Lập và sử dụng mô hình với hàm số phù hợp để giải các bài toán thực tế

VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 16 LẬP VÀ SỬ DỤNG MÔ HÌNH VỚI HÀM SỐ PHÙ HỢP ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ Trần Vui Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế Email: tranvui@hueuni.edu.vn Article History ABSTRACT Received: 20/10/2020 Accepted: 02/12/2020 Published: 20/12/2020 Secondary Vietnamese students well performed mathematical skills and concept understanding in PISA tests, but they unsuccessfully translated word problems in the real life context to mathematical language for solving problem. Teaching and learning mathematics in classrooms should focus on setting up and using models to help students translating word problems to models with functions by using mathematical tools. Focusing on setting up and using models in mathematics classrooms helps students have good chance to set up and use models with appropriate functions. Students are able to use computer-based mathematical tools such as Excel to solve real-life problems effectively. Vietnamese students are able to combine skills and concept understanding with setting up and using models of specific functions in the learning environment with computer-based mathematical tools to solve problems given by real data. Keywords model, appropriate functions, solve, real-life problems. 1. Mở đầu Trong chương trình toán ở cấp trung học, các kiến thức khái niệm và kiến thức kĩ năng luôn đồng hành cùng nhau để giúp học sinh (HS) giải quyết vấn đề và ứng dụng mô hình. Giải quyết vấn đề cùng với lập và sử dụng mô hình là hai quá trình cốt lõi để phát triển tư duy toán với sự huy động phù hợp các kĩ năng và khái niệm. Bốn thành phần chính thường được tập trung trong chương trình toán bao gồm: các khái niệm, các kĩ năng, giải quyết vấn đề, lập và sử dụng mô hình. Bốn thành phần này đan quyện và hỗ trợ cho nhau theo hai mảng: nội dung và quá trình. Trong đó, nội dung toán thường đề cập đến các khái niệm và các kĩ năng toán, còn quá trình chỉ khả năng vận dụng nội dung toán trong giải quyết vấn đề, lập và sử dụng mô hình. Chương trình đánh giá HS quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) về toán chú trọng vào lập và sử dụng mô hình để giải quyết các bài toán trong cuộc sống đời thường. Trong phân tích bài làm của HS Việt Nam thì việc hiểu khái niệm và thành thạo kĩ năng được thể hiện mạnh, nhưng các em đã gặp nhiều hạn chế trong việc tự mình lập mô hình toán, tức là chuyển thể các tình huống thực tế thành mô hình. Do không tìm được mô hình cho tình huống đã cho, các em mất cơ hội để trả lời các câu hỏi đòi hỏi sử dụng mô hình đã tìm thấy ở mức tư duy cao hơn (Vui, 2018). Việc sử dụng mô hình với hàm số phù hợp sẽ cho phép những phân tích định lượng để dự đoán sự phát triển hay bùng phát của các hiện tượng thực tế một cách có căn cứ toán học. Ví dụ: mô hình toán mô tả sự bùng phát của dịch COVID-19 và những dự đoán ở một số quốc gia dựa trên các số liệu thu thập được; việc so sánh với các số liệu công bố cho