Ôn thi cao học môn toán kinh tế

1 OÂN THI CAO HOÏC MOÂN TOAÙN KINH TEÁ (Bieân soaïn: Traàn Ngoïc Hoäi - 2007) PHAÀN III: THOÁNG KEÂ A- ÖÔÙC LÖÔÏNG §1. CAÙC ÑAËC TRÖNG MAÃU 1.1. Baûng soá lieäu Khi khaûo saùt ñaùm ñoâng X ta thu thaäp soá lieäu cuûa maãu côõ n: (X1, X2,…, Xn) vaø thöôøng laäp baûng soá lieäu theo caùc daïng sau: Daïng 1: Lieät keâ döôùi daïng: x1, x2,…, xn trong ñoù moãi soá lieäu coù theå laëp laïi nhieàu laàn. Daïng 2: Laäp baûng coù daïng: Xi x1 x2 ……………………….. xk ni n1 n2 …………………………. nk trong ñoù x1 < x2 <… < xk vaø moãi soá lieäu xi xuaát hieän ni laàn. Daïng 3: Laäp baûng coù daïng: Xi x1- x2 x2- x3 ……………………….. xk- xk+1 ni n1 n2 …………………………. nk trong ñoù x1 < x2 <… < xk < xk+1 vaø moãi nöûa khoaûng [xi; xi+1) (tröø caùi cuoái cuøng laø ñoaïn [xk; xk+1]) chöùa ni soá lieäu. Khi xöû lyù soá lieäu ta seõ ñöa soá lieäu veà Daïng 2. Coù theå ñöa Daïng 1 veà Daïng 2 baèng caùch thoáng keâ laïi. 2 Daïng 3 ñöôïc ñöa veà Daïng 2 baèng caùch thay caùc khoaûng xi-xi+1 baèng giaù trò trung bình cuûa hai ñaàu muùt 2 ' 1+ += iii xxx . Trong caùc phaàn sau, ta xeùt maãu cuûa ñaùm ñoâng X coù daïng 2. 1.2. Kyø voïng maãu. 1) Ñònh nghóa: Kyø voïng maãu hay Trung bình maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu XXn hay laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: ∑ = = k i iinXn X 1 1 2) YÙ nghóa: Khi ∞→n kyø voïng maãu nX hoäi tuï veà kyø voïng ñaùm ñoâng μ = M(X). Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ: nXXM ≈= )(μ 1.3. Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu 1) Ñònh nghóa: Phöông sai maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu 2S (coøn kí hieäu laø 2nxσ hay 2nσ ) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi:  k2 2 2 i i i 1 1S X n (X) n = = −∑ Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu cuûa X goïi laø ñoä leäch maãu, kí hieäu S (coøn kí hieäu laø nxσ hay nσ ):  k 2 2 i i i 1 1S X n (X) n = = −∑ 2) Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu hieäu chænh Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu 2S (coøn kí hieäu laø 2n 1x −σ hay 2n 1−σ ) laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: 3  k22 2 2 i i i 1 n 1 nS S X n (X) n 1 n 1 n 1= = = −− − −∑ Caên baäc hai cuûa phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X goïi laø ñoä leäch maãu hieäu chænh, S (coøn kí hieäu laø n 1x −σ hay n 1−σ ): k 2 2 i i i 1 1 nS X n (X) n 1 n 1= = −− −∑ . 3) YÙ nghóa: Khi ∞→n phöông sai maãu hieäu chænh hoäi tuï veà phöông sai ñaùm ñoâng σ2 = D(X). Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ: 2 2D(X) Sσ = ≈ 1.4. Phöông sai maãu vaø ñoä leäch maãu 1) Ñònh nghóa: Ta xeùt ñaùm ñoâng vôùi tæ leä caùc phaàn töû coù tính chaát A laø p. Daáu hieäu X maø ta quan taâm laø caùc phaàn töû cuûa ñaùm ñoâng coù tính chaát A hay khoâng: Neáu coù, ta ñaët X = 1; neáu khoâng, ta ñaët X = 0. Nhö vaäy, ñaùm ñoâng X coù phaân phoái Bernoulli X ∼ B(p) nhö sau: X 0 1 P q p (q = 1-p). Khi ñoù moät maãu côõ n laø moät boä