Luận văn Tích phân Riemann của hàm giá trị véctơ

Lời mở đầu. Trong chương trình toán của khoa Toán trường đại học sư phạm đã cung cấp một khối lượng khá hoàn chỉnh về kiến thức cơ sở. Phép tích phân cũng được trang bị khá tốt về tích phân Riemann và tích phân Lebesgue của hàm nhận giá trị thực. Vào năm 1951, A.Alexiexicz và W.Orlicz cho công bố bài báo: ”Remarks on Riemann integration of vector valued functions”-StudiaMath 12-1951. Bài báo này đề cập một số nhận xét quan trọng về tích phân Riemann của hàm nhận giá trị véc tơ . Vào năm 1994, cuốn sách: “Phép tính vi phân và tích phân “-của GS.TS Nguyễn Văn Khuê, TS Cấn Văn Tuất và TS Đậu Thế Cấp xuất bản trong đó có xây dựng tích phân Riemann của hàm giá trị véc tơ và các tính chất của nó . Trên cơ sở hai tài liệu nói trên, bản luận văn tốt nghiệp này có nhiệm vụ tìm hiểu và giải thích chi tiết các vấn đề có liên quan đến tích phân Riemann của hàm giá trị véctơ. Luận văn được chia thành hai phần : - Phần1: Nhắc lại một số kiến thức của tích phân Riemann và tích phân Lebesgue đối với hàm vô hướng. - Phần2: Tích phân Riemann – Graves và tích phân Riemann – Pettis. ở đây chủ yếu đề cập tích phân của hàm giá trị véc tơ. Sự liên hệ giữa tích phân R-G và tích phân R – P. Phần I: Nhắc lại một số kiến thức của tích phân Riemann và tích phân Lebesgue đối với hàm vô hướng Đ1.Tích phân Riemann của hàm vô hướng . 1.1.Định nghĩa tích phân Riemann của hàm vô hướng . Cho hàm số xác định trên đoạn lấy giá trị trong R. Gọi là phép phân hoạch đoạnthành các phần nhỏ ,,…,. Đặt d()=max với =sup Trong mỗi chọn một số . Lập tổng Nếu tổng trên có giới hạn khi không phụ thuộc vào phân hoạch và cách chọn thì hàm được gọi là khả tích Riemann (hay khả tích(R)) trên đoạn . Và I I: được gọi là tích phân của hàm trên đoạn . Ký hiệu I= Tức là với mọi số e> 0cho trước, $d>0 sao cho mọi phân hoạch p mà <d và mọi thì 1.2 . Điều kiện khả tích . Cho hàm số Đối với phân hoạch p của đoạn thành các khoảng ,,…, Đặt ; và Khi đó và Lần lượt gọi là tổng Đarboux trên và tổng Đarboux dưới của hàm ứng với phân hoạch p của đoạn Đặt 1.2.1. Định lý: (Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích ). Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích(R) là 1.2.2 Định lý Lebesgue Hàm bị chặn khả tích (R) khi và chỉ khi tập các điểm gián đoạn của có độ đo không. Ví dụ 1: Cho hàm số xác định bởi với x hữu tỷ với x vô tỷ trên đoạn Ta thấy tập các điểm gián đoạn của là có độ đo khác không . Mặt khác ta chứng minh không khả tích (R) trên bằng định nghĩa. Thậy vậy : gọi p là phép phân hoạch đoạn thành các đoạn nhỏ ,,…,. Trên mỗi chọn một số . Lập tổng : Khi đó nếu là số vô tỷ ta có: Nếu chọn là số hữu tỷ ta có: Chứng tỏ không khả tích (R) trên . Đ2. Tích phân Lebesgue của hàm vô hướng. 