Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (fgm) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản

hỉ số tỉ lệ thể tích p thay đổi Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 808 Ví dụ 7: Khảo sát ảnh hưởng của p đến tần số dao động riêng không thứ nguyên Xét tấm chữ nhật FGM có a/h = 10; b/a = 2. Tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm theo nghiệm giải tích với chỉ số thể tích p = 0; 0.5; 1; 4; 10 được cho trên bảng 6. Quan hệ giữa tần số dao động riêng không thứ nguyên  và chỉ số thể tích p được biểu diễn trên hình 10. Từ bảng 6 và hình 10 ta thấy rằng khi chỉ số thể tích p tăng lên hay nói cách khác khi hàm lượng của gốm - Al2O3 trong vật liệu FGM giảm thì tần số dao động riêng của tấm giảm. Ví dụ 8: Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số a/h đến tần số dao động riêng không thứ nguyên Xét tấm chữ nhật FGM với các tính chất vật liệu như trên và có tỉ lệ kích thước b/a = 2, chỉ số thể tích p = 10. Tần số dao động riêng của tấm với các tỉ số a/h khác nhau thể hiện trên bảng 7 và biểu diễn bằng đồ thị trên hình 11. Bảng 6. Tần số dao động riêng của tấm FGM (a/h=10); (b/a=2) Tần số dao động riêng KTN tỉ số a/h (m,n) Tỉ số b/a = 2 Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) 0 0.5 1 4 10  10 (1,1) 0.0366 0.0311 0.028 0.0243 0.0232 (1,2) 0.058 0.0492 0.0444 0.0384 0.0367 (2,2) 0.1393 0.1186 0.107 0.0917 0.0873 Hình 10. Tần số dao động riêng không thứ nguyên  biến thiên theo chỉ số tỉ lệ thể tích p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 Ta n so D D R k ho ng th u ng uy en Chi so the tich p m=1,n=1 m=1,n=2 m=2,n=2 Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 809 Bảng 7. Tần số dao động riêng của tấm FGM (với p = 10; b/a = 2) Tần số dao động riêng KTN Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) (m,n) Tỉ số b/a=2 tỉ số a/h 5 10 20 50  10 (1,1) 0.0873 0.0232 0.0059 0.0001 (1,2) 0.1337 0.0367 0.0094 0.0015 (2,2) 0.2912 0.0873 0.0232 0.0038 Hình 11. Tần số dao động không thứ nguyên  khi a/h thay đổi Quan sát đồ thị trên hình 11 ta thấy khi tỷ số a/h tăng lên thì tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm FGM giảm. Ví dụ 9: Khảo sát ảnh hưởng của tỷ số b/a đến tần số dao động riêng không thứ nguyên Xét tấm chữ nhật FGM có tỷ số chiều dày a/h=5, chỉ số thể tích p=10. Tần số dao động riêng không thứ nguyên của tấm theo nghiệm giải tích được cho trên bảng 8. Từ biểu đồ trên hình 12 ta thấy khi tỷ số b/a tăng lên thì tần số dao động không thứ nguyên của tấm  giảm. Bảng 8. Tần số dao động riêng của tấm FGM (p=10); (a/h=5) Tần số dao động riêng KTN Chỉ số tỉ lệ thể tích (p) (m,n) Tỉ số a/h=5 tỉ số b/a 1 1.5 2 2.5 3  10 (1,1) 0.1337 0.0997 0.0873 0.0815 0.0783 (1,2) 0.2912 0.1783 0.1337 0.1119 0.0997 (2,2) 0.4203 0.3268 0.2912 0.2741 0.2646 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Ta n so D D R k ho ng th u ng uy en Ti so a/h m=1,n=1 m=1,n=2 m=2,n=2 Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 810 Hình 12. Tần số dao động không thứ nguyên  khi b/a thay đổi 4. KẾT LUẬN Bằng chương trình tính toán số được viết trên nền Matlab, tiến hành khảo sát số các lớp bài toán, kết quả tính theo nghiệm giải tích mà bài báo nêu đã được so sánh với các kết quả của một số tác giả khác trong tài liệu tham khảo cho thấy độ tin cậy của lời giải. Ảnh hưởng của chỉ số tỉ lệ thể tích p, tỉ số kích thước b/a, tỉ số a/h đến độ võng, ứng suất và tần số dao động riêng của tấm FGM đã được khảo sát. TÀI LIỆU THAM KHẢO Javaheri R., Eslami M.R. (2002). Buckling of functionally graded plates under in-plane compressive loading, J. Appl. Math. Mech., 82(4): 277-283. Zhang D.G., Zhou Y.H. (2008). A theoretical analysis of FGM thin plates based on physical neutral surface, Comput. Mater. Sci., 44(2): 716-720. Mohammadi M., Saidi A.R., Jomehzadeh E. (2010). Levy solution for buckling analysis of functionally graded rectangular plates, Appl. Compos. Mater., 17(2): 81-93. Bodaghi M., Saidi A.R. (2011). Stability analysis of functionally graded rectangular plates under nonlinearly varying in-plane loading resting on elastic foundation, Arch. Appl. Mech., 81(6): 765- 780. Della Croce L., Venini P. (2004). Finite elements for functionally graded Reissner-Mindlin plates, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 193(9-11): 705-725. Ganapathi M., Prakash T., Sundararajan N. (2006). Influence of functionally graded material on buckling of skew plates under mechanical loads, J. Eng. Mech., 132(8): 902-905. Zhao X., Liew K.M. (2009). Geometrically nonlinear analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 198(33-36): 2796-2811. Zhao X., Lee Y.Y., Liew K.M. (2009). Free vibration analysis of functionally graded plates using the element-free kp-Ritz method, J. Sound Vib., 319(3-5): 918-939. Lee Y.Y., Zhao X., Reddy J.N. (2010). Postbuckling analysis of