goàm n ñaïi löôïng ngaãu nhieân (X1, X2, …, Xn) maø moãi Xi ñeàu coù cuøng phaân phoái Bernoulli vôùi X: Xi ∼ B(p), nghóa laø Xi 0 1 P q p Noùi caùch khaùc, moãi Xi chæ nhaän hai giaù trò: 0 (vôùi xaùc suaát q) vaø 1 (vôùi xaùc suaát p). Tæ leä maãu cuûa ñaùm ñoâng X öùng vôùi maãu (X1, X2,…, Xn), kí hieäu Fn, laø ñaïi löôïng ngaãu nhieân ñònh bôûi: k n i i i 1 1F X n n = = ∑ 4 2) YÙ nghóa: Khi ∞→n tæ leä maãu Fn hoäi tuï veà tæ leä ñaùm ñoâng p. Do ñoù khi n khaù lôùn ta xaáp xæ: p ≈ Fn 3) Chuù yù: Döôùi Daïng 2 cuûa baûng, vieäc tính giaù trò cuûa tæ leä maãu raát ñôn giaûn vì ta chæ caàn xaùc ñònh soá phaàn töû m thoûa tính chaát A cuûa maãu côõ n. Khi ñoù n mFn = . Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. Haõy xaùc ñònh kyø voïng maãu, phöông sai maãu, phöông sai maãu hieäu chænh, ñoä leänh maãu, ñoä leänh maãu hieäu chænh cuûa chæ tieâu X vaø tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B. Giaûi. Tröôùc heát ta thay caùc khoaûng xi- xi+1 baèng giaù trò trung bình cuûa hai ñaàu muùt 2 ' 1+ += iii xxx . Xi 13 17 21 25 29 33 37 ni 8 9 20 16 16 13 18 Ta coù: - Côõ maãu n = 100. - Kyø voïng maãu cuûa X laø ∑ == ).(36,261 cmnXnX ii - Phöông sai maãu cuûa X laø: 2 2 2 2 2 i i 1S X n X (7,4452) (cm ). n = − =∑ 5 - Ñoä leäch maãu cuûa X laø: S 7,4452 (cm)= - Phöông sai maãu hieäu chænh cuûa X laø:  22 2 2nS S (7,4827) (cm ). n 1 = =− - Ñoä leäch maãu hieäu chænh cuûa X laø: S 7,4827(cm)= - Tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B laø: %.1717,0 100 17 ==== n mFn vì trong n = 100 saûn phaåm coù m = 8 + 9 = 17 saûn phaåm coù chæ tieâu X nhoû hôn hay baèng 19 cm, nghóa laø coù m = 17 saûn phaåm loaïi B. Chuù yù: Ta coù theå söû duïng phaàn meàm thoáng keâ trong caùc maùy tính boû tuùi CASIO 500MS, 570MS,..) nhö sau: 1) Vaøo MODE SD: Baám MODE… vaø baám soá öùng vôùi SD. 2) Xoùa boä nhôù thoáng keâ: Baám SHIFT MODE 1 (maøn hình hieän leân Stat clear) = AC. Kieåm tra laïi: Baám REPLAY Up hoaëc Down thaáy n = vaø ôû goùc soá 0 laø ñaõ xoùa. 3) Nhaäp soá lieäu: 13 ; 8 M+ 17 ; 9 M+ 21 ; 20 M+ 25 ; 16 M+ 29 ; 16 M+ 33 ; 13 M+ 37 ; 18 M+ Löu yù: Ñeå ñöôïc ; ta baám SHIFT , 4) Kieåm tra vaø söûa soá lieäu sai: Baám REPLAY Down ñeå kieåm tra soá lieäu. Thaáy soá lieäu naøo sai thì ñeå maøn hình ngay soá lieäu ñoù, nhaäp soá lieäu ñuùng vaø baám = thì soá lieäu môùi seõ thay cho soá lieäu cuõ. Ví duï: Nhaäp sai 13 ; 18 M+. Khi kieåm tra ta thaáy: - x1 = 13 (ñuùng). - Freq1 = 18 (sai) Söûa nhö sau: Ñeå maøn hình ôû Freq1 = 18, baám 8 vaø = thì nhaän ñöôïc soá lieäu ñuùng Freq1 = 8. 6 Soá lieäu naøo bò nhaäp dö thì ñeå maøn hình ôû soá lieäu ñoù vaø baám SHIFT M+ thì toøan boä soá lieäu ñoù (goàm giaù trò cuûa X vaø taàn soá töông öùng) seõ bò xoùa. • Sau khi kieåm tra xong phaûi baám AC ñeå xoùa maøn hình vaø thoaùt khoûi cheá ñoä chænh söûa. 5) Ñoïc keát quaû: - Baám SHIFT 1 1 ( 2X∑ ) = ta ñöôïc 2i iX n 75028.