Kinh tế lượng với các ứng dụng - Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê

bright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 43 Thục Đoan/Hào Thi KIỂM ĐỊNH HAI PHÍA Cho H0: µ = µ0; H1: µ ≠ µ0. Lưu ý rằng giả thuyết ngược lại là một giả thuyết hai phía, nghĩa là, µ có thể nằm về hai phía của µ0. Nhiều quyết định trong kinh doanh và kinh tế đòi hỏi phải lập các giả thuyết hai phía. Chẳng hạn, một nhà sản xuất lốp xe có thể muốn kiểm định xem tuổi thọ trung bình của lốp xe có bằng 30.000 dặm không. Có thể nhà sản xuất không biết trước được thông tin liệu tuổi thọ có lớn hay hay bé hơn 30.000 dặm. Trong trường hợp này, đầu tiên phải lấy một mẫu ngẫu nhiên các quan sát x1, x2, , xn. Chúng ta đã phát biểu trong tính chất 2.11c rằng trị thống kê mẫu t = )//()( nsx µ− , trong đó x là trung bình mẫu và s là độ lệch chuẩn mẫu như được định nghĩa trong Phương trình (2.9), tuân theo phân phối tn-1. Nếu giả thuyết không là đúng, µ = µ0. Theo giả thuyết này, giá trị t được tính từ mẫu như sau )//()( nsxt 0c µ−= ~ tn-1. Nếu trị trung bình quan sát được x khác biệt đáng kể so với giả thuyết không µ = µ0, trị tính toán tc sẽ hoặc quá lớn hay quá nhỏ. Trong trường hợp này, chúng ta bác bỏ H0. Từ bảng t ở Phụ lục A (Bảng A.2), tìm t*n-1(α/2), trong đó t* là giá trị trong phân phối t với n – 1 bậc tự do sao cho P(t > t*) = α/2 và α là mức ý nghĩa (thông thường là 0,01; 0,05; hoặc 0,10). Lưu ý rằng vì tính đối xứng của phân phối t, P(t t* hoặc tc < - t*. Các bước kiểm định được tóm tắt trong danh sách sau và được minh họa ở hình 2.13. } Hình 2.13 Kiểm định hai phía µ = µ0 so với µ ≠ µ0 trong phân phối chuẩn Thủ tục kiểm định H0 so với H1 Bước 1 H0: µ = µ0; H1: µ ≠ µ0. Bác bỏ H0 Vùng α/2 t*n-1(α/2) tn-1 0 f(tn-1) Không bác bỏ H0 Vùng α/2 - t*n-1(α/2) Bác bỏ H0 Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 44 Thục Đoan/Hào Thi Bước 2 Trị thống kê kiểm định là sxnt 0c /)( µ−= . Theo giả thuyết H0, trị này tuân theo phân phối Student t với n – 1 bậc tự do. Bước 3 Trong bảng t (Bảng A.2), tra giá trị tương ứng với n – 1 bậc tự do và mức ý nghĩa α cho trước, và nhận được điểm t*n-1(α/2) sao cho P(t > t*) = α/2, tức là P(t t*) = α, mức ý nghĩa được chọn trước. Bước 4 Bác bỏ H0 nếu giá trị quan sát tc > t* hoặc t < - t*. Một cách tương đương, bác bỏ nếu |tc| > t*. Kiểm định này được gọi là kiểm định hai phía (hoặc thường được gọi hơn là kiểm định hai đầu) vì giả thuyết ngược lại có thể nằm về hai phía của µ0 và vì giá trị của t* được xác định sao cho vùng diện tích ở mỗi phía của phân phối t bằng với α/2 (xem Hình 2.13). } Ví dụ 2.11 Trong ví dụ về bóng đèn, giả sử rằng giả thuyết ngược lại là µ ≠ 935. Giá trị t tính toán vẫn là -1,67, và t*n-1(α/2) = t*24(0,025) = 2,064. Vì |tc| < t* chúng ta không bác bỏ giả thuyết không µ = 935 và kết luận rằng tuổi thọ trung bình không khác 935 một cách đáng kể. Làm bài 2.20 và dò lại với các kết quả trong Phụ lục B. Kiểm định Hệ số Tương quan giữa hai biến Với hai biến, giả thuyết không là H0: ρxy = 0; nghĩa là, hệ số tương quan giữa hai biến X và Y bằng 0. Giả thuyết ngược lại H1: ρxy ≠ 0. Nếu giả thuyết H0 không bị bác bỏ, chúng ta kết luận rằng X và Y không tương quan. Trị thống kê kiểm định là Fc = [(n – 2)r2]/(1 – r2), trong đó r2 là bình phương của hệ số tương quan mẫu được tính theo Phương trình (2.11). Theo giả thuyết