thấy rằng các kết quả của mô hình toán là chính xác (Cherniha & Davydovych, 2020). Khung PISA 2021 đã đề cập đến hiểu biết toán một cách tường minh hơn bao gồm việc sử dụng các công cụ toán. Các công cụ này bao gồm nhiều loại dụng cụ cơ học, kĩ thuật số, phần mềm và các thiết bị tính toán. Các công cụ toán trên máy tính (computer-based mathematical tools) được sử dụng rộng rãi ở nơi làm việc của thế kỉ XXI và sẽ càng phổ biến hơn ở cả nơi làm việc và trong mọi lĩnh vực của xã hội nói chung. Bản chất của các bài toán liên quan đến cuộc sống và công việc hàng ngày đòi hỏi các cá nhân phải vận dụng suy luận toán học (cả hai suy diễn và quy nạp) trong các tình huống ở đó các công cụ tính toán là cần thiết được mở rộng với những cơ hội mới tạo nên những kì vọng cao hơn về hiểu biết toán. Đánh giá toán trên máy tính (CBAM: Computer-Based Assessment of Mathematics) sẽ là định dạng cho hiểu biết toán từ năm 2021. Mặc dù vậy, lựa chọn cho đánh giá trên giấy vẫn còn duy trì cho những quốc gia muốn tiếp tục theo cách này (OECD, 2018). Trong bài báo này, chúng tôi tập trung vào việc trả lời câu hỏi nghiên cứu cơ bản: HS đã thể hiện chu trình lập và sử dụng mô hình để chuyển thể một tình huống thực tế để lập mô hình hàm số phù hợp bằng các loại công cụ toán học trên máy tính và sử dụng để trả lời các câu hỏi của bài toán như thế nào? VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 17 2. Kết quả nghiên cứu 2.1. Việt Nam tham gia vào đánh giá PISA Với việc tham gia vào những bài kiểm tra, đánh giá của PISA, Việt Nam có thể rút ra được những bài học về vị trí giáo dục toán của mình khi so sánh với các quốc gia khác trên thế giới và trong khu vực Đông Nam Á. Cùng với việc dựa vào phân tích kết quả PISA, Việt Nam cũng sẽ hiểu được những yếu tố ảnh hưởng đến những nỗ lực nâng cao chất lượng giáo dục của mình nhằm phục vụ cho nền kinh tế nước nhà. Chúng ta có thể vận dụng những thể hiện ở “mức cao” về kĩ năng nhận thức toán học cơ bản của HS trong PISA vào những đổi mới mang tính thực tiễn trong giáo dục phổ thông và đại học. Theo những nghiên cứu khảo sát của OECD (2016), chúng tôi đã rút ra những nhận định sau: - Thu nhập quốc dân của một quốc gia tỉ lệ thuận với trình độ toán của các HS 15 tuổi được đánh giá. Việt Nam là một ngoại lệ. Việt Nam đã vượt ngưỡng năng lực toán trung bình của các nước OECD nhưng kinh tế lại vào loại nghèo nhất trong các nước tham gia. Như vậy, chúng ta nên hiểu rằng nhận định đó chỉ là điều kiện cần và không đủ. - Ở PISA 2012: Việt Nam đạt 511 điểm về Toán /494 OECD-TB, xếp thứ 17 trong 64 nước có nền kinh tế phát triển hoặc đang phát triển tham gia. - Ở PISA 2015: Việt Nam đạt 495 điểm về Toán /490 OECD-TB, xếp thứ 22 trong 72 nước. - Ở PISA 2018: Việt Nam đạt 496 điểm về Toán /489 OECD-TB, xếp thứ 24 trong 79 nước. Việc phân tích các năng lực toán của HS Việt Nam chưa được công bố, nên không có số liệu thống kê trong bảng 1. - Từ kết quả PISA có thể thấy HS Việt Nam vẫn đang còn thua kém HS ở các nước phát triển trong việc giải quyết các vấn đề gần gũi trong cuộc sống hiện