Lý thuyết đô thị - Chương 6: Cây

Chương 6 CÂY 212/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1 Cây là đồ thị vô hướng, liên thông và không có chu trình. Đồ thị không có chu trình gọi là rừng. Ví dụ 1 Rừng gồm ba cây T1, T2, T3. 312/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Ví dụ 2 G1, G2 là cây. G3 không là cây do có chứa chu trình. G4 không là cây do không liên thông. 412/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Định lý 1 Giả sử T=(V,E) là một đồ thị vô hướng n đỉnh. Khi đó, các mệnh đề sau đây là tương đương: 1. T là cây; 2. T không chứa chu trình và có n – 1 cạnh; 3. T liên thông và có n – 1 cạnh; 4. T liên thông và mỗi cạnh của T đều là cầu; 5. Hai đỉnh bất kỳ của T được nối với nhau bằng đúng một đường đi đơn; 6. T không chứa chu trình nhưng nếu thêm một cạnh bất kỳ vào T thì ta sẽ được thêm đúng 1 chu trình. 512/05/2011 Chứng minh định lý (1)⇒ (2): T là cây⇒ T không chứa chu trình và có n-1 cạnh. • Hiển nhiên T không chứa chu trình (do T là cây) • Ta chỉ cần chứng minh T có n-1 cạnh. • Xét Tn là cây có n đỉnh. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n – n = 2, Cây có 2 đỉnh thì có 1 cạnh. Đúng. – Giả sử mọi cây có k đỉnh thì sẽ có k-1 cạnh – Xét Tk+1 là cây có k + 1 đỉnh. Dễ thấy rằng trong cây Tk+1 luôn tồn tại ít nhất 1 đỉnh treo. – Loại đỉnh treo này (cùng với cạnh nối) ra khỏi Tk+1 ta được đồ thị T’ có k đỉnh. Dễ thấy T’ vẫn liên thông và không có chu trình (do Tk+1 không có chu trình) – Suy ra T’ là cây. Theo giả thiết quy nạp, T’ có k đỉnh thì sẽ có k-1 cạnh. Vậy cây Tk+1 có k cạnh. (đpcm) 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị 612/05/2011 Chứng minh định lý (2)⇒ (3): T không chứa chu trình và có n-1 cạnh⇒ T liên thông và có n-1 cạnh. • Hiển nhiên T có n-1 cạnh (theo giả thiết) • Ta chỉ cần chứng minh T liên thông. • Giả sử T có k thành phần liên thông với số đỉnh lần lượt là n1,, nk. • Khi đó mỗi thành phần liên thông của T sẽ là một cây và sẽ có số cạnh lần lượt là n1-1, n2-1,, nk-1. • Suy ra, số cạnh của T sẽ là n1-1 + n2-1 ++ nk-1 = n – k. • Theo giả thiết, số cạnh của cây là n-1. Từ đó suy ra k = 1 hay T chỉ có 1 thành phần liên thông. Suy ra T liên thông (đpcm). 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị 712/05/2011 Chứng minh định lý (3)⇒ (4): T liên thông và có n-1 cạnh⇒ T liên thông và mỗi cạnh của T đều là cầu. • Hiển nhiên T liên thông (theo giả thiết) • Ta chỉ cần chứng minh mỗi cạnh của T đều là cầu. • Xét (u,v) là cạnh bất kỳ của T. Nếu bỏ (u,v) ra khỏi T, ta sẽ được đồ thị T’ có n đỉnh và n-2 cạnh. • Ta đã chứng minh được đồ thị có n đỉnh và n-2 cạnh thì không thể liên thông. • Vậy nếu bỏ cạnh (u,v) ra thì sẽ làm mất tính liên thông của đồ thị. Suy ra (u,v) là cầu. (đpcm). 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị 812/05/2011 Chứng minh định lý (4) ⇒ (5): T liên thông và mỗi cạnh của T đều là cầu ⇒ Giữa hai đỉnh bất kỳ của T luôn tồn tại đúng 1 đường đi đơn. • Xét u, v là hai đỉnh bất kỳ trong T. • Do T liên thông nên luôn tồn tại đường đi giữa u và v. Ta sẽ chứng minh đường đi này là duy nhất. • Giả sử có hai đường đi đơn khác nhau giữa u và v. Khi đó hai đường đi này sẽ tạo thành một chu trình. • Suy ra, các cạnh trên chu trình này sẽ không thể là cầu được – Mâu thuẫn. • Vậy giữa u và v chỉ có thể tồn tại đúng 1 đường đi đơn. (đpcm) 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị 912/05/2011 Chứng minh định lý (5) ⇒ (6): Giữa hai đỉnh bất kỳ của T luôn tồn tại đúng 1 đường đi đơn ⇒ T không chứa chu trình, nhưng nếu thêm vào 1 cạnh bất kỳ thì sẽ phát sinh đúng 1 chu trình • T không thể có chu trình, vì nếu có chu trình thì giữa hai đỉnh trên chu trình này sẽ có 2 đường