Kiến thức cần nhớ về “tam giác” (Hình học) lớp 7

KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ “TAM GIÁC” (HÌNH HỌC) LỚP 7 1. QUAN HỆ GIỮA GÓC VÀ CẠNH ĐỐI DIỆN TRONG MỘT TAM GIÁC a. Góc đối diện với cạnh lớn hơn Định lí 1: Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. b. Cạnh đối diện với góc lớn hơn Định lí 2: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn. 2. QUAN HỆ GIỮA ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN a. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Định lí 1: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất. b. Các đường xiên và hình chiếu của chúng Định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn. Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, và ngược lại nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. 3. QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC. BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC a. Bất đẳng thức tam giác Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. b. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác Hệ quả: Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. c. Nhận xét: Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại. d. Lưu ý: Khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thảo mãn bất đẳng thức tam giác hay không, ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng độ dài còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu độ dài còn lại. 4. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (trọng tâm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. * Lưu ý: Nếu nối ba đỉnh của một tam giác với trọng tâm của nó thì ta được ba tam giác nhỏ có diện tích bằng nhau. 5. TÍNH CHẤT TIA PHÂN GIÁC CỦA MỘT GÓC a. Định lí về tính chất các điểm thuộc tia phân giác Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. b. Định lí đảo Định lí 2 (định lí đảo): Điểm nằm bên trong một tia phân giác và cách đều hai cạnh của góc đó thì name trên tia phân giác của góc đó. c. Nhận xét: Từ định lí 1 và 2, ta có: Tập hợp các điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc là tia phân giác của góc đó. 6. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC a. Đường phân giác của tam giác Tính chất: Trong một tam giác can, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đối diện với đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. b. Tính chất ba đường phân giác của tam giác Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. 7. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG a. Định lí về tính chất của các điểm thuộc đường trung trực Định lí 1 (định lí thuận): Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó. b. Định lí đảo Định lí 2 (định lí đảo): Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó c. Nhận xét: Từ định lí thuận và đảo: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó. 8. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC a. Đường trung trực của tam giác Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này. b. Tính chất ba đường trung trực của tam giác Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. 9. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm (trực tâm). a. Tính chất về các đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác của tam giác cân Tính chất của tam giác cân: Trong một tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đó. b. Nhận xét: Trong một tam giác, nếu hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với cạnh đối diện này) trùng nhau thì tam giác đó là một tam giác cân. c. Tính chất của tam giác đều: Trong một tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh là bốn điểm trùng nhau. KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC LỚP 8 CHƯƠNG I – TỨ GIÁC 1. TỨ GIÁC a. Định nghĩa * Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, AC, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. * Định nghĩa tứ giác lồi: Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của tứ giác. * Chú ý: Từ nay, khi nói đến tứ giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi. b. Tổng các góc trong một tứ giác * Định lí: Tổng các góc nằm trong một tứ giác bằng 3600. 2. HÌNH THANG a. Định nghĩa * Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. * Nhận xét: - Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau, hai cạnh đáy bằng nhau. - Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau. b. Hình thang vuông * Định nghĩa: Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. 3. HÌNH THANG CÂN a. Định nghĩa * Định nghĩa: Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. b. Tính chất * Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau. * Chú ý: Có những hình thang có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không là hình thang cân. Chẳng hạn, hình thang ABCD (hình 1) có hai cạnh bên bằng nhau (AD=BC) nhưng không là hình thang cân (vì góc D ≠ góc C). A B D C Hình 1 * Định lí 2: Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau. c. Dấu hiệu nhận biết * Định lí 3: Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. * Dấu hiệu nhận biết hình thang cân: - Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân. - Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG a. Đường trung bình của tam giác * Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. * Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. * Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. b. Đường trung bình của hình thang * Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh thứ hai. * Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. * Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy. 5. DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA. DỰNG HÌNH THANG. a. Bài toán dựng hình (SGK) b. Các bài toán dựng hình đã biết (SGK) c. Dựng hình thang (SGK) 6.ĐỐI XỨNG TRỤC a. Hai điểm đối xứng qua một đường thẳng * Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua một đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. — A D H B — A’ b. Hai hình đối xứng qua một đường thẳng B — C * Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua — đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình A— này đối xứng với một điểm thuộc hình d kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của — hai hình đó. A’ — Người ta đã chứng minh được rằng: nếu hai đoạn thẳng B’ — (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường thẳng C’ thì chúng bằng nhau. c. Hình có trục đối xứng Người ta đã chứng minh được định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối xứng của hình thang cân đó. 7. HÌNH BÌNH HÀNH a. Định nghĩa: * Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song - Từ định nghĩa hình bình hành và hình thang, ta suy ra: Hình bình hành là một hình thang đặc biệt (hình bình hành là hình thang có hai cạnh bên song song). b. Tính chất * Định lí: Trong hình bình hành: a). Các cạnh đối bằng nhau. b). Các góc đối bằng nhau. c). Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. c. Dấu hiệu nhận biết 1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. 2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau. 3. Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành. 4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. 5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. 8. ĐỐI XỨNG TÂM a. Hai điểm đối xứng qua một điểm * Định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó. * Quy ước: Điểm đối xứng với điểm O qua điểm O cũng là điểm O. A B O b. Hai hình đối xứng qua một điểm * Định nghĩa: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua điểm O và ngược lại. Điểm O gọi là tâm đối xứng của hai hình đó. * Người ta cũng chứng minh được rằng: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau. c. Hình có tâm đối xứng * Định nghĩa: Điểm O gọi là tâm đối xứng của hình H nếu điểm đối xứng với mỗi điểm thuộc hình H qua điểm O cũng thuộc hình H. Trong trường hợp này, ta còn nói rằng hình H có tâm đối xứng O. * Định lí: Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó. 9. HÌNH CHỮ NHẬT a. Định nghĩa * Định nghĩa: Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông Từ định nghĩa hình chữ nhật, ta suy ra: Hình chữ nhật cũng là một hình bình hành, một hình thang cân. b. Tính chất * Tính chất: Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. c. Dấu hiệu nhận biết 1. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. 2. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật. 3. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. 4. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. d. Áp dụng vào tam giác * Các định lí áp dụng vào tam giác: 1. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. 2. Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông. 10. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG CHO TRƯỚC a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song * Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách giữa một điểm tùy ý trên đường thẳng này đến đường thẳng kia. b. Tính chất của các điểm cách đều một đường thẳng cho trước * Tính chất: Các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h nằm trên hai đường thẳng song song với b và cách b một khoảng bằng h. (hình 94-SGK/101) *Nhận xét: Tập hợp các điểm cách đường thẳng cố định một khoảng bằng h không đổi là hai đường thẳng song song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng đó một khoảng bằng h. (hình 95-SGK/101). c. Đường thẳng song song cách đều * Định lí: - Nếu đường thẳng song song cách đều cắt một đường thẳng thì chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau. (hình 96a-SGK/102) - Nếu các đường thẳng song song cắt một đường thẳng và chúng chắn trên đường thẳng đó các đoạn thẳng liên tiếp bằng nhau thì chúng song song cách đều. 11. HÌNH THOI a. Định nghĩa * Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Từ định nghĩa hình thoi, ta suy ra: Hình thoi cũng là một hình bình hành. b. Tính chất * Định lí: Trong hình thoi: a) Hai đường chéo vuông góc với nhau. b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi. c) Có tất cả tính chất của hình bình hành. c. Dấu hiệu nhận biết 1) Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi. 2) Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. 3) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. 4) Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. 12. HÌNH VUÔNG a. Định nghĩa * Định nghĩa: Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau. Từ định nghĩa hình vuông trên, ta suy ra: Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau. Hình vuông là hình thoi có bốn góc vuông. Như vậy, hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi. b. Tính chất Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật, hình thoi. Đường chéo của hình vuông chính là tia phân giác chia mỗi góc của hình vuông thành những góc nhỏ có số đo bằng nhau cùng bằng 45o. c. Dấu hiệu nhận biết 1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. 2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông. 3. Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông. 4. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông. 5. Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông. * Nhận xét: Một tứ giác vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi thì tứ giác đó là hình vuông. CHƯƠNG II –ĐA GIÁC. DIỆN TÍCH ĐA GIÁC 1. ĐA GIÁC. ĐA GIÁC ĐỀU a. Khái niệm về đa giác * Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó. Chú ý: Từ nay, khi nói đến đa giác mà không chú thích gì thêm, ta hiểu đó là đa giác lồi. b. Đa giác đều * Định nghĩa: Đa giác đều là đa các có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau. 2. DIỆN TÍCH HÌNH CHỮ NHẬT a. Khái niệm diện tích đa giác Số đo của phần mặt phẳng giới hạn bởi một đa giác được gọi là diện tích đa giác đó. Mỗi đa giác có một diện tích xác định. Diện tích đa giác là một số dương. Diện tích đa giác có các tính chất sau: 1. Hai tam giác bằng nhau cò diện tích bằng nhau. 2. Nếu một đa giác được chia thành những đa giác không có điểm trong chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của những đa giác đó. 3. Nếu chọn hình vuông có cạnh bằng 1cm, 1dm, 1m, , làm đơn vị đo diện tích thì đơn vị diện tích tương ứng là 1cm2, 1dm2, 1m2, Hình vuông có cạnh dài 10m, 100m có diện tích tương ứng là 1a, 1ha. Hình vuông có cạnh dài 1km có diện tích là 1km2. Diện tích đa giác ABCDE thường được kí hiệu là SABCDE hoặc S nếu không sợ bị nhầm lẫn. b. Công thức diện tích tam hình chữ nhật * Định lí: Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó: S = a.b. c. Công thức tính diện tích hình vuông, tam giác vuông Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó: S = a2. Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: S = ½ a.b. 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC * Định lí: Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: S = ½ a.h. Lưu ý: có ba trường hợp xảy ra: a. A B C a. Trường hợp điểm H trùng với B hoặc C (chẳng hạn H trùng với B như hình trên). Khi đó tam giác ABC vuông tại B, theo công thức tính diện tích tam giác vuông, ta có: S = ½ BC.AH. b. A B C H b. Trường hợp điểm H nằm giữa hai điểm B và C như hình trên. Khi đó tam giác ABC được chia thành hai tam giác vuông BHA và CHA, mà SBHA = ½ BH.AH, SCHA = ½ HC.AH Vậy SABC = ½.(BH+HC).AH = ½ BC.AH. c. A B C H c. Trường hợp điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC. Giả sử điểm C nằm giữa hai điểm B và H như hình trên ta có: SABC = (AH.BC):2