đại, mang bối cảnh xã hội, tích hợp với các khoa học khác trong khi lại giải quyết tốt hơn các câu hỏi về kĩ năng toán học với nội dung toán cụ thể. - Những kĩ năng nhận thức toán học cơ bản ở mức cao của HS Việt Nam là nền tảng cần thiết để phát triển giáo dục toán theo hướng lập và sử dụng mô hình để giải quyết vấn đề thực tế mới lạ một cách sáng tạo hiệu quả. Cụ thể, tỉ lệ HS Việt Nam đạt mức năng lực cao của môn thi Toán năm 2015 là 13%, thấp hơn mức trung bình của OECD là 15,3%. Đặc biệt trong môn Toán năm 2012, 2015, tỉ lệ phần trăm HS đạt các năng lực toán học được thể hiện ở bảng 1. PISA phân loại năng lực toán học thành ba cụm: tái tạo, liên kết, phản ánh. Mỗi cụm như vậy tương ứng với hai mức. Tái tạo ứng với mức 1, 2 được xem là năng lực thấp. Liên kết ứng với mức 3, 4 chỉ năng lực trung bình. Phản ánh ứng với mức 5, 6 được đánh giá là năng lực cao. Tổng hợp các năng lực từ thấp đến cao gồm tái tạo, liên kết và phản ánh trong phân loại PISA được hiểu là các “kĩ năng toán học cơ bản” theo nghĩa hiểu biết kiến thức toán cụ thể và vận dụng được cho các tình huống thực tế. Bảng 1. Tỉ lệ HS Việt Nam đạt các năng lực toán trong PISA 2012, 2015 Năng lực Cụm Mức Mô tả 2012 (tỉ lệ %) 2015 (tỉ lệ %) Cao Phản ánh 5, 6 Thành thạo và vận dụng kiến thức trong mọi tình huống 14,2 13 Trung bình Liên kết 3, 4 Biết kiến thức toán và vận dụng được 72,5 73 Thấp Tái tạo 1, 2 Không thành thạo kiến thức toán 13,3 14 Từ bảng 1, chúng ta thấy rằng năng lực toán của HS Việt Nam tương đối đồng đều, đa số các em đều được trang bị tốt các kĩ năng toán cơ bản. Ngược lại, ở nhiều nước khác đã có sự chênh lệch, phân hóa cực lớn, chứng tỏ có sự bất bình đẳng trong giáo dục (OECD, 2016). Trong môn Toán, HS Việt Nam có năng lực tư duy và suy luận toán học cơ bản ở bậc cao nhưng hệ thống giáo dục chưa phát huy tiềm năng to lớn đó. HS chủ yếu đạt năng lực ở mức 3, 4, các mức cao 5, 6 vẫn còn thấp, điều này đòi hỏi HS phải biết vận dụng sáng tạo các kiến thức đã biết để làm nên những cái gì đó mới và không quen thuộc với những dạng đã biết. 2.2. Tập trung vào lập và sử dụng mô hình Chủ đề lập mô hình được sử dụng xuyên suốt để thống nhất và phân loại nhiều ứng dụng của toán học vào cuộc sống. Chúng tôi cố gắng để làm rõ quá trình cơ bản để chuyển thể các bài toán bằng lời hoặc bằng chữ thành ngôn ngữ toán học. HS được yêu cầu xây dựng các mô hình toán, được tổ chức theo các chủ đề kiến thức toán rõ ràng, cụ thể. Các kiến thức toán như các hàm số đa thức, hàm mũ, logarit và lượng giác, hệ các phương trình và bất phương VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 18 trình có thể được sử dụng để tạo mô hình toán cho các hiện tượng quen thuộc từ các môn khoa học và từ cuộc sống hàng ngày. Một mô hình là một biểu diễn của một đối tượng hay một quá trình. Một mô hình toán là một biểu diễn toán học (thường là một phương trình) của một đối tượng hay một quá trình. Khi một mô hình toán được thành lập, ta có thể sử dụng nó để thu những thông tin hữu ích hay đưa ra những dự đoán về đối tượng được lập mô hình. Quá trình