đi đơn khác nhau – mâu thuẫn với GT. • Giả sử ta thêm vào T cạnh (u,v) bất kỳ (trước đó không có cạnh này trong T). • Khi đó cạnh này sẽ tạo với đường đi duy nhất giữa u và v trong T tạo thành 1 chu trình duy nhất. (Vì nếu tạo thành 2 chu trình thì chứng tỏ trước đó có 2 đường đi khác nhau giữa u và v – mâu thuẫn với giả thiết) 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị 1012/05/2011 Chứng minh định lý (6) ⇒ (1): T không chứa chu trình, nhưng nếu thêm vào 1 cạnh bất kỳ thì sẽ phát sinh đúng 1 chu trình⇒ T là cây • Hiển nhiên T không chứa chu trình (theo giả thiết). • Giả sử T không liên thông. Khi đó T sẽ có nhiều hơn 1 thành phần liên thông • Suy ra, nếu thêm vào một cạnh bất kỳ giữa hai đỉnh thuộc 2 thành phần liên thông khác nhau sẽ không tạo thêm chu trình nào – mâu thuẫn với giả thiết. • Vậy, T phải liên thông. Suy ra T là cây. (đpcm) 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị 1112/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 2 Cho T là một cây. Chọn một đỉnh r của cây gọi là gốc. Vì có đường đi duy nhất từ gốc tới mỗi đỉnh của đồ thị nên ta định hướng mỗi cạnh là hướng từ gốc đi ra. Cây cùng với gốc sinh ra một đồ thị có hướng gọi là cây có gốc. – Trong một cây có gốc r thì: – deg-(r) = 0 – deg-(v) =1 với mọi đỉnh không phải là gốc. 1212/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 3 Cho cây có gốc r. – Gốc r được gọi là đỉnh mức 0 (level 0). – Các đỉnh kề với gốc r được xếp ở phía dưới gốc và gọi là đỉnh mức 1 (level 1). – Đỉnh sau của đỉnh mức 1 (xếp phía dưới đỉnh mức)gọi là đỉnh mức 2. – – Level (v) = k⇔ đường đi từ gốc r đến v qua k cung. – Độ cao của cây là mức cao nhất của các đỉnh. 1312/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị -----------------------------------level 0 ---------------------------------------level 1 --------------------------------------------level 2 -----------------------------------------------level 3 -------------------------------------------level 4 1412/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 4 Cho cây có gốc r. a) Nếu uv là một cung của T thì u được gọi là cha của v,còn v gọi là con của u. b) Đỉnh không có con gọi là lá (hay đỉnh ngoài). Đỉnh không phải là lá gọi là đỉnh trong. c) Hai đỉnh có cùng cha gọi là anh em. 1512/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 5 Cho T là cây có gốc. a) T được gọi là cây k-phân nếu mỗi đỉnh của T có nhiều nhất là k con. b) Cây 2-phân được gọi là cây nhị phân. c) Cây k-phân đủ là cây mà mọi đỉnh trong có đúng k con. d) Cây k-phân với độ cao h được gọi là cân đối nếu các đỉnh đều ở mức h hoặc h – 1. 1612/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị 2 3 4 105 6 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 1 1712/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 6 Cho T là cây nhị phân có gốc là r. Ta có thể biểu diễn T như hình vẽ dưới với hai cây con tại r là TL và TR ,chúng lần lượt được gọi là cây con bên trái và cây con bên phải của T. r TL TR 1812/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 7 Độ dài đường đi trong và độ dài đường đi ngoài Cho T là cây nhị phân đủ. a) Độ dài đường đi trong là tổng tất cả các mức của các đỉnh trong, ký hiệu IP(T). b) Độ dài đường đi ngoài là tổng tất cả các mức của các lá, ký hiệu EP(T). 