Lý thiết điều khiển tự động - Chương 2: Mô tả toán học hệ thống điều

pha 135 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Xét phƣơng trình (2.70), ta đặt các biến trạng thái nhứ sau:                 1 1 1 123 12 1 )( )()( (2.71) )()()()( )()()( )()( n n nn dt tyd txtx tytxtxtx tytxtx tytx     B- Phương pháp tọa độ pha 136 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Thay các biến trạng thái ở biểu thức (2.71) vào phƣơng trình vi phân (2.69) ta đƣợc: )()(...)()()( 121110 txbtxbtxbtxbtc mmnn   Viết dƣới dạng véc tơ: (2.74) )(.)( txCtc    (2.75) 011 bbbbC mm  Với: B- Phương pháp tọa độ pha 137 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Thay các biến trạng thái từ (2.70) vào (2.71) ta suy ra đƣợc hệ phƣơng trịnh trạng thái: (2.72) )()()( tBrtAxtx  Trong đó: ; 1000 0100 0010 121                    aaaa A nnn                        n n B     1 2 1 ; )( )( )( )( )( 1 2 1                   tx tx tx tx tx n n  (2.73) B- Phương pháp tọa độ pha 138 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Tóm lại, bằng các đặt biến trạng thái theo phƣơng pháp tọa độ pha, hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống là:      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx Với các ma trận trạng thái xác định bằng biểu thức (2.73) và (2.75) B- Phương pháp tọa độ pha 139 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Ví dụ ứng dụng: Hãy thành lập hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối dƣới đây bằng phƣơng pháp tọa độ pha: R(s) C(s) )3( 10 ss 2 1 s B- Phương pháp tọa độ pha 140 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Hàm truyền của hệ thống là: 1065 2010 )( )( 23    sss s sR sC )().1065()( )().2010()( 23 sYssssR sYssC   Đặt biến phụ Y(s) thỏa: B- Phương pháp tọa độ pha 141 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Suy ra: )(10)(6)(5)()( )(20)(10)(0)( tytytytytr tytytytc     Đặt các biến trạng thái: )()()( )()()( )()( 23 12 1 tytxtx tytxtx tytx      B- Phương pháp tọa độ pha 142 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Áp dụng các công thức từ (2.72) đến (2.75), ta có hệ phƣơng trình mô tả trạng thái hệ thống là:      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx B- Phương pháp tọa độ pha 143 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: Trong đó:                         5610 100 010 100 010 123 aaa A            1 0 0 B    01020012  bbbC B- Phương pháp tọa độ pha 144 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Nhận xét: Mặt dù ví dụ cho ở sơ đồ khối mục A và mục B là nhƣ nhau nhƣng hệ phƣơng trình trạng thái thành lập đƣợc ở hai ví dụ trên lại khác nhau. Điều này không có gì vô lý vì là bản chất các biến trạng thái là các biến phụ đƣợc đặt ra nhằm chuyển phƣơng trình vi phân bậc n thành hệ gồm n phƣơng trình vi phân bậc nhất, do cách đặt biến trạng thái ở hai ví dụ trên là khác nhau nên kết quả hệ phƣơng trình biến trạng thái bắt buộc phải khác nhau. 145 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Nếu hệ thống đƣợc cho dƣới dạng sơ đồ khối ta có thể đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối. R(s) C(s) )3)(1( 10  sss C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Ví dụ 1: Hãy thành lập hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau: 146 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Vẽ lại sơ đồ khối của hệ thống trên với các biến trạng thái đƣợc đặt nhƣ sau: R(s) C(s) s 1 )1( 1 s )3( 10 s X3(s) X2(s) X1(s) 147 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Với cách đặt biến trạng thái nhƣ hình vẽ, ta có các quan hệ sau: )( 3 10 )( 21 sX s sX   )(10)(3)( 211 sXsXssX  (2.76) )(10)(3)( 211 txtxtx   148 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ )( 1 1 )( 32 sX s sX   )()()( 322 sXsXssX  (2.77) )()()( 322 txtxtx   149 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ  )()(1)(3 sCsR s sX  )()()( 13 sXsRssX  (2.78) )()()( 13 trtxtx   150 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Kết hợp (2.76), (2.77) và (2.78) ta đƣợc hệ phƣơng trình trạng thái: (2.79) )(. 