không, giá trị này tuân theo phân phối F với hai bậc tự do 1 và n – 2. Từ bảng F, tìm F*1, n – 2(α), điểm trên phân phối F sao cho vùng diện tích về phía phải từ điểm đó có giá trị α, mức ý nghĩa. Bác bỏ H0 nếu trị tính toán Fc > F* Kiểm định này cũng có thể được thực hiện bằng kiểm định t. Từ tính chất 2.14b, chúng ta lưu ý rằng trị thống kê F với 1 bậc tự do ở tử số tương đương với phân phối t2. Kiểm định t tương đương là tính t*n-2(α/2) và bác bỏ H0 nếu tc = cF > t*. } VÍ DỤ 2.12 Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 45 Thục Đoan/Hào Thi Giả sử hệ số tương quan giữa điểm SAT về toán và điểm lập luận đối với một mẫu gồm 427 sinh viên là r = 0,42. Do đó, r2 = 0,1764, và trị thống kê F là Fc = 425x0,1764/(1 – 0,1764) = 91,027 ~ F(1, 425) Từ bảng A.4a chúng ta thấy rằng với mức ý nghĩa 1%, giá trị tới hạn F* nằm giữa 6,63 và 6,85. Có thể dễ dàng nhận thấy từ giá trị F* là Fc cực kỳ có ý nghĩa, nghĩa là chúng ta bác bỏ giả thuyết không ρxy = 0. Nghĩa là hai cột điểm tương quan với nhau một cách có ý nghĩa. Những kiểm định khác như sự khác biệt về các trị trung bình và phương sai không được trình bày ở đây. Tham khảo Ramanathan (1993, trang 225-227) về những kiểm định này. (Ứng dụng của các khái niệm kiểm định giả thuyết trong phân tích hồi quy có thể được tìm thấy ở Phần 3.5 và sau đó tiếp tục phần 2.9) } 2.9 Ước Lượng Khoảng Các thủ tục ước lượng được thảo luận trong phần trước đây cho biết một giá trị ước lượng đơn của các thông số chưa biết của một phân phối. Những giá trị này được gọi là các ước lượng điểm. Trị trung bình mẫu và phương sai mẫu là các ví dụ về ước lượng điểm. Mặc dù ước lượng điểm cung cấp những thông tin hữu ích, chúng chứa đựng những sai số. Phương sai của các ước lượng đo lường tính bất định này và cho biết độ chính xác mà ước lượng được thực hiện. Ước lượng khoảng là một cách trực tiếp xét đến tính bất định này. Thay vì cung cấp một ước lượng đơn, ước lượng khoảng sẽ cung cấp một khoảng các giá trị có thể có. Ví dụ, thay vì nói chỉ số lạm phát năm tới được kỳ vọng là 3,3%, chúng ta sẽ nói với một xác suất nào đó lạm phát sẽ dao động trong khoảng từ 3 đến 3,5%. Khoảng này được gọi là khoảng tin cậy; nó sẽ được minh họa trong phần thảo luận sau thông qua một ví dụ về trị trung bình của phân phối chuẩn. Khoảng Tin Cậy Của Trị Trung Bình Trong Phân Phối Chuẩn Tính chất 2.10a cho biết nếu một biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn N(µ, σ2), thì trị trung bình mẫu x sẽ tuân theo phân phối chuẩn N(µ, σ2/n). Hơn nữa, từ tính chất 2.15c ta có biến )//()( nsx µ− tuân theo phân phối Student t với n – 1 bậc tự do (s là độ lệch chuẩn của mẫu). Nói cách khác, t = )//()( nsx µ− ~ tn-1. Gọi t* là điểm nằm trên phân phối t sao cho vùng diện tích bên phải của t* là 0,025 (nghĩa là 2 ½ %). Vì phân phối t đối xứng qua 0, cho nên vùng diện tích phía trái của – t* cũng là 0,025. Vì vậy, Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 46 Thục Đoan/Hào Thi P(– t* ≤ t ≤ t*) = 0,95. Thay t ở dạng trị trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu vào, chúng ta có biểu thức xác suất sau: P(– t* ≤ ns x / µ− ≤ t*) = 0,95 Nhân các vế với ns / và sắp xếp lại các số hạng ta có P[ x - ( ns / )t* ≤ µ ≤ x + ( ns / )t*] = 0,95 Điều này có nghĩa là giá trị thực của thông số µ nằm trong khoảng x ± ( ns / )t* với xác suất 95%. Khoảng