Ôn tập Toán 12

Chủ đề 1 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Vấn đề 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số B1: Tìm tập xác định của hàm số B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1; 2; …; n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến; nghịch biến. Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số  Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số: a) y = x3 – 3x2 + 2 ; b) y = − x4 + 4x2 – 3 c) ; d) e) y = x – ex Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. ‚ Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2] ƒChứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +). Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến; nghịch biến trên khoảng xác định cho trước Phương pháp: Ÿ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. Ÿ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai. Ÿ f(x) đồng biến trên K Û f’(x) ≥ 0; "x Î K ( Û ) Ÿ f(x) nghịch biến trên K Û f’(x) ≤ 0; "x Î K ( Û) Hàm số bậc 3Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/ ( y’ = 0 Û ax2 + bx + c = 0)Ÿ Hàm số tăng trên ¡ (từng khoảng xác định): y/ ³ 0; "x Î ¡ Û . Giải Tìm m. Ÿ Hàm số giảm trên ¡ (từng khoảng xác định): y/ ≤ 0; "x Î ¡ Û . Giải Tìm m. Chú ý: Nếu hệ số a của y/ có tham số thì phải xét khi a = 0Hàm số nhất biến : Ÿ Tập xác định Ÿ Đạo hàm y/Ÿ Hàm số tăng (giảm) trên (-∞; -d/c) và (-d/c; +∞) Û: y/ > 0 ( y/ 0 (<0) Chú ý : Nếu hệ số c có chứa tham số ta xét thêm c = 0. Tổng quát: “Tìm m để hàm số y = f(x; m) đồng biến trên K”. (nâng cao)B1. Tính đạo hàm f’(x; m). B2. Hàm số đồng biến trên K Û f’(x; m) ³ 0; "x Î K Û m ³ g(x); "xÎK (m £ g(x)) B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.  Tìm giá trị của tham số a để hàm số đồng biến trên R. ‚ Cho hàm số a. Định m để hàm số luôn đồng biến; b. Định m để hàm số luôn nghịch biến. ƒ Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định . „ Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên R … Định m để hàm số: đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. † Định m để hàm số đồng biến trong các khoảng xác định . Vấn đề 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x) Qui tắc I B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định. B3. Lập bảng biến thiên. B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị Qui tắc II B1: Tìm tập xác định. B2: Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu là xi là các nghiệm của nó. B3: Tính f ”(xi) B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị Ÿ f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; Ÿ f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp. Ví dụ . Tìm cực trị của hàm số y = 2x3 + 3x2 – 36x – 10 Qui tắc I Ÿ D = R; Ÿ Ÿ BBT Qui tắc II Ÿ D = R; Ÿ Ÿ y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên  hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và yct = − 54 y’’(−3) = −30 < 0 nên  hàm số đạt cực đại tại x = −3 và ycđ =71 Vậy điểm cực đại M(-3; 71) điểm cực tiểu N(2; − 54) Tìm cực trị của các hàm số sau:  ‚Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a B1: Tính y’ = f’(x). B2: Giải phương trình f’(a) = 0 tìm được m B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f’(a) = 0 không kể CĐ hay CT) Nhớ : Ÿ y’’(xo) ≠ 0 cực trị ; Ÿ y’’(xo) 0 cực tiểu. ; Ví dụ . Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m − 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 Ta có . Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y’(2) = 0 Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : Dùng QT I hoặc II ta có tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực tiểu . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm  Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + 2 đạt cực đại tại x = 2. ‚ Tìm m để hàm số có cực trị tại x =1. Đó là CĐ hay CT ƒ Tìm m để hàm số y = x3 – 2mx2 + m2x – 2 đạt cực tiểu tại x = 1. „ Tìm các hệ số a; b; c sao cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu tại điểm x = 1; f(1) = −3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Hàm sô y = f(x) có y’ = 0 Û ax2 + bx + c; đồ thị (C). Ÿ hàm số có 2 cực trị. Ÿ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi yCĐ. yCT < 0. Ÿ hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục Oy khi xCĐ. xCT < 0. Ÿ hai cực trị nằm phía trên trục Ox khi. Ÿ hai cực trị nằm phía dưới trục Ox khi. Ÿ đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành khi yCĐ. yCT = 0 1. Tìm m để các hàm số sau có cực trị : a) y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + m; b) 2. Tìm m để hàm số sau không có cực trị y = (m − 3)x3 − 2mx2 + 3.  Vấn đề 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Cách 1 B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x) B2: Xét dấu đạo hàm f’(x); lập bảng biến thiên Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định Cách 2: Để tìm GTLN; GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b] B1: Tìm xi Î[a; b](i = 1; 2; . . . ; n) làm cho đạo hàm = 0 hoặc không xác định B2: Tính f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b). B3: GTLN = Max{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} GTNN = Min{ f(a); f(x1); f(x2); …; f(xn); f(b)} Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng Hướng dẫn: hàm số xác định nên liên tục trên . Lập BBT KL: = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất. Ví dụ 2. Tính GTLN; GTNN của hàm số trên đoạn [−4; 0] Hướng dẫn Hàm số xác định nên liên tục trên [−4; 0]. f’(x) = x2 + 4x +3; f’(x)=0 Û. Vậy: f(x) = f(−3) = f(0) = − 4; f(x) = f(−4) = f(−1) = Luyện tập. Tìm GTLN; GTNN của hàm số (nếu có):  a) y = x3 + 3x2 – 9x + 1 trên [−4; 4]; b) y = x3 + 5x – 4 trên [−3; 1] c) y = x4 – 8x2 + 16 trên [−1; 3]; d) y = x3 + 3x2 – 9x – 7 trên [−4; 3] ‚ a) y = / (−2; 4]; b) y = x + 2 +trên (1; +∞); c) y=trên; d) y = x; e) y = x2. ex / [−1; 1]; f) y = / [e; e3]; g) y= ln(x2 +x−2) / [ 3; 6] ƒ a. / () b. trên ( ) c. f(x) = x2 ln(1−2 x) trên đoạn [−2; 0] () d. f(x) = sin3x − cos2x + sinx + 2 (. M = 5; m = ) e. f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx + 5 ( M = 9; m = −11) Vấn đề 4. Khảo sát hàm số Ÿ Tìm tập xác định của hàm số . Ÿ Tính đạo hàm y’; tìm nghiệm của phương trình y’= 0. Ÿ Tìm các giới hạn tại vô cực; các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). Ÿ Lập bảng biến thiên. Ÿ Tìm điểm đặc biệt và tính đối xứng của đồ thị. Vẽ đồ thị. Ÿ Hàm số bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)− Xét y’ = 0 : D ≤ 0 luôn đồng biến ( a > 0) hoặc nghịch biến (a < 0) trên R D > 0 có 2 điểm cực trị. − Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn I(xo; yo) với xo là nghiệm của phương trình Ÿ Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) − Có 1 cực trị ( a.b ≥ 0) hoặc có 3 cực trị (a. b < 0) − Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. Ÿ Hàm nhất biến: y = (c ≠ 0; ad – bc ≠ 0) − Luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên (−∞; −) và (−; +∞). − Tiệm cận đứng: x = −; tiệm cận ngang y = . − Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Vấn đề 5. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Sự tương giao giữa 2 đồ thị: a) Bài toán 1: Tìm số giao điểm của hai đường : và : Ÿ Lập phương trình hoành độ giao điểm của và : . Ÿ Số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm chính là số giao điểm của hai đường. b) Bài toán 2: Dùng đồ thị (C) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình Ÿ Biến đổi phương trình đã cho về phương trình hoành độ giao điểm (một vế là phương trình của hàm số đã có đồ thị (C); một vế là phần còn lại) Ÿ Lập luận: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của (C) và (d). Ÿ Dựa vào đồ thị; ta tìm các giá trị m ảnh hưởng đến số giao điểm của (C) và (d) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) Phương trình có dạng: y – yo = k (x – xo) ( hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo) ) a) Tại Mo(xo; yo): tìm hệ số góc tiếp tuyến k = f’(xo). b) Biết hệ số góc k của tiếp tuyến: sử dụng tìm x0 ; tìm y0. Ÿ Tiếp tuyến D // d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = a Û f’(x0 ) = a; giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 . Ÿ Tiếp tuyến D ^ d: y = ax + b có hệ số góc tiếp tuyến k = Û f’(x0 ) = ; giải phương trình tìm x0 ; thế x0 vừa tìm được vào (C) tìm y0 . Dạng 3: Điểm cố định của họ đường (Cm): y=f(x, m) A(x0, y0) là điểm cố định của (Cm) Û A(x0, y0) Î (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m Û Am2 + Bm + C = 0, "m hoặc Am + B = 0, "m Giải hệ phương trình trên để tìm điểm cố định. (dồn m, rút m, khử m) Dạng 4: Tập hợp điểm M(x; y) Ÿ Tính x và y theo tham số . Khử tham số để tìm hệ thức giữa x và y. Ÿ Giới hạn quỹ tích (nếu có). Dạng 5: CMR điểm I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C):y=f(x) Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo . Công thức đổi trục: . Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X) Cminh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra I(x0; y0) là tâm đối xứng của (C). Dạng 6: CMR đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C). Dời trục bằng phép tịnh tiến . Công thức đổi trục Thế vào y = f(x) ta được Y= f(X). C minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. Suy ra đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C). CÁC BÀI TOÁN THI VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1 Cho hàm số y = f(x) = x(3 –x)2 có đồ thị (C) , Khảo sát hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành . Một đường thẳng (d) đi qua O có hệ số góc m . Với giá trị nào của m thì (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt O; A; B . Bài 2 Cho hàm số y = 1 – có đồ thị (C) . Khảo sát hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 6 –x. Bài 3 Cho hàm số y = f(x) = 3 – 2x2 – x4. Khảo sát hàm số . Gọi (C) là đồ thị ở câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox Bài 4 Cho hàm số y = có đồ thị (C) , 1. Khảo sát hàm số . 2. Viết phương trình tiếp tuyến (D) của (C) tại điểm A(3; –2) . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; (D) ; Oy . Bài 5 Cho hàm số , có đồ thị (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2. Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của nó với trục hoành 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox, trục Oy và đường thẳng x = 3. Bài 6 Cho hàm số y = f(x) = có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số . 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) ; trục hoành và đường thẳng x = –2 . 3. Chứng minh rằng với mọi k 0 đường thẳng y = kx cắ (C) tại 2 điểm phân biệt . Bài 7 Cho hàm số y = –x3 + 3x2 có đồ thị (C) . Khảo sát hàm số . Gọi A là điểm uốn của (C), B là điểm thuộc (C) có hoành độ x = 3 . Viết các phương trinh tiếp tuyến của (C) tại A và B . Tìm toạ độ giao điểm của hai tiếp tuyến . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung AB và các đoạn thẳng AD ; BD . Bài 8 Cho hàm số y = có đồ thị là (C) . Khảo sát hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng x – y + 2 = 0 . Bài 9 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn . Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 –6x2 +9x –m =0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox , các đường thẳng x =1 , x =2 Bài 10 Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn . Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3 –6x2 +9x –m =0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox , và các đường thẳng x = 1, x = 2 . Bài 11 Cho hàm số y = x3 –3x + 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x=1 Một đưòng thẳng (d) đi qua điểm uốn của (C) có hệ số góc k . Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) . Tmì toạ độ giao điểm trong trường hợp k =1 . Bài 12 Cho hàm số y = x3 + 3x2 +mx + m –2 , m là tham số , đồ thị là (Cm) . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 3 . Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) và trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của(C) tại điểm A . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến (d) . Tìm giá trị của tham số m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt Bài 13 Cho hàm số y = f(x) = Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox và các đường thẳng x = –2; x = 1 . Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng y = k . Bài 14 Cho hàm số y = x3 – ( m + 2 )x + m ; m là tham số . 1 . Định m để hàm số tương ứng có cực trị tại x = –1 . 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1 . 3. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y = k . Bài 15 Cho hàm số y = . 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số . 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) đi qua điểm A(0; 1) . Chứng minh rằng có đúng một tiếp tuyến của đồ thị (H) đi qua điểm B(0; –1) . 3 . Tìm tất cả các điểm nguyên trên đồ thị (H) . (Điểm nguyên là điểm mà cả hoành dộ lẫn tung độ đều là số nguyên ) . Bài 16 Cho hàm số y =x3 – 3x có đồ thị (C) . 1. Khảo sát hàm số . 2. Cho điểm M thuộc (C) có hoành độ x = 2. Viết phương trình đuờng thẳng d đi qua M và là tiếp tuyến của (C) . 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và tiếp tuyến của nó tại M Bài 17 Cho hàm số y = – x4 + 2x2 +3 có đồ thị (C) . Khảo sát hàm số . Xác định các các giá trị m để phương trình x4 – 2x2 + m =0 có 4 nghiệm phân biệt . Bài 18 Cho hàm số y = (x + a )3 + ( b + x )3 – x3 . 1 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 1 ; b = 2 . 2 . Các số a , b thoả điều kiện gì để hàm số có cực đại , cực tiểu . Bài 19 Cho hàm số y = x3– 3mx2 +2(m2 – 1 )x – m2 – 1 . Chứng minh rằng với mọi m tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến với đồ thị . Tìm m để : a/ Hàm số không có cực trị. b/ Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m =–1 . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và đưòng thẳng x = –2 Bài 20 Cho hàm số y = x3 –mx2 + (m+2)x +2m . 1 . KSHS khi m = –2 . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn . 2 . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . Bài 21 Cho hàm số y = 2x3 – 3( 2a + 1 )x2 + 6a(a + 1)x . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 1 . CMR "a hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm x1 , x2 và x1 –x2 không phụ thuộc vào a . Tìm a để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 1) . Bài 22 Cho hàm số y = f(x) = x3– 4x2 + 4x , có đồ thị (C) . Khảo sát hàm số. Tìm toạ độ giao điểm của (C) và đường thẳng (D) : y = 3x – 6. Tiếp tuyến của (C) tại O cắt (C) tại A . Tìm toạ độ điểm A . Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thằnh y = kx . Tìm m để phương trình x3– 4x2 + 4x – m = 0 có ba nghiệm phân biệt . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với đường thẳng (d1): y = 7x . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng (d2): y = x . Chủ đề 2 HÀM SỐ; PHƯƠNG TRÌNH; BPT MŨ ; LÔGARIT. TÓM TẮT KIẾN THỨC: 1) Luỹ thừa: Ÿ Các công thức cần nhớ: Ÿ Tính chất của lũy thừa: ; ; ; ; ; Ÿ Quy tắc so sánh: + Với a > 1 thì + Với 0 < a < 1 thì 2) Căn bậc n: ; ; ; 3) Lôgarit: Ÿ Định nghĩa: Cho : Ÿ Tính chất: Ÿ Quy tắc so sánh: + Với a > 0 thì: + Với 0 < a <1 thì: Ÿ Quy tắc tính: ; ; ; Ÿ Công thức đổi cơ số: hay hay ; Ÿ Chú ý: Lôgarit thập phân (cơ số 10) kí hiệu là: logx hoặc lgx Lôgarit cơ số e kí hiệu là: lnx PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) Hàm số mũ y = ax: Ÿ TXĐ: ¡ ; y = ax > 0 với mọi x. Ÿ Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1; nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1. 