Một số dạng toán ôn thi vào lớp 10

Một số dạng toán ôn thi vào lớp 10 Người soạn Vũ Văn Bắc Ngày soạn 22 tháng 4 năm 2012 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc VẤN ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC 1.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán  Phân tích mẫu thức thành nhân tử đạt điều kiện cho mẫu thức và căn thức nếu có  Một số câu hỏi thường gặp trong bài toán về căn thức  Rút gọn biểu thức  Giải bất phương trình : chú ý điều kiện ban đầu  Giải phương trình : chú ý điều kiện ban đầu để loại nghiệm nếu có  Chia nhỏ các biểu thức để tính nếu như biểu thức cần tính là phức tạp hay dài dòng  Lưu tâm rằng đây là câu hỏi đơn giản các em cần cẩn thận trong việc làm toán.  Tổng quan: Cho biểu thức 3 x 1 1 1B : x 1 x 1 x x          với x 0 ; x 1  a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để 2P x 3  (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định năm 2011) Lời giải a) Với điều kiện x 0 ; x 1  ta có   3 x 1 x 1B x x ( x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)             3 x 1 x 1x ( x 1). ( x 1)( x 1)        x (2 x 2) 2 x( x 1) 2 x x 1 x 1        Vậy với x 0 ; x 1  thì P 2 x b) Với điều kiện x 0 ; x 1  và P 2 x ta có 2P x 3 4 x x 3       x 4 x 3 0 x 1 x 3 0        x 1 0 x 1 x 1 x 9x 3 0 x 3                 Kết hợp với điều kiện thì chỉ có x 9 là thỏa mãn Vậy x 9 là giá trị thỏa mãn bài toán đã cho Nhận xét: cách giải chung trong bài toán trên như sau  Đặt điều kiện thích hợp (nếu đề bài trước như trên thì ta vẫn phải nêu lại sau đó biến đổ rút gọn biểu thức.  Kết luận: nêu lại điều kiện và kết quả tìm được.  Khi gặp dạng như câu hỏi 2 thì cách làm trên là điển hình. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc 1.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng Bài toán 1.1. Cho biểu thức       6 5 3 2 aaa aP a2 1 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a sao cho 1P  c) Tìn a sao cho 2012P  Bài toán 1.2. Cho biểu thức P =                          65 2 3 2 2 3: 1 1 xx x x x x x x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x sao cho 0P  Bài toán 1.3. Cho biểu thức P =                        13 231: 19 8 13 1 13 1 x x x x xx x a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để 6 5 P  Bài toán 1.4. Cho biểu thức P =                    1 2 1 1: 1 1 aaaa a aa a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a sao cho 1P  c) Tìm giá trị của P sao cho 3819 a Bài toán 1.5. Cho biểu thức P =                                 a a aa a a a aa 1 1. 1 1: 1 )1( 332 a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức 1 2 M a P      Bài toán 1.6. Cho biểu thức P =                           12 2 12 11:1 12 2 12 1 x xx x x x xx x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi 3 2 2 x   Bài toán 1.7. Cho biểu thức P =                    1 1: 1 1 1 2 x x xxxxx x a) Rút gọn P b) Tìm x để 0P  Bài toán 1.8. Cho biểu thức P =                       a a a aa a a a 1 1. 1 12 3 3 a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức 1P a www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 1.9. Cho biểu thức 1 1 2 1 2: 11 1 x x x x x xP xx x x x                  a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi 7 4 3x   c) Tìm giá trị lớn nhất của a sao cho P a Bài toán 1.10. Cho biểu thức P =                      a a aaa a aa 1 1. 1 1 a) Rút gọn P b) Tìm a sao cho 7 4 3P   Bài toán 1.11. Cho biểu thức P =                         1 3 22: 9 33 33 2 x x x x x x x x a) Rút gọn P b) Tìm x để 1 2 P  c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài toán 1.12. Cho biểu thức P                            3 2 2 3 6 9:1 9 3 x x x x xx x x xx a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để 1P  Bài toán 1.13. Cho biểu thức P  3 32 1 23 32 1115         x x x x xx x a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để 1 2 P  c) Chứng minh rằng : 2 3 P  Bài toán 1.14. Cho biểu thức P  2 2 44 2 mx m mx x mx x      trong đó 0m  a) Rút gọn P b) Tính x theo m sao cho 0P  c) Xác định các giá trị của m sao cho