2.1 Khái niệm hầu khắp nơi. Ta nói một tính chất nào đó thoả mãn hầu khắp nơi(viết tắt là h.k.n) trên A nếu tập tất cả các điểm thuộc A mà tại đó tính chất không thoả mãn có đo độ không. Ví dụ: hai hàm bằng nhau hầu khắp nơi nếu tập có đo độ không. 2.2. Hàm bậc thang. Một hàm số với x ẻ A cccẻA aAÂ với x ẽ A aAÂ Gọi là hàm đặc trưng của tập hợp nếu: Ta thường kí hiệuđể chỉ hàm đặc trưng của tập hợp A. Một hàm số ở đó D là một gian trong được gọi là hàm bậc thang nếu có thể viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các hàm đặc trưng của các ô con của D. Tức là tồn tại các ô của D và các số của R sao cho : . Cho là hàm bậc thang thì có thể viết dưới dạng chính tắc trong đó là các ô rời nhau của D. 2.3.Tích phân của hàm bậc thang. Cho là hàm bậc thang viết dưới dạng với là các ô con của D rời nhau( có thể giả sử với mọi ). Ta định nghĩa gọi là tích phân Lebesgue của hàm trên D. Tích phân đó không phụ thuộc vào cách biểu diễn . 2.4. Hàm khả tích Lebesgue. Một hàm gọi là đo được nếu là giới hạn hầu khắp nơi của một dãy hàm bậc thang. Nói cách khác được gọi là đo được nếu có một dãy hàm bậc thang sao cho: với mọi ẻB mà D\ B có độ đo không Một hàm được gọi là khả tích Lebesgue (viết tắt là khả tích (L)) nếu có một dãy hàm bậc thang sao cho: đơn điệu tăng, hầu khắp nơi và là một dãy bị chặn . Thì ta định nghĩa : hoàn toàn xác định và gọi là tích phân Lebesgue của hàm trên D. Nếu D= ta có Và được viết là gọi là tích phân Lebesgue của hàm trên . 2.5.Định lý: Nếu hàm số khả tích (R) trên thì nó khả tích (L) trên và . Ngược lại không đúng. với x vô tỷ với x hữu tỷ Ví dụ: Hàm Dirichlet trên Dễ dàng chứng minh không khả tích (R) trên ( Tương tự ví dụ 1). Mặt khác =1. = 0. Tức là khả tích Lebesgue trên và = 0. Phần 2: Tích phân Riemann – Graves và tích phân Riemann – Pettis. a. Tích phân Riemann – Graves của hàm vectơ. Đ1.Tích phân Riemann – Graves của hàm vectơ. 1.1.Định nghĩa tích phân Riemann – Graves của hàm vectơ. Cho hàm . Với là không gian Banach. Gọi p là phép phân hoạch đoạn thành các đoạn nhỏ ,,…,. Đặt . Trên mỗi đoạn chọn một số . Lập tổng Riemann: (1). Nếu mọi dãy tổng Riemann (1) có giới hạn khi không phụ thuộc vào phân hoạch p của đoạn và cách chọn thì hàm gọi là hàm khả tích Riemann – Graves ( viết tắt là khả tích (R-G)). Và tích phân (R-G) của hàm trên đoạn được kí hiệu là . Tức là: =. Hay với mọi > 0 cho trước, $ d > 0 sao cho với mọi phân hoạch p: và mọi cách chọn thì : Từ đó : hàm gọi là khả tích (R-G) trên khi và chỉ khi với mọi > 0 tồn tại phép phân hoạch p của sao cho , thì . Người ta chứng minh mọi hàm có biến phân bị chặn thì khả tích (R-G) ( hàm gọi là có biến phân bị chặn trên nếu tập các tổng bị chặn với mọi thuộc phân hoạch không dẫm lên nhau). * Mặt khác Graves đã lưu ý rằng tiêu chuẩn của