gọi là các điểm chia (k = 0,...,n). 87 Trong mỗi đoạn [xk+1, xk] ta chọn điểm ξk bất kỳ (0 ≤ k ≤ n) rồi thiết lập tổng { }( ) ∑ = −−= n k kkkk xxff 1 1 ))((,, ξξπσ gọi là tổng tích phân của hàm số f(x) t−ơng ứng với phép chia π và họ các điểm ξk. Với mỗi phép phân hoạc π, ta đặt d(π) = 1 0 max ( )k k k n x x −≤ ≤ − . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn { }( ) ( ) 0 lim , , k d I fπ σ π ξ→= không phụ thuộc vào cách chia [a,b] và cách chọn điểm ξk thì ta gọi giá trị giới hạn đó là tích phân xác định của hàm số g(x) trên [a,b] và ký hiệu là ( ) b a f x dx∫ . Khi đó ta nói hàm số f(x) khả tích trên [a,b], f(x) là hàm d−ới dấu tích phân, f(x) là biểu thức d−ới dấu tích phân, a là cận d−ới và b là cận trên. Chú ý. 1. Tích phân xác định đôi khi ng−ời ta gọi là Rieman, kí hiệu R[a,b] là họ tất cả các hàm khả tích Rieman trong đoạn [a,b]. 2. Ta quy −ớc ( ) ( ) a b b a f x dx f x dx= −∫ ∫ và ( ) 0 a a f x dx =∫ nếu f(x) xác định tại điểm a. 3. Giả sử trong hình thang cong T đ−ợc giới hạn bởi trục ox, đ−ờng cong y = f(x) và đ−ờng thẳng x = a, x = b. Giá trị 1( )( )k k kf x xξ −− trong tổng tích phân chính là diện tích hình chữ nhật có một cạnh 1( )k kx x −− và một cạnh là ( )kf ξ . Suy ra tổng tích phân là tổng diện tích của n hình chữ nhật, khi d(π)→ 0 thì tổng diện tích { }( ), , kfσ π ξ dẫn đến diện tích S(T) của hình thang cong T. Ta có S(T) = ( ) b a f x dx−∫ 88 Do đó S(T) = ∫ b a dxxf )( Định lý. 3.7. Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên [a,b] thì nó phải bị chặn trên đoạn này. Chứng minh. Giả sử hàm số y = f(x) không bị chặn trên [a,b]. Gọi π là phép phân hoạch nào đó đoạn [a,b]. Rõ ràng y = f(x) không bị chặn trên một đoạn nào đó Δk = [xk-1, xk] của đoạn [a,b] trong phép phân hoạch π. Vì vậy, với cách chọn điểm ξk thích hợp, ta có thể là cho | )( kf ξ | lớn tuỳ ý. Do đó có thể làm tăng 1 1 ( )( ) n k k k k f x xξ − = −∑ (*) lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt đối ⇒ tổng tích phân (*) không thể có giới hạn hữu hạn ⇒ hàm số y = f(x) không khả tích trên đoạn [a,b], mâu thuẫn giả thiết. Định lý đ−ợc chứng minh. Chú ý. 1. Hàm số không bị chặn trên [a,b] ⇒ không khả tích trên đoạn đó. Ví dụ. f(x) = 1/ (0,1] 0 0 x với x với x ∈⎧⎨ =⎩ không bị chặn trên [0,1] => nó không khả tích trên đoạn đó. 2. Định lý 3.7 không là điều kiện đủ. Một hàm số bị chặn trên [a,b] ch−a chắc khả tích trên đoạn đó. Ví dụ. D(x) = 0 (0,1] 1 \ (0,1] với x với x ∈ ∩⎧⎨ ∈ ∩⎩ , D(x) hiển nhiên bị chặn trên [0,1] Trong mỗi đoạn [xk-1, xk] ⊂ [0,1] ứng với phép phân hoạch π, ta sẽ có 1 n k D = ∑ (ξk)(xk - xk-1) = 1 nếu ξ hữu tỷ ∈[0,1] 1 n k D = ∑ (ξk)( xk - xk-1) = 0 nếu ξ vô