Lý thuyết điều khiển tự động 2

ão hòa có trễ 138 • Phương trình vi phân phi tuyến • Phương trình trạng thái 5.3 Mô tả toán học Khâu ph.tuyến Tín hiệu vào Tín hiệu ra Vector trạng thái - các hàm phi tuyến 139 VD1: Phương trình cân bằng: 5.3 Mô tả toán học (tiếp) Phương trình phi tuyến bậc 1 a: tiết diện van xả A: tiết diện ngang của bồn g: gia tốc trọng trường k: h.số tỉ lệ với c.suất bơm CD: hệ số xả 140 VD1 (tiếp): chuyển sang dạng PTTT Đặt biến trạng thái: 5.3 Mô tả toán học (tiếp) 141 • VD2: 5.3 Mô tả toán học (tiếp) J: momen qu.tính của cánh tay máy M: khối lượng cánh tay máy m: khối lượng vật nặng l: chiều dài cánh tay máy lC: k/c từ trọng tâm tay máy đến trục quay B: hệ số ma sát nhớt g: gia tốc trọng trường u(t): momen t.dụng lên trục quay của tay máy θ(t): góc quay (vị trí) của cánh tay máy Theo định luật Newton: 142 • VD2 (tiếp): 5.3 Mô tả toán học (tiếp) Đặt biến trạng thái: Từ PT vi phân: Suy ra PTTT mô tả hệ: 143 • Không có ph.pháp tính chính xác (hiệu quả) cho mọi hệ phi tuyến • Một số PP thường dùng: – PP tuyến tính hóa – PP mặt phẳng pha – PP hàm mô tả (tuyến tính hóa điều hòa) – PP Lyapunov 5.4 Phương pháp khảo sát hệ PT 144 • Điểm dừng của hệ phi tuyến Xét hệ phi tuyến: Điểm trạng thái được gọi là điểm dừng (điểm làm việc tĩnh) của hệ phi tuyến nếu như hệ đang ở trạng thái , với tác động điều khiển cố định, không đổi cho trước thì hệ sẽ nằm nguyên ở trạng thái đó. Nếu là điểm dừng của hệ phi tuyến: • Điểm cân bằng của hệ phi tuyến: 5.4.1 Phương pháp tuyến tính hóa 145 • VD1: Xác định điểm dừng của HT khi Giải: Điểm dừng là nghiệm của Nghiệm: hoặc 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) 146 • VD2: Xác định điểm cân bằng của hệ con lắc cho bởi PTVP: 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) Đặt biến trạng thái: Ta được PTTT mô tả hệ con lắc: Điểm cân bằng là nghiệm của PT: 147 5.4.1 Phương pháp tuyến tính hóa (tiếp) • Khái niệm OĐ Hệ phi tuyến: được gọi là ổn định tiệm cận tại điểm cân bằng nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi và đưa đến điểm (thuộc lân cận nào đó của ) thì sau đó hệ có khả năng tự quay về điểm cân bằng ban đầu + Hệ phi tuyến: được gọi là ổn định tại điểm cân bằng nếu như có một tác động tức thời đánh bật hệ ra khỏi và đưa đến điểm (thuộc lân cận nào đó của ) thì sau đó hệ có khả năng tự quay về một lân cận của 148 • Chú ý – Tính ÔĐ của HPT chỉ có ý nghĩa khi đi cùng với điểm cân bằng. Hệ có thể OĐ ở điểm CB này nhưng KOĐ tại điểm CB khác – Một hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm CB hoặc không có điểm cân bằng nào (Hệ tuyến tính luôn có điểm cân bằng xe = 0) • VD 5.4.3 Phương pháp tuyến tính hóa (tiếp) Điểm CB ổn định Điểm CB không ổn định 149 • Tuyến tính hóa HPT xung quanh điểm làm việc tĩnh Suy ra hệ PTTT tuyến tính hóa mô tả hệ thống: 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) Khai triển Taylor và quanh điểm làm việc tĩnh , bỏ qua VCB bậc cao - Ma