Lebesgue trang bị cho hàm vectơ chỉ là điều kiện đủ để khả tích (R-G). Tức là mọi hàm vectơ không liên tục trên tập có độ đo không thì khả tích (R-G). Tuy nhiên có những hàm vectơ không liên tục khắp nơi vẫn khả tích (R-G). Ví dụ 1: Xem là không gian M các hàm thực xác định và bị chặn trên với với với chuẩn được định nghĩa: . u 1 1 t Đặt và định nghĩa: bởi với . Khi đó hàm khả tích (R-G) trên. Thật vậy: với mọi e> 0 chọn khi đó với mọi phép phân hoạch p đoạn thành những đoạn nhỏ ,,…,,sao cho với mọi ,. Ta có: . ở đó =; với , ; .Với mỗi . Nếu , >=0 – 0 = 0 , =1 – 1 = 0 =1 – 0 = 1. ị.< < e. Chứng tỏ khả tích (R-G). Bây giờ ta chứng minh không liên tục khắp nơi trên . với với với Lấy tuỳ ý ẻ . Xét .() = = =1 không liên tục tại . Do tuỳ ý suy ra không liên tục khắp nơi . Đó là điều phải chứng minh. ở ví dụ1 tập giá trị của hàm nằm trong là không gian Banach không khả li. Tiếp theo ta lấy ví dụ về một hàm vectơ khả tích (R-G) không liên tục khắp nơi và tập giá trị của nó nằm trong một không gian khả li. Ví dụ 2: xem là không gian C các hàm số liên tục trên . với 0 Ê uÊ ln+1 và ln Ê u Ê 1 với u= Đặt . Xét hàm: = Và là tuyến tính với các giá trị còn lại: và Ê Ê . Kí hiệu là dãy các số hữu tỷ của . với t=tn với tạtn Và đặt . Khi đó hàm = khả tích (R-G) trên . Thật vậy: chia đoạn thành phần bằng nhau ,,…,, mỗi phần có độ dài . Khi đó với mọi () ta có: =. Mà với mỗi ta có: =++…+ 1. Vì khi đó trong tổng trên có nhiều nhất một =1 kéo theo 0 <1, còn các =0 .1=< e với n đủ lớn. Vậy khả tích (R-G) trên . Ta đi chứng minh gián đoạn khắp nơi trên. Lấy tuỳ ý ẻ với t=tn,t0=tm với t=tn,t0ạtm với tạtn,t0=tm với tạtn,t0ạtm Xét = 1. không liên tục tại . Do tuỳ ý ẻsuy rakhông liên tục khắp nơi trên . Đó là điều phải chứng minh. Qua hai ví dụ trên ta thấy là hàm không liên tục khắp nơi nhưng vẫn có thể khả tích (R-G). Chúng ta sẽ đưa ra định lý tổng quát hơn trong trường hợp không gian Banach khả li. 1.3.Khái niệm liên tục yếu. ã Một hàm gọi là liên tục yếu tại nếu ta cho một phiếm hàm tuyến tính liên tục nào đó thì liên tục tại . ã Một hàm gọi là liên tục yếu trên nếu nó liên tục yếu tại mọi điểm ẻ. 1.4. Định lý: Tồn tại hàm xác định trên đoạn lấy giá trị trong không gian Banach khả li X, khả tích (R-G) nhưng không liên tục yếu tại mọi điểm Chứng minh: Chọn X = C ( không gian các hàm số liên tục trên ) và được định nghĩa: với với và Nếu có dạng với Đặt = và coi là tuyến tính với và Nếu là số còn lại thì =0. Chúng ta sẽ chứng minh hàm = khả tích (R-G) trên. Với mọi e > 0 nhỏ tuỳ ý chọn sao cho. Bao các điểm có dạng với bởi các khoảng,,…, có độ dài nhỏ hơn . Ký hiệu các khoảng còn lại là,,…,. Khi đó ", ta có: = < . < Trong mỗi khoảng chứa một và chỉ một khoảng do đó ta luôn có thể sắp xếp các chỉ số sao cho è. Khi đó với mọi ,ẻ.Ta có: nếu nếu Do đó: < 3. < 3. < Suy ra < +=. Đó là điều phải chứng minh. Bây giờ ta chứng minh hàm không liên tục yếu khắp nơi: Đối với và chọn sao cho Lấy = khi thì =1=1. Mặt khác là dãy các số vô tỷ thuộc thì =0. Tức là không tồn tại khi . Vậy không liên tục yếu tại ( vì: liên tục trong C hội tụ yếu), do tuỳ ý ẻsuy ra không liên tục yếu khắp nơi trên . Đ2.Các định nghĩa tương đương của hàm vectơ xác định trên khả tích (R-G). 2.1 Mệnh đề: Giả sử là hàm xác định trên láy giá trị trong không gian Banach . Khi đó khả tích (R-G) khi và chỉ khi tồn tại phần tử sao cho "e > 0, $d(e) > 0 để với mọi phân hoạch p = (,,…,) () và mọi cách chọn điểm trung gian của phân hoạch ấy thì: = < e. Chứng minh: giả sử khả tích (R-G), ta sẽ chỉ ra phần tử thoả mãn điều kiện đã nêu ra trong mệnh đề. Phản chứng: Giả sử không thoả mãn điều kiện đã nêu ra trong mệnh đề. Tức là $e0>0 sao cho "d > 0 có phép phân hoạch p =(d1, d2,…, dn) (d(p)<d) và mọi cách chọn điểm trung gian ti < di luôn có Chọn tức là dãy phân hoạch p =(d1, d2,…, dn) có d(p)0. Và mọi cách chọn điểm trung gian mà Tức là với phân hoạch p =(d1, d2,…, dn) : d(p)0 mà không hội tụ đến điều này mâu thuẫn với giả thiết khả tích (R-G) trên . Vậy giả sử phản chứng là sai. Đó là điều phải chứng minh cho mệnh đề thuận. (ĩ)Đảo lại: Giả sử thảo mãn điều kiện đã nêu trong mệnh đề ta phải chứng minh x(t) khả tích (R-G) trên . Thật vậy : Chọn là dãy phân hoạch đoạn ( với d(p)đ0) và là dãy tổng tích phân ứng với phân hoạch đó và mọi cách chọn điểm trung gian. Cho e > 0 nhỏ tuỳ ý, theo giả thiết ịsao cho với mọi dẫy phân hoạch () và mọi cách chọn điểm trung gian thì chứng tỏ dn hội tụ đến tức là khả tích (R-G) trên . 2.2 Định lý: Hàm xác định trên lấy giá trị trong không gian Banach X khi đó các điều kiện sau là tương đương: 1. khả tích (R-G) trên . 2. Với mọi và một phần tử sao cho với mọi phân hoạch p của : và mọi cách chọn điểm trung gian xiẻdi ta có : 3. Với mọi sao cho với mọi phân hoạch p của : và thì : 4. Với dẫy phân hoạch chia đều đoạn thành n phần thì chuỗi hội tụ về một phần tử duy nhất thuộc với . 5. Với mọi và một phần tử sao cho với mọi phân hoạch p : thì : với đủ lớn và . Chứng minh: Việc chứng minh định lý được tiến hành theo sơ đồ sau: 1,đ2, đ3, đ4, đ5, đ1, 1,đ2, : Nếu x(t) khả tích (R-G) trên theo mệnh đề 2.1 và !sao cho với mọi phân hoạch p==(d1, d2,…, dn) của () và mọi cách chọn điểm trung gian xiẻdi thì : hay 2,đ3,: Theo 2) với và !sao cho với mọi phân hoạch p=(d1, d2,…, dn) của () và mọi cách chọn điểm trung gian xiẻdi thì : Đồng thời với sao cho với mọi phân hoạch p’=(d1’ ,d2’,…,dn’) của : và mọi cách chọn điểm trung gian xi’ẻdi’ thì : Chọn d = min(d1, d2) khi đó mọi phân hoạch p của () thì : Vậy với xi’, xiẻdi Đó là điều phải chứng minh. 3. 