Lượng giác hóa đại số

Edit by Nguyễn Minh Hiếu mhieu94@gmail.com  1  Lượng giác hóa đại số I.Các dạng biến đổi đai số sang lượng giác thương găp 1,Dấu hiệu Đặt x = sin( ) hoặc cos( ) đk x  [ -1;1] Đặt x = tan( ) hoặc cot ( ) đk x  R 2,Một số dạng thường gặp Dạng 1 : Nếu x m thì đặt x= m sin( ) với ; 2 2         hoặc x= m cos( ) với  0;   Đặc biệt m=1 thì Đặt x = sin( ) hoặc cos( ) Dạng 2 : 2 2 2 ( 0) ìx y a a th   x a sin( )( (0;2 )    a cos( )y  Đặc biệt 2 2 1x y  thì đặt x sin( )( (0;2 )    cos( )y  Dạng 3: Nếu x m và  2 2x m thì đặt (( [0; ] / ) cos( ) 2 m x             Đặc biệt m=1 thì đặt 1 cos( ) x   Dạng 4: Nếu  2 2m x thì đặt x m sin( ) ; 2 2               hoặc   mcos( )( 0; )x     Đặc biệt m=1 thì đặt x sin( ) hoặc cos( )x  Dạng 5: Nếu  2 2x a thì đặt x tan( )a  hoặc cot( )x a  Đặc biệt a = 1 thì đặt x tan( ) hoặc cot( )x  Dạng 6 : Nếu  1 x y xy   thì đặt x tan( ) tan( )y     => tan( ) 1 x y xy      Đặc biệt x y thì đặt x tan( ) => 2 2 tan(2 ) 1 x x   Dạng 7 : Nếu  a x a x   thì đặt cos(2 )a a  => 1 cos(2 ) tan( ) 1 cos(2 ) a x a x          Đặc biệt  có thể là 1 hàm của f(x) Edit by Nguyễn Minh Hiếu mhieu94@gmail.com  2  Dạng 8 : Nếu  1 x x  thì đặt x tan( ) => 1 1 sin(2 ) x x    3,Một số khai triển của cos(nx) về cos(x) 2 3 4 2 5 3 6 4 2 7 5 3 os2 2cos 1 os3 4cos 3cos os4 8cos 8cos 1 os5 16cos 20cos 5cos os6 32cos 48cos 18cos 1 os7 64cos 112cos 56cos 7cos c x x c x x x c x x x c x x x x c x x x x c x x x x x                   4, Một số cách khai thác giả thiết khi đặt ẩn phụ lượng giác * Cho x + y + z = xyz Đặt tan( ) tan( ) tan( ) x y z       =>       * Choxy + yz + zx = 1 Đặt tan( ) 2 tan( ) 2 tan( ) 2 x y z       =>       *Cho 2 2 2 2 1x y z xyz    Đặt os( ) os( ) os( ) x c y c z c       =>       II.Ví dụ và bài tập áp dụng Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Chứng minh các đẳng thức sau Edit by Nguyễn Minh Hiếu mhieu94@gmail.com  3  VD1. Cho 2 2 2 2 1(0 , , )a b c abc a b c     CMR : 2 2 , , 1 (1 )(1 ) a b c abc c a b    Hướng dẫn : Đặt os( ) os( ) os( ) a c b c c c       VD2. Cho 1ab bc ca   .CMR 2 2 2 2 2 24 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )abc a b c b a c c b a         Hướng dẫn Đặt tan( ) 2 tan( ) 2 tan( ) 2 a b c       Dạng 2 . Giải PT Giải PT VD3. 2 3 3 21 1 (1 ) (1 ) 2 1x x x x           Hướng dẫn Điều kiện : 1 1x   Đặt  os( )( 0; )x c     VD4. 3 2 3 2(1 ) . 2(1 )x x x x    Hướng dẫn Điều kiện : 1 1x   Đặt  os( )( 0; )x c     VD5 . 2 4 28 (1 2 )(8 8 1) 1x x x x    Hướng dẫn Điều kiện : 1 1x   Đặt sin( ) 0; 2 x             VD6. 2 31 4 3x x x   Dạng 3 . Giải HPT Giải HPT sau VD7. 1 1 1 3 4 5 (1) 1(2) x y z x y z xy yz zx                       Edit by Nguyễn Minh Hiếu mhieu94@gmail.com  4  Hướng dẫn Đặt tan( ) tan( ) tan( ) x y z       0(2) 90 3 4 5 (1) sin(2 ) sin(2 ) sin(2 )              2 ;2 ;2   là 3 góc của tam giác vuông cạnh 3,4,5 sin(2 ) 1 sin(2 ) 0,6 sin(2 ) 0.8       => x VD8. 2 2 2 2 2 2 x x y y y y z z z z x x       Từ hệ dễ dàng suy ra , , 1x y z  Từ đó hệ dã xho tương đương với 2 2 2 2 1 2 1 2 1 x y x y z y z x z       Đặt tan( ) 4 2 x k             tan(2 ) tan(4 ) tan(8 ) tan(8 ) tan( ) y z x x                 Dạng 4 :Chứng minh BĐT và tìm cực trị VD9.Tìm GTLN 3 2 3 24 (1 ) 3( 1 )A a a a a         VD10.Cho 1a  (1 ) (1 ) 2 ( ; 2)n n nCMR a a n N n     