Ngân hàng đề thi Toán kinh tế

1 NGÂN HÀNG ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN HỌC PHẦN: TOÁN KINH TẾ (60 tiết – 4 tín chỉ) LOẠI 1 ĐIỂM : Câu 1: Trình bày: Mô hình toán học bài toán quy hoạch tuyến tính. Các tính chất cơ bản của bài toán quy hoạch tuyến tính. Điều kiện tồn tại lời giải của bài toán quy hoạch tuyến tính. Câu 2: Anh (chị) hiểu thế nào là phương án? Phương án cực biên? Phương án tối ưu của bài toán quy hoạch tuyến tính? Mô tả cấu trúc tập phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính. Câu 3: Phát biểu tiêu chuẩn để một phương án của bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc tối ưu? Tại sao tiêu chuẩn tối ưu lại phát biểu đối với bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc mà không phát biểu ở dạng khác? Câu 4: Phát biểu và giải thích nội dung định lý cơ bản của phương pháp đơn hình. Câu 5: Nội dung lược đồ tổng quát (các bước chính) của thuật toán đơn hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính. Câu 6: Phát biểu mô hình toán học bài toán đối ngẫu của bài toán quy hoạch tuyến tính. Ý nghĩa kinh tế của cặp bài toán đối ngẫu. Câu 7: Phát biểu mô hình toán học của bài toán vận tải đóng. Dạng bảng của bài toán vận tải đóng? Câu 8: Nội dung lược đồ tổng quát (các bước chính) của thuật toán thế vị giải bài toán vận tải đóng. Câu 9: Đồ thị hữu hạn là gì? Hãy mô tả một số yếu tố của đồ thị hữu hạn. Câu 10: HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG Km10 Đường Nguyễn Trãi, Hà Đông-Hà Tây Tel: (04).5541221; Fax: (04).5540587 Website: E-mail: dhtx@e-ptit.edu.vn 2 Mô hình là gì? Mô hình kinh tế là gì? Mô hình toán kinh tế là gì? Cấu trúc của mô hình toán kinh tế? Câu 11: Trình bày các bước xây dựng mô hình toán kinh tế. Mô hình toán kinh tế được sử dụng trong phân tích xử lý hoạt động kinh tế như thế nào? Câu 12: Định nghĩa hàm sản xuất. Hãy trình bày một số hàm sản xuất đặc trưng cho các trình độ sản xuất của xó hội mà anh (chị) biết. LOẠI 3.5 ĐIỂM : Câu 1: Cho quy hoạch tuyến tính: f(x) = -2x1 + x2 + x3 + x4 - 4x5 Æ min (1) x1 - x2 + 4x3 - 2x5 ≥ - 4 3x1 + 2x2 - x3 + x4 ≥ 24 (2) 5x1 + 3x2 + x3 + 2x4 - x5 = 46 xj ≥ 0 , j = 5,1 (3) a. Chứng minh rằng véc tơ x0 = (0,2,0,20,0). là phương án cực biên của bài toán (1) - (2) - (3) b. Từ véc tơ x0 hãy giải bài toán đã cho bằng phương pháp đơn hình. c. Từ véc tơ x0 đã cho, giải bài toán (1) - (2) - (3) khi thay hàm mục tiêu (1) bởi hàm mục tiêu sau: 7 (x) = 5x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 – 2x5 Æ min (1) Câu 2: Cho quy hoạch tuyến tính: f (x) =- x1 + x2 Æ max (1) - x1 + x3 + x5 = 5 3x1 - x4 + 5x5 ≤ 10 (2) x2 - x5 = 1 xj≥ 0, j = 5,1 (3) a. Giải bài toán đã cho đã cho bằng phương pháp đơn hình b. Bài toán (1) - (2) - (3)) có lời giải đóng nhất hay không? Vì sao? Tìm tập phương án tối ưu (nếu có) của bài toán. 3 c. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán (1) - (2) - (3) và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng Câu 3: Cho quy hoạch tuyến tính: f(x) = -5x1 - 2x2 - x3 10 3 Æ min (1) 2x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 46 4x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 38 (2) 3x1 + x3 ≤ 21 xj ≥ 0; j = 3,1 (3) a. Giải bài toán (1) - (2) - (3) bằng phương pháp đơn hình. b. Bài toán có lời giải duy nhất không? Vì sao? Tìm một tập phương án tối ưu (nếu có) của bài toán. c. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán (1) - (2) - (3) và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. Câu 4: Cho quy hoạch tuyến tính: f(x) = x1 + 2x2 - 4x3 Æ max (1) 2x1 + 3x2 + 4 x3 ≤ 5 - 3x1 - 5x2 + x3 ≤ -3 (2) x1 + x2 - x4 = 6 xj ≥ 0; j = 4,1 (3) a. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán (1) - (2) - (3) và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. b. Giải bài toán đã cho bằng phương án đơn hình. c. Từ kết quả giải bài toán, hãy chứng tỏ rằng bài toán đã cho có hai tập phương án tối ưu. Tìm hai tập phương án tối ưu đó. Câu 5: Cho quy hoạch tuyến tính: f(x) = 5x1 + 2x2 + 5x3 Æ min (1) 3λ (x1 - 1) - x2 + 4x3 ≥ 2 - 3λ λx1 + x2 +x3 ≥ 3 (2) xj ≥ 0; j = 3,1 (3) 4 a. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán đã cho và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. b. Giải và biện luận bài toán (1) – (2) – (3) theo tham số c. Áp dụng bài toán đã cho với 4 3 λ = Câu 6: Cho Quy hoạch tuyến tính: f(x) = -x1 – 5x2 + 4x3 – 2x4 → min (1) x1 – 4x2 + x3 - 6x4 ≤ 13 x1 + 2x2 + 3x4 ≤ 9 (2) -3x1 – x2 – x3 + 2x4 ≤ 8 xj ≥ 0; j = 1, 4 (3) a. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán đã cho và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. b. Dựng định lý đối ngẫu chứng tỏ bài toán đã cho giải được. c. Giải bài toán bằng phương pháp đơn hình. Câu 7: Cho quy hoạch tuyến tính: f(x) = 5x1 – 9x2 + 15x3 + 7x4 + 5x5 → min (1) x1 + 3x2 – x3 – x4 + x5 ≤ 1 4x1 + x3 + 2x4 – x5 = 4 (2) -x1 – x2 + x3 – 3x5 ≥ -1 xj ≥ 0; j = 1,5 , x1 ∈ R (3) a. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán đã cho và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. b. Cho véc tơ x0 = (0, 1, 2, 0). Phân tích tính chất của véc tơ x0 đối với bài toán đã cho. Tìm lời giải của cặp bài toán đối ngẫu. Câu 8: Một doanh nghiệp có công nghệ sản xuất được bởi hàm sản xuất: Y = 0,4K +0,7L trong đó Y là kết quả sản xuất, K là vốn, L là sức lao động (K > 0, L > 0) a. Hãy phân tích sự thay đổi của kết quả sản xuất Y theo K và L 5 b. Xác định hệ số thay thế của lao động cho vốn và ngược lại. c. Xác định hệ số co dãn của kết quả sản xuất Y theo vốn K và theo sức lao động L. Câu 9: Một doanh nghiệp hoạt động sản xuất với tổng chi phí sản xuất được cho bởi hàm C(Q) = 4000 + 10Q + 0,1Q2. (Q là sản lượng), giá đầu vào là p được cho bởi hàm Q = 800 - 2,5p. a. Tìm hàm chi phí cận biên MC theo sản lượng Q. b. Tìm hàm chi phí trung bình AC theo sản lượng Q c. Tính hệ số co dãn của tổng chi phí sản xuất tại Q = 80. Câu 10: Một trạm làm nhiệm vụ phân chia bưu phẩm có hai dây chuyền tuyển lựa hoạt động độc lập. Bưu phẩm được đóng theo thùng có cùng một kích thước, được đưa đến trạm theo quy luật Poat- xông dừng, cường độ 10 thùng/ngày, Năng suất phân chia xong một thựng tuân theo luật số mũ. Mỗi thùng bưu phẩm đến trạm gặp lúc có dây