trận xác định theo hàm f và h tại 150 PTTT tuyến tính hóa: Xác định các ma trận: 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) 151 VD1: 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) Thông số bồn chứa: - Tiết diện van xả a = 1 cm2 - Tiết diện bồn A = 100 cm2 - Gi.tốc tr.trường g = 981 cm/s2 - H.số tỉ lệ với c.suất bơm k = 150 cm3/s.V - Hệ số xả CD = 0,8 Tuyến tính hóa hệ thống quanh điểm y = 20 cm? 152 VD1 (tiếp): 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) Phương trình TT mô tả hệ: Thay số: Xác định điểm làm việc tĩnh: 153 VD1 (tiếp): 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) Ma trận trạng thái tại điểm làm việc: PTTT mô tả hệ bồn chứa quanh điểm làm việc y = 20 cm: 154 • VD2: 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) Thông số cánh tay máy: L = 0,5 m; lC = 0,2 m; m = 0,1 kg; M = 0,5 kg; J = 0,02 kg.m2; B = 0,005; g = 9,81 m/s2 Ph.trình trạng thái: Thay số: Tuyến tính hóa hệ tay máy quanh điểm : 155 • VD2 (tiếp) Xác định điểm làm việc tĩnh: 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) thỏa mãn Suy ra điểm làm việc tĩnh: 156 • VD2 (tiếp) Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh: 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) 157 • Điều khiển ÔĐ hóa hệ PT quanh điểm làm việc tĩnh Ng.tắc: Đưa hệ phi tuyến về miền xung quanh điểm làm việc tĩnh (đơn giản nhất là dùng BĐK ON - OFF) hoặc thiết kế dựa vào mô hình tuyến tính hóa (phổ biến nhất là bộ ĐK PID) 5.4.1 PP tuyến tính hóa (tiếp) 158 • Quỹ đạo trạng thái của HT có số biến trạng thái < 2 → Quỹ đạo pha Không gian trạng thái → Mặt phẳng pha Hoành độ: chuyển động của hệ thống Tung độ: tốc độ biến thiên của chuyển động • Là phương pháp đồ thị để nghiên cứu các hệ phi tuyến • Cho phép quan sát được chuyển động của các HPT với điều kiện đầu khác nhau mà không cần giải phương trình vi phân phi tuyến • Cho phép xét khả năng tồn tại dao động của HT: Nếu HT có đường quỹ đạo trạng thái khép kín (chu trình giới hạn) • Áp dụng với HT có một khâu phi tuyến duy nhất 159 5.4.2 Phương pháp mặt phẳng pha • VD1: Hệ thống với khâu relay hai vị trí Bước 1: Xác định PTTT mô tả hệ thống: Đối tượng là khâu tích phân bậc 2 (tuyến tính) Đặt biến trạng thái: ta được PTTT: 160 5.4.2 PP mặt phẳng pha (tiếp) • VD1 (tiếp): Bộ điều khiển là khâu phi tuyến hai vị trí: Bước 2: Xác định phương trình quỹ đạo pha + Khi : hay Từ đó: 161 5.4.2 PP mặt phẳng pha (tiếp) Xác định dựa vào ĐK đầu Ph.trình mô tả quỹ đạo trạng thái dạng parabol của hệ khi không bị kích thích Mặt phẳng pha là m.phẳng với hai trục tọa độ là • VD1 (tiếp): + Khi : hay ta có: Bước 3: Vẽ quỹ đạo trạng thái 162 5.4.2 PP mặt phẳng pha (tiếp) Quỹ đạo pha của HT gồm 2 nửa parabol khép kín → Hệ có tự dao động Mặt phẳng pha bị phân chia thành 2 miền điểm bởi đường thẳng: x1 = 0 • VD2: Khảo sát hệ phi tuyến mô tả bởi sơ đồ là phần tuyến tính của BĐK phi tuyến là mô hình của đối tượng tuyến tính là mô hình của