Phân tinhs tính bất định và độ tin cậy của hệ thống niuồn nước

166 CH¦¥NG 5 Ph©n tÝch tÝnh bÊt ®Þnh vµ ®é tin cËy cña hÖ thèng nguån n­íc §iÒu ®Çu tiªn trong th¶o luËn rñi ro vµ ®é tin cËy cho thiÕt kÕ hÖ thèng nguån n­íc lµ nhËn d¹ng tÝnh bÊt ®Þnh vµ c¸c thµnh phÇn liªn quan kh¸c nh­ x¸c suÊt vµ tÝnh ngÉu nhiªn. TÝnh bÊt ®Þnh cã thÓ ®­îc ®Þnh nghÜa mét c¸ch ®¬n gi¶n lµ sù xuÊt hiÖn cña c¸c biÕn cè n»m ngoµi sù kiÓm so¸t cña chóng ta. TÝnh bÊt ®Þnh cña mét hÖ thèng nguån n­íc lµ mét ®Æc tr­ng kh«ng thÓ x¸c ®Þnh vµ n»m ngoµi nh÷ng kiÓm so¸t cña chóng ta. Trong viÖc thiÕt kÕ c¸c hÖ thèng nguån n­íc, c¸c quyÕt ®Þnh ph¶i ®­îc ®­a ra ®ång thêi víi sù tån t¹i cña nhiÒu lo¹i bÊt ®Þnh kh¸c nhau. 5.1. Tæng quan vÒ lý thuyÕt x¸c suÊt Trong môc nµy chóng t«i tr×nh bµy tãm t¾t vÒ mét sè nguyªn lý vµ lý thuyÕt c¬ b¶n trong x¸c suÊt thèng kª cã Ých cho ®¸nh gi¸ ®é tin cËy cña c¸c hÖ thèng nguån n­íc. C¸c ­íc l­îng b»ng sè vÒ ®é tin cËy cho c¸c hÖ thèng nguån n­íc ®ßi hái sö dông c¸c m« h×nh x¸c suÊt thèng kª. 5.1.1. C¸c thuËt ng÷ Trong lý thuyÕt x¸c suÊt, mét phÐp thö nãi chung biÓu thÞ qu¸ tr×nh quan tr¾c. Toµn bé c¸c kÕt qu¶ cã thÓ cña mét phÐp thö ®­îc gäi lµ kh«ng gian mÉu. Mét biÕn cè lµ mét tËp hîp con nµo ®ã cña c¸c kÕt qu¶ n»m trong kh«ng gian mÉu. Do ®ã, mét biÕn cè cã thÓ lµ mét tËp rçng , hoÆc tËp con cña kh«ng gian mÉu, hoÆc chÝnh b»ng kh«ng gian mÉu. V× c¸c biÕn cè lµ c¸c tËp hîp, c¸c to¸n tö thÝch hîp ®­îc sö dông nh­ phÐp hîp, phÐp giao vµ phÇn bï. Sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A hay biÕn cè B (nghÜa lµ hîp cña A vµ B) ®­îc 167 ký hiÖu lµ BA cßn sù cïng xuÊt hiÖn cña biÕn cè A vµ B (nghÜa lµ phÐp giao cña A vµ B) ®­îc ký hiÖu lµ BA hoÆc (A, B). Trong ch­¬ng nµy, phÇn bï cña biÕn cè A ®­îc ký hiÖu lµ A’. NÕu hai biÕn cè A vµ B kh«ng cã c¸c phÇn tö chung th× chóng ®­îc gäi lµ xung kh¾c tõng ®«i hay rêi nhau vµ ®­îc biÓu thÞ b»ng (A, B) =. NÕu biÕn cè A mµ sù xuÊt hiÖn cña nã phô thuéc vµo sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè B th× ®©y lµ mét biÕn cè cã ®iÒu kiÖn ký hiÖu lµ BA . X¸c suÊt lµ mét ®¹i l­¬ng sè ®o kh¶ n¨ng cã thÓ x¶y ra cña sù xuÊt hiÖn mét biÕn cè. Nãi chung, x¸c suÊt xuÊt hiÖn mét biÕn cè A cã thÓ ®­îc ®¸nh gi¸ theo hai c¸ch: (1) c¸c x¸c suÊt kh¸ch quan hay x¸c suÊt sau dùa trªn c¸c quan tr¾c sù x¶y ra cña biÕn cè; (2) c¸c x¸c suÊt chñ quan hay x¸c suÊt tr­íc dùa trªn c¬ së cña kinh nghiÖm vµ sù ph¸n ®o¸n. 5.1.2. C¸c quy t¾c tÝnh x¸c suÊt. Ba tiªn ®Ò c¬ b¶n cña x¸c suÊt cã thÓ hiÓu b»ng trùc gi¸c lµ: (i) P(A)0 (tÝnh kh«ng ©m); (ii) P(S) =1 (tÝnh toµn phÇn) víi S lµ kh«ng gian mÉu; (iii) nÕu A vµ B xung kh¾c nhau th× P( BA )=P(A) + P(B). Tõ hai tiªn ®Ò ®Çu tiªn, gi¸ trÞ cña x¸c suÊt ph¶i n»m gi÷a 0 vµ 1. Më réng tiªn ®Ò thø 3 cho mét sè c¸c biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i bÊt kú lµ:    1 2 11 ... k k k i i ii P A A A P A P A            U (5.1.1) Víi hai biÕn cè xung kh¾c tõng ®«i A vµ B, x¸c suÊt cña phÐp giao P(AB)=P(A, B) = P()=0, X¸c suÊt cña hîp hai biÕn cè A vµ B cã thÓ ®­îc ®¸nh gi¸ b»ng: P(AB)=P(A) + P(B) - P(A, B) (5.1.2) Tæng qu¸t, víi k biÕn cè:           11 1 1 2 , , , ... 