tỷ ∈ [0,1] 89 Khi d(π ) → 0 ⇒ 1 n k D = ∑ (ξk) ( xk - xk-1) → 1 với ∀ξk hữu tỷ ∈[0,1] 1 n k D = ∑ (ξk)(xk - xk-1) → 0 với ∀ξk vô tỷ ∈ [0,1] ⇒ ∃ ( ) 0 lim d π → 1 n k D = ∑ (ξk)(xk - xk-1) ⇒ hàm số y = D(x) không khả tích trên [0,1] 2. Điều kiện khả tích 2.1. Tổng Đacbu. Giả sử hàm số y = f(x) bị chặn trên [a, b]. Gọi M và m là cận trên đúng và cận d−ới đúng của hàm số y = f(x) trên [a,b]. Ta có m ≤ f(x) ≤ M. Trên [a,b] ta thực hiện phép phân hoạch π bởi các điểm a = x0 <x1 <... < xn = b, Δk = [xk-1, xk] và kí hiệu Δk là độ dài của đoạn đó, Mk và mk là cận trên đúng và cận d−ới đúng của hàm số f(x) trên Δk (1 ≤ k ≤ m) Ta gọi tổng S (π) = 1 n k k M = ∑ Δk ,s(π) = 1 n k k m = ∑ Δk lần l−ợt là tổng Đacbu trên (tổng trên) và tổng Đacbu d−ới (tổng d−ới) của hàm số f(x) ứng với phép phân hoạch π. Tính chất 1. Tổng tích phân bất kỳ đối với phép phân hoạch π bao gồm giữa tổng trên và tổng d−ới của phép phân hoạch này (s(π) ≤ δ(f, π,{ξk}) ≤ S(π). 2. Tổng trên (hoặc tổng d−ới) của phép phân hoạch π là cận trên (hoặc cận d−ới) đúng của tập hợp mọi tổng tích phân ứng với phép phân hoạch này S(π) = sup δ(f, π, {ξk}), s(π) = inf δ(f, π, {ξk}), ξk ∈( xk-1, xk). 3. Nếu ta thêm vào phép phân hoạch π mới những điểm chia mới thì tổng trên không tăng và tổng d−ới không giảm. 4. Tổng Đacbu d−ới của 1 phép phân hoạc bất kỳ đều nhỏ hơn tổng Đacbu trên của phép phân phân hoạc bất kỳ khác. 90 5. Đặt * sup{ ( )}I sπ π= , * inf{ ( )}I Sπ π= , thì s(π) ≤ I* ≤ I *≤ S(π) ứng vợi mội phép phân hoạch π bất kỳ số IA (hoặc I*) gọi là tích phân d−ới (hoặc trên) của hàm số f(x) trên [a,b]. 2.2. Tiêu chuẩn khả tích Định lý 3.8. Cho hàm số y = f(x) bị chặn trên [a,b]. Điều kiện cần và đủ để hàm số khả tích là ( ) 0 lim d π → (S(π) - s(π)) = 0 Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử tồn tại tích phân I = ( ) b a f x dx∫ . Khi đó ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi phép phân hoạch π mà d(π) < δ với mọi cách chọn ξk ∈ Δk,, ta có⏐σ - I⏐ < ε hay I - ε < σ < I + ε. Vì các tổng trên S và tổng d−ới s là cận trên đúng và cận d−ới đúng của tập các tổng tích phân {σ} cho nên I - ε < s ≤ S < I + ε. ⇒ ( ) 0 lim d π → s = I, ( ) 0limd π → S = I ⇒ ) ( ) 0limd π → (S – s) = 0. Điều kiện đủ: Giả sử ta có ( ) 0 lim d π → (S - s) = 0 Từ tính chất 5 => I* = I * = I. Ta có s ≤ I ≤ S (1) Nếu gọi σ là một tổng tích phân ứng với phép phân hoạch π (là phép phân hoạch của S và s) thì s ≤ σ ≤ S (2) (tính chất 1) Vì ( ) 0 lim d π → (S - s) = 0 nên ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ⏐S - s⏐< ε nếu d(π) < δ Từ (1) và (2) ta có ⏐σ - I⏐< δ ⇒ ( ) 0 lim d π → δ = I ⇒ hàm số f(x) khả tích trên [a,b] 91 3. Các