=∑ - Baám SHIFT 1 2 ( X∑ ) = ta ñöôïc i iX n 2636;=∑ - Baám SHIFT 1 3 (n) = ta ñöôïc côõ maãu n = 100. - Baám SHIFT 2 1 (X ) = ta ñöôïc kyø voïng maãu X 26,36= . - Baám SHIFT 2 2 (xσn) = ta ñöôïc ñoä leäch chuaån: S 7,4452= Suy ra phöông sai maãu  2 2S (7,4452)= . - Baám SHIFT 2 3 (xσn-1) = ta ñöôïc ñoä leäch chuaån hieäu chænh: S 7,4827= Suy ra phöông sai maãu hieäu chænh 2 2S (7,4827)= . §2. ÖÔÙC LÖÔÏNG 2.1. Öôùc löôïng ñieåm Xeùt ñaùm ñoâng X vaø maãu (X1, X2,..., Xn) ta coù caùc öôùc löôïng ñieåm khoâng cheäch sau: 1) Kyø voïng maãu X laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa kyø voïng ñaùm ñoâng: XXM ≈= )(μ 7 2) Phöông sai maãu hieäu chænh 2S laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa phöông sai ñaùm ñoâng: 2 2D(X) Sσ = ≈ 3) Tæ leä maãu Fn laø öôùc löôïng khoâng cheäch cuûa tæ leä ñaùm ñoâng: nFp ≈ Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. Haõy öôùc löôïng giaù trò trung bình, phöông sai cuûa chæ tieâu X vaø tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B. Giaûi. Trong Ví duï 1 ôû §1, ta ñaõ tìm ñöôïc: - Kyø voïng maãu cuûa X laø ).(36,26 cmX = - Phöông sai ñaõ hieäu chænh cuûa X laø 22 2 2nS S (7,4827) 55,9903 (cm ). n 1 = = =− - Tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B laø %.17=nF Ta öôùc löôïng: - Giaù trò trung bình cuûa X laø M(X) ≈ ).(36,26 cmX = - Phöông sai cuûa X laø D(X) ≈ 2 2S 55,9903 (cm ).= - Tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B laø p ≈ %.17=nF 8 2.2. Öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng Xeùt ñaùm ñoâng X vaø maãu (X1, X2,..., Xn), ta coù caùc coâng thöùc öôùc löôïng khoûang cho kyø voïng M(X)μ = vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α nhö sau: Tröôøng hôïp 1: n ≥ 30; σ2 = D(X) ñaõ bieát. 1(X z ;X z ) (z ) 2 2n nα α α σ σ − α γ− + ϕ = =vôùi (ϕ laø haøm Laplace). Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø z nα σε = . Tröôøng hôïp 2: n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát. S S 1(X z ;X z ) (z ) 2 2n nα α α − α γ− + ϕ = =vôùi (S laø ñoä leäch maãu hieäu chænh, ϕ laø haøm Laplace). Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø Sz nα ε = . Tröôøng hôïp 3: n< 30; X coù phaân phoái chuaån, σ2 = D(X) ñaõ bieát. 1(X z ;X z ) (z ) 2 2n nα α α σ σ − α γ− + ϕ = =vôùi (ϕ laø haøm Laplace). Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø z nα σε = . Tröôøng hôïp 4: n< 30; X coù phaân phoái chuaån, σ2=D(X) chöa bieát. S S(X t ;X t ) n nα α − + (S laø ñoä leäch maãu hieäu chænh) trong ñoù kt tα α= ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student öùng vôùi baäc töï do k = n–1 vaø α = 1 - γ. Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø St nα ε = . • Tra Baûng haøm Laplace ñeå xaùc dònh zα thoûa 1(z ) 2 2α − α γϕ = = ta ñöôïc: 9 γ ϕ (zα) = γ/2 zα 90% 0,45 1,65 95% 0,475 1,96 96% 0,48 2,06 97% 0,485 2,17 98% 0,49 2,33 99% 0,495 2,58 • Ñoâi khi giaù trò zα ñöôïc cho döôùi daïng P(|Z|≤ zα) = 1- α = γ hay P(Z ≤ zα) = 0,5 +1 2 − α = 0,5 2 γ+ , trong ñoù Z ∼ N(0,1). • Baûng phaân phoái Student öùng vôùi k = n – 1 vaø α = 1 - γ cho ta giaù trò kt tα α= thoûa P(|T|> tα) = α = 1 - γ, nghóa laø P(|T|≤ tα) = 1- α = γ. Ví duï: Khi k = 12, α = 0,01 ta coù tα = 3,055. Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. a) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä tin caäy 95%. b) Öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy 99% (Giaû söû X coù phaân phoái chuaån). Giaûi. a) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 95% = 0,95. Vôùi caùc soá lieäu treân, trong §1, ta ñaõ tìm ñöôïc: - Côõ maãu n = 100. - ).(36,26 cmX = - ).()4827,7( 222 cmS = Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: 10 S S(X z ;X z ) n nα α − + trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra baûng B giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 1,96. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: ).83,27;89,24() 100 4827,796,136,26; 100 4827,796,136,26( =+− Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X töø 24,89cm ñeán 27,83 cm. b) Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μB = M(XB) cuûa chæ tieâu X = XB cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 99% = 0,99. Ta laäp baûng soá lieäu cuûa XB: XBi 13 17 nBi 8 9 Töø baûng treân ta tính ñöôïc: ;17=Bn ;257∑ =BiBinX .953.32∑ =BiBi nX - Kyø voïng maãu cuûa XB laø B Bi Bi B 1X X n 15,1176 (cm). n = =∑ - Phöông sai maãu cuûa XB laø: 2 2 2 2 2B Bi Bi B B 1S X n X (1,9965) (cm ). n = − =∑ - Phöông sai maãu ñaõ hieäu chænh cuûa XB laø: 22 2 2B BB B nS S (2,0580) (cm ). n 1 = =− Vì nB < 30, XB coù phaân phoái chuaån, σ2B= D(XB) chöa bieát, neân ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng: 11 B B B B B B S S(X t ;X t ) n nα α − + trong ñoù kt tα α= ñöôïc xaùc ñònh töø baûng phaân phoái Student vôùi k = nB–1 = 16 vaø α = 1 - γ = 1 – 0,99 = 0,01. Tra baûng phaân phoái Student ta ñöôïc t 2,921α = . Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: ).58,16;66,13() 17 0580,2921,21176,15; 17 0580,2921,21176,15( =+− Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 99%, giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa nhöõng saûn phaåm loaïi B töø 13,66cm ñeán 16,58cm. 2.3. Öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä Xeùt ñaùm ñoâng X vaø maãu (X1, X2,..., Xn), ta coù caùc coâng thöùc öôùc löôïng khoûang cho tæ leä p = P(A) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α nhö sau: n n n n n n F (1 F ) F (1 F ) 1(F z ;F z ) (z ) n n 2 2α α α − − −α γ− + ϕ = =vôùi (Fn laø tæ leä maãu, ϕ laø haøm Laplace). Ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø n nF (1 F )z nα −ε = . Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. Öôùc löôïng tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B ñoä tin caäy 98%. Giaûi. Ñaây laø baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p caùc saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 98% = 0,98. Ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng : n n n n n n F (1 F ) F (1 F )(F z ;F z ) n nα α − −− + trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,98/2 = 0,49. 