1 , , ..., k k k k i i i j i i ji k k k i j l i j l k k P A P A P A A P A A A P A A A                      U (5.1.3) NÕu hai biÕn cè ®­îc coi lµ ®éc lËp nhau, sù xuÊt hiÖn cña mét biÕn cè nµy kh«ng ¶nh h­ëng ®Õn sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè kia. Do ®ã, c¸c biÕn cè A vµ B lµ ®éc lËp khi vµ chØ khi P(A, B) = P(A)P(B). §Ó tæng qu¸t hãa nguyªn lý nµy, x¸c suÊt xuÊt hiÖn ®ång thêi k biÕn cè ®éc lËp, còng ®­îc xem nh­ lµ x¸c suÊt ®ång thêi, lµ   11 k k i i ii P A P A        I (5.1.4) 168 CÇn chó ý r»ng tÝnh xung kh¾c tõng ®«i cña hai biÕn cè nãi chung kh«ng ®ång nghÜa víi tÝnh ®éc lËp vµ ng­îc l¹i. XÐt l¹i biÕn cè cã ®iÒu kiÖn ®­îc ®Ò cËp tr­íc ®ã, x¸c suÊt mµ mét biÕn cè cã ®iÒu kiÖn xuÊt hiÖn ®­îc gäi lµ x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn. X¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn P( AB) cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng:      , /P A B P A B P B (5.1.5) trong ®ã P( AB) lµ x¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A biÕt tr­íc biÕn cè B ®· x¶y ra. Nãi c¸c kh¸c P(AB) biÓu thÞ ®¸nh gi¸ l¹i cña chóng ta vÒ x¸c suÊt cña A khi biÕt th«ng tin r»ng biÕn cè B ®· x¶y ra. §Ó tæng qu¸t hãa Ph­¬ng tr×nh (5.1.5), x¸c suÊt cña sù x¶y ra ®ång thêi k biÕn cè ®éc lËp cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng:        1 2 1 3 2 1 1 1 1 . ... ..... k i k k i P A P A P A A P A A A P A A A        I (5.1.6) §«i khi, x¸c suÊt mµ biÕn cè A x¶y ra kh«ng thÓ ®­îc x¸c ®Þnh trùc tiÕp hay dÔ dµng. Tuy nhiªn nãi chung biÕn cè A x¶y ra cïng víi c¸c ®Æc tr­ng kh¸c, Ci, lµ c¸c biÕn cè kh¸c mµ lµm cho biÕn cè A x¶y ra. Xem h×nh 5.1.1 biÕn cè A cã thÓ x¶y ra ®ång thêi víi k ®Æc tr­ng xung kh¾c tõng ®«i vµ xung kh¾c chän läc Ci, i = 1,2, ..., k, trong ®ã xung kh¾c chän läc ®Ò cËp tíi kh¸i niÖm hîp cña tÊt c¶ c¸c biÕn cè s¬ cÊp trong mét mét kh«ng gian mÉu. X¸c suÊt x¶y ra biÕn cè A, kh«ng quan t©m tíi nguyªn nh©n cña c¸c ®Æc tr­ng, cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng         1 1 , k k i i i i i P A P A C P A C P C      (5.1.7) x¸c ®Þnh ®Þnh lý x¸c suÊt toµn phÇn. H×nh 5.1.1 S¬ ®å Venn chØ ra biÕn cã A víi c¸c ®Æc tr­ng . §Þnh lý x¸c suÊt toµn phÇn , ph¸t biÓu r»ng sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A cã thÓ bÞ ¶nh h­ëng bëi mét sè c¸c ®Æc tr­ng Ci, i = 1,2,...k. Trong mét sè tr­êng 169 hîp P( iAC ) ®­îc biÕt vµ ta muèn x¸c ®Þnh x¸c suÊt mµ mét ®Æc tr­ng riªng Ci cã tr¸ch nhiÖm cho sù x¶y ra cña biÕn cè A, ®ã lµ, P( iC A) ®­îc yªu cÇu. Dùa vµo ®Þnh nghÜa cña x¸c suÊt cã ®iÒu kiÖn, Ph­¬ng tr×nh (5.1.5), vµ ®Þnh lý x¸c suÊt toµn phÇn, Ph­¬ng tr×nh (5.1.7), P( iC A) cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng               i ii i k i i i 1 P AC P CP C ,A P C A P A P AC P C     (5.1.8) Ph­¬ng tr×nh (5.1.8) ®­îc gäi lµ ®Þnh lý Bayes trong ®ã P(Ci) lµ x¸c suÊt tr­íc biÓu thÞ tin cËy ban ®Çu cña x¸c suÊt vÒ sù xuÊt hiÖn cña ®Æc tr­ng Ci, P( iAC ) lµ hµm kh¶ n¨ng x¶y ra vµ P( iC A) lµ x¸c suÊt tr­íc biÓu thÞ ®¸nh gi¸ míi cña chóng ta vÒ Ci cã biÕt vÒ sù xuÊt hiÖn cña biÕn cè A. §Þnh lý Bayes cã thÓ ®­îc sö dông ®Ó cËp nhËt