lớp hàm khả tích Định lý 3.9. Mọi hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đó. Chứng minh. Theo định lý Canto, hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a,b], cho nên liên tục đều trên đoạn này. Nghĩa là ∀ ε > 0, ∃δ > 0 sao cho x1, x2 ∈ [a,b] :⏐x2 - x1 ⏐< δ ⇒ ⏐f(x2) - f(x1)⏐ < ε. Giả sử phép phân hoạch π đoạn [a,b] sao cho d(π) < δ. Vì f(x) liên tục đoạn [xi, xi+1] cho nên nó đạt cận trên đúng Mi và cận d−ới đúng mi trên đoạn đó, tức là tồn tại ϕi' , ϕi'' ∈ [xi, xi+1] sao cho f(ϕi'') = Mi, (ϕi') = mi. Vì ϕi', ϕi'' ∈ [xi,xi+1] ⇒ | ϕi'' - ϕi' |< δ do đó ⏐f(ϕi'') - f(ϕi')⏐ < εn - 1 Vì vậy 1 0 n i Wi − = ∑ (xi+1- xi) = 1 0 [ n i − = ∑ f(ϕi'') - (ϕi')]. Δi < ε 1 0 n i i − = Δ∑ = ε(b - a). Vì ε > 0 nhỏ tuỳ ý cho nên y = f(x) khả tích trên [a,b]. Đính lý 3.10. Nếu hàm số bị chặn y = f(x) trên [a,b] chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn thì y khả tích trên đoạn này. Chứng minh. Giả sử y = f(x) gián đoạn tại các điểm a < α1 < α2 ... < αr < b. Cho ε > 0 nhỏ tuỳ ý sao cho các khoảng (αi - ε, αi + ε) (1 ≤ i ≤ r) không giao nhau. Trên mỗi đoạn [αi -1 - ε, αi + ε] (i = 1, .., r + 1), a = α0 , b = αr +1 hàm số y = f(x) liên tục cho nên nó khả tích. Vì vậy ε > 0, ta tìm đ−ợc số δi > 0 ứng với các đoạn [αi-1+ε, αi - ε] sao cho dao độ của hb trên mỗi đoạn nằm trên [αi-1 + ε, αi - ε] và có độ dài bé hơn δi đều nhỏ hơn ε. Rõ ràng δi nói chung khác nhau. Vì [αi-1+ ε,αi - ε] có số các đoạn là hữu hạn cho nên ∃δ = min{ δi} Giả sử phép phân hoạch π thoả mãn d(π) < δ. Ta phân chia các đoạn Δk trong phép phân hoạch này thành 2 loại. 1) Loại 1 gồm những đoạn hoàn thành thuộc vào các đoạn [αi-1+ε, αi - ε], 1≤ i ≤ r +1. 92 2) Loại 2 gồm những đoạn có điểm chung với các khoảng [αi - ε, αi + ε], 1 ≤ i ≤ r . Ta lập tổng t−ơng ứng / // 1 1 1 n n n k k k k k k k k k w w w = = = Δ = Δ + Δ∑ ∑ ∑ , trong đó ∑’ trải qua khắp đoạn loại 1, ∑” trải qua khắp đoạn loại 2. Vì d(π) < δ cho nên đối với đoạn loại 1 bất kỳ Δk , ta đều có wk < ε. Từ đó / / 1 1 1 ( ) n n n k k k k k k k k w w b aε ε ε = = = Δ < Δ ≤ Δ = −∑ ∑ ∑ (1) + Hợp các đoạn loại 2 có điểm chung với [αi - ε, αi + ε] là một đoạn có độ dài bé hơn 2ε + 2δ (vì chúng nằm trên [αi - ε - δ, αi + ε + δ], ta có r khoảng dạng (αi - ε, αi + ε) cho nên tổng độ dài tất cả các đoạn loại 2 không lớn hơn 2r(ε + δ). Ta chọn δ < ε lúc đó tổng độ dài các đoạn loại 2 không lớn hơn 4rε. Hiển nhiên Mk - mk ≤ M – m cho nên // 1 n k k k w = Δ∑ ≤ (M – m) // 1 n k k= Δ∑ ≤ 4r(M – m)ε (2) Từ (1) và (2) ta có // 1 n k k k w = Δ∑ < ε[b – a + 4(M – m)r] (3) nên d(π) < δ (δ < ε). Vì ε > 0 nhỏ tuỳ ý, [b- a+ 4(M- m)r] là hằng số nên ( ) 0 lim d π → 1 n k k k w = Δ∑ = 0 ⇒ y = f(x) khả tích trên [a, b]. Định lý 3.11. Nếu hàm số y = f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]. 