x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện 1x  Bài toán 1.15. Cho biểu thức P  12 1 2      a aa aa aa a) Rút gọn P b) Biết 1a  Hãy so sánh P với | |P c) Tìm a để P = 2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Bài toán 1.16. Cho biểu thức P                             1 11 1:1 11 1 ab aab ab a ab aab ab a a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi 2 3a   và 3 1 1 3 b   c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 4 ba www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 1.17. Cho biểu thức P                          1 1 1 1111 a a a a a a aa aa aa aa a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của a thì 7P  c) Với giá trị nào của a thì 6P  Bài toán 1.18. Cho biểu thức P                       1 1 1 1 2 1 2 2 a a a a a a a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của a sao cho 0P  c) Tìm các giá trị của a sao cho 2P   Bài toán 1.19. Cho biểu thức 2( ) 4 .a b ab a b b aP a b ab      a) Tìm điều kiện sao cho P có nghĩa. b) Rút gọn P c) Tính giá trị của P khi 2 3a  và 3b  Bài toán 1.20. Cho biểu thức P  2 1: 1 1 11 2                x xxx x xx x a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng : 0P  với mọi 1x  Bài toán 1.21. Cho biểu thức P                       1 21: 1 1 1 2 xx x xxx xx a) Rút gọn P b) Tính P khi 5 2 3x   Bài toán 1.22. Cho biểu thức P    yx xyyx xy yx yx yx                233 : a) Rút gọn P b) Chứng minh 0P  Bài toán 1.23. Cho P                                 baba ba bbaa ab babbaa ab ba :31.31 a) Rút gọn P b) Tính P khi 16a  và 4b  Bài toán 1.24. Cho biểu thức P  12 . 1 2 1 121                 a aa aa aaaa a aa a) Rút gọn P b) Cho 6 1 6 P   tìm giá trị của a Bài toán 1.25. Cho biểu thức P                            3 5 5 3 152 25:1 25 5 x x x x xx x x xx a) Rút gọn P b) Với giá trị nào của x thì 1P  www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 1.26. Cho biểu thức P     baba baa babbaa a baba a 222 .1:133                a) Rút gọn P b) Tìm những giá trị nguyên của a sao cho P có giá trị nguyên Bài toán 1.27. Cho biểu thức P                      1 2 2 1:1 1 1 a a a a aa a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của a sao cho 1 6 P  Bài toán 1.28. Cho biểu thức P  33 33 :112.11 xyyx yyxxyx yxyxyx                     a) Rút gọn P b) Cho 16xy  xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất Bài toán 1.29. Cho biểu thức P  x x yxyxx x yxy x      1 1. 22 2 2 3 a) Rút gọn P b) Tìm tất cả các số nguyên dương x sao cho 625y  và 0, 2P  VẤN ĐỀ 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1 Dẫn nhập kỹ năng giải toán  Một số câu hỏi mang tính tương đối  Tìm biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm : dùng Viet để giải  Tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một biểu thức nào đó : dùng Viet để giải nhưng chú ý về điều kiện  để phân tích biểu thức thành dạng tích cộng với một hằng số nào đó hay là phân tích thành dạng bình phương cộng với một hằng số nào đó. Ví dụ như điều kiện để phương trình có nghiệm là 1x thì ta phân tích về dạng .( 1)b x trong đó 1 b x . Nếu như 1 b x thì phân tích thành dạng bình phương cộng hằng số và đánh giá.  Phương trình trùng phương và số nghiệm  Có bốn nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt Lưu ý ở đây phương trình (*) là phương trình ẩn t sau khi đặt 2t x  Có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại là dương.  Có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu.  Có một nghiệm khi phương trình (*) có nghiệm duy nhất bằng 0.  Tổng quan: Xét phương trình 2( 1) 4 4 1 0m x mx m     a) Hãy giải phương trình trên khi 2m  b) Tìm m để phương trình có một nghiệm. c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hãy tìm một biểu thức liên hệ độc lập giữa các nghiệm của phương trình. d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x chứng minh rằng     21 21 5m x x m m     h) Tìm m khi ta có hệ thức sau 1 2 2 7x x  trong đó 1 2 ,x x là hai nghiệm của phương trình. i) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia. j) Chứng minh rằng khi 1m  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 ,x x . Khi đó hãy chứng minh bất đẳng thức : 1 2 1 2 1 4 4 4 5 x x x x      Lời giải a) Khi 2m  thay vào phương trình đã cho ta được 2 8 9 0x x   Phương trình này có ' 16 9 7 0     khi đó thì phương trình có 2 nghiệm 1 2 4 7 ; 4 7x x    Vậy với 2m  thì phương trình đã cho có tập nghiệm là  4 7 ; 4 7S    b) Để giải quyết được câu hỏi này thì ta chia làm hai trường hợp như sau Trường hợp 1. 