Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên

uyên tố Giải: Xét hai trường hợp + Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3. Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là hợp số (loại) Còn 32 + 52 + 72 =83 là số nguyên tố. + Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3. Khi đó a2, b2, c2 đều chia cho 3 dư 1 nên a2 + b2 + c2 chia hết cho 3,là hợp số (loại) Vây ba số phải tìm là 3,5,7. * Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên Bài 1. : Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thảo mãn a2 +b2 = c2 + d2 .Chứng minh rằng a+ b+c+ d là hợp số. Giải: Xét biểu thức A= (a2 -a)+(b2 -b)+( c2 -c)+ (d2 -d) Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số nguyên liên tiếp) nên (a2 + b2 + c2 +d2) -(a+b + c+ d) là số chẵn mà a2 +b2 = c2 + d2 nên a2 +b2 + c2 + d2 là số chẵn. Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số. Bài 2. : Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 Chia hết cho 6 Giải: Ta có A=a3 + b3 + c3 - (a +b + c) = (a3 -a) + (b3 -b) + (c3 -c) Do a3 -a , (b3 -b) , (c3 -c) đều chia hết cho 6 Nên A 6 Mặt khác a+ b +c chia hết cho 6 Do đó a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sô nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9. + Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp có dạng như thế nào? - HS: a3 + ( a + 1)3 + ( a + 2)3 hoặc ( a -1)3 + a3 + ( a+ 1)3 + Trong hai tổng vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một cách nhẹ nhàng hơn Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với A= 13 + 23 + 33 +...+ 99 3 + 1003 B= 1 + 2 + 3+...+ 99 + 100. + Hướng suy nghĩ cho hs: Bài toán trên thuộc dạng nào? + Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50. 101) + Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 13 + 993 50. 101 Bài5. Cho bốn số nguyên dương thoả mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng a5 + b5 +c5 + d5 là hợp số Giải: Gọi ƯCLN (a,c) = k ( k nguyên dương) Khi đó a = ka1 , c= k .c1 và ( a1, c1) =1 Thay vào a.b = c.d được k.a1 .b = k .c1.d nên a1.b = c1. d ta có a1.b c1 mà ( a1 , c1)=1 nên b c1 .Đặt b = c1.m (m nguyên dương), thay vào (1) được a1.c1.m = c1.d nên a1 .m = d Do đó A = a5 + b5 +c5 + d5 = k5 a15 + c15 m5 + c15 m5 +k5 c15 + a15 m5 = k5 ( a15 +c5) + m5 ( a5 + c5) = (a15 + c15)( k5 + m5). Do a1, c1 , k ,m là các số nguyên dương nên A là hợp số. Bài 6. : Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện a2 + b2 = c2 thì abc chia hết cho 60. Giải: Theo bài ra a2 + b2 = c2 (1) Ta có 60 = 3. 4. 5 *Nếu a ,b ,c đều không chia hết cho 3 thì a2, b2 ,c2 đều chia cho 3 dư 1. Khi đó a2 + b2 = Bs 3 + 2, còn c2 = Bs 3 + 1 trái với (1).Vậy trong ba só a,b,c có một số chia hết cho 3. *Nếu a,b,c đều không chia hết cho 5 thì a2, b2, c2 chia cho 5 dư 1 hoặc 4. Khi đó a2 +b2 chia cho 5 dư 0,2,3 còn c2 chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một trong ba số a,b,c chia hết cho 5. *Nếu a,b,c đều không chia hết cho 4 thì a2, b2, c2 chia cho 8 dư 1 hoặc 4 Khi đó a2 + b2 chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c2 chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy tồn tại một số chia hết cho 4. Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60. Bài 7. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức là số nguyên tố: a) 12n2 -5n -15 b) Giải: a) Ta có 12n2 -5n -15 = 12n2 + 15n - 20n - 15 = 3n( 4n +3) - 5( 4n +3) = (4n +3) (3n - 5) Do 12n2 -5n -15 là số nguyên tố nên 4n +5, 3n - 5 là các số nguyên dương . Ta lại có 3n -51) Để 12n2 -5n -25 là số nguyên tố thì thừa số nhỏ phải bằng 1. Nên 3n -5 =1 n = 2 Khi đó 12n2 -5n -25 = 13 .1 =13 là số nguyên tố. b) B = = .Do B là số tự nhiên nên n(n+3) chia hết cho 4.Hai số n và n + 3 không thể cùng chẵn.Vậy hoặc n, hoặc n+3 chia hết cho 4. Nếu n =0 thì B= 0, loại Nếu n =4 thì B =7, là số nguuyên tố. Nếu n = 4k (kN,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên B là hợp số. Nếu n+ 3 =4 thì B =1 loại Nếu n+3 = 4k (kN,k>1) thì B = k( 4k -3) là tích của hai thừa số lớn hơn 1 nên B là hợp số. Vậy n =4, khi đó B = 7 Bài 8. Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13. Giải: Ta có 270 + 370 = (22)35 + (32)35 = 435 + 9 35 . Do đó chia hết cho 4 + 9 =13 (Áp dụng an + bn chia hết cho a+b với n là số lẻ) Vậy 270 + 370 chia hết cho 13. Bài 9.Tìm số nguyên tố p để 2p2 + 1 là số nguyên tố. + Với p là số nguyên tố thì p có dạng như thế nào? ( Thường xét số dư của một số khi chia cho 2 hoặc 3) + Xét p = 3k + 1; p = 3k + 2 và p =3k trường hợp nào mà 2p2 = 1 là số nguyên tố thì => p. Bài 10.Chứng minh:1719+ 1917 chia hết cho 18. + Xét số dư của 17 và 18 khi chia cho 18? 2/Ta phân tích mối quan hệ của việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố có ảnh hưởng rất lớn đến các dạng toán : ƯCLN , BCNN , Qui đòng mẫu các phân số , ... và các dạng toán có liên quan ở mức độ cao hơn như giải phương trình nghiệm nguyên . Tôi chỉ lấy một vài ví dụ . Ví dụ 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố : 720 . 630, 729 , ... Xác định số ước số của mỗi số ? Giải : Ta có : 720 = 24.32.5 630 = 2.32.5.7 729 = 36 Số ước số của số 720 là (4+1)(2+1)(1+1) = 5.3.2 = 30 Số ước số của số 630 là (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2.3.2.2 = 24 Số ước số của số 729 là (6+1) = 7 Đây là bài toán các học sinh có thể giải được . Ví dụ 2 : Rút gọn phân số : Giải : Ta có : 200920092009 = 2009.100000000+2009.10000+2009 = 2009(100000000+10000+1) = 2009.100010001 Và : 201020102010 = 2010.100000000+2010.10000+2010 = 2010(100000000+10000+1) = 2010.100010001 Nên : Ví dụ 3 : Các bài toán thực tế về BCNN và ƯCLN Các bài toán diễn đạt bằng lời văn . C .PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI : *Áp dụng cho việc dạy bồi dưỡng phần số học cho học sinh khá giỏi của cấp THCS , chú trọng nhất là học sinh khối 6 . *Áp dụng cho toàn bộ học sinh khối 6 ở các bài tập nâng cao . *Áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi các khối 8, 9 . D.KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: *Năm học 2006 – 2007 có 40% học sinh giỏi khối 6 ham học toán . *Năm học 2007 – 2008 có 50% học sinh giỏi khối 6;8 ham học toán số học . *Năm học 2008 – 2009 có 55% học sinh giỏi của cấp THCS ham học toán số học . *Bằng chương trình ngoại khóa : Chuyên đề giúp em học tốt môn toán trong năm học 2009 - 2010 đã thu hút gần như tất cả học sinh khối 6 ham thích học toán E. KẾT LUẬN Tôi viết kinh nghiệm này dựa trên cơ sở , những kinh nghiệm đã được rút ra trong những năm giảng dạy và học tập của bản thân . Bằng sự học hỏi thông qua các tài liệu sách giáo khoa, sách tham khảo....và qua tiếp thu các ý kiến của đồng nghiệp. Đã giúp tôi hoàn thành đề tài và áp dụng vào giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 làm nền tảng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp 8 , 9 sau này. Sau khi viết và thực hiện đề tài , tôi đã rút ra bài học kinh mghiệm cho bản thân: * Khi dạy học cần đặt vị trí của mình vào vị trí học sinh. Có thể có những vấn đề mình thấy là dễ, rất quen thuộc, nhưng với học trò lại rất khó, rất lạ. * Phải luôn cố gắng tạo ra tình huống có vấn đề, làm xuất hiện ở học sinh nhu cầu nghiên cứu kiến thức. Chọn các bài tập hợp lý từ đơn giản đến khó, thu hút học sinh tham gia. * Các bài tập đưa ra ban đầu có thể theo từng dạng cụ thể, để học sinh làm quen dần với các dạng toán. Sau đó, đưa ra các dạng bài có tính tổng hợp hơn, đồi hỏi học sinh biết vận dụng, suy nghĩ tìm tòi cách giải. Từ đó mới phát triển được tư duy, khả năng sáng tạo của học sinh. * Nên quan tâm đến câu trả lời của học sinh, khai thác những phát hiện dù là nhỏ nhất của học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực của học sinh. Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tôi xung quanh vấn đề nâng cao chất lượng dạy học môn toán. Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh thông qua chuyên đề '' Một số dạng toán áp dụng việc phân tích một số ra thừa số nguyên tố và tính chia hết của số nguyên''. Khi viết đề tài này chắc hẳn không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được sự góp ý, phê bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chuyên môn của mình. Cuối cùng tôi xin chân thành cám ơn! Đại an ngày 05/03/2010 Người viết Nuyễn Văn Minh PHỤ LỤC : A. Đặt vấn đề B. Giải quyết vấn đề I/ Cơ sở lý luận II/ Cơ sở thực tiển III/ Các giải pháp . IV/ Nội dung . Dạng 1 Chứng minh quan hệ chia hết Dạng 2 Tìm số dư Dạng 3 Tìm điều kiện để chia hết . C. Phạm vi của đề tài . D , Kết quả đạt được . E , Kết luận .