vµ söa l¹i x¸c suÊt ®· tÝnh khi cã thªm th«ng tin. 5.1.3. C¸c biÕn ngÉu nhiªn vµ c¸c ph©n phèi cña chóng. Trong ph©n tÝch c¸c ®Æc tr­ng thèng kª ho¹t ®éng cña hÖ thèng nguån n­íc, nhiÒu biÕn cè quan t©m cã thÓ ®­îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn cã liªn quan. Mét biÕn ngÉu nhiªn lµ mét hµm gi¸ trÞ thùc x¸c ®Þnh trong kh«ng gian mÉu. Mét quy ­íc kh¸ chuÈn trong tµi liÖu thèng kª lµ biÕn ngÉu nhiªn ®­îc biÓu thÞ b»ng mét ký tù viÕt hoa cßn ký tù viÕt th­êng biÓu thÞ gi¸ trÞ thùc cña biÕn ngÉu nhiªn t­¬ng øng. Theo quy ­íc nµy, vÝ dô, Q cã thÓ ®­îc sö dông ®Ó biÓu thÞ c­êng ®é dßng ch¶y, mét biÕn ngÉu nhiªn, cßn q biÓu thÞ gi¸ trÞ cã thÓ cña Q. Mét biÕn ngÉu nhiªn cã thÓ lµ liªn tôc hoÆc rêi r¹c. Cã nhiÒu vÝ dô vÒ c¸c biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c trong kü thuËt hÖ thèng nguån n­íc. Môc nµy chØ xÐt c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®¬n chiÒu. C¸c tr­êng hîp biÕn ngÉu nhiªn ®a chiÒu cã thÓ xem ë c¸c tµi liÖu kh¸c (Blank, 1980; Devore, 1987). Hµm ph©n phèi lòy tÝch (CDF-Cumulative Distribution Function), F(x), hay ®¬n gi¶n lµ hµm ph©n phèi (DF) cña mét biÕn ngÉu nhiªn X ®­îc ®Þnh nghÜa lµ: F(x)=P(X x) (5.1.9) F(x) lµ lòy tÝch v× ®èi sè hay gi¸ trÞ thùc cña nã, x, t¨ng dÇn. H¬n n÷a, khi x dÇn tíi biªn d­íi cña biÕn ngÉu nhiªn X gi¸ trÞ cña F(x) tiÕn tíi 0; mÆt kh¸c, gi¸ trÞ cña F(x) tiÕn tíi 1 khi ®èi sè cña nã dÇn tíi biªn trªn cña biÕn ngÉu nhiªn X. Víi mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X, hµm khèi l­îng x¸c suÊt (PMF- Probability Mass Function) cña X ®­îc ®Þnh nghÜa lµ: p(x) = P(X=x) (5.1.10) trong ®ã p(x) lµ khèi l­îng x¸c suÊt, lµ x¸c suÊt t¹i mét ®iÓm rêi r¹c X = x. Hµm khèi l­îng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c ph¶i tháa m·n hai 170 ®iÒu kiÖn: (1) p(xi)0 víi tÊt c¶ xi vµ (2) ip(x ) 1tÊt c¶ i . Hµm khèi l­îng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c vµ hµm ph©n phèi lòy tÝch cña nã ®­îc chØ ra trong h×nh 5.1.2a vµ b. Hµm ph©n phèi lòy tÝch cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X cã d¹ng bËc thang. Víi mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc, hµm mËt ®é x¸c suÊt (PDF-Probability density function) ®­îc ®Þnh nghÜa lµ:     dx xdF xf  (5.1.11) trong ®ã F(x) lµ hµm ph©n phèi lòy tÝch cña X nh­ ®· ®­îc x¸c ®Þnh trong Ph­¬ng tr×nh 5.1.9. Hµm mËt ®é x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tuc f(x) lµ ®é dèc cña hµm ph©n phèi lòy tÝch. BiÓu diÔn b»ng ®å thÞ cña mét hµm mËt ®é x¸c suÊt vµ hµm ph©n phèi lòy tÝch cho c¸c biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ®­îc chØ ra trong h×nh 5.1.2c vµ d. T­¬ng tù nh­ tr­êng hîp rêi r¹c, hµm mËt ®é cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ph¶i tháa m·n hai ®iÒu kiÖn: (1) f(x)  0 vµ (2)    1)( dxxf . Cho tr­íc hµm mËt ®é x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc X, hay hµm khèi l­îng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c, hµm ph©n phèi lòy tÝch cña nã cã thÓ tÝnh ®­îc sö dông:   x dxxfxF )()( víi c¸c biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc (5.2.12a) vµ    ni ixpxF 1 )()( víi c¸c biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c (5.1.12b) 171 H×nh 5.1.2 Hµm khèi l­îng x¸c suÊt vµ ph©n phèi lòy tÝch cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c vµ liªn tôc. X¸c suÊt cho mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ®Ó lÊy mét gi¸ trÞ riªng biÖt lµ b»ng 0 cßn trong tr­êng hîp biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c th× kh«ng nh­ vËy. 5.1.4. C¸c ®Æc tr­ng thèng kª cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn. Trong thèng kÕ thuËt ng÷ tæng thÓ biÓu thÞ sù tËp hîp ®Çy ®ñ tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ ®¹i diÖn cho mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn cô thÓ. Mét mÉu lµ mét tËp con bÊt kú cña tæng thÓ. C¸c ký hiÖu th­êng ®­îc sö dông ®Ó m« t¶ c¸c ®Æc tr­ng thèng kª cña mét biÕn ngÉu nhiªn cã thÓ ®­îc ph©n thµnh 3 lo¹i: (1) c¸c ký hiÖu biÓu thÞ xu h­íng trung t©m; (2) c¸c ký hiÖu biÓu thÞ sù ph©n t¸n quanh mét gi¸ trÞ trung t©m; vµ (3) c¸c ký hiÖu biÓu thÞ tÝnh bÊt ®èi xøng cña mét ph©n phèi. C¸c ký hiÖu th­êng ®­îc sö dông trong ba lo¹i nµy cã liªn quan ®Õn c¸c momen thèng kª cña biÕn ngÉu nhiªn. Gi¸ trÞ kú väng cña (X-x0)r lµ momen thø r cña biÕn ngÉu nhiªn X xung quanh ®iÓm X = x0, VÒ mÆt to¸n häc, gi¸ trÞ kú väng, E[(X-x0)r], trong tr­êng hîp liªn tôc ®­îc x¸c ®Þnh b»ng:           dxxfxxxXE r 00 (5.1.13a) Cßn víi tr­êng hîp rêi r¹c:          N i i r i xpxxxXE 1 00 (5.1.13b) 172 Trong ®ã E[ ] lµ to¸n tö kú väng thèng kª. Trong thùc tÕ ba momen ®Çu tiªn ®­îc sö dông ®Ó diÔn t¶ xu h­íng trung t©m, tÝnh biÕn thiªn, vµ tÝnh bÊt ®èi xøng cña sù ph©n phèi mét biÕn ngÉu nhiªn. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t tõ nay vÒ sau chØ xÐt c¸c biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc. Víi sù ®¸nh gi¸ xu h­íng trung t©m, kú väng cña mét biÕn ngÉu nhiªn X th­êng ®­îc ®Þnh nghÜa lµ       dxxxfXE )( (5.1.14) Kú väng nµy ®­îc xem lµ gi¸ trÞ trung b×nh cña mét biÕn ngÉu nhiªn. C¸c ký hiÖu hay c¸c ®Æc tr­ng thèng kª kh¸c cho xu h­íng trung t©m cña mét biÕn ngÉu nhiªn ®­îc liÖt kª trong B¶ng 5.1.1. Mét sè ®Æc tr­ng to¸n tö h÷u Ých cña kú väng: 1. Kú väng cña tæng c¸c biÕn ngÉu nhiªn b»ng tæng kú väng cña c¸c biÕn ngÉu nhiªn riªng lÎ.          k i ii k i ii XEaXaE 11 (5.1.15a) NÕu X1, X2, ..., Xk lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp, th×          k i i k i i XEXE 11 (5.1.15b) Hai lo¹i momen th­êng ®­îc sö dông: Momen gèc x0 = 0 vµ moment trung t©m x0 =  . Momen trung t©m bËc r ®­îc x¸c ®Þnh b»ng   rr XE   cßn momen gèc bËc r ®­îc x¸c ®Þnh b»ng  rr XE' . Mèi quan hÖ gi÷a c¸c momen trung t©m vµ momen gèc bËc r bÊt kú lµ     r i ir i ir i r C 0 '1  (5.1.16a)    r i ir i irr C 0 '  (5.1.16b) trong ®ã hÖ sè nhÞ thøc ir C = r!/[i!