1 0 0 )( )( )( 001 110 0103 )( )( )( 3 2 1 3 2 1 tr tx tx tx tx tx tx                                                  151 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Đáp ứng của hệ thống:              )( )( )( .001)()( 3 2 1 1 tx tx tx txtc 152 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Ví dụ 2: Hãy thành lập hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống có sơ đồ khối nhƣ sau: R(s) C(s) 4 3 s 5 2   s s 6 1   s s E(s) X2(s) X1(s) X3(s) 153 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Với các biến trạng thái nhƣ sơ đồ khối, ta có các quan hệ sau: )( 5 2 )( 21 sX s s sX    (2.80) )()(2)(5)( 2211 ssXsXsXssX  154 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ  )()( 4 3 )( 4 3 )( 322 sXsR s sE s sX      (2.81) )(3)(3)(4)( 322 sRsXsXssX  )( 6 1 )( 13 sX s s sX    (2.82) )()(6)()( 1313 ssXsXsXssX  155 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Thay sX2(s) ở biểu thức (2.81) vào biểu thức (2.80) ta đƣợc: )(3)(3)(4)(2)(5)( 32211 sRsXsXsXsXssX  (2.83) )(3)(3)(2)(5)( 3211 sRsXsXsXssX  156 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Thay sX1(s) ở biểu thức (2.83) vào biểu thức (2.82) ta đƣợc: )(3)(3)(2)(5)(6)()( 321313 sRsXsXsXsXsXssX  (2.84) )(3)(9)(2)(4)( 3213 sRsXsXsXssX  157 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Từ các biểu thức (2.81), (2.82) và (2.84) ta suy ra hệ phƣơng trình trạng thái:         )(3)(9)(2)(4)( )(3)(3)(4)( )(3)(3)(2)(5)( 3213 322 3211 trtxtxtxtx trtxtxtx trtxtxtxtx    158 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.4 Thành lập hệ phƣơng trình trạng thái từ hàm truyền và sơ đồ khối Giải: C- Phương pháp đặt biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ Viết lại dƣới dạng ma trận: )()()( tBrtAxtx  Trong đó: ; 924 340 325              A            3 3 3 B; )( )( )( )( 3 2 1            tx tx tx tx Đáp ứng của hệ: )()()( 1 tCxtxtc   001C 159 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Để thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái dạng chính tắc, ta thực hiện theo các bƣớc sau: (2.85) )()( )()()(      tCxtc tBrtAxtx 1. Thành lập biến phƣơng trình trạng thái ở dạng thƣờng: 2. Thực hiện phép đổi biến trạng thái: )()( tMytx  160 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc      )()( )()()( tCMytc tBrtAMytyM Thay vào phƣơng trình (2.85) )()( tMytx         )()( )()()( 11 tCMytc tBrMtAMyMty       )()( )()()( tyCtc trBtyAty 161 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc AMMA 1Trong đó: BMB 1 CMC  Hệ phƣơng trình trạng thái (2.86) tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình (2.85). Để (2.86) có dạng chính tắc, phải chọn M sao cho ma trận M-1AM chỉ có đƣờng chéo khác 0. 162 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Theo lý thuyết đại số tuyến tính, ma trận chuyển đổi M đƣợc chọn nhƣ sau:                   11 3 1 2 1 1 22 3 2 2 2 1 321 1111 n n nnn n n M         Trong đó I, (i = 0  n) là các trị riêng của ma trận A, tất là nghiệm của phƣơng trình: det(I –A) = 0 163 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Ví dụ: Cho hệ thống có hàm truyền: 23 13 )( )( )( 2    ss s sR sC sG Hãy thành lập hệ phƣơng trình trạng thái chính tắc mô tả hệ thống. 164 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Áp dụng phƣơng pháp tọa độ pha ta dễ dàng suy ra hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống là: Trong đó:      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx         32 10 A        1 0 B  31C 165 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Trị riêng của ma trận A là nghiệm của phƣơng trình: 0)det(  AI 0 32 10 10 01 det                        0 32 1 det                    166 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : 0232         2 1 2 1   Thực hiện phép đổi biến: x(t) = My(t) với ma trận M là:               21 1111 21  M                  11 12 11 12 1)1()2(1 11M 167 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Với cách biến đổi trên, ta đƣợc hệ phƣơng trình biến trạng thái có dạng:      )()( )()()( tyCtc trBtyAty 168 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Trong đó:                            20 01 21 11 32 10 11 12 1AMMA                       1 1 1 0 11 12 1BMB    21 11 12 31         CMC 169 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.5 Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái từ ở dạng chính tắc Giải : Vậy hệ phƣơng trình biến trạng thái chính tắc mô tả hệ thống là: )(. 