93 Chứng minh. Giả sử y = f(x) đơn điệu tăng trên đoạn [a, b]. Khi đó dao độ của nó trên Δi sẽ là wi = f(xi) – f(xi – 1). Với ε > 0 nhỏ tuỳ ý ta chọn ( ) ( )f b f a εδ = − khi đó với mọi phép phân hoạch π sao cho d(π) < δ ta có 1 n k k k w = Δ∑ < δ 1 1 [ ( ) ( )] n i i k f x f x − = −∑ = δ[f(b) – f(a)] = ε ⇒ ( ) 0 lim d π → 1 n k k k w = Δ∑ = 0. ⇒ y = f(x) khả tích trên [a, b]. 4. Tính chất của tích phân xác định Định lý 3.12. Nếu hàm số y = f(x) = c (c = const), ∀x ∈ [a, b] thì nó khả tích trên [a, b] và ( ) . b b a a f x dx c dx=∫ ∫ = c(b – a). Chứng minh. Đối với phép phân hoạch π bất kỳ ta có σ = 1 1 ( )( ) n i i i i f x xξ − = −∑ = 1 1 . ( ) n i i i c x x − = −∑ = c(b – a), ξi ∈ [xi - 1, xi] ⇒ 0 lim dπ → σ = c(b – a) Định lý 3.13. Nếu các hàm số f(x) và g(x) khả tích trên [a, b] thì f(x) ± g(x) khả tích trên [a, b]. Chứng minh. Gọi π là phép phân hoạch bất kỳ. Ta lấy điểm tuỳ ý ξi ∈ Δi và lập tổng tích phân đối với f(x) ± g(x) 1 [ ( ) ( )]. n i i i i f gξ ξ = + Δ∑ = 1 ( ). n i i i f ξ = Δ∑ ± 1 ( ). n i i i g ξ = Δ∑ 94 Vì f(x) và g(x) khả tích nên 1 ( ). n i i i f ξ = Δ∑ và 1 ( ). n i i i g ξ = Δ∑ có giới hạn hữu hạn khi dπ → 0. Ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.14. Nếu hàm số f(x) và g(x) khả tích trên [a, b], α = const bất kì thì α.f(x) khả tích trên [a, b] và . ( ) . ( ). b b a a f x dx f x dxα α=∫ ∫ . Chứng minh. Lập tổng tích phân của các hàm f(x) và α.f(x) ứng với phép phân hoạch π ta có 1 . ( ). n i i i fα ξ = Δ∑ = α. 1 ( ). n i i i f ξ = Δ∑ . Ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.15. Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên mỗi đoạn [a, c], [c, d] (a <c <d) thì nó khả tích trên [a, b] và ( ) ( ). ( ). b c b a a c f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ . Chứng minh. Tr−ớc hết ta chứng minh f(x) khả tích trên [a, b] Dùng phép phân hoạch π về lập tổng 1 . n i i i w = Δ∑ . Nếu trong phép phân hoạch ta lấy c làm điểm chia ta có 1 . n i i i w = Δ∑ = ∑1 + ∑2, trong đó ∑1, ∑2 là tổng tích phân trên [a, c], [c, b]. Vì ∑1 → 0, ∑2 → 0 khi d(π) → 0 nên 1 . n i i i w = Δ∑ → 0 95 Nếu c không phải là 1 điểm chia trong phép phân hoạch π thì lúc thêm c vào phép phân hoạch này ta chỉ thay 1 số hạng trong 1 . n i i i w = Δ∑ bởi hai số hạng dần tới 0 khi d(π) → 0, ta vẫn có 1 . n i i i w = Δ∑ → 0. Suy ra f(x) khả tích trên [a,b] Ta chứng minh ( ) ( ). ( ). b c b a a c f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ Ta lập phép phân hoạch π đoạn [a, b], c là 1 trong những điểm chia, lập tổng tích phân trên [â, b], [a, c] và [c, b]. Kí hiệu là ∑f(ξi).