12 Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zγ = 2,33. Ta coù côõ maãu n = 100. Tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B laø: %.1717,0 100 17 ==== n mFn vì trong n = 100 saûn phaåm coù m = 8+ 9 = 17 saûn phaåm coù chæ tieâu X nhoû hôn hay baèng 19 cm, nghóa laø coù m = 17 saûn phaåm loaïi B. Vaäy öôùc löôïng khoaûng laø: 0,17(1 0,17) 0,17(1 0,17)(0,17 2,33 ; 0,17 2,33 ) (0,0825; 0,2575) 100 100 (8,25%; 25,75%). − −− + = = Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 98%, tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B töø 8,25% ñeán 25,75%. 2.4. Caùc chæ tieâu chính cuûa baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng vaø tæ leä Trong baøi toaùn öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng vaø tæ leä coù 3 chæ tieâu chính laø: - Côõ maãu n. - Ñoä chính xaùc ε. - Ñoä tin caäy γ = 1 -α. Neáu bieát ñöôïc 2 trong 3 chæ tieâu treân thì coù theå suy ra chæ tieâu coøn laïi. 1) Tröôøng hôïp öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng Ta xeùt tröôøng hôïp phoå bieán nhaát laø n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát. Khi ñoù, ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho kyø voïng μ = M(X) vôùi ñoä tin caäy γ: S S(X z ;X z ) (z ) . 2n nα α α γ− + ϕ =vôùi Do ñoù ta coù coâng thöùc ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø: Sz (1) nα ε = 13 - Neáu bieát côõ maãu n vaø ñoä tin caäy γ thì ta tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ(zα) = γ/2. Töø ñoù ta tìm ñöôïc ñoä chính xaùc ε theo (1). - Neáu bieát côõ maãu n vaø ñoä chính xaùc ε thì töø (1) ta suy ra nz Sα ε= Tra baûng B giaù trò haøm Laplace ta tìm ñöôïc ϕ(zα). Töø ñoù suy ra ñoä tin caäy γ = 2ϕ(zα). - Neáu bieát ñoä chính xaùc ε vaø ñoä tin caäy γ thì töø (1) ta suy ra: 2z Sn α⎛ ⎞= ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ Chuù yù raèng 2z Sα⎛ ⎞⎜ ⎟ε⎝ ⎠ coù theå khoâng laø soá nguyeân, hôn nöõa, ta ñaõ bieát trong öôùc löôïng, côõ maãu caøng lôùn thì öôùc löôïng caøng chính xaùc. Do ñoù trong thöïc teá ta coù yeâu caàu: 2z Sn (2)α⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ Goïi n1 laø soá nguyeân n nhoû nhaát thoaû (2); n0 laø côõ maãu ñang coù. Neáu n1 ≤ n0 thì ta khoâng caàn ñieàu tra theâm vì côõ maãu ñang coù ñaõ thoûa (2). Neáu n1 > n0 thì ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø n1- n0 soá lieäu nöõa ñeå ñaûm baûo toång soá lieäu laø n1 thoaû (2). Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 a) Neáu muoán öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân vôùi ñoä chính xaùc 1,8cm thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? 14 b) Neáu muoán öôùc löôïng giaù trò trung bình cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân vôùi ñoä chính xaùc 1,5cm vaø ñoä tin caäy 97% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa? Giaûi. Caùc soá lieäu cuûa baøi toaùn ñaõ ñöôïc tính trong caùc ví duï tröôùc. Nhaéc laïi raèng : - Côõ maãu n = 100. - ).