1912/05/2011 6.1 Định nghĩa – Tính chất Lý thuyết đồ thị 2 3 764 5 8 9 1 Ví dụ Tính độ dài đường đi trong và độ dài đường đi ngoài của đồ thị dưới đây: 2012/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1 Giả sử G=(V,E) là đồ thị vô hướng liên thông. Cây T=(V,F) với F⊆ E được gọi là cây khung (cây tối đại, cây bao trùm) của đồ thị G. Ví dụ Đồ thị và các cây khung của nó 2112/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 2 Cho đồ thị có trọng số G. Cây khung nhỏ nhất của G (nếu tồn tại) là cây khung có tổng trọng số nhỏ nhất trong số các cây khung của G. Thuật toán tìm cây khung nhỏ nhất -Thuật toán Kruskal -Thuật toán Prim 2212/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị Thuật toán Kruskal Cho G là đồ thị liên thông, có trọng số, n đỉnh. Bước 1. Trước hết chọn cạnh ngắn nhất e1 trong các cạnh của G. Bước 2. Khi đã chọn k cạnh e1,e2,ek thì chọn tiếp cạnh ek+1 ngắn nhất trong các cạnh còn lại của G sao cho không tạo thành chu trình với các cạnh đã chọn trước. Bước 3. Chọn đủ n-1 cạnh thì dừng. 2312/05/2011 6 3 4 1 4 6 8 ua 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Thuật toán Kruskal Ví dụ Lý thuyết đồ thị d b c 2412/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c 1 a b S1 Thuật toán Kruskal Ví dụ 2512/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c 1 a b S2 u d3 Thuật toán Kruskal Ví dụ 2612/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c 1 a b S3 u d3 4 Thuật toán Kruskal Ví dụ 2712/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c 1 a b S4 u d3 4 6 c Thuật toán Kruskal Ví dụ 2812/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị Trọng số Cạnh 1 (a,b) 3 (u,d) 4 (b,u) 4 (b,d) 6 (a,u) 6 (c,d) 8 (b,c) Chọn Chọn Không chọn vì tạo chu trình: b u d b Chọn Chọn. Dừng vì đã đủ cạnh Không chọn vì tạo chu trình: a b u a 6 3 41 4 6 8 ua d b c Thuật toán Kruskal Ví dụ 2912/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị Thuật toán Prim Bước 1. Chọn một đỉnh bất kỳ v1 để có cây T1 chỉ gồm một đỉnh. Bước 2. Khi đã chọn cây Tk thì chọn tiếp cây Tk+1 = Tk∪ ek+1. Trong đó ek+1 là cạnh ngắn nhất trong các cạnh có một đầu mút thuộc Tk và đầu mút kia không thuộc Tk. Bước 3. Chọn được cây Tn thì dừng. 3012/05/2011 6 3 4 1 4 6 8 ua 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Thuật toán Prim Ví dụ Lý thuyết đồ thị d b c 3112/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c T1 Thuật toán Prim Ví dụ c 3212/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c T2 Thuật toán Prim Ví dụ c d 6 3312/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c T3 Thuật toán Prim Ví dụ c d 6 3u 3412/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c T4 Thuật toán Prim Ví dụ c d 6 3u 4 b 3512/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị 6 3 41 4 6 8 ua d b c T5 Thuật toán Prim Ví dụ c d 6 3u 4 b 1 a 3612/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị Thuật toán Prim Để biểu diễn lời giải, ta sẽ sử dụng 2 mảng: – Mảng d: d[v] dùng để lưu độ dài cạnh ngắn nhất nối với v trong số các cạnh chưa xét. – Mảng near: near[v] dùng để lưu đỉnh còn lại (ngoài v) của cạnh ngắn nhất nói ở trên. v d[v] near[v] c 0 0 d 6 c u 3 d b 4 u a 1 b c d 6 3u 4 b 1 a 3712/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị // Khởi tạo Chọn s là một đỉnh nào đó của đồ thị VH = {s}; //Tập những đỉnh đã đưa vào cây T = ∅; //Tập cạnh của cây d[s] = 0; near[s] = s; For v∈V\VH { d[v] = a[s,v]; near[v] = s; } //Bước lặp Stop = False; While (! Stop) { Tìm u∈V\VH thỏa mãn d[u] = min{d[v]: v∈V\VH}; VH = VH ∪ {u}; T = T∪ { (u, near[u]) }; If (|VH| = =n) { H = (VH, T) là cây khung của đồ thị; Stop = True; } Else For v ∈V\VH If d[v] > a[u,v] then { d[v] = c[u,v]; near[v] = u; } } 3812/05/2011 6.2 Bài toán cây khung nhỏ nhất Lý thuyết đồ thị c d 6 3u 4 b 1 a Bước lặp Đỉnh c Đỉnh a Đỉnh b Đỉnh d Đỉnh u VH T Khởi tạo [0,c] [∞,c] [8,c] [6,c]* [∞,c] a ∅ 1 - [∞,c] [4,d] - [3,d]* c,d (d,c) 2 - [6,u] [4,d]* - - c,d,u (d,c),(u,d) 3 - [1,b]* - - - c,d,u,b (d,c),(u,d),(b,u) 4 - - - - - c,d,u,b,a (d,c),(u,d),(b,u), (a,b) 6 3 41 4 6 8 ua d b c