Lý thuyết đô thị - Chương 1: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 218/02/2011 1.1 Định nghĩa đồ thị Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1. Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Ví dụ a. Đơn đồ thị vô hướng b. Không phải đơn đồ thị vô hướng do có các cặp cạnh nối cùng một cặp đỉnh c. Không phải đơn đồ thị vô hướng do có cạnh nối một đỉnh với chính nó. 318/02/2011 1.1 Định nghĩa đồ thị Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 2. Đa đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Hai cạnh e1 và e2 được gọi là cạnh song song nếu chúng cùng tương ứng một cặp đỉnh. Ví dụ Đa đồ thị vô hướng. e1 và e2 là các cạnh song song. e1e2 418/02/2011 1.1 Định nghĩa đồ thị Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 3. Giả đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp không có thứ tự gồm hai phần tử (không nhất thiết phải khác nhau) của V gọi là các cạnh. Cạnh e được gọi là khuyên nếu nó có dạng e=(u,u). Ví dụ Giả đồ thị vô hướng. e là khuyên e 518/02/2011 1.1 Định nghĩa đồ thị Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 4. Đơn đồ thị có hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Ví dụ a. Đơn đồ thị có hướng b. Không phải đơn đồ thị có hướng do có cặp cạnh nối cùng một cặp đỉnh 618/02/2011 1.1 Định nghĩa đồ thị Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 5. Đa đồ thị có hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là họ các cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Hai cung e1, e2 tương ứng với cùng một cặp đỉnh được gọi là cung song song. Ví dụ e2 e1 Đa đồ thị có hướng. e1 và e2 là các cung song song 718/02/2011 1.2 Các thuật ngữ cơ bản Lý thuyết đồ thị Xét đồ thị vô hướng G = (V,E) – Nếu e = (u,v) là một cạnh của G thì: • Hai đỉnh u, v được gọi là hai đỉnh kề nhau • Cạnh e được gọi là cạnh liên thuộc với đỉnh u và đỉnh v • Đỉnh u, đỉnh v được gọi là đỉnh đầu của cạnh e – Bậc của một đỉnh v (deg(v)) là số cạnh liên thuộc với nó. – VD: deg(0) = 3, deg(5) = 4, deg(2) = 6, deg(8) = 2, u v e 818/02/2011 1.2 Các thuật ngữ cơ bản Lý thuyết đồ thị Đỉnh có bậc 0 được gọi là đỉnh cô lập. Đỉnh có bậc 1 được gọi là đỉnh treo. Định lý. Xét đồ thị vô hướng G = (V,E). Khi đó, tổng bậc của tất cả các đỉnh của đồ thị sẽ bằng hai lần số cạnh của nó. deg( ) 2 | | v V v E Hệ quả. Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ là một số chẵn. 918/02/2011 1.2 Các thuật ngữ cơ bản Lý thuyết đồ thị Xét đồ thị có hướng G = (V,E) – Nếu e = (u,v) là một cung của G thì: • Đỉnh v được gọi là đỉnh kề của đỉnh u • Cung e được gọi là cung đi ra khỏi đỉnh u và là cung đi vào đỉnh v • Đỉnh u được gọi là đỉnh đầu của cung e, đỉnh v được gọi là đỉnh cuối của cạnh e – Bán bậc ra của một đỉnh v (deg+(v)) là số cung đi ra khỏi nó. – Bán bậc vào của một đỉnh v (deg-(v)) là số cung đi vào nó. – VD: deg+(t) = 1, deg-(t) = 1, deg+(v) = 0, deg-(v) = 3, u v e t s x 1018/02/2011 1.2 Các thuật ngữ cơ bản Lý thuyết đồ thị Định lý. Xét đồ thị có hướng G = (V,E). Khi đó, tổng bán bậc ra của tất cả các đỉnh sẽ bằng tổng bán bậc vào của tất cả các đỉnh và bằng số cung của đồ thị. deg ( ) deg ( ) | | v V v V v v E 1118/02/2011 1.2 Các thuật ngữ cơ bản Lý thuyết đồ thị Định nghĩa. Xét đồ thị G = (V,E). Đồ thị H = (W,F) là một đồ thị con của G nếu và chỉ nếu mọi đỉnh của H cũng là đỉnh của G và mọi cạnh/cung của H cũng là cạnh/cung của G. (W V, F E). Ví dụ: 321 54 1 2 54 Đồ thị con của G 321 54 Đồ thị con của G 321 54 Không là đồ thị con của G 1218/02/2011 1.2 Các thuật ngữ cơ bản Lý thuyết đồ thị Định nghĩa. Cho hai đồ thị G=(V,E) và G’=(V’,E’). Ta nói rằng G đẳng cấu G’, ký hiệu G G’, nếu tồn tại song ánh f:V→ V’ sao cho: uv là cạnh của G f(u)f(v) là cạnh của G 1318/02/2011 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 1. Đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, trong đó n là số nguyên dương trên đồ thị G=(V,E) là dãy x0, x1, , xn-1, xn trong đó u = x0, v = xn, (xi, xi+1) E, i = 0, 1, 2, , n-1. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình. Đường đi không có cạnh/cung nào xuất hiện quá một lần được gọi là đường đi đơn. Đường đi không có đỉnh nào xuất hiện quá một lần được gọi là đường đi sơ cấp. 1418/02/2011 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Lý thuyết đồ thị Ví dụ: Các đường đi từ 1 đến 5: d1: 1 2 5 d2: 1 2 4 3 9 2 5 d3: 1 9 2 3 9 2 5 Các chu trình trong đồ thị: C1: 1 2 9 1 C2: 1 9 0 3 9 2 1 C3: 1 9 2 3 9 1 Độ dài 2 Độ dài 6 Độ dài 6 Độ dài 3 Độ dài 6 Độ dài 5 Đường đi sơ cấp (hiển nhiên đơn) Đường đi đơn (không sơ cấp) Đường đi không đơn (không sơ cấp) Chu trình sơ cấp (hiển nhiên đơn) Chu trình đơn (không sơ cấp) Chu trình không đơn (không sơ cấp) 1518/02/2011 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Lý thuyết đồ thị Ví dụ: Các đường đi từ a đến e: d1: a b e d2: a b c f b e Các chu trình trong đồ thị: C1: a b e d a C2: a d c f e d a C3: a b e d c f e d a Độ dài 2 Độ dài 5 Độ dài 4 Độ dài 6 Độ dài 8 Đường đi sơ cấp (hiển nhiên đơn) Đường đi đơn (không sơ cấp) Chu trình sơ cấp (hiển nhiên đơn) Chu trình đơn (không sơ cấp) Chu trình không đơn (không sơ cấp) c b a def 1618/02/2011 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 2. Đồ thị vô hướng G=(V,E) được gọi là liên thông nếu luôn tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó. Đồ thị vô hướng liên thông Đồ thị vô hướng không liên thông 1718/02/2011 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Lý thuyết đồ thị Một đồ thị không liên thông là hợp của nhiều đồ thị con liên thông rời nhau. Mỗi đồ thị con này được gọi là một thành phần liên thông của đồ thị ban đầu. Đồ thị trên có 3 thành phần liên thông 1818/02/2011 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 3. Đỉnh v được gọi là đỉnh rẽ nhánh (đỉnh khớp) nếu việc loại bỏ v cùng với các cạnh liên thuộc với nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị. Cạnh e được gọi là cầu nếu việc loại bỏ nó khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông của đồ thị. Ví dụ: Đỉnh khớp: e, x, y Cầu: (e,x), (y,w) 1918/02/2011 1.3 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thông Lý thuyết đồ thị Định nghĩa 4. Đồ thị có hướng G=(V,E) được gọi là liên thông mạnh nếu luôn tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó. Đồ thị có hướng G=(V,E) được gọi là liên thông yếu nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó là đồ thị vô hướng liên thông. Ví dụ: Đồ thị có hướng không liên thông yếu (hiển nhiên không liên thông mạnh) Đồ thị có hướng liên thông mạnh (hiển nhiên cũng là liên thông yếu) 2018/02/2011 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Lý thuyết đồ thị Đồ thị đầy đủ. Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu là Kn là đơn đồ thị vô hướng mà giữa hai đỉnh bất kỳ của nó luôn có cạnh nối. Số đỉnh: n Số cạnh: Bậc của mỗi đỉnh: n-1 ( 1) 2 n n 2118/02/2011 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Lý thuyết đồ thị Đồ thị vòng. Đồ thị vòng Cn, n ≥ 3 gồm n đỉnh v1, v2,, vn và các cạnh (v1,v2), (v2,v3),,(vn-1,vn),(vn,v1) Số đỉnh: n Số cạnh: n Số bậc của mỗi đỉnh: 2 C3 C4 C5 C6 2218/02/2011 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Lý thuyết đồ thị Đồ thị bánh xe. Đồ thị Wn thu được từ Cn bằng cách bổ sung vào một đỉnh mới nối với tất cả các đỉnh của Cn Số đỉnh: n+1 Số cạnh: 2n n đỉnh bậc 3, 1 đỉnh bậc n 2318/02/2011 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Lý thuyết đồ thị Đồ thị lập phương. Đồ thị lập phương Qn là đồ thị với các đỉnh biểu diễn 2 n chuỗi nhị phân độ dài n. Hai đỉnh của nó kề nhau nếu hai chuỗi nhị phân tương ứng chỉ khác nhau 1 bit. Số đỉnh: 2n Số cạnh: n.2n-1 Bậc của mỗi đỉnh: n 2418/02/2011 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Lý thuyết đồ thị Đồ thị lưỡng phân (đồ thị hai phía). Đơn đồ thị G=(V,E) được gọi là lưỡng phân nếu như tập đỉnh V của nó có thể phân hoạch thành hai tập X và Y sao cho mỗi cạnh của đồ thị chỉ nối một đỉnh nào đó trong X với một đỉnh nào đó trong Y. 2518/02/2011 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Lý thuyết đồ thị Đồ thị lưỡng phân đầy đủ. Đồ thị G=(V,E) được gọi là lưỡng phân đầy đủ nếu G là đồ thị lưỡng phân và mọi cặp đỉnh giữa hai tập X và Y đều được nối với nhau. Số đỉnh: m + n Số cạnh: m n m đỉnh bậc n, n đỉnh bậc m X Y K3x4 2618/02/2011 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Lý thuyết đồ thị Ví dụ ? Không là đồ thị lưỡng phân Đồ thị lưỡng phân Định lý: Một đồ thị vô hướng là đồ thị lưỡng phân khi và chỉ khi nó không chứa chu trình với độ dài lẻ