functionally graded plates subject to compressive and thermal loads, Comput. Methods Appl. Mech. Eng., 199(25-28): 1645-1653. Hosseini-Hashemi S., Rokni Damavandi Taher H., Akhavan H., Omidi M. (2010). Free vibration of functionally graded rectangular plates using first- 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 Ta n so D D R k ho ng th u ng uy en Ti so b/a m=1,n=1 m=1,n=2 m=2,n=2 Dương Thành Huân, Lê Minh Lư, Trần Minh Tú, Vũ Văn Thẩm 811 order shear deformation plate theory, Appl. Math. Model., 34(5): 1276-1291. Hosseini-Hashemi S., Fadaee M., Atashipour S.R. (2011). A new exact analytical approach for free vibration of Reissner-Mindlin functionally graded rectangular plates, Int. J. Mech. Sci., 53(1): 11-22. Reddy JN. (2000). Analysis of functionally graded plates, Int. J. Numer. Methods Eng., 47(1-3): 663-684. Karama M., Afaq K.S., Mistou S. (2003). Mechanical behaviour of laminated composite beam by the new multi-layered laminated composite structures model with transverse shear stress continuity, Int. J. Solids Struct., 40(6): 1525-1546. ZenkourA.M. (2005). A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plates: Part 1- Deflection and stresses, Int. J. Solids Struct., 42 (18-19): 5224-5242. Zenkour A.M. (2005). A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plates: Part 2- Buckling and free vibration, Int. J. Solids Struct., 42(18-19): 5243-5258. Zenkour A.M. (2006). Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates, Appl. Math. Model., 30 (1): 67-84 Benyoucef S., Mechab I., Tounsi A., Fekrar A., Ait Atmane H., Adda Bedia E.A. (2010). Bending of thick functionally graded plates resting on Winkler-Pasternak elastic foundations, Mech. Compos. Mater., 46(4): 425-434. Atmane H.A., Tounsi A., Mechab I., Adda Bedia E.A. (2010). Free vibration analysis of functionally graded plates resting on Winkler-Pasternak elastic foundations using a new shear deformation theory, Int. J Mech. Mater. Design, 6(2): 113-121. Mantari J. L., Oktem A.S., Guedes Soares C. (2012). Bending response of functionally graded plates by using a new higher order shear deformation theory, Compos. Struct., 94(2): 714-723. Pradyumna S, Bandyopadhyay JN. (2008). Free vibration analysis of functionally graded curved panels using a higher-order finite element formulation, J. Sound. Vib., 318(1-2): 176-192. Neves AMA., Ferreira AJM., Carrera E, Roque CMC, Cinefra M, Jorge RMN et al. (2012). A quasi-3D sinusoidal shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates, Compos. Part B: Eng., 43(2): 711-25. Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Cinefra M, Roque CMC, Jorge RMN et al. (2012). A quasi- 3D hyperbolic shear deformation theory for the static and free vibration analysis of functionally graded plates. Compos. Struct, 94(5): 1814-25. Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E et al. (2012). Static, free vibration and buckling analysis of isotropic and sandwich functionally graded plates using a quasi-3D higher-order shear deformation theory and a meshless technique, Compos. Part B: Eng., 44(1): 657-674. Reddy JN (2011). A general nonlinear third-order theory of functionally graded plates, Int. J. Aeros. Lightw.Struct., 1(1): 1-21 Talha M, Singh BN. Static response and free vibration analysis of FGM plates using higher order shear deformation theory, Appl. Math. Modell, 34(12): 3991-4011. Thai HT, Kim SE (2010). Free vibration of laminated composite plates using two variable refined plate theory, Int J Mech Sci., 52(4): 626-33. Thai HT, Kim SE (2013). A simple higher-order shear deformation theory for bending and free vibration analysis of functionally graded plates, Composite Structures, 96: 165-173. Phân tích tĩnh và dao động riêng tấm bằng vật liệu có cơ tính biên thiên (FGM) theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao đơn giản 812 PHỤ LỤC 1. Các hệ số của phương trình (15), (16): 2 2 h ij ij h A Q dz    ; 2 2 h ij ij h B Q zdz    ; 2 2 2 h ij ij h D Q z dz    32 2 2 4 3 h ij ij h zF Q dz h    ; 42 2 2 4 3 h ij ij h zG Q dz h    ; 232 2 2 4 3 h ij ij h zH Q dz h          , (i, j = 1,2,6) 2. Các ma trận của phương trình (21), (22), (23):   11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 s s s s s s s s S s s s s s s s s             Với: 2 2 11 11 66s A A    ; 12 12 66(s A A   ; 2 2 13 11 )s B     2 2 13 11 )s F     ; 2 2 22 66 11s A A    ; 2 2 23 11 )s B     2 2 24 11 )s F     ; 2 2 2 33 11 )s D    ; 2 2 2 34 11 )s G    2 2 2 2 2 2 44 11 44) )s H A          11 13 14 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 0 0 m m m m m m M m m m m m m m m             Với: 11 12 0m m I  ; 13 1m I  ; 14 1m cI  23 1m I  ; 24 3m cI  ; 2 2 33 0 2 ( )m I I     2 2 34 0 4 ( )m I cI     ; 2 2 2 44 0 6 ( )m I c I     và 2 4 3 c h   mn mn bmn smn U V Q W W               ;   0 0 mn mn q q q              