(r-i)!], i lµ trung b×nh cho lòy thõa thø i, ' ir lµ momen gèc bËc r-i. Ph­¬ng tr×nh (5.1.16a) ®­îc sö dông ®Ó tÝnh c¸c momen trung t©m tõ momen gèc, cßn ph­¬ng tr×nh (5.1.16b) ®­îc sö dông ®Ó tÝnh momen gèc tõ c¸c momen trung t©m. B¶ng 5.1.1 C¸c ®Æc tr­ng thèng kª cña mét biÕn ngÉu nhiªn th­êng ®­îc sö dông C¸c ®Æc tr­ng thèng kª TËp hîp C¸c ­íc l­îng mÉu ChiÒu h­íng trung t©m Trung b×nh sè häc 173        dxxxfXE Trung vÞ mdx sao cho   5.0mdxF    n i iX n X 1 1 Gi¸ trÞ nhãm thø 50 cña sè liÖu TÝnh thay ®æi Ph­¬ng sai   22   XE §é lÖch chuÈn    2/12  XE HÖ sè biÕn thiªn  /       n i ix XX n S 1 22 1 1   2/1 1 2 1 1            n i i XX n S XSCv / §èi xøng HÖ sè lÖch   3 3      XE      3 1 3 21 Snn XXn G n i i     T­¬ng quan HÖ sè t­¬ng quan   yx YX   ,cov             22 YYXX YYXX R ii ii Víi viÖc ®o l­êng tÝnh biÕn ®éng, ph­¬ng sai cña mét biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc ®­îc ®Þnh nghÜa lµ:             dxxfxXEXVar 222  (5.1.17) lµ mét momen trung t©m bËc hai. C¨n bËc hai cña ph­¬ng sai 2 ®­îc gäi lµ ®é lÖch chuÈn,  , th­êng ®­îc sö dông khi ®¸nh gi¸ møc ®é cña tÝnh bÊt ®Þnh g¾n liÒn víi mét biÕn ngÉu nhiªn. Mét ®é lÖch chuÈn nhá h¬n biÓu thÞ mét biÕn ngÉu nhiªn víi tÝnh bÊt ®Þnh nhá h¬n. §é lÖch chuÈn cã ®¬n vÞ gièng nh­ ®¬n vÞ cña biÕn ngÉu nhiªn. §Ó so s¸nh møc ®é cña tÝnh bÊt ®Þnh cña hai biÕn ngÉu nhiªn ®¬n vÞ kh¸c nhau, mét ®¹i l­îng ®o l­êng v« h­íng  / , ®­îc gäi lµ hÖ sè biÕn thiªn, lµ h÷u dông. Sau ®©y lµ mét sè ®Æc tr­ng quan träng cña ph­¬ng sai: Var[a] = 0 (5.1.18a) Var[X] = E [X2] - E2[X] (5.1.18b) Var[aX] = a2 Var[X] (5.1.18c) NÕu tÊt c¶ c¸c biÕn ngÉu nhiªn , X, lµ ®éc lËp th×         k i ii k i ii aXaVar 1 22 1  (5.1.18d) trong ®ã ai lµ mét h»ng sè vµ i lµ ®é lÖch chuÈn cña biÕn ngÉu nhiªn Xi. §Ó ®o ®¹c ®é bÊt ®èi xøng cña hµm ph©n phèi x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn, hÖ sè lÖch  ®­îc sö dông, ®­îc ®Þnh nghÜa b»ng: 174    33 /  XE (5.1.19) HÖ sè lÖch lµ v« h­íng vµ liªn hÖ víi momen trung t©m bËc 3. DÊu cña hÖ sè lÖch ngÇm chØ ph¹m vi cña sù ®èi xøng cña ph©n phèi x¸c suÊt quanh gi¸ trÞ trung b×nh. NÕu 0 , ph©n phèi lµ ®èi xøng qua gi¸ trÞ trung b×nh; 0 , ph©n phèi lÖch vÒ phÝa bªn ph¶i; 0 , ph©n phèi lÖch vÒ bªn tr¸i. h×nh 5.1.3 ®­îc dïng ®Ó minh häa vÒ mét ph©n phèi x¸c suÊt víi c¸c hÖ sè lÖch kh¸c nhau vµ vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña gi¸ trÞ trung b×nh  , trung vÞ xmd, vµ ®Ønh xmo ®­îc chØ ra trong h×nh 5.1.3. §Ønh, xmo, lµ gi¸ trÞ cña biÕn ngÉu nhiªn t¹i ®Ønh cña hµm mËt ®é x¸c suÊt. C¸c momen thèng kª bËc cao h¬n 3 Ýt khi ®­îc sö dông trong øng dông thùc tÕ bëi v× ®é chÝnh x¸c cña chóng gi¶m nhanh khi ®­îc ®¸nh gi¸ tõ mét kÝch th­íc mÉu giíi h¹n. C¸c ph­¬ng tr×nh ®­îc sö dông ®Ó tÝnh ­íc l­îng mÉu cña c¸c momen thèng kª trªn ®­îc cho trong B¶ng 5.1.1. Khi xÐt hai biÕn ngÉu nhiªn phô thuéc, møc ®é phô thuéc tuyÕn tÝnh gi÷a chóng cã thÓ ®­îc ®¸nh gi¸ b»ng hÖ sè t­¬ng quan  (X, Y) ®­îc tÝnh b»ng:     YXYXCovYX  /,,  (5.1.20) trong ®ã Cov[X, Y] lµ hiÖp ph­¬ng sai gi÷a c¸c biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y. Nh­ mét vÝ dô hÖ sè t­¬ng quan x¸c ®Þnh tÝnh hîp lý cña gi¶ thiÕt r»ng c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y vÏ nªn mét ®­êng th¼ng. HiÖp ph­¬ng sai ®­îc ®Þnh nghÜa lµ gi¸ trÞ kú väng cña tÝch  XX  vµ  YY  , mµ ®­îc x¸c ®Þnh lµ:         YXYX XYEYXEYXCov  , (5.1.21a) hay        N i ii yyxx N YXCov 1 1 , (5.1.21b) Víi N cÆp sè liÖu. HiÖp ph­¬ng sai lµ mét ®¹i l­îng ®o l­êng vÒ xu thÕ cho hai biÕn cïng