này được mô tả theo sơ đồ hai chiều từ thế giới - thực đến mô hình. Trong các phần tập trung vào chu trình lập và sử dụng mô hình, chúng tôi khám phá những cách khác nhau mà ở đó toán học được sử dụng để mô hình các hiện tượng của thế giới - thực. Hình 1. Chu trình lập và sử dụng mô hình 2.3. Lập mô hình với hàm số Việc tìm kiếm một hàm số mô tả sự phụ thuộc của một đại lượng vào một đại lượng khác được gọi là lập mô hình với hàm số. Với việc tập trung vào việc lập mô hình, chúng ta học cách làm thế nào để tìm các mô hình mà có thể được xây dựng bằng cách dùng các tính chất hình học hay đại số của đối tượng nghiên cứu. Khi tìm được mô hình, chúng ta dùng nó để phân tích và dự đoán các tính chất của đối tượng hay quá trình được khảo sát. Trong phần này chúng tôi sử dụng một chu trình lập và sử dụng mô hình gồm 4 bước để chuyển thể một tình huống thực tế bằng ngôn ngữ hàng ngày thành hàm số bằng ngôn ngữ đại số. Chúng tôi cũng sử dụng chu trình 4 bước này để đánh giá khả năng lập mô hình với hàm số của HS khi giải quyết các bài toán thực tế (Stewart, 2016) như dưới đây. Bước 1. Diễn đạt mô hình bằng chữ: Xác định đại lượng bạn muốn để lập mô hình và biểu thị nó bằng lời văn, như là một hàm số của những đại lượng khác trong bài toán. Bước 2. Chọn biến số: Xác định tất cả các biến số có thể được sử dụng để biểu thị hàm số ở bước 1. Gán một kí hiệu, chẳng hạn x, cho một biến số, rồi biểu thị các biến khác theo kí hiệu này. Bước 3. Lập mô hình: Biểu thị hàm số bằng ngôn ngữ đại số bằng cách viết nó như là một hàm số của biến số độc lập được chọn ở bước 2. Bước 4. Sử dụng mô hình: Sử dụng hàm số để trả lời các câu hỏi đặt ra trong bài toán. Dưới đây, chúng tôi sẽ phân tích việc tổ chức cho HS lập mô hình theo các bước trên, thông qua giải quyết một vấn đề thực tế: Cực đại lợi nhuận từ bán vé: Ở xứ Zedland (dùng tiền Zed), một trận đấu bóng đá ở sân vận động có sức chứa 15.000 chỗ ngồi. Với vé được đặt ra bởi giá 14 Zed, thì trung bình các trận đấu gần đây có 9.500 khán giả. Một khảo sát thị trường chỉ ra rằng cứ giảm giá 1 Zed cho một vé, thì trung bình số khán giả tăng lên 1000. a) Tìm một hàm số mà mô hình lợi nhuận theo giá vé. b) Tìm giá vé mà cực đại lợi nhuận từ việc bán vé. c) Với giá vé là bao nhiêu là quá cao để không có ai tham dự trận đấu và vì thế không sinh ra được lợi nhuận. Phân tích lời giải dự kiến của HS a) Diễn đạt mô hình bằng chữ: Mô hình mà chúng ta muốn là một hàm số cho ra lợi nhuận đối với mọi giá vé: lợi nhuận = giá vé × số khán giả. Chọn biến số: Có hai đại lượng thay đổi: giá vé và khán giả. Do hàm số chúng ta muốn phụ thuộc vào giá, nên đặt: x = giá vé Tiếp đến, chúng ta diễn đạt khán giả theo x. Bằng chữ Bằng đại số Giá vé x Số tiền (ngàn) giá vé được giảm xuống 14 ─ x Khán giả tăng lên 1000(14 ─ x) Số khán giả 9500 + 1000(14 ─ x) VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 19 Thành lập mô hình. Mô hình ta muốn lập là hàm L cho lợi nhuận với giá vé x: lợi nhuận = giá vé × số khán giả. Cụ thể ta có: L(x) = x × [9500 + 1000(14 − x)] = L(x) = 23.500x − 1000x2 