1 1 )( )( 20 01 )( )( 2 1 2 1 tr ty ty ty ty                                       )( )( 21)( 2 1 ty ty tc 170 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phƣơng trình trạng thái Cho hệ thống mô tả bởi hpt trạng thái:      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx Biến đổi Laplace hai vế phƣơng trình trên (giả sử điều kiện đầu bằng 0), ta đƣợc: (2.89) )()( (2.88) )()()( sCXsC sBRsAXssX   171 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phƣơng trình trạng thái Từ (2.88) suy ra: )()()( sBRsXAsI  )()()( 1 sBRAsIsX  )()()( 1 sBRAsICsCX  Kết hợp với biểu thứ (2.88) ta đƣợc )()()( 1 sBRAsICsC  (2.90) )( )( )( )( 1 BAsIC sR sC sG  172 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phƣơng trình trạng thái Công thức (2.90) cho phép ta tính đƣợc hàm truyền khi biết hệ phƣơng trình trạng thái: Ví dụ: cho hệ thống có hệ phƣơng trình biến trạng thái là: )(. 1 0 )( )( 32 10 )( )( 2 1 2 1 tr tx tx tx tx                                     )( )( 31)( 2 1 tx tx tc Tính hàm truyền của hệ thống? 173 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phƣơng trình trạng thái Giải: Hàm truyền của hệ thống là: BAsICsG 1)()(                        32 1 32 10 10 01 )( s s sAsI Ta có:                     s s sss s AsI 2 13 23 1 32 1 )( 2 1 1 174 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.6 Tính hàm truyền từ hệ phƣơng trình trạng thái Giải: Ta có:                         ssss s ss BAsI 1 23 1 1 0 2 13 23 1 )( 22 1   23 131 31 23 1 )( 22 1            ss s sss BAsIC 23 13 )( 2    ss s sGVậy ta có hàm truyền: 175 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Cho hệ thống có phƣơng trình trạng thái nhƣ sau: (2.92) )()( (2.91) )()()( tCxtc tBrtAxtx   Muốn tính đƣợc đáp ứng của hệ thống khi biết tin hiệu vào r(t), trƣớc tiên ta phải tính đƣợc nhiệm x(t) của phƣơng trình (2.91). 176 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Biến đổi Laplace hai vế phƣơng trình (2.91) ta đƣợc: (2.93) )()()x(0)()( )()0()()( )()()0()( 11 sBRAsIAsIsX sBRxsXAsI sBRsAXxssX       Đặt: , thay vào phƣơng trình (2.93) ta đƣợc: -1)()( AsIs  (2.94) )()()0()()( sBRsxssX   177 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Biến đổi Laplace ngƣợc hai vế biểu thức (2.94), ta đƣợc: (2.95) d)()()0()()( 0    t Brtxttx Trong đó: (2.96) ])[()]([)( 111   AsIst LL Ma trận (t) đƣợc gọi là ma trận quá độ của hệ thống. Tính (t) theo (2.96) tƣơng đối khó khăn, nhất là đối với các hệ thống bậc ba trở lên, do trƣớc tiên phải tính ma trận nghịch đảo, sau đó thực hiện phép biến đổi Laplace ngƣợc. Công thức dẫn ra dƣới đây sẽ cho việc tính toán (t) dễ dàng hơn. 178 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Dựa vào biểu thức (2.95) ta thấy khi r(t) = 0 thì: (2.97) )0()()(  xttx Mặt khác, khi r(t) = 0 phƣơng trình (2.91) trở thành: (2.98) )()( tAxtx  Nhiệm của (2.98) là: (2.99) )0()(  xetx At 179 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái So sánh (297) và (2.99) suy ra: (2.100) )( Atet  Theo định lý Haley – Hamilton, ta có: (2.101) ][...][][)( 11 2 210 ACACACICet n n At   Thay A = ,  là các trị riêng của ma trận A (tất là nghiệm của phƣơng trình det(I –A) = 0) vào biểu thức (2.101), ta sẽ tính đƣợc các hệ số Ci (i = 0 (n-1)). 180 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Tóm lại: • Để tính nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái ta thực hiện các bƣớc sau đây: 1- Tính ma trận quá độ (t) theo công thức (2.96) hoặc (2.101). 