Phân loại và phương pháp giải bài tập chương I

Khi người cách trục quay 1m thì momen động lượng của hệ là: L2= I2w2 Áp dụng định luật bảo toàn momen động lượng ta có: L1 = L2 hay I1w1 = I2w2 Ví dụ 2: Một người ngồi trên một chiếc ghế đang quay, hai tay cầm hai quả tạ, mỗi quả 3,0kg. Khi người ấy dang tay theo phương ngang, các quả tạ cách trục quay 1,0m và người quay với tốc độ góc 0,75rad/s. Giả thiết mô men quán tính của hệ “người + ghế” là không đổi và bằng 3,0kg.m2. Sau đó kéo quả tạ theo phương ngang lại gần trục quay cách trục quay 0,30m. Tìm tốc độ góc mới của hệ “người + ghế”. Giải Coi người, ghế và quả tạ là một hệ. Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng cho hệ nói trên ta có  L1 = L2 ® I1w1=I2w2 Với: I1 = 3 + 2.3.12 = 9 (kgm2) I2 = 3 + 2.3.(0,3)2 = 3,54 (kgm2) Do đó: Ví dụ 3: Một đứa trẻ, khối lượng M đứng ở mép một sàn quay có bán kính và mô men quán tính I. Sàn đứng yên. Bỏ qua ma sát ở trục quay. Đứa trẻ ném một hòn đá khối lượng m theo phương ngang, tiếp tuyến với mép của sàn.Tốc độ của hòn đá so với mặt đất là v. Hỏi : a) Tốc độ góc của sàn quay. b) Tốc độ dài của đứa trẻ. Giải Coi sàn, đứa trẻ và hòn đá là một hệ. Thời gian ném đá là rất nhỏ ta có thể bỏ qua xung của mô men lực tác dụng vào hệ và coi mô men động lượng của hệ là bảo toàn trong thời gian tương tác. Mô men động lượng của hệ ngay trước khi ném đá là L0 = 0 ( sàn, đứa trẻ, đá đứng yên) Mô men động lượng của hệ ngay sau khi ném đá là: Lhệ= Lsàn + Ltrẻ +Lđá Lhệ = Iw + MR2 w + mvR Áp dụng định luật vảo toàn mô men động lượng : Lhệ= 0 a) Tốc độ góc của đứa trẻ : b) Tốc độ dài của đứa trẻ : 600 · Hình 19 Ví dụ 4: Một thanh mảnh, đồng tính, dài 0,5m, khối lượng 0,4kg. Thanh có thể quay trên một mặt phẳng nằm ngang, quanh một trục thẳng đứng đi qua khối tâm của nó. Thanh đang đứng yên, thì một viên đạn khối lượng 3,0g bay trên mặt phẳng ngang của thanh và cắm vào một đầu thanh. Phương của vận tốc của viên đạn làm với thanh một góc 600. Vận tốc góc của thanh ngay sau va chạm là 10rad/s. Hỏi tốc độ của viên đạn ngay trước va chạm là bao nhiêu? Giải Mô men động lượng của đạn ngay trước va chạm: L1 = mv.Sin600 = 3.10-3. = 0,650v Mô men động lượng của hệ ngay sau khi viên đạn cắm vào thanh: Lh = Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng: Lh = L1 ® v = (m/s) · Trục quay Cục matít Hình 20 Ví dụ 5: Hai quả cầu, mỗi quả khối lượng M = 2,0kg được gắn ở hai đầu thanh mảnh khối lượng không đáng kể dài 50,0cm. Thanh có thể quay không ma sát trong mặt phẳng thẳng đứng quanh một trục nằm ngang đi qua tâm của nó. Khi thanh đang nằm ngang thì có một cục matít có khối lượng m= 50,0g rơi vào một quả cầu vào một quả cầu và dính vào đó. Tính tốc độ góc của hệ ngay sau khi cục matít rơi vào? Giải Coi thanh với hai quả cầu và cục matít là một hệ. Vì thời