b) Sử dụng mô hình: Do L là một hàm số bậc hai với a = − 1000 và b = 23.500, giá trị cực đại xảy ra ở 𝑠 = − 𝑏 2𝑎 = − 23.500 2(−1000) = 11,75 Như vậy một vé giá 11,75 Zed đem lại lợi nhuận cực đại. c) Sử dụng mô hình. Chúng ta muốn tìm giá vé sao cho L(x) = 0. L(x) = 23.500x − 1000x2 = 0  x = 0  x = 23,5 Như vậy theo mô hình này, giá của một vé là 23,5 Zed là quá cao; với giá vé đó không có khán giả xem trận đấu này (dĩ nhiên, lợi nhuận cũng là không nếu giá vé là không). Trao đổi: Vấn đề này được khảo sát trên N1 = 82 HS lớp 10 ở TP. Huế, khi các em đã được học các tính chất của hàm số bậc hai. Tình huống này đòi hỏi các em phải tự mình chuyển thể tình huống thực tế về một mô hình là hàm số bậc hai. Sau đó sử dụng mô hình để trả lời các câu hỏi cụ thể đặt ra bởi bài toán. Qua bài làm, các HS đã thể hiện khả năng lập và sử dụng mô hình qua từng bước của chu trình. Bảng 2. Tỉ lệ % (N1 = 82) thể hiện khả năng lập mô hình vấn đề cực đại lợi nhuận từ bán vé Diễn đạt bằng chữ Chọn biến số Lập mô hình Sử dụng mô hình b) Sử dụng mô hình c) 78 74 71 65 61 Từ số liệu phần trăm thể hiện của HS qua các bước lập mô hình ở bảng 2, ta thấy rằng HS cần phải diễn đạt đúng mô hình toán bằng chữ, khi đó mới có khả năng chọn biến số và lập mô hình là hàm số bậc hai về lợi nhuận. Với trung bình 71% HS lập đúng mô hình toán, chứng tỏ các em đã hiểu được tình huống thực tế và thu được hàm số đúng. Khi đã lập được mô hình, thì HS đã sử dụng mô hình đã thu được để trả lời câu hỏi b) và c). Với tỉ lệ trung bình 63/71 HS có thể sử dụng mô hình, thì khoảng 89% HS lập được mô hình đã sử dụng đúng mô hình đã thu được. 2.4. Lập mô hình với hàm số mũ tự nhiên bằng chương trình Excel Trong chu trình lập và sử dụng mô hình, với một số trường hợp với biến số liên tục, có thể với suy luận toán học và tính toán cơ bản chúng ta xác định được biến số x và lập được hàm số f(x) làm mô hình cho tình huống, như vấn đề cực đại lợi nhuận bán vé ở trên. Nhưng với những tình huống được cho bởi tập số liệu thể hiện sự thay đổi theo biến số, chúng ta cần phải xử lí biến số một cách phù hợp với một hệ trục tọa độ, sau đó vẽ các điểm số liệu để có biểu đồ phân tán (scatter plot). Dựa vào hình dáng của biểu đồ phân tán, HS có thể dự đoán được đồ thị của hàm số nào sẽ khít với tập số liệu. Nếu một biểu đồ phân tán chỉ ra rằng số liệu tăng nhanh chóng, chúng ta có thể muốn mô hình số liệu bằng cách dùng một mô hình mũ tự nhiên, đó là một hàm số dạng 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑒𝑘𝑥 với C và k là các hằng số. Dưới đây trình bày tóm lược việc hướng dẫn HS sử dụng một biến thể các bước lập và sử dụng mô hình với hàm số, với 5 bước cụ thể sau, trong đó bước 2 và bước 3 chỉ dùng với các phần mềm vẽ đồ thị: Bước 1. Chọn biến số. Xác định biến số có thể được sử dụng để biểu thị hàm số. Gán một kí hiệu, chẳng hạn x, cho một biến số, rồi biểu thị các biến khác theo kí hiệu này. Bước 2. Lập lại bảng số liệu. Bảng số liệu gồm hai cột. Cột đầu là biến số x, cột hai là giá trị hàm f(x) tương ứng. Bước 3. Vẽ biểu đồ phân tán. Chọn hai