thiết bị đo tín hiệu phản hồi (giả thiết là tuyến tính & không có quán tính) 163 5.4.2 PP mặt phẳng pha (tiếp) • VD2 (tiếp) Bước 1: PTTT mô tả hệ thống: Từ SĐ cấu trúc của hệ & HTĐ của các khâu t.tính: với: mặt khác: Suy ra: Bước 2: Đặt biến trạng thái: 164 5.4.2 PP mặt phẳng pha (tiếp) Mặt phẳng pha là m.phẳng với hai trục tọa độ là • VD2 (tiếp): Phân chia m.phẳng pha thành 2 miền điểm bởi đường thẳng: Miền phía trên đường thẳng này có: hay: Tương tự đối với miền phía dưới đường thẳng: 165 5.4.2 PP mặt phẳng pha (tiếp) • VD2 (tiếp): Bước 3: Mặt phẳng pha & quỹ đạo pha của hệ thống 166 5.4.2 PP mặt phẳng pha (tiếp) ¥ c v c v c v c v c v c v - Hệ có điểm CB là gốc tọa độ trong mp pha - Hệ không có dao động, ổn định tại gốc tọa độ Hiện nay được sử dụng rộng rãi trong phân tích & thiết kế hệ phi tuyến - Cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính OĐ của hệ PT - Có thể áp dụng cho hệ PT bậc cao bất kỳ - Có thể dùng để thiết kế các bộ ĐK phi tuyến 5.4.3 Phương pháp Lyapunov 167 • Ổn định Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) Giả sử hệ thống có điểm cân bằng Hệ thống được gọi là ổn định Lyapunov tại điểm CB nếu với bất kỳ bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm của pt (*) với điều kiện đầu thỏa mãn 168 • Ổn định tiệm cận Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) Giả sử hệ thống có điểm cân bằng Hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận Lyapunov tại điểm cân bằng nếu với bất kỳ bao giờ cũng tồn tại phụ thuộc sao cho nghiệm của pt (*) với điều kiện đầu thỏa mãn: 169 • PP tuyến tính hóa Lyuapunov Cho hệ phi tuyến có PTTT: Giả sử hệ (1) có thể t.tính hóa xung quanh điểm CB Định lý: a) Nếu (2) ổn định thì (1) ổn định tiệm cận tại điểm CB b) Nếu (2) KOĐ thì (1) cũng KOĐ tại điểm cân bằng c) Nếu (2) ở biên giới OĐ thì không kết luận được gì về tính OĐ của hệ (1) tại điểm cân bằng 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) 170 • VD: Xét tính ổn định của hệ con lắc tại điểm CB 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) và PTTT hệ con lắc: Mô hình tuyến tính hóa quanh 171 • VD (tiếp) Ta có PTĐT: → Hệ thống ổn định * Tương tự đối với điểm cân bằng tìm được: PT đặc trưng: 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) 172 → Hệ thống không ổn định • Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov + Định lý ổn định Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT Nếu tồn tại hàm sao cho: i) ii) iii) thì hệ thống (*) ổn định Lyapunov tại điểm 173 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) Giả sử hệ thống có điểm cân bằng • Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov (tiếp) + Định lý không ổn định Lyapunov Cho hệ phi tuyến không kích thích mô tả bởi PTTT Nếu tồn tại hàm sao cho: i) ii) iii) thì hệ thống (*) KOĐ Lyapunov tại điểm 174 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) Giả sử hệ thống có điểm cân bằng • VD: Xét tính ổn định của hệ con lắc tại điểm CB 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) PTTT hệ con lắc: Chọn hàm Lyapunov : 175 Rõ ràng: • VD (tiếp): Đạo hàm của hàm Lyapunov: Kết luận: HT ổn định Lyapunov tại điểm CB 176 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) • Bài tập: Dùng tiêu chuẩn Lyapunov kiểm tra tính ổn định của các HT: a) b) c) Sử dụng hàm xác định dương: d) với hàm: 177 5.4.3 Phương pháp Lyapunov (tiếp) PHỤ LỤC 178 • Quá trình lượng tử hóa: quá trình biến đổi tín hiệu liên tục → tín hiệu không liên tục (HTĐK xung luôn tồn tại quá trình lượng tử hóa) • Phân loại: 3 cách LTH • Trong kỹ thuật thường dùng LTH theo thời gian 1.1 Khái niệm chung (tiếp) LTH theo mức (HT báo thủy văn) LTH theo thời gian (ĐT phụ tải điện) Kết hợp (Đọc số đo) 179 • Thành lập PTTT từ PTSP (tiếp) – TH1: Vế phải của PTSP không chứa SP (tiếp) Có thể sử dụng sơ đồ cấu trúc: Ta có: 2.2 Phương trình trạng thái (tiếp)        0 1 n 0. . 1 . .a y k n a y k n a y k b u k                       1 1 2 1 0 1 n 0 n 0 1 ; 1 ; 1 . x k y k x k x k a a x k x k b u k a a x k        180 • Từ đó có thể viết: 2.2 Phương trình trạng thái (tiếp) 181 • Thành lập PTTT từ PTSP (tiếp) – TH2: Vế phải của PTSP có chứa SP Sử dụng sơ đồ cấu trúc Sinh viên tự làm 2.2 Phương trình trạng thái (tiếp) 182 • Nghiệm PTTT hệ liên tục (cách tìm ma trận quá độ) 2.2 Phương trình trạng thái (tiếp) Tích phân hai vế: 183 • Tiêu chuẩn ÔĐ trong hệ liên tục: Đường đồ thị đa thức đặc tính của nó quay góc nπ/2 quanh gốc tọa độ mặt phẳng P 3.3.1 Tiêu chuẩn Mikhailov (tiếp) 184 185 • Là PP khảo sát hệ phi tuyến trong miền tần số, có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao • Mở rộng gần đúng hàm truyền đạt của hệ tuyến tính sang hệ phi tuyến • Chỉ áp dụng được để khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến gồm có khâu phi tuyến nối tiếp với khâu tuyến tính theo sơ đồ khối 5.4.2 PP cân bằng điều hòa (PP hàm mô tả, tuyến tính hóa ĐH) 186 • Đáp ứng của hệ khi tín hiệu vào hình sin Cho tác động tín hiệu điều hòa: → Tín hiệu ra u(t) không sin → phân tích Fourier 187 5.4.2 PP cân bằng điều hòa (tiếp) Khâu t. tính Khâu phi tuyến Giả thiết G(p) là bộ lọc thông thấp → các sóng bậc cao ở đầu ra y(t) không đáng kể so với sóng cơ bản. Khi đó: Điều kiện để hệ có dao động ổn định với tần số 188 5.4.2 PP cân bằng điều hòa (tiếp) Khâu t. tính Khâu phi tuyến Y0 triệt tiêu nếu f(e) có dạng đối xứng qua gốc tọa độ Hay: • Hệ số khuếch đại phức Biểu diễn phức: dạng phức: Có thể coi khâu PT là khâu KĐ có hệ số KĐ phức: 189 5.4.2 PP cân bằng điều hòa (tiếp) Khâu phi tuyến HÀM MÔ TẢ: mô tả gần đúng quan hệ vào – ra của khâu PT • Hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí u(t) đối xứng qua gốc tọa độ 190 5.4.2 PP cân bằng điều hòa (tiếp) • Khảo sát chế độ dao động điều hòa trong HPT ĐK để hệ có dao động: Dùng để xác định biên độ () và tần số thỏa mãn để hệ có thể tự dao động. 191 5.4.2 PP cân bằng điều hòa (tiếp)