2) Dạng cơ bản: Dạng 1. Đưa về cùng cơ số Ví dụ 1) ; 2) ; 3) ; 4) 1) pt ÛÛ x2 + 3x – 2 = −2 Û x2 + 3x = 0 Û x = 0 Ú x = − 3 2) pt ÛÛ …Û x2 – 3x + 2 = 0 Û x = 1 Ú x = 2 3) pt Û 4) Dạng 2. đặt ẩn phụ Ví dụ 1) ; 2) ; 3) 1) pt Û (*) Đặt t = 3x > 0 ta có phương trình (*) Û 6561t2 – 972t + 27 = 0 Û Với ; Với 2) pt Û (*). Đặt ; (*) Với t = 5 Û 5x = 5 Û x = 1. Vậy phương trình có nghiệm: x = 1. 3) pt Û (*) Đặt . Pt (*) Với ; Vậy phương trình có nghiệm: Bài tập: (TNBTT2010) giải : 9x – 3x – 6 = 0. (TNBTT2007) a) 22x + 5 + 22x + 3 = 12 b) 92x +4 − 4.32x + 5 + 27 = 0 c) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 d) e) f) g) i) Dạng 3. Logarit hóạ a) 2x − 2 = 3 b) 3x + 1 = 5x – 2 c) 3x – 3 = d) e) f) 52x + 1− 7x + 1 = 52x + 7x Dạng 4. sử dụng tính đơn điệu a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) 1 + 3x/2 = 2x PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT ¯ Hàm số: y = logax có tập xác định D = (0 ; +∞); . Tập giá trị: ¡ ¯ Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1; nghịch biến nếu 0 < a < 1 ¯ Phương trình và bất phương trình cơ bản: ŸŸ Dạng 1. Đưa về cùng cơ số a) ; b) c) d) e) log4x + log2x + 2log16x = 5 f) g) log3x = log9(4x + 5) + . KQ: a) 1; b) −1; c); d) Æ; e); f) 3; g) Dạng 2. đặt ẩn phụ (TNTHPT 2010) giải : h) i) j) k) l) m) n) log3(3x – 8) = 2 – x o) p) KQ: h) ; i) ; j) 2; 3; k) e; e2; l) ; m) 3; 81; n) 2; o) 0; −1; p) 4. Dạng 3 mũ hóa a) 2 – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = 2 – x Bất phương trình mũ  a) b) c) d) e) 16x – 4 ≥ 8 f) 52x + 2 > 3. 5x g) (1/2) 2x − 3≤ 3 ‚ a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17 b) 52x – 3 – 2.5x −2 ≤ 3 c) d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 f) 4x +1 −16x ≥ 2log48  Bất phương trình logarit a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 d) log ½ (log3x) ≥ 0 e) 2log8(x− 2) – log8( x− 3) > 2/3 f) log2x(x2 −5x + 6) < 1 g) h) k) Bảng đạo hàm: Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho. 1) y = esinx CMR: y’cosx – ysinx – y’’ = 0 2) y = ln(cosx) CMR: y’tanx – y’’ – 1 = 0 3) y = ln(sinx) CMR: y’ + y’’sinx + tan = 0 4. y = ex. cosx CMR: 2y’ − 2y − y’’ = 0 5. y = ln2x CMR: x2y’’ + xy’ = 2 Tự luyện  Giải các phương trình sau : 1/ ĐS : x =1 2/ 5x + 5x + 1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 ĐS : x = 3/. 32x+2 – 28.3x + 2 = 0 ĐS : x =1 ; x = −2 4/. log2x + log4(2x) = 1 ĐS : 5/. ĐS : x = 2 ; x = 4 6/. 3x +2.31 – x −5 = 0 ĐS : x = 1 ; x = log32 7/. ĐS : 8/. ĐS : 9/. ĐS : 10/. ĐS: x = −2; 0; 1. 11/. ĐS: ‚ Giải bất phương trình : 1/. 22x+6 + 2x+7 – 17 > 0 2/. 2. 2x + 3. 3x > 6x – 1 3/ logx[ log3 ( 3x −9) ] < 1 4/. 5/. 6/. ƒ Giải hệ phương trình : 1/. 2/. 3/. Chủ đề 3 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Căn bản Mở rộng ( với a ¹ –1 ) (với a ¹ –1 ) =ln½a.x + b½+ C ò(1+ tan2 x).dx == tanx + C ò(1+ tan2a x).dx = ò(1+ cot2 x)dx = = −cotx + C ò(1+ cot2a x)dx = ( 0 < a ¹ 1 ) ( 0 < a ¹ 1 ) Tổng quát: = F(x) +C Þ= F(ax+b) +C (a ≠ 0) 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] · ; ; · (k là hằng số) · · ( a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: Công thức cơ bản: Ÿ; Ÿ ; Ÿ  Ÿ; Ÿ; Ÿ Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a Công thức hạ bậc: * sin2a = * cos2a = Công thức biến đổi tích thành tổng: * * * Hệ quả: Ÿ ;  Ÿ 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * và * ; * * a0 = 1; a1 = a ; a–n = * ; * ; * ; * * 5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a2 – b2 = (a+b)(a – b) * * * . * (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc * (a – b + c)2 = a2 + b2 + c2 – 2ab + 2ac – 2bc Có chạy, có đi thì có đến Chăm học, chăm rèn ắt tiến lên! I. BÀI TẬP nguyên hàM Œ Cho f(x) = sin2x , tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(π) = 0. Đs  Chứng minh F(x) = ln là nguyên hàm của f(x) = Hướng dẫn : Chứng minh : F /(x) = f(x) Ž Tìm nguyên hàm của các hàm số. 1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 2. f(x) = ĐS. F(x) = 3. f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 4. f(x) = ĐS. F(x) = 5. f(x) = ĐS. F(x)= 6. f(x) = ĐS: F(x) = 7. f(x) = ; 8. f(x)= ĐS 7. ; 8. 