cột số, dùng phần mềm để vẽ biểu đồ sơ tán. Bước 4. Lập mô hình. Chọn loại hàm số khít với biểu đồ phân tán. Trích xuất hàm số mô hình phù hợp. Bước 5. Sử dụng mô hình. Sử dụng hàm số để trả lời các câu hỏi đặt ra trong bài toán. Các bước cụ thể này sẽ giúp HS sử dụng các công cụ toán trên máy tính, sử dụng phần mềm Microsoft Office để vẽ biểu đồ phân tán của tập số liệu và trích xuất ra hàm số có đồ thị khít tốt nhất với biểu đồ phân tán. Vấn đề Phát triển dân số của Việt Nam: Bảng sau ghi lại dân số Việt Nam trong thế kỉ XX và đầu XXI. a) Vẽ biểu đồ phân tán, chú ý rằng một mô hình tuyến tính sẽ không phù hợp. b) Tìm một hàm mũ tự nhiên mà mô hình cho sự phát triển dân số. Vẽ đồ thị của hàm số mà bạn đã tìm được cùng với biểu đồ phân tán. Mô hình khít tốt với số liệu như thế nào? c) Sử dụng mô hình mà bạn đã tìm được để dự đoán dân số Việt Nam vào năm 2025. (Sử dụng và mô phỏng nguồn số liệu của Banens, 1999 và Tổng cục Thống kê, 2020). VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 20 Phân tích lời giải dự kiến của HS a) Viết lại số liệu với 0 là năm 1990, 10 là năm 2000, x là biến số chỉ năm, khi đó ví dụ năm 1995 ứng với x = 9,5. Biểu đồ phân tán chỉ ra ở hình sau được vẽ trong Excel. Hình 2. Biểu đồ phân tán dân số Việt Nam trong thế kỉ XX và đầu XXI Biểu đồ phân tán các điểm số liệu không có vẻ nằm trên một đường thẳng, vì thế mô hình tuyến tính sẽ không phù hợp. Biểu đồ phân tán cho thấy rằng số liệu tăng nhanh chóng nên mô hình hàm mũ tự nhiên sẽ phù hợp. b) Ta có mô hình hàm mũ tự nhiên cùng với phương trình. Biểu đồ phân tán các điểm nằm gần với đồ thị hàm mũ tự nhiên được tìm thấy, nên khít tốt số liệu (best fit the data). c) Hàm số mũ tự nhiên làm mô hình cho sự phát triển dân số của Việt Nam là: 𝑓(𝑥) = 14,31 × 𝑒0,161𝑥 Năm 2025, tương ứng với x = 12,5 nên dự đoán dân số Việt Nam năm 2025 là: 14,31 × 𝑒0,161×12,5 = 107,07 triệu. Trao đổi: Vấn đề này được khảo sát trên N2 = 86 HS lớp 12 ở TP. Huế. Các em đã biết khảo sát đồ thị và tính chất của hàm số mũ. Tình huống này đòi hỏi các em phải tự mình chuyển thể tình huống thực tế về một mô hình là hàm số mũ với việc sử dụng tốt công cụ toán trên máy tính. HS đã dễ dàng tiếp cận chương trình Excel trong bộ Microsoft Office để vẽ biểu đồ phân tán của tập số liệu và trích xuất ra hàm số có đồ thị khít tốt nhất với biểu đồ phân tán. Sau đó sử dụng mô hình để trả lời các câu Hình 3. Đồ thị hàm số mũ khít tốt với biểu đồ phân tán VJE Tạp chí Giáo dục, Số 492 (Kì 2 - 12/2020), tr 16-21 ISSN: 2354-0753 21 hỏi cụ thể đặt ra bởi bài toán. Qua bài làm, các em đã thể hiện khả năng lập mô hình bằng công cụ toán trên máy tính và sử dụng mô hình qua từng bước của chu trình. Khi đã có mô hình toán, phần lớn HS có thể tính toán để dự đoán kết quả một cách chính xác. Bảng 3. Tỉ lệ % (N1 = 86) thể hiện khả năng lập mô hình bằng công cụ toán trên máy tính Chọn biến số Lập lại bảng số liệu Vẽ biểu đồ phân tán Lập mô hình Sử dụng mô hình 85 81 78 73 72 Từ số liệu phần trăm thể hiện của HS qua các bước ở bảng 3, ta thấy rằng HS cần chọn đúng biến số, lập lại bảng số liệu gồm hai cột trong chương trình Excel khi đó mới có khả năng chọn hai cột số liệu để vẽ biểu đồ phân tán. Từ đó chọn đường xu hướng (trendline) là đồ thị của hàm số mũ tự nhiên. Khi đã lập được mô hình, HS đã sử dụng mô hình đã thu được để trả lời câu hỏi c) dự đoán dân số Việt Nam vào năm 2025. 