3,đ4,: Để chứng minh chuỗi hội tụ, trước hết ta chứng minh $đủ lớn sao cho : Với định nghĩa là phép phân hoạch đoạn thành phần đều nhau . Khi hay với đủ lớn; Theo 3, ị với xi’, xiẻdi ; với n=n0 ký hiệu . Đặc biệt chọn xi=xi’ () ta có : với " xi’, xiẻdi ; Vậy với n>n0 Ta có: (xiẻdi ; giẻdnj) ở đó là tổng của các phần tử dạng mà có điểm chung ít nhất với hai trong số và với Đặt thì : Do đó Với đủ lớn Từ đó : Tương tự với m>n0 ta có Vậy : "m,n>n0 ị là dãy Cauchy trong không gian Banach ịgiới hạn này là duy nhất và không phụ thuộc vào cách chọn điểm trung gian xiẻdi (theo 3). Đó là điều phải chứng minh. 4,đ5,: Theo 4, Với chia thành phần có độ dài chuỗi hội tụ. Tức là với n0 đủ lớn thì với n>n0 chuỗi hội tụ. Vậy với phân hoạch p=(d1, d2,…, dn) mà (p) < d thì hội tụ. Tức là với mọi " e > 0 ;$ d > 0 sao cho p =(d1, d2,…, dn): < d thì : với n0 đủ lớn và " xi , xi’ẻdi 5. 5,đ1,: Gọi là dãy phân hoạch chuẩn tắc đoạn ta chứng minh dãy tổng tích phân dn hội tụ vào một giới hạn duy nhất không phụ thuộc vào cách chọn điểm trung gian xiẻdi . Cho e > 0 nhỏ tuỳ ý, từ 5, ị$ n0 đủ lớn sao cho : " xi, xi’ẻdi Với n>n0 Đặt ; Với :d1,d2,…,dpn là các khoảng trung cho phép chia p của đoạn Tương tự quá trình chứng minh từ 3,đ4,: ta tìm được sao cho với ">. Ta có dn-dm < e Tức là là dãy Cauchy trong không gian Banach ị hội tụ và . Ta còn phải chứng minh là giới hạn chung của dãy tổng tích phân đối với mọi dãy phân hoạch chuẩn tắc đó. Lập phân hoạch = Ký hiệu Theo lập luận ở trên Tức là là dãy Cauchy trong không gian Banach . Và . Nhưng và ị Vậy khả tích (R-G) trên . Đ3. Một số tính chất đặc trưng của lớp hàm véctơ khả tích (R-G) 3.1. Định lý 1: Cho hàm xác định trên đoạn nhận giá trị trong không gian Banach . Nếu khả tích (R-G) trên đoạn thì chặn trên đó . Chứng minh: Vì khả tích ị"e>0;$d > 0 sao cho với mọi phân hoạch p =(D1, D2,.., Dn) của (d(p)<d) và mọi cách chọn điểm trung gian xiẻDi ta có: (Chọn e=1) Giả sử không bị chặn trên đoạn ị nó không bị chặn trên ít nhất một nào đó. Khi đó ta có thể chọn xio ẻ Dio (các điểm khác chọn tuỳ ý) sao cho Và ta có : Hay Mâu thuẫn này chứng tỏ phản chứng là sai Vậy là hàm bị chặn. * Nhận xét: Định lý 3.1 chỉ là điều kiện cần mà không đủ. Tức là một hàm bị chặn vẫn có thể không khả tích. Ví dụ: Hàm Dirichet cho bởi: với hữu tỷ với vô tỷ Rõ ràng 0 ÊÊ 1 với mọi nhưng không khả tích trên đoạn này. 3.2 Định lý: Tính khả tích cùng với giá trị tích phân của hàm. (Không gian Banach) không thay đổi nếu ta thay đổi giá trị của tại một số hữu hạn điểm . Chứng minh: Giả sử thay đổi giá trị của tại một số hữu hạn điểm . Như vậy ta được hàm trùng với ngoài các giá trị . Cho e nhỏ tuỳ ý, do khả tích $ d1 > 0 sao cho mọi phân hoạch (D1, D2,…, Dn) của đoạn với d()<d1. Ta có: với xiẻDi (). Khi đó: = Với mọi phân hoạch (D1, D2,…, Dn) của: d()<d2.