9. f(x) = ; 10. f(x) = tan2x ĐS 9. F(x) = x – sinx + C; 10. tanx – x + C 11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx − cotx – 4x + C 13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx − cotx + C 14. f(x) = ĐS. F(x) = − cotx – tanx + C 15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 16. f(x)=2sin3xcos2x ĐS. F(x)= 17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = 18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C 19. f(x) = 2ax + 3x ; 20. f(x) = e3x+1 ĐS. 19. ; 20. II. Tích phân cơ bản: . 1) Tính các tích phân a) I1 = b) I2 = c)I3 = KQ: I1 = I2 = e2 –1 I3 = 2) Tính các tích phân a) J1 = b) J2 = c) J3 = J1 = J2 = 7ln2 – 2 J3 = 3) Tính các tích phân a) K1 = b) K2 = c) K3 = KQ: K1 = K2 = K3 = 4. Tính các tích phân: 1) L = KQ: L = 2) I = KQ: I = 3) J = KQ: J = 4) K = KQ: K = – 2 5) M = KQ: M = 6) N = KQ: N = 7) P = KQ: P = 8) Q = KQ: 9) R = KQ: 10) S = KQ: Cố gắng Û Thành công. III. Phương pháp đổi biến số: Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ : Tính a) I1 = KQ: I1 = b) I2 = KQ: I2 = Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: t = u(x) rồi suy ra dt = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là và thì =u(a) = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ : Tính các tích phân a) J1 = b) J2 = c)J3 = d) J4 = e) J5 = . KQ: J1 = ( e4 – e) J2 = J3 = J4 = J5 = Bài tập tự luyện 1) Tính a) I = KQ: I = b) J = KQ: J = –4 c) K = KQ: K = d) L = KQ: L = e) M = KQ: M = g) N = KQ: N = ln h) P = KQ: P = i) Q = KQ: 2) Tính a) I1 = KQ: 4 b) J1 = KQ: c) P = KQ: 2ln3 d) Q= KQ: 16/3 e) L1 = KQ: g) N1 = KQ: ln(e+1) h) J4’ = KQ: IV. Phương pháp tích phân từng phần: Công thức: Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):ekx P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) P(x): Đa thức Q(x):hay Cách đặt * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Ví dụ : Tính các tích phân a) I1 = b) I2 = c) I3 = KQ: I1 = I2 = I3 = 8ln2 – Ví dụ : Tính các tích phân a) J1 = KQ: J1 = b) J2 = KQ: J2 = Bài tập tự luyện 1) Tính các tích phân: a) I 1= KQ: I = b) I2 = KQ: c) I3 = KQ: M = – ln d) I4 = KQ: N = 2(1 – ) 2) Tính các tích phân: a) K1= KQ: b) K2 = KQ: c) K3 = KQ: J = 2 d) K4 = KQ: e) K5 = KQ: IV. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: · Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành) được tính bởi: S = (1). · Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính bởi: S = (2). Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số a) y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2. ĐS: 2 b) y = 2 – x2 và y = x. ĐS: 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = (3) Ví dụ a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox., ĐS: b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox. Giải: · Phương trình hoành độ giao điểm : – x2 = x3 x = 0 V x = –1 · Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng quay quanh Ox: V1== · Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1 và trục Ox…: Có V2 == Vậy thể tích V cần tính là: V = = (đvtt) Chú ý: Khi tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng công thức dẫn đến kết quả sai KQs : V = đvtt. Bài tập tự luyện  Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : a) y = x2 − 3x + 2 ; y = x −1; x = 0 ; x = 2. ĐS: 2 b) y = x.ex ; x = 1 ; y = 0. ĐS: S= 1 c) y = sin2x + x ; y = x; x = 0; x = π . ĐS: S= d) y2 = 2x và y = 2x −2 . ĐS : S= e) đồ thị hàm số y = và đường thẳng y = 0. ĐS: S = 63 −16 ln 8 f) y2 = 2x +1 và y = x – 1. ĐS: 16/ 3 g) (P): y = – x2 + 4x và trục Ox. ĐS:S = đvdt h) (P): y = – x2 và y = – x – 2 . ĐS:S = đvdt i) (C): y = 5x4 – 3x2 – 8; trục Ox trên [1; 3] ĐS: S = 200 đvdt ‚ Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Ox của hình giới hạn bởi : a) (C): y= ; các trục toạ độ . ĐS : V= ( 3− 4 ln2 ) b) (P): y 2 = 8x và x = 2 ĐS : 16 đvtt c) y = x2 và y = 3x ĐS : đvtt d) y = ; y