2- Tính nghiệm của phƣơng trình biến trạng thái theo công thức (2.95), nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:  d)()()( 0   t Brttx 181 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Tóm lại: • Nếu muốn tìm đáp ứng của hệ thống bằng phƣơng pháp biến trạng thái, trƣớc tiên tìm nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái, sau đó tính: )()( tCxtc  182 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Ví dụ: Cho hệ thống có hàm truyền là: 23 )( 2   ss s sG 1- Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái mô tả hệ thống trên 2- Tìm ma trận quá độ 3- Tìm đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm nấc đơn vị (giả sử điều kiện đầu bằng 0). 183 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 23)( )( 2   ss s sR sC 1- Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái Theo đề bài ta có: )()()23( 2 ssRsCss  )()(2)(3)( trtctctc   Đặt biến trạng thái nhƣ sau: )()()( )()( 12 1 trtxtx tctx    184 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 1- Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái Hệ phƣơng trình trạng thái mô tả hệ thống là: Trong đó:                32 1010 12 aa A      )()( )()()( tCxtc tBrtAxtx               3 1 2 1   B 185 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 1- Thành lập hệ phƣơng trình biến trạng thái do 1 = b0 = 1 2 = b1 – a11 = 0 – 3*1 =3 C = [ 1 0 ] 186 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : Cách 1: 2- Tính ma trận quá độ ])[()]([)( 111   AsIst LL Ta có:                     s s sss s ss AsIs 2 13 )2)(1( 1 2 13 23 1 )()( 2 1                       32 1 32 10 10 01 )( s s sAsI 187 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ                               )2)(1()2)(1( 2 )2)(1( 1 )2)(1( 3 )]([)( 11 ss s ss ssss s st LL                                            )2)(1()2)(1( 2 )2)(1( 1 )2)(1( 3 11 11 ss s ss ssss s LL LL 188 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ                                                      )2( 2 )1( 1 )2( 2 )1( 2 )2( 1 )1( 1 )2( 1 )1( 2 )]([ 11 11 1 ssss ssss s LL LL L             )2()22( )()2( )( 22 22 tttt tttt eeee eeee t 189 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : Cách 2: 2- Tính ma trận quá độ (2.102) 10 ACICeΦ(t) At  Các trị riêng của A là nghiệm của phƣơng trình det(sI - A) = 0 0 32 10 10 01 det                        0232         2 1 2 1   190 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ Thay A = i vào công thức (2.102), ta đƣợc:      210 110 2 1     CCe CCe t t         10 2 10 2CCe CCe t t         tt tt eeC eeC 2 1 2 0 2 191 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 2- Tính ma trận quá độ Thay C0 và C1 vào công thức (2.102), ta đƣợc:                32 10 )( 10 01 )2()( 22 tttt eeeet            )2(22( )()2( )( 22 22 tttt tttt eeee eeee t Ta thấy ma trận quá độ tính theo hai cách đều cho kết quả giống nhau 192 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống Trƣớc tiên ta tìm nghiệm của hệ phƣơng trình biến trạng thái. Với điều kiện đầu bằng 0, nghiệm của phƣơng trình trạng thái là:  d)()()( 0   t Brttx    d eeee eeee t tttt tttt                    3 1 )2(22( )()2( 0 )(2)()(2)( )(2)()(2)( 193 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống    d ee ee tx t tt tt )4( )2( )( 0 )(2)( )(2)(                                t tt t tt dee dee 0 )(2)( 0 )(2)( )4( )2(     194 2.4 TÓM TẮT Chƣơng này đã trình bày hai phƣơng pháp mô tả toán học hệ thống tự động là phƣơng pháp hàm truyền đạt và phƣơng pháp không gian trạng thái. Tùy theo hệ thống và bài toán điều khiển cần giải quyết mà chúng ta chọn bài toán mô tả toán học phù hợp. Nếu bài toán là bài toán phân tích, nếu hệ thống có một ngõ vào, một ngõ ra và nếu quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra có thể biểu diễn bằng một phƣơng trình vi phân hệ số hằng thì có thể chọn phƣơng pháp hàm truyền đạt hay phƣơng pháp không gian trạng thái đều đƣợc. 195 2.4 PHƢƠNG PHÁP KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 2.4.7 Nghiệm của hệ phƣơng trình trạng thái Giải : 3- Đáp ứng của hệ thống                  tt tt ee ee tx tx tx 2 2 2 1 21)( )( )(   tt eetx tx tx tc 21 2 1 )( )( )( 01)(  