này được gọi là khoảng tin cậy 95% của µ. Nên lưu ý rằng khoảng tin cậy là một khoảng ngẫu nhiên vì các điểm mút của khoảng bản thân cũng là các biến ngẫu nhiên. Diễn dịch của khoảng tin cậy như sau. Nếu chúng ta lập lại thí nghiệm lấy một mẫu ngẫu nhiên và tính khoảng tin cậy nhiều lần, thì 95% số khoảng tin cậy sẽ chứa giá trị thực của µ. Sự chọn lựa mức tin cậy nằm trong phạm vi quyết định của người phân tích. Nếu các dự báo rất chính xác là không nhất thiết, chúng ta có thể chọn khoảng tin cậy 90%. Nên lưu ý rằng khi kích thước mẫu n tăng, độ rộng của khoảng tin cậy nhỏ lại. Tương tự, khi sai số chuẩn ước lượng (s) giảm, khoảng tin cậy giảm độ rộng. Nói cách khác, với một mức tin cậy cho trước, kích thước mẫu càng lớn hoặc sai số chuẩn càng nhỏ, khoảng tin cậy càng hẹp và do đó độ chính xác củaiá trị ước lượng càng lớn. } VÍ DỤ 2.13 Giả sử rằng tuổi thọ trung bình của bóng đèn tròn được ước lượng là 450 giờ và độ lệch chuẩn ước lượng là 25 giờ. Ở đây, x = 450 và s = 25. Cho cỡ mẫu (n) là 25. Từ bảng t trong Phụ lục A (Bảng A.2), chúng ta thấy rằng với 24 bậc tự do (tức là n –1) t* = 2,064 với vùng diện tích 2.5% về phía phải của nó. Vì vậy, khoảng ước lượng 95% bằng 450 ± (25/ 25 )2,064, hay khoảng (439,68; 460,32) Quan Hệ giữa Kiểm Định Giả Thuyết và Khoảng Tin Cậy Tồn tại một quan hệ chặt chẽ giữa kiểm định hai phía và khoảng tin cậy. Trong ví dụ bóng đèn (2.10), chúng ta có thể tính khoảng tin cậy cho tuổi thọ của bóng đèn. Chúng ta lưu ý rằng khoảng tin cậy đối với µ là [ x - ( ns / )t* , x + ( ns / )t*], trở thành [917 ± (54/5)2,064] hoặc (895; 939). Đây là khoảng tin cậy 95% của trị trung bình của tuổi thọ bóng đèn. Chúng ta có nhận xét rằng khoảng này chứa µ0 = 935. Trong trường hợp này, chúng ta không bác bỏ giả thuyết không. Ví dụ này cho thấy rằng kiểm định giả thuyết Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 47 Thục Đoan/Hào Thi có thể được thực hiện theo một cách khác tương đương bằng cách sử dụng khoảng tin cậy. Các bước thực hiện được liệt kê ra sau đây: Bước 1 Từ trị thống kê kiểm định, xây dụng khoảng tin cậy 1 – α cho thông số đang quan tâm (α là mức ý nghĩa). Bước 2 Bác bỏ giả thuyết không nếu khoảng tin cậy này không chứa giá trị của thông số trong giả thuyết không. Nếu khoảng tin cậy có chứa giá trị tương ứng với H0, giả thuyết không không thể bị bác bỏ. (Xem Phần 3.8 về ứng dụng của khoảng tin cậy đối với các thông số hồi quy.) Thuật Ngữ Acceptance region Alternative hypothesis Binomial distribution Central limit theorem Chain rule of differentiation Chi-square (χ2) distribution Coefficient of variation Conditional expectation of Y given X Conditional probability Conditional probability density function Conditional variance Conditional interval Consitency Correlation Correlation coefficient Covariance Critical region Critial value Degrees of freedom (d.f.) Distribution of the sample mean Distribution of the sample variance Efficiency Estimate Estimator Expected value of X F-distribution First central moment Vùng chấp nhận Giả thuyết ngược lại Phân phối nhị thức Định lý giới hạn trung tâm Quy tắc chuỗi đạo hàm Phân phối Chi bình phương Hệ số biến thiên Kỳ vọng có điều kiên của Y với X cho trước Xác suất có điều kiện Hàm mật độ xác suất có điều kiện Phương sai có điều kiện Khoảng có điều kiện Tính nhất quán Sự tương quan Hệ số