thay ®æi víi nhau. §¹i l­îng ®o l­êng nµy cã thÓ b»ng 0, ©m, hay d­¬ng tïy vµo c¸c biÕn kh«ng t­¬ng quan, c¸c biÕn t­¬ng quan ©m, hay c¸c biÕn t­¬ng quan d­¬ng t­¬ng øng. HÖ sè t­¬ng quan ph¶i lín h¬n hoÆc b»ng -1 vµ nhá h¬n hoÆc b»ng +1, tøc lµ,   1,1  YX . Tr­êng hîp mµ   1, YX cã nghÜa lµ cã mét quan hÖ d­¬ng hoµn toµn gi÷a hai biÕn (tøc lµ tÊt c¶ c¸c ®iÓm ®Òu n»m trªn mét ®­êng th¼ng) cßn   1, YX lµ t­¬ng quan hoµn toµn nghÞch biÕn (tøc lµ mét biÕn t¨ng cßn mét biÕn gi¶m). Khi   0, YX lµ kh«ng cã t­¬ng quan tuyÕn tÝnh. h×nh 5.1.4 minh häa c¸c gi¸ trÞ cña sù t­¬ng quan. NÕu hai biÕn ngÉu nhiªn X vµ Y lµ ®éc lËp, th×     0,,  YXCovYX . Tuy nhiªn ®iÒu ng­îc l¹i kh«ng ®óng (Xem h×nh 5.1.4d). XÐt sù t­¬ng quan gi÷a nhiÒu biÕn ngÉu nhiªn liªn qua, Ph­¬ng tr×nh 5.1.18d cã thÓ ®­îc tæng qu¸t chuyÓn thµnh 175            k i k i k j jijiii k i ii XXCovaaaXaVar ,2 22 1  (5.1.22) H×nh 5.1.3 D¹ng ph©n phèi víi c¸c ®é lÖch kh¸c nhau H×nh 5.1.4 Mét sè vÝ dô vÒ hÖ sè t­¬ng quan (trÝch tõ Harr, 1987) VÝ dô 5.1.1. XÐt c©n b»ng khèi l­îng cña mét hå chøa n­íc mÆt qua mét thêi ®o¹n mét th¸ng trong ®ã m lµ th¸ng thø m. L­îng tr÷ cuèi th¸ng Sm+1 cã thÓ ®­îc tÝnh sö dông ®Þnh luËt b¶o toµn khèi l­îng 176 STm+1 = STm + PPm + QFm - EVm - Rm trong ®ã STm = thÓ tÝch l­îng tr÷ ban ®Çu trong th¸ng m, PPm = l­îng gi¸ng thñy trªn mÆt hå trong th¸ng m. QFm = dßng ch¶y tíi hå trong th¸ng m. EVm = tæng l­îng bèc h¬i th¸ng trong th¸ng m vµ Rm = l­îng x¶ ra hµng th¸ng tõ hå ®­îc ®iÒu chØnh cho c¸c môc ®Ých kh¸c nhau. T¹i thêi ®iÓm b¾t ®Çu cña th¸ng, thÓ tÝch l­îng tr÷ ban ®Çu vµ l­îng x¶ ra ®­îc biÕt tr­íc. H¬n n÷a, tæng l­îng gi¸ng thñy hµng th¸ng, dßng mÆt ch¶y vµo, vµ l­îng bèc h¬i lµ bÊt ®Þnh vµ ®­îc gi¶ thiÕt lµ c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®éc lËp. C¸c ®é lÖch chuÈn vµ ®é lÖch trung b×nh cña PPm, QFm vµ EVm tõ sè liÖu lÞch sö cña th¸ng m ®­îc ®¸nh gi¸ b¨ng: E(PPm) = 1 KAF, E(QFm) = 8 KAF, E(EVm) = 3KAF,  (PPm) = 0,5 KAF ,  (QFm) = 2 KAF ,  (EVm) = 1 KAF trong ®ã KAF lµ 1000 mÉu feet. X¸c ®Þnh ®é lÖch chuÈn vµ ®é lÖch trung b×nh cña thÓ tÝch l­îng tr÷ trong hå vµo cuèi th¸ng nÕu thÓ tÝch l­îng tr÷ ban ®Çu lµ 20 KAF vµ l­îng x¶ thiÕt kÕ cho th¸ng ®ã lµ 10 KAF. Lêi gi¶i. Tõ Ph­¬ng tr×nh (5.1.15a), gi¸ trÞ trung b×nh cña thÓ tÝch l­îng tr÷ cuèi th¸ng trong hå cã thÓ ®­îc x¸c ®Þnh b»ng: E(STm+1) = STm + E(PPm) +E(QFm) - Rm = 20 +1 + 8 -3 - 10 =16 KAF tõ ph­¬ng tr×nh 5.1.18c, cã thÓ nhËn ®­îc ph­¬ng sai cña thÓ tÝch l­îng tr÷ cuèi th¸ng trong hå b»ng: Var(STm+1) = Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) = (0,5)2 +(2)2 + (1)2 = 5,25 (KAF)2 Do ®ã, ®é lÖch chuÈn cña STm+1 lµ:   29,225,51 mST KAF VÝ dô 5.1.2. Cã lÏ gi¶ thiÕt vÒ tÝnh ®éc lËp cña PPm, QFm vµ EVm trong VÝ dô 5.1.1 kh«ng thËt chÝnh x¸c trong thùc tÕ. Sau khi kiÓm tra sè liÖu lÞch sö gÇn ®©y, cã tån t¹i c¸c t­¬ng quan gi÷a ba biÕn ngÉu nhiªn nµy. Ph©n tÝch sè liÖu thÊy r»ng       3,0,,4,0,,8,0,  mmmmmm EVQFEVPPQFPP  . TÝnh to¸n l¹i ®é lÖch chuÈn cña thÓ tÝch l­îng tr÷ cuèi th¸ng. Lêi gi¶i. Theo Ph­¬ng tr×nh 5.1.22, ph­¬ng sai cña thÓ tÝch l­îng tr÷ trong hå chøa t¹i thêi ®iÓm cuèi th¸ng cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng: Var(STm+1) = Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) + 2 Cov(PPm, QFm) 2 Cov(PPm, EVm) - 2 Cov(QFm, EVm) =Var(PPm) + Var(QFm) + Var(EVm) +2  (PPm, QFm) (PPm) (QFm) - 2  (PPm, EVm) (PPm) (EVm) - 2  (QFm, EVm) (QFm) (EVm) = (0,5)2 +(2)2 +(1)2 +2(0,8)(0,5)(2) - 2(-0,4)(0,5)(1) - 2(-0,3)(2)(1) =8,45 (KAF)2 §é lÖch chuÈn t­¬ng øng cña thÓ tÝch l­îng tr÷ cuèi th¸ng lµ:   91,245,81 mST KAF Trong vÝ dô 5.1.1 ®é lÖch chuÈn lµ 2,29 KAF. Râ rµng lµ gi¶ thiÕt vÒ sù ®éc lËp ®· dÉn tíi mét ®é lÖch chuÈn nhá h¬n. 5.2. Nh÷ng ph©n phèi x¸c suÊt th­êng gÆp Trong ph©n tÝch ®é tin cËy cña c¸c hÖ thèng nguån n­íc, mét sè ph©n phèi x¸c suÊt th­êng ®­îc sö dông. Dùa trªn ®Æc tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn, c¸c ph©n phèi x¸c suÊt cã thÓ ®­îc ph©n lo¹i thµnh ph©n phèi rêi r¹c vµ ph©n phèi 177 liªn tôc. Hai lo¹i ph©n phèi rêi r¹c th­êng ®­îc sö dông trong ph©n tÝch ®é tin cËy lµ: ph©n phèi nhÞ thøc vµ ph©n phèi Poisson. Víi c¸c biÕn ngÉu nhiªn liªn tôc, cã mét sè hµm mËt ®é ph©n phèi th­êng ®­îc sö dông trong ph©n tÝch ®é tin cËy. §ã lµ c¸c ph©n phèi chuÈn, l« ga rÝt chuÈn, Gamma, Weibull, vµ ph©n phèi hµm mò. C¸c ph©n phèi kh¸c nh­ ph©n phèi beta vµ c¸c ph©n phèi cùc h¹n ®«i khi còng ®­îc sö dông. 5.2.1. Ph©n phèi nhÞ thøc Ph©n phèi nhÞ thøc cã thÓ ¸p dông cho c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn chØ cã hai kÕt qu¶ cã thÓ. Tr¹ng th¸i cña c¸c thµnh phÇn hay c¸c hÖ thèng con trong nhiÒu hÖ thèng nguån n­íc cã thÓ ®­îc ph©n lo¹i hoÆc lµ ®ang ho¹t ®éng hoÆc lµ kh«ng ho¹t ®éng lµ mét vÝ dô ®iÓn h×nh cña c¸c kÕt qu¶ nhÞ ph©n. XÐt mét hÖ thèng gåm tÊt c¶ n thµnh phÇn ®éc lËp mµ mçi thµnh phÇn cã hai kÕt qu¶ cã thÓ, lµ ho¹t ®éng hoÆc kh«ng. Víi mçi thµnh phÇn, x¸c suÊt ho¹t ®éng lµ p. Do ®ã x¸c suÊt cña viÖc cã x thµnh phÇn ho¹t ®éng trong hÖ thèng cã thÓ ®­îc tÝnh b»ng   nxqpCxp xnxxn ,...,2,1,0,   (5.2.1) trong ®ã q = 1 - p vµ xnC lµ mét hÖ sè nhÞ ph©n. Mét biÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi nhÞ thøc víi c¸c th«ng sè n vµ p cã kú väng E(X) = np vµ ph­¬ng sai Var(X) = npq. D¹ng cña hµm khèi l­îng x¸c suÊt cña mét biÕn ngÉu nhiªn nhÞ thøc phô thuéc vµo c¸c gi¸ trÞ cña p vµ q. Hµm khèi l­îng x¸c suÊt bÞ lÖch d­¬ng nÕu p q. VÝ dô 5.2.1. Mét ng­êi vËn hµnh c¶ng tÇu thuû quyÕt ®Þnh x©y dùng thiÕt bÞ vËn hµnh míi däc s«ng. Theo mét ph©n tÝch kinh tÕ th× anh ta quyÕt ®Þnh chän thiÕt bÞ chÞu ®­îc lò lín víi l­u l­îng 7500 ft3/s. Ngoµi ra anh ta x¸c ®Þnh r»ng nÕu mét trËn lò lín h¬n vËy x¶y ra trong giai ®o¹n 5 n¨m tíi th× anh ta sÏ cã thÓ söa ch÷a vµ thu l¹i ®­îc lîi nhuËn trong giai ®o¹n 5 n¨m nµy. NÕu x¶y ra nhiÒu h¬n mét trËn lò lín h¬n 7500 ft 3 /s, anh ta sÏ mÊt tiÒn. NÕu x¸c suÊt l­u l­îng lín h¬n 7500 ft3/s hµng n¨m lµ 0,15 th× x¸c suÊt mÊt tiÒn cña ng­êi vËn hµnh sÏ lµ bao nhiªu? Lêi gi¶i. Ký hiÖu X lµ mét biÕn ngÉu nhiªn ®Æc tr­ng cho sè lÇn x¶y ra cña c¸c trËn lò v­ît 7500 ft3/s trong giai ®o¹n 5 n¨m. Mçi n¨m cã thÓ ®­îc xÐt nh­ mét phÐp thö mµ ë ®ã trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s cã thÓ x¶y ra hoÆc kh«ng. Do ®ã, kÕt