(36,26 cmX = - ).()4827,7( 222 cmS = a) Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,8cm. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Sz nα ε = trong ñoù ϕ (zα) = γ /2. Suy ra n 1,8. 100z 2,41 S 7,4827α ε= = = Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø: 2 (z ) 2 (2, 41) 2.0, 4920 98,40%.αγ = ϕ = ϕ = = Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 98,40%. b) Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng kyø voïng cuûa chæ tieâu X vôùi ñoä chính xaùc ε = 1,5cm vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 97% = 0,97. Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chöa bieát neân ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: Sz nα ε = trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,97/2 = 0, 485. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,17. Suy ra 15 2z Sn α⎛ ⎞= ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ Thöïc teá yeâu caàu: 22z S 2,17.7,4827n 117,18. 1,5 α ⎛ ⎞⎛ ⎞≥ = ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ε⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoûa baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 118. Vì n1 = 118 > 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø 118 – 100 = 18 saûn phaåm nöõa. 2) Tröôøng hôïp öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä Ta xeùt tröôøng hôïp côõ maãu khaù lôùn. Khi ñoù, ta coù coâng thöùc öôùc löôïng khoaûng cho tæ leä p vôùi ñoä tin caäy γ: n n n n n n F (1 F ) F (1 F ) 1(F z ;F z ) (z ) . n n 2 2α α α − − − α γ− + ϕ = =vôùi Do ñoù ta coù coâng thöùc ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng laø: n nF (1 F )z (1) nα −ε = - Neáu bieát côõ maãu n vaø ñoä tin caäy γ thì ta tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ(zα) = γ/2. Töø ñoù ta tìm ñöôïc ñoä chính xaùc ε theo (1). - Neáu bieát côõ maãu n vaø ñoä chính xaùc ε thì töø (1) ta suy ra n n nz F (1 F )α = ε − Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta tìm ñöôïc ϕ(zα). Töø ñoù suy ra ñoä tin caäy γ = 2ϕ(zα). - Neáu bieát ñoä chính xaùc ε vaø ñoä tin caäy γ thì töø (1) ta suy ra: 2 n n 2 z F (1 F )n α −= ε 16 Chuù yù raèng 2 n n 2 z F (1 F )α − ε coù theå khoâng laø soá nguyeân, hôn nöõa, ta ñaõ bieát trong öôùc löôïng, côõ maãu caøng lôùn thì öôùc löôïng caøng chính xaùc. Do ñoù trong thöïc teá ta coù yeâu caàu: 2 n n 2 z F (1 F )n (2)α −≥ ε Goïi n1 laø soá nguyeân n nhoû nhaát thoaû (2); n0 laø côõ maãu ñang coù. Neáu n1 ≤ n0 thì ta khoâng caàn ñieàu tra theâm vì côõ maãu ñang coù ñaõ thoûa (2). Neáu n1 > n0 thì ta caàn ñieàu tra theâm ít nhaát laø n1- n0 soá lieäu nöõa ñeå ñaûm baûo toång soá lieäu laø n1 thoaû (2). Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Nhöõng saûn phaåm coù chæ tieâu X töø 19 cm trôû xuoáng ñöôïc xeáp vaøo loaïi B. a) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 8% thì seõ ñaït ñöôïc ñoä tin caäy laø bao nhieâu? b) Neáu muoán öôùc löôïng tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc 9% vaø ñoä tin caäy 96% thì phaûi ñieàu tra theâm ít nhaát bao nhieâu saûn phaåm nöõa? Giaûi. Caùc soá lieäu cuûa baøi toaùn ñaõ ñöôïc xeùt nhieàu laàn. Nhaéc laïi raèng : - Côõ maãu n = 100. - Tæ leä maãu caùc saûn phaåm loaïi B laø Fn = 0,17. a) Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh ñoä tin caäy γ = 1- α khi löôïng tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc ε = 8% = 0,08. Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: 17 n nF (1 F )z nα −ε = trong ñoù ϕ(zα) = γ /2 . Suy ra n n n 100z 0,08. 2,13. F (1 F ) 0,17(1 0,17)α = ε = =− − Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc ñoä tin caäy laø 2 (z ) 2 (2,13) 2.0, 4834 96,68%.αγ = ϕ = ϕ = = Vaäy ñoä tin caäy ñaït ñöôïc laø 96,68%. b) Ñaây laø baøi toaùn xaùc ñònh côõ maãu khi öôùc löôïng tæ leä caùc saûn phaåm loaïi B vôùi ñoä chính xaùc ε = 9% = 0,09 vaø ñoä tin caäy γ = 1- α = 96% = 0,96. Ta coù coâng thöùc tính ñoä chính xaùc cuûa öôùc löôïng: n nF (1 F )z nα −ε = trong ñoù ϕ (zα) = γ /2 = 0,96/2 = 0,48. Tra baûng giaù trò haøm Laplace ta ñöôïc zα = 2,06. Suy ra 2 n n 2 z F (1 F )n α −= ε Thöïc teá yeâu caàu: 2 2 n n 2 2 z F (1 F ) 2,06 .0,17(1 0,17)n 73,92. 0,09 α − −≥ = ≈ε Giaù trò n nguyeân nhoû nhaát thoaû baát ñaúng thöùc treân laø n1 = 74. Vì n1 = 74 < 100 (100 laø côõ maãu ñang coù) neân ta khoâng caàn ñieàu tra theâm saûn phaåm nöõa. 2.5. Öôùc löôïng khoaûng cho phöông sai Xeùt ñaùm ñoâng X coù phaân phoái chuaån vaø maãu (X1, X2,..., Xn), ta coù caùc coâng thöùc öôùc löôïng khoûang cho phöông sai σ2 = D(X) vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α nhö sau: 18 Tröôøng hôïp 1: M(X)μ = ñaõ bieát: 2 2 i i 2 2 1 2 2 (X ) (X ) ; α α− ⎛ ⎞− μ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ trong ñoù 2 2 αχ vaø 2 1 2 α− χ ñöôïc cho trong baûng phaân phoái chi bình phöông χ2 ∼ χ2(n) vôùi n baäc töï do thoûa 2 2P( )αχ > χ = α ; 2 i(X )− μ∑ laø toång bình phöông cuûa maãu (X1 - μ, X2 - μ,..., Xn- μ). Tröôøng hôïp 2: M(X)μ = chöa bieát: 2 2 2 2 1 2 2 (n 1)S (n 1)S; α α− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ trong ñoù 2 2 αχ vaø 2 1 2 α− χ ñöôïc cho trong baûng phaân phoái chi bình phöông χ2 ∼ χ2 (k) vôùi k = n-1 baäc töï do thoûa 2 2P( )αχ > χ = α ; S2 laø phöông sai maãu hieäu chænh. • Baûng phaân phoái chi bình phöông χ2 ∼ χ2 (n) vôùi n baäc töï do cho ta caùc giaù trò 2αχ thoûa 2 2P( )αχ > χ = α . Ví duï: vôùi n = 30; α = 0,01 ta coù 2 37,57αχ = . (Trong moät soá taøi lieäu khaùc, kí hieäu 2αχ chæ giaù trò maø 2 2P( )αχ ≤ χ = α . Theo nghóa naøy thì 2αχ chính laø giaù trò 21−αχ maø ta ñaõ xeùt ôû treân). Ví duï: Ñeå khaûo saùt chæ tieâu X cuûa moät loaïi saûn phaåm, ngöôøi ta quan saùt moät maãu vaø coù keát quaû sau: X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39 Soá saûn phaåm 8 9 20 16 16 13 18 Giaû söû X coù phaân phoái chuaån. Haõy öôùc löôïng phöông sai cuûa X vôùi ñoä tin caäy 95% trong moãi tröôøng hôïp sau: 19 a) Bieát giaù trò trung bình cuûa X laø 25cm. b) Chöa bieát giaù trò trung