chuyền rỗi thì được nhận vào phân chia ở một dây chuyền rỗi, ngược lại phải chờ, nếu trong trạm chưa quá 10 thùng chờ. Hãy tính các chỉ tiêu xác định chất lượng phục vụ của trạm: P0, Pc, Ptc, P0pt, bn , cm , ct , rt . LOẠI 4.5 ĐIỂM : Câu 1: Một doanh nghiệp bảo dưỡng và sửa chữa thiết bị bưu điện có 5 dây chuyền sản xuất. Các thiết bị bưu điện đến xí nghiệp để sửa chữa và bảo dưỡng là dòng tối giản, trung bình trong 1 thùng có 20 thiết bị đến xí nghiệp sửa chữa và bảo dưỡng. Thời gian sữa chữa và bảo dưỡng xong một thiết bị của một dây chuyền là một biến ngẫu nhiên, trung bình mất 6 ngày một thiết bị. a. Xí nghiệp bảo dưỡng sửa chữa thiết bị bưu điện nói trên là hệ thống phục loại gì? Vì sao? b. Hãy xác định Các chỉ tiêu đánh giá chất lượng phục vụ của xí nghiệp: Pc, cm , ct , rk . c. Theo anh (chị ) có nên tăng số dây chuyền sản xuất lên không? Vì sao? nếu tăng thì tăng lên bao nhiêu là tốt nhất? Xét trong các điều kiện các thiết bị đến xí nghiệp để sửa chữa và bảo dưỡng có cường độ là 20 thiết bị trong một thùng; năng suất bảo dưỡng và sửa chữa khi số dây chuyền tăng lên vẫn là 6ngày/thiết bị, chi phí qc = qk = qtb = 1000 USD. 6 Câu 2: Một công ty kinh doanh một loại thiết bị bưu điện, có nhu cầu là 200.000 thiết bị/năm. Việc tiêu thụ loại thiết bị này là đều đặn trong năm, thời gian nhập hàng về công ty không đáng kể. Công ty mua thiết bị này từ một nguồn không hạn chế về số lượng, chi phí cho một lần đặt hàng là 400$, giỏ một thiết bị là 2400$, hệ số chi phí bảo quản là 0,05. Thời gian từ lúc đặt hàng đến khi có hàng về đến kho của công ty là 2 thùng. a. Hoạt động kinh doanh của công ty trên thuộc loại hệ thống quản lý dự trữ gì? Vì sao? b. Hãy xác định lượng đặt hàng tối ưu mỗi lần? Thời gian một chu kỳ dự trữ tiêu thụ tối ưu? Số lần đặt hàng tối ưu? Điểm đặt hàng tối ưu? Tổng chi phí của hoạt động quản lý dự trữ tối ưu? Câu 3: Một doanh nghiệp sản xuất - kinh doanh một loại thiết bị bưu điện, có công suất 2.000.000 thiết bị/năm. Nhu cầu tiêu thụ loại thiết bị này là 1.400.000 thiết bị/năm. Chi phí cho một lần chuẩn bị sản xuất là 400$, chi phí để sản xuất một thiết bị là 140$, chi phí bảo quản có hệ số là 0,01. Thời gian chuẩn bị một đợt sản xuất là 45 ngày. a. Doanh nghiệp trên thuộc hệ thống quản lý dự trữ gì? Vì sao? b. Hãy phân chia nhu cầu trên thành từng đợt sản xuất sao cho tổng chi phí sản xuất - tiêu thụ là bé nhất. c. Nếu mỗi lần sản xuất 6000 thiết bị thì chi phí cho một thiết bị là 138$ có nên sản xuất theo qui mô này không? Vì sao?. Câu 4: Cho quy hoạch tuyến tính: g(y) = 22y1 + 25y2 - 22y3 + 20y4 Æ max (1) y1 + 2y2 - y3 + y4 ≤ -1 2y1 + y2 - 2y3 + 2y4 ≤ -2 (2) 3y1 + 5y2 - 3y3 + y4 ≤ -3 y4 ≤ k y1 ≤ 0, y3 ≤ 0, y2 ∈ R, y4∈ R (3) a. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán (1) - (2) - (3) và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. b. Tìm giá trị của k để bài toán đối ngẫu có tính chất: có phương án tối ưu? Không có phương án tối ưu? Mọi phương án đều là phương án tối ưu? c. Với k = 1, tìm lời giải của cặp bài toán đối ngẫu đã cho. 7 d. Tìm phương án x của bài toàn đối ngẫu có thành phần x 4= 4 sao cho giá trị hàm mục tiêu tại x có giá trị lớn hơn -22. Câu 5: Cho quy hoạch tuyến tính: f(x) = -x1 + x2 Æ max (1) - x1 + x3 + x5 = 5 3x1 - x4 + 5x5 ≤ 10 (2) x2 - x5 = 1 xj ≥ 0; j = 5,1 (3) a. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán (1) - (2) - (3) và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. b. Tìm lời giải của cặp bài toán đối ngẫu. Tìm một tập phương án tối ưu của bài toán (1)-(2)-(3) sao cho giá trị hàm mục tiêu trên đó nằm trong khoảng [3, 6]. Câu 6: Cho quy hoạch tuyến tính: f(x) = 6x2 + 4x4 + x5 + x6 Æ min (1) x1 - x2 + 3x3 - 7x4 - 2x5 + x6 = 14 - 4x1 + 6x2 - 9x3 + 21x4 + 5x5 - 2x6 = - 45 (2) - 2x1 + 4x2 - x3 + 2x4 - x5 + x6 = -15 xj ≥ 0; j = 6,1 a. Viết bài toán đối ngẫu với bài toán đã cho và xác định các cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. b. Chứng tỏ rằng véc tơ x0 = (12, 0, 0, 0, 7, 16) là một phương án cực biên của bài toán đã cho. Từ véc tơ x0 hãy giải bài toán bằng phương pháp đơn hình. c. Xác định phương án tối ưu của bài toán đối ngẫu. Câu 7: Cho đồ thị hữu hạn G = (X, A) ở hình dưới, trong đó X là tập các đỉnh, A là tập các cạnh có độ dài ghi tên mỗi cạnh. 8 a. Biểu diễn đồ thị bằng ma trận liên hệ trực tiếp. b. Trong đồ thị đã cho, bỏ cạnh (1,5); (2,7) và (3,7) hãy xác định đồ thị đối ngẫu với đồ thị còn lại và tìm các cặp điều kiện đối ngẫu của hai đồ thị này. c. Tìm đường đi ngắn nhất đi từ đỉnh X1 đến tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị đã cho. Câu 8: Cho đồ thị hữu hạn G = (X, A) ở hình dưới, trong đó X là tập các đỉnh, A là tập các cạnh có độ dài ghi tên mỗi cạnh. a. Trong đồ thị đã cho, bỏ cạnh (3,8) và (3,7) hãy tìm đồ thị đối ngẫu với đồ thị còn lại và xác định một cặp điều kiện đối ngẫu tương ứng. b. Tìm luồng vận chuyển lớn nhất của mạng đã cho. c. Tìm lắt cắt nhỏ nhất của đồ thị và xác định giá trị của lát cắt này. X5 2 8 6 3 12 11 12 5 4 10 10 9 7 X7 X6 X3 X1 X4 X2 7 X7 X4 4 3 2 6 5 8 5 4 X5 X2 X6 2 4 3 6 4 3 5 6 X8 X3 X1 9 Câu 9: Một doanh nghiệp có công nghệ sản xuất biểu hiện ở hàm sản xuất Y = A(t).k0,4 L0,6, trong đó k = k0 + 0,1t, L = L0 + 0,2 t, A(t) = 0,1t, Y là thu nhập, K là vốn, L là sức lao động, A(t) là tác động của khoa học công nghệ. a. Hãy xác định xu hướng thay đổi của hệ số tăng trưởng của thu nhập Y khi A(t), K(t), L(t) cùng thay đổi. b. Hãy xác định xu hướng thay đổi của hệ số tăng trưởng của thu nhập Y chỉ khi A(t) thay đổi? Chỉ khi L(t) thay đổi? chỉ khi K(t) thay đổi? c. Xác định hệ số thay thế của vốn cho lao động và ngược lại. Câu 10: Một doanh nghiệp hoạt động sản xuất với hàm tổng chi phí là: C(Q) = Q3 - 5Q2 + 14Q + 144; (Q >0), trong đó Q là kết quả sản xuất. a. Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của tổng chi phí sản xuất theo kết quả sản xuất Q. Từ đó anh (chị) có suy nghĩ gì về mở rộng qui mô sản xuất của doanh nghiệp. b. Tính hệ số co dãn của tổng chi phí sản xuất theo kết quả sản xuất tại Q = 2. c. Cho giá trị sản phẩm là P = 70, thuế doanh thu là 20%. Tính lợi nhuận của doanh nghiệp khi kết quả sản xuất Q = 3. Tìm điểm hoà vốn và lỗ vốn của doanh nghiệp.