tương quan Đồng phương sai Vùng tới hạn Giá trị tới hạn Bậc tự do (d.f.) Phân phối của trung bình mẫu Phân phối của phương sai mẫu Tính hiệu quả Giá trị ước lượng Ước lượng Giá trị kỳ vọng của X Phân phối F Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 48 Thục Đoan/Hào Thi Frequency distribution Histogram Independent, identically distributed (iid) Interval estimation Law of iterated expectation Law of large numbers Level of significance Marginal cost Marginal density of X Mean of a distribution Mean squared error Method of least squares Method of moment Most powerful test Nonrejection region Normal distribution Null hypothesis One-sided alternative One-sided test One-tailed test Ordinary least square (OLS) Parent population Partial derivative Perfectly correlated Phillips curve Point estimates Population mean Population moments Population parameter Population variance Power of a test Probability density function (PDF) Probability distribution Random sampling Random variable Regression of Y on X Sample correlation coefficient Sample covariance Sample mean Sample moments Mômen trung tâm bậc 1 Phân phối tần suất Biểu đồ tần số Phân phối giống nhau, độc lập Ước lượng khoảng Luật kỳ vọng lập lại Luật số lớn Mức ý nghĩa Chi phí cận biên Mật độ cận biên của X Trị trung bình của một phân phối Sai số bình phương trung bình Phương pháp bình phương nhỏ nhất Phương pháp mômen Kiểm định mạnh nhất Vùng không bác bỏ Phân phối chuẩn Giả thuyết không Giả thuyết ngược lại một phía Kiểm định một phía Kiểm định một đầu Bình phương nhỏ nhất thông thường Tổng thể Vi phân riêng phần Tương quan hoàn hảo Đường cong Phillips Giá trị ước lượng điểm Trung bình tổng thể Mômen tổng thể Thông số tổng thể Phương sai tổng thể Năng lực của kiểm định Hàm mật độ xác suất Phân phối xác suất Lấy mẫu ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên Hồi quy của Y theo X Hệ số tương quan mẫu Đồng phương sai mẫu Trung bình mẫu Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 49 Thục Đoan/Hào Thi Sample standard deviation Second central moment Size of a test Standard deviation (s.d.) Standard error Standardized normal Standard normal distribution Statistically independent Statistical test Student’s t-distribution Test statistic Two-sized test Two-tailed test Type I error Type II error Unbiased Uncorrelated Variance of the distribution Z-score Mômen mẫu Độ lệch chuẩn mẫu Mômen trung tâm bậc 2 Kích thước của một kiểm định Độ lệch chuẩn Sai số chuẩn Chuẩn chuẩn hóa Phân phối chuẩn chuẩn hóa Độc lập thống kê Kiểm định thống kê Phân phối Student t Trị thống kê kiểm định Kiểm định hai phía Kiểm định hai đầu Sai lầm loại I Sai lầm loại II Không thiên lệch Không tương quan Phương sai của một phân phối Giá trị Z 2.A PHỤ LỤC Các Kết Quả Tính Toán Khác 2.A.1 Một Số Kết Quả Hữu Ích Của Phép Tính Tổng Phép tính tổng được sử dụng nhiều trong xác suất, thống kê và kinh tế lượng, vì vậy, việc tóm tắt một số tính chất của phép tính tổng là rất cần thiết. Tổng X1 + X2 + + Xn được thể hiện bằng ký hiệu Σt = nt = 1 Xt, với n là tổng số các số hạng trong tổng và Xt là một số hạng đặc trưng trong tổng. Giá trị trung bình số học của các X thường được ký hiệu là X _ = (∑Xt/n). Một vài tính chất đơn giản nhưng rất hữu ích của phép tính tổng được trình bày trong phần này. Tính chất 2.A.1 Nếu k là một hằng số thì Σt = nt = 1 k = nk Vì có n số hạng, mỗi số hạng là một hằng số k, kết quả rõ ràng như trên. Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 50 Thục Đoan/Hào Thi Tính chất 2.A.2 Nếu k là một hằng số, thì Σt = nt = 1 kXt = kΣt = nt = 1 Xt. Vì mỗi số hạng có một hằng số k, nên có thể đặt k làm nhân tử chung. Tính chất 2.A.3 (Xt + Yt) =    ∑t = n t = 1 Xt +    ∑t = n t = 1 Yt Tính chất 2.A.4 Nếu X _ = (∑Xt) / n là giá trị trung bình, thì ∑t = n t = 1 (Xt –X _ ) = 0. Vì vậy, tổng các sai lệch so với giá trị trung bình là bằng không. CHỨNG MINH ∑ (Xt – X _ ) = ( ∑Xt) – (∑ X _ ) = (∑Xt) – nX _ vì X _ đều như nhau đối với mỗi giá trị t. Nhưng từ định nghĩa của X _ , nX _ = ∑Xt. Do đó, hai số hạng cuối cùng triệt tiêu lẫn nhau và vì vậy ∑(Xt – X _ ) = 0. 2.A.2. Cực Đại và Cực Tiểu Việc ước lượng các thông số chưa biết của một phân phối thường liên quan đến cực đại hoặc cực tiểu một số hàm mục tiêu. Ví dụ, khi ước lượng các mối quan hệ, một mục tiêu quan trọng là tìm được “mối quan hệ phù hợp nhất”, đó là mối quan hệ có sai số nhỏ nhất. Trong phần này chúng ta trình bày các phương pháp cực đại hoặc cực tiểu các hàm mục tiêu; việc này đặc biệt hữu ích khi nhà nghiên cứu có những ràng buộc về các vấn đề nghiên cứu. Các nguyên lý căn bản trước tiên được nghiên cứu đối với trường hợp đơn giản, chỉ liên quan đến một biến và không có ràng buộc nào. Sau đó, các nguyên lý này được mở rộng cho nhiều biến và cho trường hợp có ràng buộc. Các Hàm Số, Đạo Hàm, Cực Đại Và Cực Tiểu Tương quan tổng quát của một biến phụ thuộc (Y) và một biến độc lập (X) được trình bày dưới dạng một hàm số ký hiệu bằng biểu thức Y = F(X). Lúc này, chúng ta chỉ tập trung chú ý các hàm số liên quan đến một biến đơn. Chúng ta sẽ giả sử là F(X) là hàm liên tục; nghĩa là, F(X) không “nhảy” khi X chỉ thay đổi trong một khoảng xác định. Một hàm được gọi là tăng đơn điệu nếu Y tăng khi và chỉ khi X tăng (xem Hình 2.A.1). Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 51 Thục Đoan/Hào Thi Một ví dụ về hàm tăng đơn điệu là một đường cung. Nếu Y giảm khi X tăng, như trong Hình 2.A.2, hàm số được gọi là giảm đơn điệu (đường cầu là một ví dụ). Trong Hình 2.A.1, xét hai điểm A và B có tọa độ là (X1, Y1) và (X2, Y2). Tỷ số (Y2 – Y1) / (X2 – X1) là độ dốc của đường thẳng nối hai điểm A và B, đường này cắt đồ thị hàm số tại A và B. Tỷ số này đo lường sự thay đổi của Y theo một đơn vị thay đổi của X. Tỷ số này còn được ký hiệu là ∆Y/∆X, với ∆Y = Y2 – Y1 là thay đổi của Y và ∆X = X2 – X1 là thay đổi của X. Giả sử chúng ta làm cho ∆X ngày càng nhỏ hơn đến cuối cùng thì A và B gặp nhau tại X. Cuối cùng, đường thẳng AB chỉ tiếp xúc với đồ thị của F(X). Đây chính là tiếp tuyến của đường cong tại điểm X; hệ số góc của tiếp tuyến được gọi là đạo hàm của Y theo X. Hệ số này được viết dưới dạng đại số như là giới hạn của ∆Y/∆X khi ∆X tiến tới 0, và được ký hiệu là dY/dX hoặc là F ’(x). Vì vậy chúng ta có định nghĩa sau. ĐỊNH NGHĨA 2.A.1 Đạo hàm của Y theo X được định nghĩa là dY dX = F’(X) = lim∆X→ 0 ∆Y ∆X với điều kiện tồn tại giới hạn Nếu tồn tại giới hạn, F(X) được gọi là có đạo hàm tại X. Ví dụ, giả sử X là tổng lượng hàng hoá sản xuất của một công ty và Y là tổng chi phí sản xuất lượng hàng hóa này.Vậy, F(X) là hàm tổng chi phí và đạo hàm, dY/dX, là chi phí gia tăng khi sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa, trong