= . Và Vậy với mọi phân hoạch p của : và "xiẻDi ; . Ta có : Đó là điều phải chứng minh. 3.3. Định lý: Cho hàm bị chặn trên đoạn . Lấy giá trị trong không gian Banach . Khi đó nếu tập các điểm gián đoạn của có độ đo không thì khả tích (R-G) trên . Để chứng minh định lý này ta sử dụng một số định nghĩa và bổ đề sau: Định nghĩa: Cho Đặt Gọi là giao độ của hàm tại . 2. Nhận xét: a. liên tục tại khi và chỉ khi Chứng minh: (ị) Giả sử liên tục tại khi đó với "e>0 ,$d>0 sao cho với thì: Do đó Với mọi : ị với nhỏ tuỳ ý hay (ĩ) ngược lại: Giả sử và e > 0 khi đó $d > 0 sao cho: với ; đặc biệt ta có: với Vậy liên tục tại x đó là điều phải chứng minh. b. Với mỗi tập e > 0 tập là đóng trong Thật vậy: Giả sử ị$d>0 để Chọn để Khi đó Hay (vô lý) Vậy giả sử là sai. Đó là điều phải chứng minh. 3. Định nghĩa: Tập con gọi là có độ đo Lebesguer không nếu với mọi e>0, tồn tại dãy con khoảng mở Is=(ai,bj) sao cho và Nhận xét : Hợp đếm được các tập có độ đo không là tập có độ đo không Thật vậy: Giả sử là các tập con trong có độ đo không và . Ta chứng minh tập có độ đo không. Cho e>0 với mỗi j³1 tìm được một dãy các khoảng và Khi đó và Vậy có độ đo không. 4. Chứng minh định lý 3.3 Cho e > 0 giả sử Với Đặt Theo nhận xét 2, thì là tập con đóng của Và và Để chứng minh f khả tích ta chỉ ra rằng với là hai phân hoạch tuỳ ý của ta đều có: < Lập phân hoạch sao cho mọi đoạn chia của là hợp các đoạn chia của . Ta đánh giá: Giả sử là họ các đoạn chia của sao cho mỗi đoạn chia này bao hàm một khoảng nào đó của ,…, Và giả sử là họ các đoạn chia còn lại của . Khi độ dài các đoạn chia cuủ dủ nhỏ thì mọi đoạn chia thuộc không giao với . Ta có thể viết: = Ê + + + + Ê + < + = Tương tự ta được: < Do đó: = Ê + < + = 2. Với và đủ nhỏ. Đây là điều phải chứng minh cho khả tích (R-G) trên. 3.4, Nhận xét: Định lí 3.3 chỉ là điều kiện cần ngược lại nói chung không đúng xem ví dụ Đ1. 3.5. Từ định lý 3-3 ta đưa ra các hệ quả sau: * Hệ quả 1: Hàm liên tục trên thì khả tích trên * Hệ quả 2: Hàm bị chặn gián đoạn tại một số hữu hạn điểm trên thì nó khả tích trên. 3.6. Định lý: Giả sử X là không gian Banach còn là hàm sao cho là compac trong . Khi đó khả tích khi và chỉ khi tập các điểm gián đoạn của có độ đo không. Chứng minh: : Giả sử khả tích, ta phải chứng minh có độ đo không. Do là compac nên theo định lý Hahn- Banach tồn tại dãy các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên sao cho: Nếu ẻ Mà với ³ 1 Thì Do định lý 3- 3, tập có độ đo không. Đặt Khi đó có độ đo không (đã chứng minh trong 3-3). Để kết thúc chứng minh ta chứng tỏ è tức là liên tục trên \. Giả sử è và . Do tính compac của tồn tại dãy con è sao cho = Bởi vì = = = Vậy = Suy ra = (bởi vì không phụ thuộc vào dãy con è sao cho hội tụ). Đó là điều phải chứng minh. : là định lý 3-3.