Δi, ∑1 f(ξi).Δi, ∑2 f(ξi).Δi. Rõ ràng ∑f(ξi).Δi = ∑1 f(ξi).Δi + ∑2 f(ξi).Δi. Chuyển qua giới hạn khi d(π) → 0. Ta có điều phải chứng minh. Hệ quả. Nếu a < a1 < ... < an < b và f(x) khả tích trên [a, a1], [a1, a2], ..., [an, b] thì nó khả tích trên [a, b] và 1 ( ) ( ). ... ( ). n ab b a a a f x dx f x dx f x dx= + +∫ ∫ ∫ Định lý 3.16. Nếu f(x) ≤ g(x), (a ≤ x ≤ b) và f(x), g(x) khả tích trên [a, b] thì ( ) ( ). b b a a f x dx g x dx≤∫ ∫ Chứng minh. Ta có ∑f(ξi).Δi ≤ ∑g(ξi).Δi đối với phép phân hoạch bất kì. Ta có điều phải chứng minh. Định lý 3.17. Nếu f(x) khả tích trên [a, b], m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], M, m là hằng số thì m(b – a) ≤ ( ) b a f x dx∫ ≤ M(b – a). Chứng minh. áp dụng định lý 3.12 và định lý 3.16. Định lý 3.18. 96 a) Nếu y = f(x) khả tích và không âm trên [a, b] thì ( ) b a f x dx∫ ≥ 0. b) Nếu y = f(x) khả tích và d−ơng trên [a, b] thì ( ) b a f x dx∫ > 0. Chứng minh. a) Chứng minh dựa vào định lý 3.16. b) Chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ( ) b a f x dx∫ = 0. Khi đó tổng Đácbu trên dần tới 0 khi dπ → 0. Lấy dãy giảm {εn}, εn > 0, lim n→∞εn = 0. Với ε1 > 0 ta có thể làm cho tổng này nhỏ hơn ε1(b – a). Từ đó suy ra có ít nhất 1 cận trên đúng M < ε1 hay ∃[a1, b1] ⊂ [a, b] sao cho f(x) < ε1, ∀x ∈ [a1, b1]. Ta có 1 1 ( ) b a f x dx∫ = 0. Thật vậy vì ( ) b a f x dx∫ = 1 ( ) a a f x dx∫ + 1 1 ( ) b a f x dx∫ + 1 ( ) b b f x dx∫ mà 1 ( ) a a f x dx∫ ≥ 0, 1 ( ) b b f x dx∫ ≥ 0 nên 0 ≤ 1 1 ( ) b a f x dx∫ ≤ ( ) b a f x dx∫ = 0. T−ơng tự [a1, b1] ta tách ra [a2, b2] sao cho f(x) < ε2, ∀x ∈ [a2, b2]. Suy ra ta đ−ợc 1 dãy các đoạn thắt {[an, bn]} trong đó 0 < f(x) < εk với ak ≤ x ≤ bk (k = 1, 2, ...) Do đó ∃! c ∈ [ak, bk] sao cho 0 < f(c)< εk, k =1, 2, ..., mâu thuẫn vì εk→ 0 97 Định lý 3.19. Nếu y = f(x) khả tích trên [a, b] thì hàm số ⏐y⏐ = ⏐f(x)⏐ cũng khả tích trên [a, b] và ⏐ ( ) b a f x dx∫ ⏐ ≤ ( ) b a f x dx∫ . Chứng minh. Dựa vào định nghĩa tích phân xác định. Định lý 3.20. (Định lý giá trị trung bình). Nếu hàm số y = f(x) khả tích trên [a, b] và nếu m ≤ f(x) ≤ M thì tồn tại μ thoả mãn bất đẳng thức m ≤ μ ≤ M sao cho ( ) b a f x dx∫ = μ(b – a). Chứng minh. Ta có m(b – a) ≤ ( ) b a f x dx∫ ≤ M(b – a) ⇒ m ≤ 1 b a− . ( ) b a f x dx∫ ≤ M Đặt μ = 1 b a− . ( ) b a f x dx∫ ta suy ra điều phải chứng minh. Chú ý. Đặc biệt y = f(x) là hàm số khả tích trên [a, b]. Theo định lý Bônxanô Côsi I suy ra ∃c ∈ [a, b] sao cho f(c) = μ, m ≤ μ ≤ M, m = minf(x), M = maxf(x). Do đó ( ) b a f x dx∫ = f(c).