3. Kết luận Điểm mạnh của các HS tham gia vào khảo sát là đã thể hiện tốt các kĩ năng và hiểu các khái niệm toán học cơ bản; điểm yếu là việc chuyển thể không thành công các vấn đề có lời văn trong bối cảnh thực tế sang ngôn ngữ toán học để giải quyết, trong khi các em giải quyết rất tốt các vấn đề đã được chuyển thể sẵn một phần hoặc toàn bộ theo các gợi ý để giải bài toán. Chỉ số này có thể được cải thiện đáng kể khi chương trình dạy học toán trên lớp chú trọng vào lập mô hình toán để tạo cơ hội cho HS tự mình tạo được mô hình toán và sử dụng chúng. Việc sử dụng các công cụ tính toán trên máy tính đã thực sự đem lại một cơ hội lớn để HS xử lí các tập số liệu để lập mô hình bằng các hàm số: bậc nhất, bậc hai, bậc ba, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm mũ tự nhiên để từ đó dự đoán các kết quả xảy ra một cách có quy luật trong tương lai. HS Việt Nam có khả năng sử dụng các công cụ tính toán trên máy tính để mô phỏng các bài toán thực tế bằng các hàm số cụ thể. Việc tự mình lập một hàm số phù hợp làm mô hình cho một tình huống thực tế mang tính sáng tạo, từ đó HS tìm cách trả lời cho các câu hỏi có tính dự đoán trong bài toán một cách có cơ sở toán học. Tài liệu tham khảo Banens, M. (1999). Vietnam: A Reconstitution of its 20th Century Population History. HAL. https://hal.archives- ouvertes.fr/hal-00369251/document. Truy cập ngày 15/10/2020. Cherniha, R. & Davydovych, V. (2020). A Mathematical Model for the COVID-19 Outbreak and Its Applications. Symmetry 2020, 12, 990; DOI:10.3390/sym12060990. OECD (2016). The Survey of Adult Skills: Reader’s Companion, Second Edition. OECD Skills Studies, OECD Publishing, Paris. OECD (2018). PISA 2021 mathematics framework (second draft). EDU/PISA/GB(2018)19. OECD. https://pisa2021-maths.oecd.org/files/PISA%202021%20Mathematics%20Framework%20Draft.pdf. Truy cập ngày 15/10/2020. Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S. (2016). Precalculus: mathematics for mathematics. (7th ed.), Cengage Learning. Boston, USA. Tổng cục Thống kê (2020). Dân số và lao động. Truy cập tại: https://www.gso.gov.vn/default.aspx? tabid=427&idmid=3. United Nations (2015). World Population Prospects: The 2015 Revision. UN Population Division. Archived from the original on 22 December 2015. Retrieved 19 January 2016. Viet Nam News (2019). VN gets high scores but not named in PISA 2018 ranking. https://vietnamnews.vn/society/ 569454/vn-gets-high-scores-but-not-named-in-pisa-2018-ranking.html. Truy cập ngày 16/10/2020. Vui, T. (2018). Bringing mathematics education into the global orbit to develop thinking, logic and creativity in solving realistic problems with closed-open approach. Vietnam Journal of Education, MOET, ISSN 2354-0753, 5, 28-33.