1m  thì ta có 55 4 0 4 x x    1m  thỏa mãn. Trường hợp 2. 1m  khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai Xét biệt thức 2' 4 ( 1)(4 1) 3 1m m m m       Để phương trình có nghiệm thì 1' 0 3 1 0 3 m m        Vậy với 1 3 m   thì phương trình đã cho là có nghiệm. c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 1 ' 0 3 1 0 3 m m m             Khi đó theo hệ thức Viet thì ta có 1 2 1 2 4 4 1 ; 1 1 m m x x x x m m       Mặt khác ta lại có : 4 4( 1) 4 44 1 1 1 m m m m m         4 1 4( 1) 5 54 1 1 1 m m m m m          www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Do đó ta ngay hệ thức cần tìm như sau  1 2 1 25 4 20 16 4x x x x     Vậy hệ thức cần tìm là  1 2 1 25 4 20 16 4x x x x     d) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi 1 1 1 2 ' 0 0 0 x x x x         1' 0 3 m      1 2 1 4 1 0 0 11 4 m m x x m m             1 2 14 0 0 01 mm x x mm           Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 11 0 3 m or m    e) Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt khi 1 1 1 2 ' 0 0 0 x x x x         1' 0 3 m      1 2 1 4 1 0 0 11 4 m m x x m m             1 2 4 0 0 0 1 1 m x x m m         Vậy không tồn tại m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt. f) Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu khi 1 1 ' 0 0x x      1' 0 3 m      1 2 4 1 1 0 0 1 1 4 m x x m m          Vậy phương trình có hai nghiệm âm phân biệt trái dấu khi 1 1 3 m   g) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ta có    2 21 2 1 2 1 24x x x x x x    www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Áp dụng hệ thức Viet ta được   22 1 2 2 2 3 1 5 ( 1) ( 1) m m m x x m m            2 2 21 21 5m x x m m         2 2 21 21 5m x x m m      Mặt khác        2 21 2 1 21 1m x x m x x     Vậy     21 21 5m x x m m     dấu bằng có khi 2.m  h) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm 1 2 ,x x là 1 3 m   và 1m  Xét    2 21 2 1 2 1 24x x x x x x    Khi đó áp dụng hệ thức Viet ta được 2 2 16 4(4 1) 28 1( 1) m m mm     2 216 4( 1)(4 1) 28( 1)m m m m      2 2 216 4(4 3 1) 28( 2 1)m m m m m       228 56 28 12 4 0m m m      228 68 24 0m m    27 17 6 0m m    Ta dễ dàng tìm được 32 ; 7 m m  thỏa mãn bài toán. i) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt  1m và   1 3 m Từ giả thiết bài toán ta có :  1 2 2x x hoặc  2 1 2x x       1 2 2 12 2 0x x x x           22 21 2 1 2 1 2 1 25 2 0 9 2 0x x x x x x x x Từ đây áp dụng hệ thức Viet ta được           2 2 2 9(4 1) 2.16 0 9( 1)(4 1) 32 0 1 ( 1) m m m m m m m         2 2 236 27 9 32 0 4 27 9 0m m m m m Khi đó các em làm tiếp chú ý điều điện phương trình có hai nghiệm phân biệt j) Đễ dàng chứng minhđược ý đầu tiên của bài toán ta có         1 2 4 4( 1) 4 4 4 1 1 1 m m x x m m m             1 2 1 2 4 1 4( 1) 5 5 5 4 4 1 1 1 1 m m x x x x m m m m www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Khi đó ta có :        1 2 1 2 1 1 4 4 4 5 1 m x x x x m Với    1 1 0m m từ đó áp dụng bất đẳng thức Cauchuy cho hai số dương ta có bất đẳng thức cần phải chứng minh. Dấu bằng có khi và chỉ khi  1 2 5m 2.2 Bài tập rèn luyện kỹ năng Bài toán 2.1. Cho phương trình 2 22 ( 2 1) 2m x x m     a) Giải phương trình khi 12 m b) Tìm m để phương trình có nghiệm 23x c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất Bài toán 2.2. Cho phương trình   0224 2  mmxxm (x là ẩn số) a) Tìm m để phương trình có nghiệm 2x tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài toán 2.3. Cho phương trình   04122  mxmx (x là ẩn số ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Chứng minh biểu thức M     1221 11 xxxx  không phụ thuộc vào m Bài toán 2.4. Tìm m để phương trình : a)   0122  mxx có hai nghiệm dương phân biệt b) 0124 2  mxx có hai nghiệm âm phân biệt c) 2 2( 1) 2( 1) 2 1 0m x m x m      có hai nghiệm trái dấu Bài toán 2.5. Cho phương trình   021 22  aaxax a) Chứng minh rằng phương trình trên có hai nghiệm tráI dấu với mọi a b) Gọi hai nghiệm của phương trình là 1x và 2x tìm giá trị của a để 2221 xx  đạt giá trị nhỏ nhất. Bài toán 2.6. Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức 2 111  cb Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm 2 2 0 0 x bx c x cx b         Bài toán 2.7. Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung 2 2 2 (3 2) 12 0 4 (9 2) 36 0 x m x m x           Bài toán 2.8. Cho phương trình 0222 22  mmxx a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình Bài toán 2.9. Cho phương trình bậc hai tham số m : 0142  mxx a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm 1x và 2x thoả mãn điều kiện 10 2 2 2 1  xx Bài toán 2.10. Cho phương trình   052122  mxmx a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu khi đó hai nghiệm mang dấu gì. www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 2.11. Cho phương trình   0102122  mxmx (với m là tham số) a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là 1x và 2x hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị của m để 22 2 12110 xxxx  đạt giá trị nhỏ nhất Bài toán 2.12. Cho phương trình   0121 2  mmxxm với m là tham số a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1m b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5 từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình có nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức 02 5 1 2 2 1  x x x x Bài toán 2.13. Giả sử phương trình 0. 2  cbxxa có hai nghiệm phân biệt 1x và 2x Đặt nnn xxS 21  với n nguyên dương. Chứng minh rằng : 0. 12   nnn cSbSSa Bài toán này nói về ″Công thức truy hồi″ các em thi Chuyên cần lưu ý. Bài toán 2.14. Cho 2( ) 2( 2) 6 1f x x m x m     a) Chứng minh rằng phương trình ( ) 0f x  có nghiệm với mọi m b) Đặt 2x t  tính ( )f x theo t từ đó tìm điều kiện đối với m để phương trình ( ) 0f x  có hai nghiệm lớn hơn 2 Bài toán 2.15. Cho phương trình   05412 22  mmxmx a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau d) Gọi 21; xx là hai nghiệm nếu có của phương trình tính 2 2 2 1 xx  theo m Bài toán 2.16. Cho phương trình   0122  mxmx x a) Giải phương trình khi 1 2 m  b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi 21; xx là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của m để 2 1221 )21()21( mxxxx  Bài toán 2.17. Cho phương trình 08342  xx có hai nghiệm là 21; xx . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức 2 3 1 3 21 2 221 2 1 55 6106 xxxx xxxxM    Bài toán 2.18. Cho phương trình   052222  kxkx (k là tham số) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k b) Gọi 21; xx là hai nghiệm của phương trình tìm giá trị của k sao cho 18 2 2 2 1  xx Bài toán 2.19. Cho phương trình   04412 2  mxxm (1) a) Giải phương trình (1) khi 1m  b) Giải phương trình (1) khi m bất kì c) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng m Bài toán 2.20. Cho phương trình   0332 22  mmxmx a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm 21, xx thoả mãn 61 21  xx www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc VẤN ĐỀ 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Về câu hỏi này thì các em cần chú ý đến việc đặt ẩn phụ để giải toán và điều kiện xác định khi gặp bài toán có chứa căn thức hay mẫu thức. Bài toán 3.1. Tìm giá trị của m để hệ phương trình         21 11 ymx myxm có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x y nhỏ nhất. Bài toán 3.2. Giải hệ phương trình và minh hoạ bằng đồ thị a)      xy yx 52 1 b)       1 44 2 yx yx c)      123 11 xy xy Bài toán 3.3. Cho hệ phương trình      5 42 aybx byx a) Giải hệ phương trình khi ba  b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có vô số nghiệm. Bài toán 3.4. Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số      mmyx mymx 64 2 Bài toán 3.5. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình      2· 1 yax ayx a) Có một nghiệm duy nhất b) Vô nghiệm Bài toán 3.6. Giải hệ phương trình sau      1 1922 yxyx yxyx Bài toán 3.7. Tìm m sao cho hệ sau có nghiệm         01 121 2 yxyxmyx yx Bài toán 3.8. Giải hệ phương trình      624 1332 22 22 yxyx yxyx Bài toán 3.9. Cho a và b thoả mãn hệ phương trình      02 0342 222 23 bbaa bba Tính giá trị của biểu thức P  22 ba  Bài toán 3.10. Cho hệ phương trình      ayxa yxa . 3)1( a) Giải hệ phương rình khi 2a   b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện 0x y  VẤN ĐỀ 4. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Bài toán 4.1. Cho hàm số ( ) : ( 2)d y m x n   Tìm giá trị của m và n để đồ thị ( )d của hàm số a) Đi qua hai điểm A(-1 ; 2) và B(3 ; -4) b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2 cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 2 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Bài tập chuyên sâu ôn thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc c) Cắt đường thẳng 2 3 0x y   d) Song song vối đường thẳng 3 2 1x y  Bài toán 4.2. Cho hàm số (P) : 22xy  a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ c) Xét số giao điểm của (P) với đường thẳng ( )d : 1 mxy theo m d) Viết phương trình đường thẳng ( ')d đi qua điểm M(0;-2) và tiếp xúc với (P) Bài toán 4.3. Cho (P) : 2xy  và đường thẳng ( )d : mxy  2 1. Xác định m sao cho hai đường đó a) Tiếp xúc nhau tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B một điểm có hoành độ 1x   . Tìm hoành độ của điểm còn lại . Tìm toạ độ A và B 2. Trong trường hợp tổng quát giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi. Bài toán 4.4. Cho đường thẳng ( )d : 2)2()1(2  ymxm a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) : 2xy  tại hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m c) Tìm m để ( )d cách gốc toạ độ một khoảng Max d) Tìm điểm cố định mà ( )d đi qua khi m thay đổi Bài toán 4.5. Cho (P) : 2xy  a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2 Bài toán 4.6. Cho đường thẳng ( )d : 3 4 3  xy a) Vẽ đồ thị ( )d b) Tính diện tích tam giác được tạo thành giữa ( )d và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến ( )d Bài toán 4.7. Cho hàm số ( )d : 1 xy a) Nhận xét dạng của đồ thị vẽ đồ thị ( )d b) Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình mx 1 Bài toán 4.8. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( )d : 2)1(  xmy ; ( ')d : 13  xy a) Song song với nhau b) Cắt nhau c) Vuông góc với nhau Bài toán 4.9. Tìm giá trị của a để ba đường thẳng 1 2( ) : 2 5 ; ( ) : 2   d y x d y x và 3( ) : 12 d y ax đồng quy tại một điểm trong mặt phẳng toạ độ. Bài toán 4.10. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì ( ) : 2 ( 1) 1d x m y   luôn đi qua một điểm cố định nào đó. Bài toán 4.11. Cho 21( ) : 2 P y x và đường thẳng ( ) :d y ax b  . Xác định a và b để đường thẳng ( )d đi qua điểm A(-1 ; 0) và tiếp xúc với ( )P Bài toán 4.12. Cho hàm số 21  xxy a) Vẽ đồ thị hàn số trên b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phương trình mxx  21 www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam www.MATHVN.com Tài liệu cơ sở ôn tập thi vào lớp 10 Biên soạn Vũ Văn Bắc Bài toán 4.13. Cho 2( ) :P y x và đường thẳng ( ) : 2d y x m  a) Vẽ ( )P b) Tìm m để ( )P tiếp xúc ( )d Bài toán 4.14. Cho 21( ) : 4 P x và ( ) :d y x m  a) Xác định m để (P) và ( )d cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4 c) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P) Bài toán 4.15. Cho hàm số 2( ) :P y x và hàm số ( ) :d y x m  a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Áp dụng tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2 Bài toán 4.16. Cho điểm A(-2 ; 2) và đường thẳng 1( ) : 2( 1)d y x   a) Điểm A có thuộc ( 1d ) không hãy giải thích. b) Tìm a để hàm số 2( ) :P y ax đi qua A c) Xác định phương trình đường thẳng ( 2d ) đi qua A và vuông góc với ( 1d ) d) Gọi A và B là giao điểm của (P) và ( 2d ) ; C là giao điểm của ( 1d ) với trục tung . Tìm toạ độ c