gian va chạm là rất ngắn và khối lượng của cục matít rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua xung của mô men lực tác dụng vào hệ và coi mô men động lượng của hệ là bảo toàn trong thời gian va chạm. Mô men của hệ ngay trước khi va chạm (mô men động lượng của cục ma tít) là: Mô men động lượng của hệ ngay sau va chạm là : Theo định luật bảo toàn mô men động lượng : Suy ra: Bài tập tự luận áp dụng. 1. Một vận động viên trượt băng nghệ thuật có thể tăng tốc độ từ 0,5vòng/s đến 3 vòng/s. Nếu mô men quán tính lúc đầu là 4,6kgm2 thì lúc sau là bao nhiêu? Đáp số: 0,77kgm2. 2. Một xi lanh đặc, đồng chất, khối lượng 10kg, bán kính 1m quay với vận tốc góc 7rad/s quanh trục của nó. Một cục ma tít, khối lượng 0,25kg, rơi thẳng đứng vào xi lanh tại một điểm cách trục 0,9m và dính vào đó. Hãy xác định vận tốc của hệ khi cục ma tít dính vào. Đáp số: 6,73rad/s. 3. Hai đĩa có ổ trục được lắp vào cùng một cái trục. Đĩa thứ nhất có mô men quán tính 3,3kgm2, được làm quay với tốc độ 450vòng/phút. Đĩa thứ hai có mô men quán tính 6,6kgm2, được làm quay với tốc độ 900vòng/phút. Sau đó cho chúng ghép sát nhau để chúng quay như một đĩa. Hỏi vận tốc góc sau khi ghép bằng bao nhiêu? Đáp số: 750 vòng/phút. 4. Một sàn quay hình trụ khối lượng 180 kg và bán kính 1,2m đang đứng yên. Một đứa trẻ , khối lượng 40kg, chạy trên mặt đất với tốc độ 3m/s theo đường tiếp tuyến với mép sàn và nhảy lên sàn. Bỏ qua ma sát với trục quay. Tính: a) Mô men quán tính của sàn. b) Mô men động lượng của đứa trẻ. c) vận tốc góc của sàn và đứa trẻ sau khi nó nhảy lên sàn. Đáp số: a. 1300kg.m2; b. 144kg.m2/s; c. 0,768 rad/s. Câu 5: Một thanh tiết diện đều, khối lượng m, chiều dài h, đang đứng yên, thẳng đứng trên mặt đất thì bị một vật khối lượng mv = m bay theo phương ngang với vân tốc v đến va chạm mềm với đầu trên của thanh, làm cho thanh bị đổ. Xem rằng thanh chỉ quay quanh đầu dưới. Hãy tính: a) Mô men động luợng của hệ ngay trước khi va chạm đối với trục quay là đầu dưới của thanh. b) Tốc độ góc của thanh ngay sau va chạm Đáp số: a. mvh; b.. Bài tập dạng tắc nghiệm khách quan (xem phụ lục - chủ đề 3). 2.7.5. Bài tập về năng lượng trong chuyển động quay của vật rắn. Dạng 1: Tính động năng của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục cố định Phương pháp giải Viết công thức tính động năng của vật hoặc hệ vật: Wđ = Iw2. Nếu đề bài cho mô men quán tính và tốc độ góc thì ta áp dụng công thức. Nếu đề bài chưa cho I và w thì ta tìm mô men quán tính và tốc độ góc theo các đại lượng động học, động lực học hoặc áp dụng các định luật bảo toàn. Ví dụ 1: Một sàn quay hình trụ có khối lượng 80kg và có bán kính 1,5m. Sàn bắt đầu quay nhờ một lực không đổi nằm ngang, có độ lớn 500N tác dụng vào sàn theo phương tiếp tuyến với mép sàn. Tìm động năng của sàn sau 3,0s. Giải Mô men quán tính của sàn đối với trục quay của nó: Mô men quay của lực tác dụng vào sàn: Gia tốc góc của sàn sau 3s : Vận tốc góc của sàn sau 3s : Động năng của sàn sau 3s: Dạng 2: Tính động năng của vật rắn trong chuyển động lăn. Phương pháp giải Áp dụng công thức : W = mvG2 + Iw2 và xác định các đại lượng trong công thức để tìm động năng. Ví dụ: Một cái đĩa hình trụ đặc khối lượng M= 1,4kg và bán kính R = 8,5cm lăn trên một mặt bàn nằm ngang với tốc độ 15cm/s. a) Vận tốc tức thời của đỉnh đĩa đang lăn là bao nhiêu? b) Tốc độ góc của đĩa đang quay là bao nhiêu? c) Động năng của đĩa là bao nhiêu? Giải a) Tốc độ của một vật đăng lăn là tốc độ khối tâm của nó. Tốc độ của đỉnh đĩa gấp đôi tốc độ ấy nên: vđỉnh = 2vkt = 2.15 (cm/s) = 30 (cm/s) b) Tốc độ góc của đĩa đang quay là: = 1,8 (rad/s) c) Động năng của đĩa: Ta có mô men quán tính đối với khối tâm: I = W = Iktw2 + mvkt2 = ® W = Dạng 3: Bài tập áp dụng định lí động năng trong chuyển động quay. Phương pháp giải Áp dụng công thức: A = DWđ để đi tìm lực hoặc các đại lượng liên quan. Hình 21 Ví dụ 1: Một quả bóng có khối lượng 0,12kg được buộc vào đầu một sợi dây luồn qua mộ lỗ thủng nhỏ ở mặt bàn (hình vẽ 19). Lúc đầu quả bóng chuyển động trên đường tròn , bán kính 40cm, với tốc độ dài 80cm/s. Sau đó dây được kéo qua lổ xuống dưới 15 cm. Bỏ qua ma sát với bàn. Hãy xác định: a) Tốc độ góc của quả bóng trên đường tròn mới. b) Công của lực kéo. Giải a) Tốc độ góc của quả bóng khi dây chưa kéo: w1 = Gọi w2 là tốc độ góc của quả bóng sau khi dây được kéo qua lổ xuống dưới. Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng: L1 = L2 ® I1 w1 = I2 w2 ® w2 = b) Áp dụng định lí động năng: A = DWđ = - = - Thay số: A = 0,06 (J) Ví dụ 2: Công cần thiết để tăng tốc đều một bánh xe từ nghỉ đến tốc độ góc 200rad/s là 3000J trong 10s. Tìm momen lực tác dụng vào bánh xe? Giải Theo định lý biến thiên động năng: A = DWđ = Wđ - Wđ0 ® A =Iw2 ® I = = = 0,15 (kgm2). Gia tốc góc của vật: w = w0 + gt ® g = = 20 (rad/s). Momen lực tác dụng vào bánh xe là: M = Ig = 0,15.20 = 30 (Nm) Dạng 4: Bài tập áp dụng định luật bảo toàn cơ năng trong chuyển động quay. Phương pháp giải Bài tập lại này chủ yếu áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật rắn có trục quay cố định nằm ngang trong trường hợp bỏ qua ma sát. Do đó khi giải ta áp dụng công thức: W = Wt + Wđ = mghG + = hằng số Trong đó: hG = l(1-cosa) độ cao khối tâm của vật rắn so với mốc ta chọn thế năng bằng 0, l là khoảng cách từ khối tâm đến trục quay, a là góc giữa đường thẳng nối khối tâm và trục quay so với phương thẳng đứng. Ví dụ 1 : Một cái cột dài 2,5m đứng cân bằng trên mặt đất nằm ngang. Do bị đụng nhẹ cột rơi xuống trong mặt phẳng thẳng đứng. Gia sử đầu dưới của cột không bị trượt. Tính tốc độ của đầu trên của cột ngay trước khi nó chạm đất. Lấy g = 9,8m/s2. Giải Chọn gốc thế năng ở mặt đất. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho cột ở vị trí thẳng đứng và ngay trước khi chạm đất ta có: DWđ = - DWt ® ® ® ® v = (m/s) 8,6 (m/s) · M, l h a Hình 22 O Ví dụ 2: Một vật nhỏ khối lượng m trượt không ma sát trên một mặt cong. Vật va chạm vào đầu một thanh đồng chất khối lượng M, dài l và dính vào đó. Thanh có trục quay tại O nên đã quay đi một góc q trước khi tạm dừng lại (hình 20). Hãy tính q theo các tham số trên hình vẽ. Giải Mô men động lượng của vật ngay trước khi va chạm đối với trục quay (o): L 1 = mvl= ml (1) Mô men động lượng của hệ ngay sau va chạm: Lh = (2) Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng: Lh = L1 ® w = (3) Động năng của hệ ngay sau va chạm: Wđ = = (4) Khi vị trí thanh đạt góc q (vận tốc góc bằng 0) thì áp dụng định luật bảo toàn cơ năng: Cos q = 1- (5) Ví dụ 3: Một ròng rọc khối lượng M, bán kính R,có thể quay tự do xung quanh trục cố định của nó. Một sợi dây quấn quanh ròng rọc và đầu tự do của dây có gắn một vật khối lượng m. Giữ cho vật đứng yên rồi thả nhẹ ra. Khi vật m rơi xuống được một đoạn bằng h thì tốc độ của nó ở thời điểm đó có phụ thuộc bán kính R không? Giải Chọn mốc tính thế năng tại chân độ cao h là O' Cơ năng của hệ ban đầu: W = Wt = mgh Cơ năng của hệ khi vật rơi đến O': W' = Wđrr + Wđvật = Iw2 + mv2 = .mr2 + mv2 = mv2 + mv2 = mv2 Theo ĐLBT cơ năng ta có: W' = W ® mv2 = mgh ® v = Vậy: Tốc độ của vật không phụ thuộc R Bài tập tự luận áp dụng 1. Một vật khối lượng m = 2kg được nối với một sợi dây quấn quanh một ròng rọc có trục quay nằm ngang. Bỏ qua mọi ma sát. Lấy g = 10m/s2. Thả vật rơi không có vận tốc ban đầu, sau 2s vật rơi được quảng đường 1m và có vận tốc 4m/s. Tính động năng của ròng rọc tại thời điểm 2 s . Đáp số: 4J. 2. Tính động năng của khung dây mảnh đồng chất hình tam giác đều, cạnh a, khối lượng m đang quay với tốc độ góc ω quanh trục đi qua một đỉnh và vuông góc với mặt phẳng của khung . Đáp số: ma2w2. 3. Một thanh mảnh AB có chiều dài l, khối lượng m, có trục quay nằm ngang và cách đầu A của thanh khoảng l/4. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang, sau đó người ta thả nhẹ cho thanh chuyển động. Bỏ qua mọi ma sát. a) Tìm tốc độ góc của thanh khi đầu B ở vị trí thấp nhất; tính vận tốc dài của của A và B khi đó. b) Khi thanh làm với phương đứng góc 300 thì tốc độ góc của thanh là bao nhiêu? Đáp số: a) w = , vA = ; vB = ; b) 4. Một bánh đà có mô men quán tính 0,14kgm2. Mô men động lượng của nó giảm từ 3kgm2/s đến 0,8 kgm2/s trong 1,5s. Hỏi: a) Mô men lực trung bình tác dụng vào bánh đà? b) Bánh đà đã quay được góc bao nhiêu ? Giả sử gia tốc góc là không đổi. c) Công cung cấp cho bánh đà. d) Công suất trung bình của bánh đà. Đáp số: a) -1,47Nm; b) 20,2rad; c) -29,7J; d. 19,8W.