qu¶ c¸c phÐp thö lµ nhÞ ph©n. Giai doËn 5 n¨m ®­îc coi nh­ lµ cã 5 phÐp thö. BiÕn ngÉu nhiªn X trong bµi to¸n nµy cã ph©n phèi nhÞ thøc víi c¸c th«ng sè p = 0,15 vµ n = 5. Ng­êi vËn hµnh sÏ kh«ng mÊt tiÒn nÕu nhiÒu nhÊt lµ mét trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s x¶y ra trong vßng 5 n¨m. X¸c suÊt ®Ó cã nhiÒu nhÊt mét trËn lò nh­ vËy trong 5 n¨m lµ P(Cã nhiÒu nhÊt mét trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s trong 5 n¨m) 8352,03915,04437,0 )15,01()15,0()15,01()15,0( )1()0( )1( 41 15 50 05     CC XPXP XP 5.2.2. Ph©n phèi Poisson. Khi n vµ 0p cßn np = const, ph©n phèi nhÞ thøc trë thµnh mét ph©n phèi Poisson víi hµm khèi l­îng x¸c suÊt 178   ,...2,1,0,!/   xxexp x (5.2.2) trong ®ã tham sè  >0 lµ trung b×nh cña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c X cã ph©n phèi Poisson. Ph©n phèi Poisson ®· ®­îc ¸p dông réng r·i trong viÖc m« h×nh hãa sè sù xuÊt hiÖn cña c¸c biÕn cè trong mét kho¶ng thêi gian hay kh«ng gian x¸c ®Þnh. Ph­¬ng tr×nh 5.2.2 cã thÓ ®­îc chØnh l¹i     ,...2,1,0,!/   xxvtexp xvt (5.2.3) trong ®ã tham sè  cã thÓ ®­îc hiÓu lµ tèc ®é trung b×nh cña sù xuÊt hiÖn mét biÕn cè trong kho¶ng thêi gian (0, t). VÝ dô 5.2.2. §¸nh gi¸ l¹i x¸c suÊt ë vÝ dô 5.2.1 sö dông ph©n b« Poisson Lêi gi¶i. Trong vÝ dô 5.2.1 g¶i thiÕt r»ng trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s kh«ng thÓ x¶y ra qu¸ mét lÇn trong n¨m. NÕu bë ®iÒu kiÖn nµy ®i vµ cho gi¶ thiÕt lµ cã thÓ cã nhiÒu h¬n mét trËn lò x¶y ra trong 1 n¨m mµ kh«ng quan t©m ®Õn x¸c suÊt nhá bao nhiªu. BiÕn ngÉu nhiªn X cã ph©n phèi Poisson víi c¸c th«ng sè v = np = 5(0,15) = 0,75. Gi¸ trÞ 0,75 thÓ hiÖn kú väng (hay trung b×nh) cña sè lÇn xuÊt hiÖn cña trËn lò lín h¬n 7500 ft3/s trong vßng 5 n¨m. Do ®ã x¸c suÊt ®Ó cã nhiÒu nhÊt mét trËn lò nh­ vËy trong 5 n¨m ®­îc tÝnh nh­ sau 8266,03543,04724,0 !1/)75,0(!0/)75,0( )1()0()1( 175,0075,0     ee XPXPXP So s¸nh gi¸ trÞ nµy víi gi¸ trÞ 0,8352 thu ®­îc tõ vÝ dô tr­íc ®é chªnh lÖch gi÷a hai gi¸ trÞ nµy nhá h¬n mét phÇn tr¨m Sù kh¸c biÖt vÒ x¸c suÊt thu ®­îc tõ hai vÝ dô lµ bá qua ®­îc nÕu gi¸ trÞ cña p nhá. Tuy nhiªm víi gi¶ thiÕt Èn chøa trong ph©n phèi nhÞ thøc r»ng chØ cã duy nhÊt mét trËn lò trong mçi n cã thÓ lµm cho ta thÝch sö dông hµm ph©n phèi Poisson trong ®¸nh gi¸ rñi ro ®èi víi hÇu hÕt c¸c bµi to¸n nguån n­íc. 5.2.3. Ph©n phèi chuÈn Ph©n phèi chuÈn lµ mét ph©n phèi rÊt phæ biÕn, cßn gäi lµ ph©n phèi Gauss. Hai tham sè liªn quan trong ph©n phèi chuÈn lµ trung b×nh vµ ph­¬ng sai. Mét biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn cã gi¸ trÞ trung b×nh  vµ ph­¬ng sai 2 trong tµi liÖu nµy ®­îc ký hiÖu lµ X ~ N( 2, ) víi hµm mËt ®é x¸c suÊt b»ng                    x- víi , 2 1 exp 2 1 2    x xf (5.2.4) Mét ph©n phèi chuÈn cã d¹ng h×nh chu«ng vµ ®èi xøng qua ®iÓm x =  . Do ®ã, hÖ sè lÖch cña mét biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn lµ b»ng 0, Mét biÕn ngÉu nhiªn Y lµ mét hµm tuyÕn tÝnh cña biÕn ngÉu nhiªn ph©n phèi chuÈn X th× còng cã ph©n phèi chuÈn. NghÜa lµ, nÕu X ~ N( 2, ) vµ Y = · + b th× Y ~ N( 22,  aba  ). Mét sù më réng cña ®Þnh lý nµy lµ tæng cña c¸c biÕn ngÉu n