bình cuûa X. Giaûi. a) Giaû thieát cho ta μ = M(X) = 25. Ta coù öôùc löôïng khoaûng cuûa phöông sai vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) laø: 2 2 i i 2 2 1 2 2 (X ) (X ) ; α α− ⎛ ⎞− μ − μ⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ ∑ Ta laäp baûng: Xi -μ -12 -8 -4 0 4 8 12 ni 8 9 20 16 16 13 18 Töø ñoù ta tìm ñöôïc côõ maãu n = 100; 2i(X ) 5728− μ =∑ . Tra baûng phaân phoái chi bình phöông χ2 ∼ χ2 (n) vôùi n = 100 baäc töï do ta ñöôïc: 2 2 2 2 0,05 1 0,95124,3 vaø 77,93α −αχ = χ = χ = χ = Vaäy öôùc löôïng khoaûng cuûa phöông sai laø: 5728 5728; (46,08;73,50) 124,3 77,93 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, phöông sai cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân töø 46,08(cm2) ñeán 73,50(cm2). b) Ta coù öôùc löôïng khoaûng cuûa phöông sai vôùi ñoä tin caäy γ = 1 - α = 95% (α = 0,05) laø: 2 2 2 2 1 2 2 (n 1)S (n 1)S; α α− ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟χ χ⎜ ⎟⎝ ⎠ Caùc soá lieäu cuûa baøi toaùn ñaõ ñöôïc tính trong caùc ví duï tröôùc. Nhaéc laïi raèng : - Côõ maãu n = 100. - ).(36,26 cmX = - ).()4827,7( 222 cmS = 20 Tra baûng phaân phoái chi bình phöông χ2 ∼ χ2 (n-1) vôùi n-1 = 99 ≈100 baäc töï do ta ñöôïc: 2 2 2 2 0,05 1 0,95124,3 vaø 77,93α −αχ = χ = χ = χ = Vaäy öôùc löôïng khoaûng cuûa phöông sai laø: 2 299.(7,4827) 99.(7,4827); (44,59;71,13) 124,3 77,93 ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Noùi caùch khaùc, vôùi ñoä tin caäy 95%, phöông sai cuûa chæ tieâu X cuûa loaïi saûn phaåm treân töø 44,59(cm2) ñeán 71,13(cm2). §3. KIEÅM ÑÒNH GIAÛ THIEÁT 3.1. Kieåm ñònh giaû thieát veà kyø voïng 1) Baøi toaùn: Xeùt ñaùm ñoâng X coù kyø voïng μ = M(X) chöa bieát. Vôùi moãi soá α (0 < α < 1) khaù beù, haõy döïa vaøo maãu (X1, X2,…, Xn) ñeå kieåm ñònh giaû thieát: H0: μ = μ0 (μ0 laø haèng soá ) vôùi giaû thieát ñoái H1: μ ≠ μ0 vôùi möùc yù nghóa α. 2) Qui taéc kieåm ñònh: Ta coù 4 tröôøng hôïp: Tröôøng hôïp 1: n ≥ 30; σ2 = D(X) ñaõ bieát: Böôùc 1: Tính 0 (X ) nt .− μ= σ Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ(zα)=(1- α)/2. Böôùc 3: Kieåm ñònh baèng caùch so saùnh |t| vôùi zα : • Neáu |t| ≤ zα thì chaáp nhaän giaû thieát H0: μ = μ0. • Neáu |t| > zα thì baùc boû giaû thieát H0: μ = μ0. Tröôøng hôïp 2: n ≥ 30; σ2 = D(X) chöa bieát: Böôùc 1: Tính 0 (X ) nt . S − μ= Böôùc 2: Tra baûng giaù trò haøm Laplace ñeå tìm zα thoaû ϕ(zα)=(1- α)/2. Böôùc 3: Kieåm ñònh baèng caùch so saùnh |t| vôùi zα : • Neáu |t| ≤ zα thì chaáp nhaän giaû thieát H0: μ = μ0. • Neáu |t| > zα thì baùc boû giaû thieát H0: μ = μ0. 21 Tröôøng hôïp 3: n < 30; X coù phaân phoái chuaån; σ2 = D(X) ñaõ bieát: Qui taéc kieåm ñònh gioáng tröôøng hôïp 1. Tröôøng hôïp 4: n < 30; X coù phaân phoái chuaån; σ2 = D(X) chöa bieát: Böôùc 1: Tính 0 (X ) nt . S − μ= Böôùc 2: Ñaët k = n - 1. Tra baûng phaân phoái Student öùng vôùi baäc töï do k vaø möùc yù nghóa α tìm giaù trò kt tα α= . Böôùc 3: Kieåm ñònh baèng caùch so saùnh |t| vôùi tα: • Neáu |t| ≤ tα thì chaáp nhaän giaû