kinh tế lượng đại lượng này được gọi là chi phí cận biên. Từ Hình 2.A.1 và 2.A.2 cần lưu ý là đạo hàm F’(X) không nhất thiết phải là hằng số nhưng phải phụ thuộc vào giá trị X mà tại giá trị đó đạo hàm được tính. Do đó chúng ta có thể lấy đạo hàm F’(X) một lần nữa và được F”(X) = d2Y/dX2, miễn là đạo hàm bậc hai này tồn tại. } Hình 2.A.1 Hàm Số Tăng Đơn Điệu F(X) B (X1, Y1) A Y2 Y1 X1 X X2 (X2, Y2) F(X) X Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 52 Thục Đoan/Hào Thi } Hình 2.A.2 Hàm Số Giảm Đơn Điệu Trong Hình 2.A.1 đạo hàm dương đối với mọi X trong miền xác định của F(X). Tương tự, đạo hàm này luôn âm trong Hình 2.A.2. Chúng ta đã thấy đối với một hàm đơn điệu đạo hàm luôn luôn có cùng một dấu. Trong Hình 2.A.3a chúng ta lưu ý là F(X) không phải là hàm đơn điệu mà lần lượt tăng rồi giảm (ví dụ như tỷ lệ thất nghiệp). Đầu tiên, hệ số góc là dương, sau đó chuyển sang âm và sau đó lại trở lại dương. Các điểm A và B có tính chất là hệ số góc của tiếp tuyến bằng 0. Vì vậy, F’(X) = 0 tại những điểm này. Chúng ta lưu ý là tại A, F(X) đạt cực đại cục bộ và tại B hàm số đạt cực tiểu cục bộ. Một điều kiện cần để có cực trị cục bộ (nghĩa là cực đại hoặc cực tiểu) là đạo hàm bậc nhất F’(X) phải bằng 0. Điều kiện này, được gọi là điều kiện bậc nhất, không phải là điều kiện đủ để xác định xem F(X) đạt cực đại hay cực tiểu. Hình 2.A.3b biểu diễn F’(X), và chúng ta lưu ý là đạo hàm này đầu tiên thi giảm nhưng sau đó lại tăng. Độ dốc của F’(X) là đạo hàm bậc hai F”(X) có giá trị âm tại A và dương tại B. Để phân biệt giữa một cực đại và một cực tiểu, chúng ta cần điều kiện bậc hai là đạo hàm bậc hai F”(X) phải âm tại điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất F’(X) = 0 thì hàm F(X) mới đạt cực đại. Để hàm số đạt cực tiểu thì điều kiện bậc hai là F”(X) dương tại điểm mà F’(X) = 0. Chúng ta phát biểu mà không cần chứng minh một số kết quả hữu ích từ các đạo hàm. Tính chất 2.A.5 F(X) F(X) X Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 53 Thục Đoan/Hào Thi a. Đạo hàm của một hằng số bằng không b. Đạo hàm của tổng F(X) + G(X) bằng tổng của các đạo hàm F’(X) + G’(X). c. Nếu a là một hằng số, đạo hàm của aF(X) bằng aF’(X). d. Đạo hàm của hàm số mũ Xm bằng mXm –1. Một trường hợp đặc biệt của tính chất này là đạo hàm của X (nghĩa là X1/2 ) bằng 1 / (2 X ), hoặc 1 2 X -1/2. Tương tự, đạo hàm của 1 / X (nghĩa là X-1) bằng −1 / X2 (nghĩa là −X− 2). e. Nếu Y = F(Z) và Z = G(X) thì dY dX = dY dZ dZ dX = F’G’ = F’(Z) G’(X) = F’[G(X)]G’(X). [Kết quả này được gọi là qui luật dây chuyền của vi phân.] f. Theo nguyên tắc nhân sai phân, đạo hàm của F(X)G(X) bằng F(X)G’(X) + G(X)F’(X). g. Theo nguyên tắc chia sai phân, đạo hàm của tỷ số F(X) / G(X) bằng [G(X)F’(X) − F(X)G’(X)] / [G(X)]2. } Hình 2.A.3 a. Đồ thị hàm số không đơn điệu b. Đồ thị F’(X) B A F(X) F(X) X A B F(X) X F(X) Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Niên khóa 2003-2004 Phương pháp phân tích Bài đọc Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng Chương 2: Ôn lại xác suất và thống kê Ramu Ramanathan 54 Thục Đoan/Hào Thi Ứng Dụng Giả sử một công ty có một hàm chi phí C(q) (mối quan hệ giữa tổng chi phí và sản lượng), với q là số lượng sản phẩm sản xuất được. Hơn nữa, giả sử là công ty này hoạt động trong một ngành mạnh và có thể bán sản phẩm ở mức giá thị trường cố định p ch