(b – a). ý nghĩa hình học. Nếu y = f(x) liên tục, không âm trên [a, b], diện tích hình thang cong ABCD là ( ) b a f x dx∫ . Diện tích đó bằng diện tích của M E F C D A B O a b c 98 hình chữ nhật ABEF có chung đáy b – a với diện tích hình thang cong và có 1 chiều là f(c). Định lý 3.21. Nếu các hàm số f(x) và g(x) thoả mãn 1) f(x) và g(x) khả tích trên [a, b] 2) m ≤ f(x) ≤ M 3) g(x) không đổi dấu trên [a, b] Thì ∃μ ∈ [m, M] sao cho ( ). ( ) b a f x g x dx∫ = μ. ( ) b a g x dx∫ Chú ý. Theo định nghĩa tích phân xác định ( ) b a f x dx∫ chỉ phụ thuộc vào hàm số f các cận a và b, không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số. Tức là ( ) b a f x dx∫ = ( ) b a f u du∫ = ( ) b a f t dt∫ 5. Mối liên hệ giữa tích phân xác định và nguyên hàm Giả sử y = f(x) là một hàm số khả tích trên [a, b] và a x b≤ ≤ . Thế thì hàm số f(x) cũng khả tích trên [a, x] và tích phân của nó trên đoạn này là ( ) x a f x dx∫ , ta dùng kí hiệu ( ) x a f u du∫ (*) Cận d−ới a là hằng số còn cận trên x của nó là một giá trị xác định nh−ng đ−ợc lấy tuỳ ý trên [a, b]. [ ],x a b∀ ∈ , tích phân (*) có một giá trị hoàn toàn xác định, suy ra nó cho ta một hàm số (xác định trên[a, b]) gọi là lân cận trên của tích phân xác định. Định lý 3.22. Nếu hàm số f(x) khả tích trên [a, b] và liên tục tại một điểm nào đó [ ],x a b∈ thì hàm số ( ) ( )x a F x f u du= ∫ khả vi tại x và F’(x) = f(x). 99 Chứng minh.Giả sử a x b≤ đủ nhỏ sao cho x x b+ Δ ≤ . Khi đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x a x x a a x a F x x F x f u du f u du f u du f u du +Δ +Δ + Δ − = − = +∫ ∫ ∫ ∫ ( ) x x x f u du +Δ = ∫ (1) Vì hàm số f khả tích tại điểm x cho nên với mỗi số 0ε > cho tr−ớc nhỏ tuỳ ý, ta sẽ có ( ) ( )f u f x ε− < tức là ( ) ( ) ( )f x f u f xε ε− < < + nếu xΔ đủ nhỏ và x u x x≤ ≤ + Δ => ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) x x x x x x a x a f x du f u du f x duε ε +Δ +Δ +Δ − ≤ ≤ +∫ ∫ ∫ Vì vậy từ (1) ta có 1 ( ) ( ) 1( ( ) ) ( ( ) ) x x x x a a F x x F xf x du f x du x x x ε ε +Δ +Δ+ Δ −− ≤ ≤ +Δ Δ Δ∫ ∫ Trong hai tích phân trên, hàm số d−ới dấu tích phân không phụ thuộc vào biến số tích phân u, cho nên có thể đ−a nó ra ngoài dấu tích phân. Do đó ( ) ( )( ) ( )F x x F xf x f x x ε ε+ Δ −− ≤ ≤ +Δ Chuyển qua giới hạn ( xΔ đủ nhỏ, 0ε > nhỏ tuỳ ý) ta có 0 ( ) ( )lim ( )+Δ → + Δ − =Δx F x x F x f x x (2) 0 ( ) ( )lim ( )−Δ → + Δ − =Δx F x x F x f x x (3) với a x b≤ ≤ . 100 Từ (2), (3) cho ta hàm số F(x) có đạo hàm tại x và F’(x) = f(x). Trong tr−ơng hợp ,x a x b= = , ta có đạo hàm một phía ' 0 ( ) ( )( 0) lim ( )+Δ → + Δ −+ = =Δx F a x F aF a f a x ' 0 ( ) ( )( 0) lim ( )−Δ → + Δ −− = =Δx F b x F bF b f b x Định lý 3.23. Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a, b] thì hàm số ( ) ( ) x a F x f u du= ∫ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn này. Định lý 3.24. Nếu ( )xφ là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a, b] thì ( ) ( ) ( ) b a f x dx b aφ φ= −∫ (Công thức Niutơn – Lepnit). Chứng minh. Giả sử ( )xφ là 1 nguyên hàm nào đó của hàm số f(x) trên [a, b] => ( ) ( )x F x Cφ − = , C là hằng số => ( ) ( )x F x Cφ = + (1) Thay x = a vào (1) ( ) ( )a F a C Cφ = + = ( ( ) ( ) 0 a a F a f u du= =∫ ) Thay x = b vào (1): ( ) ( )b F b Cφ = + => ( ) ( ) ( ) ( ) b a F b f u du b aφ φ= = −∫ Chú ý: Dùng Ký hiệu ( ) ( ) ( )bax b aφ φ φ= − . Ví dụ: Tính 1 2 0 1 dx x+∫ . Vì ( )x arctgxφ = là nguyên hàm của 21 dxx+∫ ⇒ 1 2 0 1 dx x+∫ = 10 1 0 4arctgx arctg arctg Π= − = . 101 Tính 2 32 3 2 3 1 1sin 0 3 2 2 2 xdx cos cos cos cos π ππ π π π π π= − = = − = − =∫ 6. Các ph−ơng pháp tính tích phân xác định 6.1. Ph−ơng pháp đổi biến số Định lý 3.25. Giả sử i) Hàm số f(x) liên tục trên [ ],a b ii) ( )x tϕ= là hàm số khả vi liên tục trên [ ],a b với ( )a t bϕ≤ ≤ và ( ) aϕ α = , ( ) bϕ β = . Khi đó ( ) ( ( )) ( ) b a f x dx f t t dt β α ϕ ϕ′=∫ ∫ . Chứng minh.Vì , ,f ϕ ϕ′ là những hàm số liên tục, cho nên tồn tại nguyên hàm ( )F x và ( )G t của hàm số ( )f x và ( ( )) ( )f t tϕ ϕ′ t−ơng ứng. Theo ph−ơng pháp thế trong tích phân không xác định thì ( ) ( ( ))G t F tϕ= (1) Mặt khác áp dụng công thức Niu tơn – Lépnit ta đ−ợc ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= −∫ (2) ( ( )) ( ) ( ) ( )f t t dt G G β α ϕ ϕ β α′ = −∫ (3) Từ ii), (1), (3) ta suy ra điều phải chứng minh Ví dụ. Tính: a) 2 0 sin 1 x xdxI cos x π = +∫ Đặt x tπ= − ⇒ dx = - dt 102 0 2 ( )sin( )( ) 1 ( ) t t dtI cos tπ π π π − − −= + −∫ = 2 2 2 0 0 0 ( )sin sin sin 1 1 1 t tdt tdt t tdt cos t cos t cos t π π ππ π− = −+ + +∫ ∫ ∫ 2 0 (cos ) 1 cos d t I t π π −= −+∫ => 2 2 00 (cos ) (cos ) 2 1 cos 2 4 d tI arctg t t πππ π π= − = − =+∫ b) 4 0 (1 sin ) cosxdxI x π = +∫ Đặt 1 sint x= + ⇔ sin 1x t= − arcsin( 1)x t= − => cosdt xdx= . => 22 3 4 1 1 7 3 24 dt tI t − = = − =∫ c) 4 0 sin cosxdxI x cosx π = +∫ và 4 0 sin sin xdxJ x cosx π = +∫ . Tính I và J bằng cách liên kết 4 4 4 0 0 0 sin sin 4 cosx xI J dx dx x x cosx π π π π++ = = = =+∫ ∫ (1) 4 0 sin sin cosx xI J dx x cosx π −− = +∫ Đặt cos sinu x x= + => (cos sin )du x x dx= − => 2 2 1 1 ln ln 2duI J u u − = = =∫ (2) 103 Từ (1) và (2) 4 ln 2 I J I J π⎧ + =⎪⎨⎪ − =⎩ ⇔ 1 1ln 2 ln 2 8 2 8 4 1 1ln 2 ln 2 8 2 8 4 I J π π π π ⎧ = + = +⎪⎪⎨⎪ = − = −⎪⎩ 6.2. Ph−ơng pháp tích phân từng phần Định lý 3.26. Giả sử hàm số u = f(x) và v = g(x) có các đạo hàm ( )u f x′ ′= và ( )v g x′ ′= liên tục trên [ ],a b . Khi đó b bba a a udv uv vdu= −∫ ∫ hay ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′= −∫ ∫ b b b a a a f x g x dx f x g x f x g x dx Chứng minh. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′= −∫ ∫ b b a a f x g x dx f x g x f x g x dx . Gọi H(x) là nguyên hàm của ( ) ( )′∫ b a f x g x dx => ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ = −∫ b b b a a a f x g x dx f x g x H x = ( ) ( ) ( ) ( )′− ∫ b b a a f x g x f x g x dx . Ví dụ. a) Tính 3 2 0 sinx xdxI cos x π = ∫ Đặt u x= => du = dx 2 sin xdxdv cos x = => 1 cos v x = 104 3 3 33 2 00 0 0 sin ln ( ) cos 2 43 3 x xdx x dx xI tg cos x x cosx cos π π ππ π π π= = − = − +∫ ∫ = 2 2 5ln ( ) ln ln( ) 3 6 4 4 3 12 tg tg tgπ π π π π π− + + = − . b) Tính 1 2 0 ln(1 )I x x dx= +∫ Đặt 21 x t+ = => 2dt xdx= và khi 0 1 x x =⎧⎨ =⎩ => 1 2 t t =⎧⎨ =⎩ 1 2 0 ln(1 )I x x dx= +∫ = 2 1 1 ln 2 tdt∫ . Tính 2 1 ln tdt∫ bằng ph−ơng pháp tích phân từng phần 2 1 ln tdt∫ = 221 1 ln 2ln 2 1t t dt− = −∫ => 1ln 2 2I = − . c) 1 2 0 52xI x e dx e −= = −∫ Chú ý: Khi dùng ph−ơng pháp đổi biến số có chú ý sau * Đặt t = ϕ(x) thoả mãn các điều kiện: - ϕ(x) biến thiên đơn điệu (liên tục, hàm đơn trị) trên [a, b] và có đạo hàm liên tục. - f(x)dx trở thành g(t)dt, trong đó g(t) là một hàm liên tục trong ϕ(a)≤ t ≤ ϕ(b) thì ( ) ( ) ( ) ( ) bb a a f x dx g t dt ϕ ϕ =∫ ∫ . * Hàm t = ϕ(x) phải biến thiên đơn điệu trên [a, b]vì có thể xảy ra ϕ(a) = ϕ(b). Ví dụ. 105 * 1 2 1 1 2 (2 1) n x xI x e dx+ − − = −∫ Đặt u = x – x2, u không phải là hàm đơn trị trên [0,1] , u(0) = u(1) = 0 phép đặt sai. * 1 2 11 dx I t− = +∫ Đặt 1x t = hàm số 1x t = gián đoạn tại t = 0 [ ]1,1∈ − * 2 0 1 sin π = +∫ dxI t . Đặt t = tgx , [ ]0,x π∈ không là hàm số đơn trị phép đặt sai. 7. ứng dụng của tích phân xác định 7.1. Tính độ dài đ−ờng cong phẳng 7.1.1. Định nghĩa. Cho đ−ờng cong y = f(x) xác định trên [a, b]. Chia [a, b] bởi phép phân hoạch π ( 0 1 ... na x x x b≡ < < < ≡ ) bởi các điểm chia x0, x1, ... xn. ( , ( ))i i iM x f x . Gọi G(D) là đ−ờng gấp khúc nối 0M , 1M , ..., nM và L(D) là độ dài của nó. d(π) = (xi - xi-1). Khi d(π) càng nhỏ thì đ−ờng gấp khúc G(D) càng gần đ−ờng cong y = f(x), ta gọi độ dài của đ−ờng cong y = f(x) trên [a, b] là giá trị giới hạn ( ) 0 lim ( ) d L L Dπ →= . 7.1.2. Cách tính. Trong hình học giải tích ta biết 2 21 1 1 ( ) ( ) ( ( ) ( )) n i i i i i L D x x y x y x− − = = − + −∑ . Hàm số f(x) khả vi liên tục trên [a, b] thì khả vi, liên tục trên [xi-1, xi] (i= 1,..,n) . áp dụng định lí Lagrăng ta có f(xi) - f(xi-1) = 1( )( )i i if x xξ −′ − với [ ]1,i i ix xξ −∈ ⇒ L(D) = 21 1 ( ) 1 ( ) n i i i i x x f x− = ′− +∑ (*) 106 Đặt 2( ) 1 ( )i ifϕ ξ ξ′= + thế thì (*) là tổng tích phân của hàm số 21 ( )f x′+ trên [a,b]. Do đó ( ) 0 l